Gymnázium, Brno, Elgartova 3

Transkript

1 Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/ IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma: Analytická geometrie Autor: Mgr. Petra Šperková Název: Přehled kuželoseček rovnice kružnice, elipsy, paraboly, hyperboly Datum vytvoření: Cílová skupina: 4. ročník gymnázia Vzdělávací obor: matematika Anotace: Shrnutí základních pojmů, přehled středových a obecných rovnic základních kuželoseček

2 Kružnice Kružnici získáme jako průnik rotační kuželové plochy a roviny kolmé na její osu. Kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od daného bodu S[m,n] (středu kružnice) danou vzdálenost r (poloměr kružnice). Rovnice kružnice k(s,r) ve k :( x m ) 2 +( y n) 2 =r 2 středovém tvaru Tuto rovnici lze upravit na tvar kde k : x 2 +y 2 2mx 2ny +p=0 p=m 2 +n 2 r 2 obecný Uvedená rovnice je rovnicí kružnice právě tehdy, když m 2 +n 2 p>0.

3 Elipsa Elipsu získáme jako průnik rotační kuželové plochy s rovinou, která není kolmá na osu této plochy a neprochází jejím vrcholem. Úhel, který rovina svírá s osou kužele, je větší než úhel, který svírá osa kužele a strana kužele. Elipsa je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou daných bodů E, F roviny konstantní součet vzdáleností. Bod S[m,n] je střed elipsy. Body E, F nazýváme ohniska elipsy a platí SE = SF = e, číslo e se nazývá excentricita (výstřednost). Přímka EF se nazývá hlavní osa elipsy, přímka CD se nazývá vedlejší osa elipsy Body A, B jsou hlavni vrcholy elipsy a platí SA = SB = a, AB = 2a,.číslu a se říká délka hlavní poloosy Body C, D jsou vedlejší vrcholy elipsy a platí SC = SD = b, CD = 2b, číslu b se říká délka vedlejší poloosy

4 Rovnice elipsy ve středovém tvaru má tvar ( x m ) 2 a 2 ( x m ) 2 b 2 + ( y n)2 =1, pokud hlavní osa je rovnoběžná s osou x b 2 + ( y n)2 =1, pokud hlavní osa je rovnoběžná s osou y a 2 Kružnice je speciálním příkladem elipsy pro a = b e = 0, ohniska E, F splynou v bod S. Úpravou rovnice elipsy ve středovém tvaru dostaneme obecný tvar rovnice elipsy Ax 2 +By 2 +Cx+Dy+E= 0, kde A, B, C, D, E jsou reálné koeficienty s podmínkami A > 0, B > 0, A B.

5 Parabola Parabolu získáme jako průnik rotační kuželové plochy s rovinou, která neprochází vrcholem kuželové plochy a je rovnoběžná právě s jednou přímkou kuželové plochy. Parabola je množina všech bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od daného bodu F a dané přímky d, která bodem F neprochází. Bod F se nazývá ohnisko paraboly. Přímka d se nazývá řídící (direkční) přímka paraboly. Osa o paraboly je kolmá na řídící přímku d a prochází ohniskem F a vrcholem paraboly V. Rovnice paraboly ve vrcholovém tvaru závisí na ose paraboly ( x m) 2 =2p ( y n), je-li osa paraboly rovnoběžná s osou y, ohnisko F leží nad vrcholem paraboly ( x m) 2 = 2p( y n), je-li osa paraboly rovnoběžná s osou y, ohnisko F leží pod vrcholem paraboly ( y n) 2 =2p ( x m), je-li osa paraboly rovnoběžná s osou x, ohnisko F leží nad vrcholem paraboly

6 ( y n) 2 = 2p ( x m ), je-li osa paraboly rovnoběžná s osou x, ohnisko F leží pod vrcholem paraboly Úpravou rovnice paraboly ve vrcholovém tvaru vznikne obecná rovnice paraboly ve tvaru x 2 +Ax+By+C=0 nebo y 2 +Ay+Bx+C=0, kde A, B, C jsou reálné koeficienty s podmínkou B 0.

