Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu MatemaTech Matematickou cestou k technice. Předmět: Matematika, fyzika Téma: Cyklistický převod výpočet rychlosti pohybu cyklisty Věk žáků: 16-19 Časová dotace: 1 Potřebné pomůcky, požadavky na techniku: PC s programem GeoGebra, dataprojektor pro učitele, model cyklistického převodu v programu GeoGebra s výpočtem rychlosti pohybu, kalkulátor, případně mechanický model cyklistického převodu Požadované znalosti a dovednosti žáků: - znalosti z matematiky: funkce nepřímá úměrnost - znalosti z fyziky: mechanické převody řetězový převod, převodový poměr, frekvence ff, převody jednotek rychlosti - dosazení do vzorce a výpočet pomocí kalkulátoru - znalost základních úprav lomených výrazů Získané dovednosti a znalosti: - prohloubení a upevnění početních dovedností žáků a znalostí o nepřímé úměrnosti - aplikace fyzikální a matematické teorie v úloze z praxe - porozumění vlivu některých proměnných na výsledek Aplikace tématu v reálném životě: Zdroje: Cyklistický převod jako speciální druh mechanických převodů VORÁČOVÁ, Š. et al. Atlas geometrie. Geometrie krásná a užitečná Praha: Academia, 2012. ISBN 978-80-200-1575-4. Autor: PhDr. RNDr. Jan Fiala, Ph. D.
PRACOVNÍ LIST PRO ŽÁKY (k tisku) 1. Co je řetězový převod? Z čeho se skládá a k čemu se používá? Uveď konkrétní příklady. Jak se určí a co vyjadřuje tzv. převodový poměr ()? Najdi obrázek řetězového převodu. Využij Internet. 2. Uvažuj cyklistický převod, který je tvořen ozubeným hnacím kolem s počtem zz 1 zubů, zz 1 {22; 32; 42} (trojkolečko), a ozubeným hnaným kolem s počtem zz 2 zubů, zz 2 {10; 15; 20; 25; 30} (pětikolečko). Nejdříve zjisti podobu vzorce pro výpočet rychlosti vv [m/s] pohybu cyklisty v závislosti na proměnných zz 1, zz 2, při dané frekvenci ff šlapání a dané velikosti kola v palcích, je-li vzdálenost os obou kol dd, dd (0; 20 [cm]. Vypočítej rychlost vv cyklisty pro mezní polohy řetězu na hnacím a hnaném kole (zz 1 = 22 a zz 2 = 30 nebo zz 1 = 42 a zz 2 = 10). Dále vypočítej rychlost vv cyklisty, bude-li zz 1 = zz 2. Kdy jde o převod do pomala a kdy do rychla (pro jakou hodnotu převodového poměru )? Sestav graf závislosti rychlosti vv pohybu na hodnotě převodového poměru. (V úloze předpokládej, že součet poloměrů obou kol je menší než vzdálenost jejich os. Uvažuj také hodnotu frekvence ff =1 ot/s a dd průměr kola v palcích (1 palec = 25,4 mm), kolo pro dospělého cyklistu dd = 26 = 660,4 mm= 0,6604 m.) 3. Výsledky výpočtu z úlohy 2 ověř na modelu cyklistického převodu v souboru programu GeoGebra. 4. (Rozšiřující úloha) V programu GeoGebra vytvoř model cyklistického převodu. (Posuvníky využij pro proměnné zz 1, zz 2, dd. Užij vhodných funkcí programu GeoGebra k výpočtu a zobrazení výsledné rychlosti vv cyklisty při proměnných hodnotách zz 1, zz 2, dd.) Poznámka: V úloze zjednodušujeme převodový mechanismus na cyklistickém kole tak, že neuvažujeme přehazovací systém (tzv. přehazovačku), který slouží k přesouvání řetězu mezi jednotlivými souosými ozubenými koly na hnacím i hnaném kole a také k napínání řetězu. Průchod řetězu přehazovačkou nemá na rychlost vv vliv.
