Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Transkript

1 Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Lineární funkce, graf lineární funkce Autor: Stanislav Trávníček Úloha 1 (úroveň 1) Předpokládané znalosti: rovnice přímky, lineární funkce, graf lineární funkce. Je dána rovnice 2x + 3y 9 = 0 přímky p. Tuto přímku graficky znázorněte a napište rovnici lineární funkce, jejímž grafem je přímka p. Řešení: Přímku nejsnadněji sestrojíme tak, že si najdeme souřadnice dvou bod. přímky, tj. které vyhovují rovnici přímky, a použijeme poznatek z geometrie, že přímka je dána dvěma svými body. A B x 0 6 y 3 1 Z dané rovnice pak vypočteme y = x, a to je rovnice lineární funkce, jejímž grafem je přímka p. Metodická poznámka Žáci by se měli naučit při práci přemýšlet, např. že by požadované dva body neměly ležet blízko sebe, aby konstrukce byla přesnější, a také volit souřadnici x tak, aby ze stejného důvodu nedostali po výpočtu souřadnice y zlomek. 1

2 Úloha 2 (úroveň 2) Předpokládané znalosti: absolutní hodnota, řešení nerovnice, konjunkce vlastností.. Postup č. 1 Je dána funkce y = 3 x. Zjistěte, pro která x platí 3 x 2. Ze zadání plyne, že pro hledané hodnoty x platí 2 3 x 2. Uvedenou složenou nerovnici převedeme na konjunkci dvou nerovnic: (3 x 2) (3 x 2). Z první nerovnice plyne x 5 2x 15 2x 15 x 7,5; ze druhé nerovnice plyne x 1 2x 3 2x 3 x 1,5 Vzhledem k tomu, že jde o konjunkci, platí současně obě nerovnosti, takže 1,5 x 7,5, takže zadaná lineární funkce má vyšetřovanou vlastnost pro všechna x 1,5; 7,5. Postup č. 2 Upravujeme přímo složenou nerovnici 2 3 x 2: Od všech tří částí odečteme 3 a máme 5 x 1, vynásobíme je číslem 3 odkud 15 2x 3, a ještě číslem 1: 15 2x 3, dělíme dvěma, vyměníme pořadí členů a máme výsledek 1,5 x 7,5. Metodická poznámka Druhý postup je sice jednodušší a rychlejší, ale pro žáky trochu náročnější. Úloha 3 (úroveň 2 3) Předpokládané znalosti: lineární funkce s parametrem, sestavení tabulky funkce, čtení z tabulky, graf lineární funkce, čtení z grafu V 5 hod ráno byla teplota vzduchu 3 C, v 10 hod pak 6 C, předpokládá se rovnoměrný růst teploty. (a) Jaká teplota byla v 8.30 hod? (b) Kdy byla teplota 0 C? (c) Znázorněte průběh ranní teploty. Řešení (a) Čas označíme x, teplotu v čase x označíme y. Rovnoměrná změna teploty znamená, že y je lineární funkcí x, tj, y = ax + b. 2

3 Koeficienty a, b vypočteme pomocí zadaných teplot v 5 a v 10 hodin, které v jazyku matematiky zapíšeme jako body [5; 3], [10; 6], takže 3 = 5a + b, 6 = 10a + b, odkud odečtením dostaneme 9 = 5a, a =, a po dosazení do 1. rovnice 3 = 5 + b, b =. Na časovém intervalu 5; 10 je tak vztah času a teploty vyjádřen rovnicí lineární funkce y = x 12. V 8.30 hodin je x = 8,5 y = 8,5 12 = 3,3. V 8.30 hod byla teplota 3,3 C. (b) Teplota 0 znamená y = 0 0 = x 12 x = Teplota 0 C byla v 6.40 hod. (c), což v hodinách je 6 hodin 40 minut. Průběh ranní teploty lze znázornit dvěma způsoby, tabulkou a grafem. Tabulka: Na zadané období sestavíme tabulku např. po půlhodinách. Hod.: C 3,0 2,1 1,2 0,3 0,6 1,5 2,4 3,3 4,2 5,1 6,0 Odpověď (a) vidíme přímo v tabulce: V 8.30 byla teplota 3,3 C Vidíme, že teplota 0 C byla mezi 6,30 h a 7.00 h; tabulku pro tento interval nemusíme zjemňovat, protože je vidět, že tato teplota nastala v jedné třetině tohoto intervalu, tj. v 6.40 h. Graf: V pravoúhlé soustavě souřadnic sestrojíme úsečku spojující body [5; 3] a [10; 9] a z grafu vyčteme přibližné řešení. Graf lze sestrojit i pomocí Geogebry. Z grafu vyčteme, že v 8.30 hod byla teplota 3,3 C, teplota 0 C byla v 6.40 hod. (Z grafu však tak přesné hodnoty zpravidla nevyčteme.) 3

