Teorie časových řad Test 2 Varianta A HODNOCENÍ (max. 45 bodů z 50 možných)

Transkript

1 Teorie časových řad Test 2 Varianta A HODNOCENÍ (max. 45 bodů z 50 možných) 1. SPECIFIKACE (12 bodů): (1) Graf průběhu proměnných (1) Obě řady se chovají stejně, lze předpokládat jejich lineární vztah (6) Formulace LRM: Model (správná původní představa A): C t = β 1 + β 2 Y t-1 + u t (6) Model (původní představa B): C t = β 1 + β 2 Y t + u t (5) Model (původní představa C): Y t = β 1 + β 2 C t + u t (3) (2) Specifikace proměnných (2) Očekávaná znaménka a rozsahy hodnot 2. KVANTIFIKACE (5 bodů): (1) Odhad LRM pomocí MNČ (1) Konstanta β 1 je významná až na cca. 25 % hladině, proto jí vypustíme z modelu (2) MNČ: nový model (1) Vyčíslení odhadnutého modelu 3. VERIFIKACE (7 bodů): (1) ekonomická (1) statistická (5) ekonometrická o (1) Nulovost střední hodnoty reziduí o (1) Normalita náhodných složek o (0) Test specifikace modelu o (1) Multikolinearita o (1) Homoskedasticita o (1) Autokorelace Následně lze volit buď 4. Ochranovu-Orcuttovu transformaci nebo 5. Modelování pomocí ARMA modelů 4. COCHRANOVA-ORCUTTOVA TRANSFORMACE (15 bodů): (1) MNČ (1) Konstanta je opět statisticky nevýznamná a je třeba ji odstranit. (1) Nový model MNČ (1) Konečný model má tedy tvar: Ct = 0, Yt + u t (7) Verifikace:

2 (1) ekonomická (1) statistická (5) ekonometrická (1) Nulovost střední hodnoty reziduí (1) Normalita náhodných složek (0) Test specifikace modelu (1) Multikolinearita (1) Homoskedasticita (1) Autokorelace (1) Uvedený model je ekonomicky, statisticky i ekonometricky správný, z toho vyplývá, že odhad MNČ je nejlepším lineárním nestranným odhadem uvedeného modelu. Na základě tohoto modelu lze tedy předpovídat. (3) Prémie za použití tohoto modelu, nutno konstatovat, že je správný. 5. ARMA MODEL (15 bodů): (1) Test jednotkových kořenů pro Y t : (1) Test jednotkových kořenů pro C t : (1) Kořeny leží vně jednotkového kruhu, řady jsou tedy slabě stacionární, lze modelovat ARMA modely (1) Y t AR(1) proces, corelogram (1) C t AR(1) proces, corelogram (1) Model: C t = β 1 + β 2 C t 1 + β 3 Y t + β 4 Y t 1 + u t (1) Odhad MNČ (1) Konstanta je statisticky nevýznamná a je třeba ji z modelu odstranit. (1) Nový odhad MNČ (1) Konečný model: C t = 0, C t 1 + 0, Y t 0, Y t 1 + u t (5) VERIFIKACE modelu: (1) ekonomická (1) statistická (3) ekonometrická (1) Nulovost střední hodnoty reziduí (1) Normalita náhodných složek (1) Normalita reziduí 6. APLIKACE PŘEDPOVĚĎ (9 bodů): (1) Odhadnutý model má tvar: a) (C-O) Ct = 0, Yt + u t b) (ARMA) C t = 0, C t 1 + 0, Y t 0, Y t 1 + u t (1) V obou případech je třeba provést odhad vývoje příjmu Y t (nicméně pro ARMA to GRETL zvládne sám) v obou modelech jsou výsledné předpovědi C t identické: a) (7) C-O transformace (1) model Y t AR(1):

