Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Transkript

1 Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/ Zlepšení podmínek pro výuku na gymnáziu III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

2 Anotace Název tematické oblasti: Název učebního materiálu: Číslo učebního materiálu: Vyučovací předmět: Ročník: Autor: Integrální počet Objem rotačního tělesa VY_32_INOVACE_M0314 Matematika 4. ročník vyššího gymnázia Jaroslav Hajtmar Datum vytvoření: Datum ověření ve výuce: Druh učebního materiálu: Očekávaný výstup: Metodické poznámky: prezentace Student si dělá poznámky k probíranému tématu a průběžně řeší předkládané úlohy Materiál prezentace je určen jako osnova výkladu nového učiva resp. pro účely opakování

3 Objem rotačního tělesa Jaroslav Hajtmar

4 Princip: Objem rotačního tělesa Rozřežeme těleso na plátky a ty pak nahradíme vepsanými nebo opsanými válečky. Aproximace objemu tělesa závisí na charakteru funkce a na počtu vepsaných či opsaných válečků. Postupně zjemňujeme dělení intervalu aproximace vepsanými válečky se zvětšuje, opsanými válečky se zmenšuje. Objem každého objemového elementu je kladné reálné číslo. Objemové elementy (kladná čísla jako v případě aproximace obsahů ploch) sečteme pomocí určitého integrálu.

5 Rozřežeme rotační těleso na plátky y y = f (x) O a P b x z

6 Objemový element

7 Objemový element: Váleček o poloměru podstavy f (ξ i ) a výšce Δx i Objem elementu je: ΔV i = π f 2 (ξ i ) Δx i Objem celého tělesa Přibližně roven součtu objemů jednotlivých plátků (válečků) tj: V n ΔV i = i=1 n π f 2 (ξ i ) Δx i i=1 Zjemňujme dělení Čím bude dělení intervalu jemnější, tím méně se bude součet objemů plátků lišit od objemu daného tělesa. Objem definujeme jako limitu tohoto součtu pro n, když zároveň všechny délky Δx i 0

8 Rotace křivočarého lichoběžníka kolem 𝒐𝒙 přímkami x = a, x = b a osou x. Rotací tohoto křivočarého otační těleso. Naším cílem bude vypočítat objem tohoto těl Obr Rotace křivočarého lichoběžníka

9 Objem rotačního tělesa Nechť je funkce f (x) spojitá a nezáporná na intervalu a, b. Pak rotační těleso, které vznikne rotací křivočarého lichoběžníka ohraničeného shora grafem funkce f (x), zleva přímkou x = a, zprava přímkou x = b a zdola osou o x, kolem osy o x, má objem: V = π b a f 2 (x) dx y y = f (x) O a P b x z

10 Odvození základních vzorců Úloha: Ověřte základní vzorec pro objem kužele s podstavou o poloměru r a výškou v. Návod: Umístěte do souřadné soustavy vhodně přímku, jejíž rotací kolem osy o x na jistém intervalu vznikne požadovaný kužel.

11 Úloha: Ověřte základní vzorec pro objem koule o poloměru r. Návod: Umístěte do souřadné soustavy vhodně kružnici, jejíž rotací kolem osy o x na jistém intervalu vznikne požadovaná koule.

12 Úloha: Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené křivkami y = x 2 a y = 2 x 2 kolem osy o x.

13 Odečtením objemů získáme požadované těleso V = π ( 2 x ) dx - π ( x ) dx

14 Výpočet objemu b b V= π f ( xdx ) π g ( xdx ) = π (2 x ) dx π ( x ) dx= π (2 x ) ( x ) dx = a a = π (4 4 x + x ) x dx = π (4 4 x ) dx = 4 π (1 x ) dx = 8 π (1 x ) dx = x 1 16 = 8π x = 8π 1 = π

15 Použité materiály a zdroje Petáková, RNDr. Jindra. Matematika: Příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Dotisk 1.vydání. Praha: Prometheus, s. ISBN Hošková Š., Kuben J., Račková P., Integrální počet funkcí jedné proměnné [online] [cit ]. File: ip.pdf. Dostupný z WWW: < /pdf/print/ip.pdf>. Tomica, R. Cvičení z matematiky I. Brno: VAAZ, Kreml P., Vlček J., Volný P., Krček J., Poláček J., Matematika II [online] [cit ]. Dostupné z WWW: < Archiv autora