4 Metodická poznámka Na této úloze lze neformálně ukázat, jak lze reálnou situaci matematicky modelovat různými způsoby. Úloha 4 (úroveň 3) Předpokládané znalosti: převádění praktické úlohy do matematiky, lineární funkce s parametry, volby vhodného zobrazení, graf lineární funkce, nerovnice Objem nádrže je 600 litrů. Na počátku je v nádrži 120 litrů vody, ventily u nádrže jsou nastaveny tak, že každou minutu přitéká do nádrže p litrů a vytéká q litrů na zalévání skleníků. Je-li q = 3, jaké musí být p, aby voda vydržela na zalévání alespoň 5 hodin a současně aby nádrž nepřetekla? Navrhněte, jak byste postupovali při grafickém znázornění výsledku vhodným softwarem, nebo přímo při grafickém řešení úlohy.. Řešení Za minutu přiteče do nádrže p litrů a vyteče q litrů, takže se stav vody změní za minutu o p q litrů, za t minut je to (p q) t ; počáteční stav je 120 litrů, takže od počátku za t minut je množství vody v nádrži y = (p q) t Pro zadané q = 3 dostaneme lineární funkci y = (p 3) t ) Jaké bude p, má-li voda vydržet aspoň na 5 hodin (300 minut): (p 3) p p = 2,6. K tomu, aby voda vydržela na zalévání alespoň 5 hodin, je třeba, aby do nádrže přitékalo alespoň 2,6 litrů vody za minutu. 2) Jaké bude p, nemá-li během 5 hodin nádrž přetéci:: (p 3) p p = 4,6. K tomu, aby nádrž nepřetekla, je třeba, aby do nádrže nepřitékalo více než 4,6 litrů vody za minutu. Odpověď: Obě podmínky úlohy jsou splněny, právě když p je z intervalu 2,6; 4,6, tedy když je přítok vody nastaven na hodnotu mezi 2,6 a 4,6 litrů za minutu. Pro grafické znázornění výsledku lze využít např. Geogebru. Zde by se zobrazily oba krajní případy, a to nastavením počátečního bodu [0; 120] a koncových bodů ze zadaných hodnot [300; 0] a [300; 600] a jejich spojením úsečkou nebo přímo nastavením přímek: pro p = 2,6 je to přímka y = 0,4 t a pro p = 4,6 přímka y = 1,6 t

5 Ukázka řešení užitím Excelu. Vytvoříme tabulku pro t 0, 300 např. po 10 minutách a pro hodnoty y = (p 3) t Protože budeme hledat p odpovídající zadaným podmínkám, vytvoříme pro p posuvník např.pro hodnoty od 0 do 10 s krokem 0,1. Pro větší názornost průběhu řešení vytvoříme v rozsahu t 0, 300 graf s vhodnou mřížkou a pak už jen pomocí posuvníku vyšetřujeme, pro která p nastanou zadané mezní situace, údaje z grafu kontrolujeme v tabulce. a) Případ vyprázdnění nádrže: b) Případ naplnění nádrže: 5

6 Metodické poznámky Rozsah použití této úlohy závisí na záměru učitele. Lze doporučit, aby úlohu skutečně využil i pro kontakty s vhodným softwarem,. Zdroj: Autor Obrazový materiál: Dílo autora Autor: Stanislav Trávníček, stanislav.travnicek@volny.cz 6