3 (1) Konstanta je statisticky nevýznamná, je třeba ji odstranit nový model. (1) Platí tedy: Yt = 1,03039 Y t-1 + u t (1) Předpověď Y t (1) Graf Y t (1) Předpověď C t (1) Graf C t rok Y t C t , , , , , , , , , ,72 b) (7) AR model (1) model Y t AR(1): (1) Konstanta je statisticky nevýznamná, je třeba ji odstranit nový model. (1) Platí tedy: Yt = 1,03039 Y t-1 + u t (1) Předpověď Y t (1) Graf Y t (1) Předpověď C t (1) Graf C t rok Y t C t , , , , , , , , , ,72 7. TEXT PRÁCE, ÚPRAVA A DALŠÍ PRÉMIOVÉ BODY (max. 2 body):

4

5 Řešení: Řešení Y = příjem C = spotřeba 1. SPECIFIKACE (12): Graf průběhu proměnných: Obě řady se chovají stejně, lze předpokládat jejich lineární vztah. Formulace LRM: Model (správná původní představa A): C t = β 1 + β 2 Y t-1 + u t Model (původní představa B): C t = β 1 + β 2 Y t + u t Specifikace proměnných: A) C t výše úspor, endogenní, [36x1] Y t-1 výše příjmu, predeterminovaná, [36x1] B) C t výše úspor, endogenní, [36x1] Y t výše příjmu, exogenní, [36x1] Očekávaná znaménka a rozsahy hodnot: β < β 2 < 1

6 2. KVANTIFIKACE (5): Odhad LRM pomocí MNČ: C t = β 1 + β 2 Y t + u t Konstanta β 1 je významná až na cca. 25 % hladině, proto jí vypustíme z modelu. Odhad LRM bez konstanty pomocí MNČ: C t = 0, Y t

7 3. VERIFIKACE (7): a) ekonomická člověk spotřebuje v daném období přibližně 90% z příjmu tohoto období, což je v souladu s ekonomickými předpoklady b) statistická odhadnutý regresní koeficient b 2 je statisticky významný i na 1% hladině koeficient vícenásobné determinace a korigovaného koeficientu vícenásobné determinace jsou statisticky významné (F-test) usuzujeme, že je model velmi kvalitní s vysokou vypovídací schopností. c) ekonometrická Nulovost střední hodnoty reziduí: E(e i ) = 1,20697 není sice 0, ale vzhledem k hodnotám Y, C je odchylka nevýznamná Normalita náhodných složek (nutná, neboť jinak nelze brát v úvahu výsledky testů): 0.03 Test statistic for normality: Chi-squared(2) = 3,999 pvalue = 0,13540 uhat2 N(1,207 18,888) Density Test for null hypothesis of normal distribution: Chi-square(2) = 3,999 with p-value 0,13540 Bohužel ani na 10% hladině ji nelze předpokládat, ale těžko si s ní poradíme. uhat2

8 Test specifikace modelu Test statistic: F = 16,112940, with p-value = P(F(2,33) > 16,1129) = 1,31e-005 Model je statisticky významný i na 1% hladině významnosti a lze předpokládat správnou specifikaci. Multikolinearita není přítomna, protože máme jen jednu vysvětlující proměnnou, která nemá s čím být lineárně závislá. Homoskedasticita: Spearmanův test nebo Whiteův test, oba testy prokazují homoskedasticitu Autokorelace: Durbin-Watson test autokorelace: ρ = 0, > 0 usuzujeme na pozitivní autokorelaci 1. řádu d = 0, d L = 1,4019 d H = 1,5191 d < d L autokorelace potvrzena -> ARMA model nebo C-O či P- W transformace (stačí jeden z nich, netřeba oba)

9 4. COCHRANOVA-ORCUTTOVA TRANSFORMACE (15): Odhad MNČ Konstanta je opět statisticky nevýznamná a je třeba ji odstranit. Konečný model má tedy tvar: Ct = 0, Yt + u t Verifikace: a) ekonomická člověk spotřebuje v daném období přibližně 90,5% z příjmu tohoto období, což je v souladu s ekonomickými předpoklady b) statistická odhadnutý regresní koeficient b 2 je statisticky významný i na 1% hladině koeficient vícenásobné determinace a korigovaného koeficientu vícenásobné determinace jsou statisticky významné (F-test) usuzujeme, že je model velmi kvalitní s vysokou vypovídací schopností.