POZNÁMKY PRO UČITELE 1. Řetězový převod (obr. 1) je speciální druh mechanického převodu. Skládá se z ozubeného kola hnacího a ozubeného kola hnaného, která jsou spojena uzavřeným řetězem. Řetězové převody se používají ve všech technických strojích, kde je potřeba přenést rotační pohyb z jedné osy na druhou. Nejznámějším užitím je zřejmě cyklistický převod. Tzv. převodový poměr je určen poměrem otáček hnacího a hnaného kola, poměrem jejich průměrů nebo také poměrem počtu zubů hnacího a hnaného kola, tedy píšeme: = nn 1 nn 2 = zz 2 zz 1 = dd 2 dd 1, kde nn 1 (nn 2 ) značí počet otáček prvního (druhého) kola, zz 1 (zz 2 ) značí počet zubů prvního (druhého) kola a dd 1 (dd 2 ) jsou velikosti průměrů prvního (druhého) kola. Obrázek 1 Model řetězového převodu (vlevo), jízdní kolo (vpravo) Poznámka: Seznámení se s řetězovým převodem je pro žáky vhodné pro pochopení úvah vedoucích k výpočtu rychlosti vv pohybu cyklisty. 2. Výsledná rychlost vv cyklisty závisí na frekvenci ff šlapání (tj. počtu otáček za sekundu), na velikosti hnacího a hnaného kola na jízdním kole (průměr dd v palcích) a hodnotě převodového poměru. Má-li největší talíř na hnací hřídeli 42 zubů a nejmenší kolečko vzadu na hnaném kole 13 zubů, je převodový poměr = zz 2 = 13 = 0,31, tj. převod tzv. zz 1 42 do rychla. Má-li nejmenší talíř na hnací hřídeli 30 zubů a největší kolečko vzadu 22 zubů, je převodový poměr = zz 2 = 30 = 1,36, tedy jde o převod do pomala. zz 1 22 Obecně: Je-li zz 1 < zz 2, jde o převod do pomala, je-li zz 2 < zz 1, jde o převod do rychla. Podobně lze také říci: Je-li převodový poměr = zz 2 (0; 1), jde o převod do pomala, zz 1 pro (1; ) jde o převod do rychla. Pro rr 1 = rr 2 mají obě kola stejný počet otáček i touž frekvenci ff.
Převodový poměr má na rychlost vv cyklisty zásadní vliv: při plném záběru a bez volnoběhu je rychlost pohybu cyklisty dána vztahem vv = ffffff [m/s], kde ff je frekvence šlapání, tj. počet otáček hnacího kola za časovou jednotku [s]. V úloze uvažujeme ff =1 ot/s. Po dosazení do uvedeného vzorce dostaneme: vv = ffffff = 1 ππ 0,6604 = 0,6604ππ Hledaná funkce gg (jedné reálné proměnné ) vyjadřuje závislost rychlosti vv pohybu cyklisty na hodnotě převodového poměru : v = gg(), tedy g: v = 0,6604ππ, DD(gg) = 13 ; 30. 42 22 Funkce gg: vv = 0,6604ππ, DD(gg) = 13 ; 30 je funkce nepřímá úměrnost, jejímž grafem je 42 22 hyperbola. Funkci gg znázorníme v soustavě souřadné PP :. vv Obrázek 2 Graf funkce g (poměr os x, y 1 : 5) Z grafu funkce gg a z výpočtů vyplývá: Pro = 13 42 získáme hodnotu hledané rychlosti vv = 6,7 m/s = 24 km/h, což je maximální rychlost pohybu cyklisty při plném záběru a dané frekvenci ff otáček: jde o převod do rychla, jde o nejtěžší převod, tedy cyklista vyvíjí největší sílu. Je-li =1, je vv = 2,07 m/s = 7,5 km/h (na zvolených talířích hnaného i hnacího kola je stejný počet zubů). Konečně pro = 30 je hledaná rychlost vv = 1,5 m/s, tj. asi 5,4 km/h, což je nejnižší možná rychlost pohybu cyklisty při plném záběru a dané frekvenci ff šlapání: jde o převod do pomala, je to nejlehčí převod vyžadující nejmenší potřebnou sílu ke šlapání. 22
3. Na modelu cyklistického převodu vytvořeného v programu GeoGebra je možné modelovat jednotlivé možnosti volby počtu zubů na hnacím i hnaném kole a sledovat výslednou rychlost vv cyklisty při plném záběru a bez volnoběhu. Na modelu lze také ověřit zajímavou skutečnost, že hodnota dd (vzdálenost os obou ozubených kol) nemá na výslednou rychlost vv žádný vliv. Shrnutí: Úloha je svou povahou komplexní a podporuje mezipředmětové vztahy fyziky a matematiky. Do výuky doporučuji zařadit body 1 3 (zarámovaná část pracovního listu pro žáky). Bod 4 je volitelný. Téma cyklistického převodu je možné zpracovat také projektově.