7 Hyperbola Hyperbolu získáme jako průnik rotační kuželové plochy s rovinou, která neprochází vrcholem kuželové plochy. Úhel, který rovina svírá s osou kužele, je menší než úhel, který svírají osa kužele a strana kužele. Hyperbola je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou daných bodů E, F roviny konstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností, tot číslo značíme 2a. Bod S[m,n] je střed hyperboly. Body E, F nazýváme ohniska hyperboly a platí SE = SF = e, číslo e se nazývá excentricita (výstřednost) hyperboly. Přímka EF se nazývá hlavní osa hyperboly, přímka CD se nazývá vedlejší osa hyperboly. Body A, B jsou hlavní vrcholy hyperboly a platí SA = SB = a, AB = 2a, číslu a se říká délka hlavní poloosy, vedlejší vrcholy hyperbola nemá, body C, D vnímejme jen jako pomocné body, pro které platí: SC = SD = b, CD = 2b, číslu b se říká délka vedlejší poloosy. Hyperbola má dvě asymptoty, které procházejí středem S a pro jejich odchylku od přímky rovnoběžné s osou x platí vztah tgα= b a. Rovnice hyperboly ve středovém tvaru závisí na ose paraboly:

8 ( x m ) 2 a 2 ( y n )2 b 2 =1 ( x m )2 + ( y n)2 =1 b 2 a 2 - hlavní osa je rovnoběžná s osou x - rovnice asymptot: a 1 : y= b a ( x m) +n a 2 : y= b a - hlavní osa je rovnoběžná s osou y - rovnice asymptot: a 1 : y= a b ( x m) +n a 2 : y= a b Úpravou rovnice hyperboly ve středovém tvaru dostaneme obecný tvar rovnice hyperboly Ax 2 +By 2 +Cx+Dy+E=0, ( x m) +n ( x m) +n kde A, B, C, D, E jsou reálné koeficienty s podmínkou A.B < 0.

9 Příklady na určování typu kuželoseček Rozhodněte, zda se jedná o kuželosečku. Pokud ano, určete o jakou kuželosečku se jedná a převeďte na středový nebo vrcholový tvar. a) x 2 +y 2 +6x 4y+5=0 b) x 2 +y 2 4x+7=0 c) 7x 2 +25y 2 24x+100y+139=0 d) 4x 2 +9y 2 8x 32=0 e) x 2 +4y 6x+3=0 f) x 2 3y 2 6x+6y+9=0 ŘEŠENÍ: 1. Pokud je v druhé mocnině jen jedna neznámá může se jednat o parabolu. Příklad e) x 2 +4y 6x+3=0 Upravujeme na vrcholový tvar: Závěr: Jedná se o parabolu, která je rovnoběžná s osou y, ohnisko leží pod vrcholem paraboly. 2. Pokud u druhých mocnin neznámých jsou rozdílná znaménka může se jedna o hyperbolu. Příklad f) x 2 3y 2 6x+6y+9=0 Upravujeme na středový tvar: Závěr: Jedná se o hyperbolu, kde hlavní osa je rovnoběžná s osou y. 3. Pokud u druhých mocnin neznámých jsou stejné koeficienty může se jednat o kružnici. Příklad a) 2x 2 +2y 2 +12x 8y+10=0 b) x 2 +y 2 4x+7=0 Upravujeme na středový tvar: (x+3) 2 9+( y 2) 2 4= 5 ( x+3) 2 +( y 2) 2 =8 (x 2) 2 4+y 2 = 7 (x 2) 2 +y 2 = 3 Závěr: V případě příkladu a) se jedná o kružnici, v případě b) se o kružnici nejedná. 4. Pokud u druhých mocnin neznámých jsou různé koeficienty se stejnými znaménky může se jednat o elipsu. Příklad c) 7x 2 +5y 2 28x+38=0 Upravujeme na středový tvar: 7( x 2 4x) 2 +5y 2 = 38 7( x 2) y 2 = 38 ( x 2) y2 2 =1 7 x 6x= 4y 3 ( x 3) 2 9= 4y 3 (x 3) 2 = 4( y 3 2 ) d) 9x 2 +25y 2 54x 100y 44=0 9(x 2 6x)+25( y 2 4y)=44 9( x 3) ( y 2) 2 100=44 (x 3) 2 + ( y 1)2 = Závěr: V případě příkladu c) se o elipsu nejedná, v případě d) se o kružnici jedná. x 2 6x 3( y 2 2y)= 9 (x 3) 2 9 3( y 1) 2 +3= 9 (x 3) 2 3( y 1) 2 = 3 (x 3)2 +( y 1) 2 =1 3

10 Zdroje [1] RNDr. Milan KOČANDRLE, CSc., Doc. RNDR. Leo BOČEK,CSc. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, ISBN [2] PhDr. Ivan Bušek Sbírka úloh z matematiky pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, ISBN [3] Grafy sestrojila Petra Šperková v programu GeoGebra verze 4.2.