10 c) ekonometrická Nulovost střední hodnoty reziduí: E(e i ) = 3,21571e-013 lze považovat za 0. Normalita náhodných složek (nutná, neboť jinak nelze brát v úvahu výsledky testů): 0.03 Test statistic for normality: Chi-squared(2) = 8,331 pvalue = 0,01553 uhat6 N(3,2157e ,991) Density uhat6 Test for null hypothesis of normal distribution: Chi-square(2) = 8,331 with p-value 0,01553 Na 2% hladině lze předpokládat normalitu reziduí. Test specifikace modelu Model již byl testován na specifikaci v předchozím kroku a je správný Multikolinearita Není přítomna, protože máme jen jednu vysvětlující proměnnou, která nemá s čím být lineárně závislá. Homoskedasticita: oba testy prokazují homoskedasticitu Autokorelace: Durbin-Watson test autokorelace: ρ = -0, usuzujeme na pozitivní autokorelaci 1. řádu d = 1,96273 d L = 1,4019 d H = 1,5191 d 2, d H < d < 4 d H sériová nezávislost Uvedený model je ekonomicky, statisticky i ekonometricky správný, z toho vyplývá, že odhad MNČ je nejlepším lineárním nestranným odhadem uvedeného modelu. Na základě tohoto modelu lze tedy předpovídat.

11 5. ARMA MODEL (15): Test jednotkových kořenů pro Y t : Augmented Dickey-Fuller tests, order 1, for Y sample size 39 unit-root null hypothesis: a = 1 test without constant model: (1 - L)y = (a-1)*y(-1) e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0,007 estimated value of (a - 1): 0, test statistic: tau_nc(1) = 4,87748 asymptotic p-value 1 test with constant model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0,002 estimated value of (a - 1): 0, test statistic: tau_c(1) = 2,16059 asymptotic p-value 0,9999 P-values based on MacKinnon (JAE, 1996) Test jednotkových kořenů pro C t : Augmented Dickey-Fuller tests, order 1, for C sample size 34 unit-root null hypothesis: a = 1 test without constant model: (1 - L)y = (a-1)*y(-1) e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0,107 estimated value of (a - 1): 0, test statistic: tau_nc(1) = 3,56745 asymptotic p-value 0,9999 test with constant model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0,105 estimated value of (a - 1): 0, test statistic: tau_c(1) = 1,34133 asymptotic p-value 0,9989 P-values based on MacKinnon (JAE, 1996) Kořeny leží vně jednotkového kruhu, řady jsou tedy slabě stacionární, lze modelovat ARMA modely

12 Y t AR(1) proces: Autocorrelation function for Y ACF for Y LAG ACF PACF Q-stat. [p-value] ,96/T^0,5 1 0,9264 *** 0,9264 *** 37,8275 [0,000] 2 0,8536 *** -0, ,7626 [0,000] 3 0,7817 *** -0, ,1117 [0,000] 4 0,7111 *** -0, ,2037 [0,000] 5 0,6413 *** -0, ,3455 [0,000] 6 0,5735 *** -0, ,9152 [0,000] 7 0,5047 *** -0, ,1238 [0,000] 8 0,4417 *** -0, ,5459 [0,000] lag PACF for Y ,96/T^0, lag C t AR(1) proces: Autocorrelation function for C LAG ACF PACF Q-stat. [p-value] 1 0,9182 *** 0,9182 *** 32,9494 [0,000] 2 0,8359 *** -0, ,0647 [0,000] 3 0,7581 *** -0, ,8912 [0,000] 4 0,6863 *** -0, ,0271 [0,000] 5 0,6118 *** -0, ,5461 [0,000] 6 0,5365 *** -0, ,6708 [0,000] 7 0,4546 *** -0, ,4214 [0,000] 8 0,3709 ** -0, ,1434 [0,000] ACF for C ,96/T^0, lag PACF for C ,96/T^0, lag Nový model: C t = β 1 + β 2 C t 1 + β 3 Y t + β 4 Y t 1 + u t Odhad MNČ Konstanta je statisticky nevýznamná a je třeba ji z modelu odstranit. Nový odhad bez konstanty Konečný model: C t = 0, C t 1 + 0, Y t 0, Y t 1 + u t VERIFIKACE modelu: a) ekonomická vyšší spotřeba v předchozím období znamená vyšší spotřebu v současnosti vyšší současné příjmy způsobí vyšší současnou spotřebu vyšší předchozí příjmy (znamenají nákup zásob v předchozích období a tedy nižší současnou potřebu a tak) způsobí nižší současnou spotřebu všechny koeficienty jsou v absolutní hodnotě mezi nulou a jedničkou, což je v souladu s obecnými předpoklady b) statistická všechny odhadnuté regresní koeficienty jsou statisticky významné i na 1% hladině c) ekonometrická

13 Nulovost střední hodnoty reziduí: E(e i ) = 0, nelze zodpovědně považovat za 0, nicméně vzhledem k hodnotám proměnných ji lze považovat za zanedbatelnou. Normalita náhodných složek (nutná, neboť jinak nelze brát v úvahu výsledky testů):

14 0.03 Test statistic for normality: Chi-squared(2) = 1,307 pvalue = 0,52011 uhat11 N(0, ,487) Density uhat11 Test for null hypothesis of normal distribution: Chi-square(2) = 1,307 with p-value 0,52011 Bohužel ani na 10% hladině ji nelze předpokládat, je třeba brát výsledky testů s rezervou.

15 6. APLIKACE PŘEDPOVĚĎ (9): Odhadnutý model má tvar: a) (C-O) Ct = 0, Yt + u t b) (ARMA) C t = 0, C t 1 + 0, Y t 0, Y t 1 + u t V obou případech je třeba provést odhad vývoje příjmu Y t (nicméně pro ARMA to GRETL zvládne sám) v obou modelech jsou výsledné předpovědi C t identické: a) C-O transformace Již bylo ukázáno, že Y t lze modelovat pomocí AR(1): Odhad MNČ Konstanta je statisticky nevýznamná, je třeba ji odstranit. Model 2: ARMA estimates using the 35 observations Estimated using BHHH method (conditional ML) Dependent variable: Y VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT P-VALUE phi_1 1, , ,986 <0,00001 *** Mean of dependent variable = 1578,56 Standard deviation of dep. var. = 535,642 Mean of innovations = 2,58415 Variance of innovations = 995,347 Log-likelihood = -170,46695 Akaike information criterion (AIC) = 344,934 Schwarz Bayesian criterion (BIC) = 348,045 Hannan-Quinn criterion (HQC) = 346,008 Real Imaginary Modulus Frequency AR Root 1 0,9705 0,0000 0,9705 0, Platí tedy: Yt = 1,03039 Y t-1 + u t rok Y t Y t , , , , , , , , , , , , Y fitted 95 percent confidence interval

16 Uvedených 5 předpovědí doplníme nakonec řady Y t (a uděláme znovu C-O transformaci pro MNČ, abychom z GRETLu dostali předpověď). Nyní již lze podle vztahu Ct = 0, Yt + u t předpovědět chování Ct: rok Y t C t , , , , , , , , , , C fitted 95 percent confidence interval b) AR model rok Y t C t , , , , , , , , , , C fitted 95 percent confidence interval TEXT PRÁCE, ÚPRAVA A DALŠÍ PRÉMIOVÉ BODY (2):