Modely pro stanovení IBNR rezerv

Masarykova univerzita Ekonomicko-správní fakulta Diplomová práce Modely pro stanovení IBNR rezerv v neživotním pojištění Petr Škarka Vedoucí práce: Mgr. Silvie Kafková 2014

Masarykova univerzita Ekonomicko-správní fakulta Katedra financí Akademický rok 2013/2014 ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE Pro: Obor: Název tématu: ŠKARKA Petr Finance MODELY PRO STANOVENÍ IBNR REZERV V NEŽIVOTNÍM POJIŠTĚNÍ Models of the IBNR reserves in non-life insurance Z á s a d y p r o v y p r a c o v á n í : Cíl práce: Srovnání několika metod pro výpočet IBNR rezerv v neživotním pojištění. Postup práce a použité metody: Vymezení a stručná charakteristika technických rezerv v neživotním pojištění. Popis několika metod pro výpočet IBNR rezerv. Pojistně-matematické výpočty IBNR rezerv. Analýza rozdílů u jednotlivých metod. Shrnutí výsledků, výhody a nevýhody, závěr. Použité metody: deskripce, komparace, analýza, matematicko-statistické metody.

Rozsah grafických prací: dle pokynů vedoucího práce Rozsah práce bez příloh: 60 80 stran Seznam odborné literatury: PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. 3., preprac. a dopl. vyd. Bratislava: Elita, 2004. 248 s. ISBN 80-8078-004-8. CIPRA, Tomáš. Finanční a pojistné vzorce. 1. vyd. Praha: Grada, 2006. 374 s. ISBN 80-247- 1633-X. MANDL, Petr a Lucie MAZUROVÁ. Matematické základy neživotního pojištění. Vyd. 1. Praha: Matfyzpress, 1999. 113 s. ;. ISBN 80-85863-42-1. KAAS, R. Modern actuarial risk theory :using R. 2nd ed. Berlin: Springer, 2009. xviii, 381. ISBN 9783642034077. CIPRA, Tomáš. Pojistná matematika :teorie a praxe. Vyd. 1. Praha: Ekopress, 1999. 398 s. ISBN 80-86119-17-3. Vedoucí diplomové práce: Mgr. Silvie Kafková Datum zadání diplomové práce: 5. 3. 2013 Termín odevzdání diplomové práce a vložení do IS je uveden v platném harmonogramu akademického roku. vedoucí katedry děkan V Brně dne 5. 3. 2013

Autor: Petr Škarka Název práce: Modely pro stanovení IBNR rezerv v neživotním pojištění Katedra: financí Vedoucí diplomové práce: Mgr. Silvie Kafková Rok obhajoby: 2014 Anotace: Předložená práce se zabývá rolí IBNR závazku v odvětví neživotního pojištění. Po vymezení problematiky technických rezerv zohledňující praxi neživotních pojišt oven je důraz kladen na význam a vlastnosti rezervy na pojistná plnění. V práci je představena metodologie analýzy její výše včetně známých metod odhadu budoucího vývoje. Závěrem je každá z těchto metod aplikována na datech pojištění odpovědnosti poskytovatelů zdravotní péče, během čehož jsou blíže demonstrovány přednosti a specifika jednotlivých přístupů. Klíčová slova: neživotní pojištění, technické rezervy, rezerva na pojistná plnění, IBNR, vývojový trojúhelník, faktor chvostu Author: Petr Škarka Thesis title: Models of the IBNR Reserves in Non-Life Insurance Department: of Finance Thesis supervisor: Mgr. Silvie Kafková To be defended in: 2014 Annotation: This thesis focuses on the importance of IBNR liability within general insurance. After defining technical reserves from practical point of view, an emphasis is put on the outstanding claims reserve. The concept of loss reserve analysis and the well-known methods of claims estimation are explained afterwards. Finally, each of methods is tested using medical malpractice insurance data, while the key features and differences are pointed out. Keywords: general insurance, technical reserves, outstanding claims reserve, IBNR, run-off triangle, tail factor iv

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci Modely pro stanovení IBNR rezerv v neživotním pojištění vypracoval samostatně pod vedením Mgr. Silvie Kafkové a uvedl v ní všechny použité literární a jiné odborné zdroje v souladu s právními předpisy, vnitřními předpisy Masarykovy univerzity a vnitřními akty řízení Masarykovy univerzity a Ekonomicko-správní fakulty MU. V Brně dne v Petr Škarka

Rád bych poděkoval Silvii Kafkové za vstřícný přístup a cennou zpětnou vazbu. Mé poděkování také patří studnici aktuárské moudrosti v podobě diskuzního fóra Actuarial Outpost. V neposlední řadě děkuji svým blízkým, za více než mnoho. vi

Obsah Úvod 1 1 Význam IBNR rezervy v neživotním pojištění 2 1.1 Technické rezervy v neživotním pojištění............ 4 1.2 Rezerva na pojistná plnění.................... 7 2 Modely pro stanovení IBNR rezervy 9 2.1 Chain Ladder........................... 14 2.2 Munich Chain Ladder...................... 22 2.3 Bornhuetter-Ferguson....................... 32 2.4 Cape Cod............................. 34 2.5 Separační metody......................... 36 2.6 Faktory kvality odhadu a jejich zohlednění........... 40 3 Aplikace na datech z praxe 44 3.1 Standardní Chain Ladder.................... 46 3.2 Munich Chain Ladder...................... 48 3.3 Bornhuetter-Ferguson....................... 50 3.4 Cape Cod............................. 52 3.5 Separační metody......................... 53 3.6 Stanovení IBNR závazku a souhrnné srovnání......... 55 Závěr 59 Seznam literatury 61 Seznam obrázků 64 Seznam tabulek 65 A Normované reziduum 66 B Úprava regresních přímek 67 C Příkazy v R 69 vii

Úvod Rizika neživotního pojištění jsou příznačná svojí výlučností. V důsledku se projevují obtížnou homogenizací pojistného kmene, zdlouhavým procesem likvidace pojistné události nebo i nezjevnou realizací. Rezerva na pojistná plnění, která je tvořena za účelem krytí opožděných závazků typu IBNR a RBNS, zaujímá klíčové místo v pasivech neživotních pojišt oven. Proto představuje její stanovení jeden z nejdůležitějších a také nejtěžších úkolů pojistného matematika. Cílem práce je popis vlastností a srovnání technik ocenění IBNR závazku v neživotním pojištění. K naplnění cíle je nutné uvést systémový pohled na problematiku IBNR, resp. rezervy na pojistná plnění. Těchto cílů je dosaženo studiem odborné literatury, zejména zahraničních aktuárských pramenů, právních předpisů a prací s daty. První kapitola vymezuje oblast tvorby rezerv s důrazem na rezervu na pojistná plnění. Při tom je brána v potaz platná legislativa, praxe neživotních pojišt oven i vývojová tendence. V práci je poté popsán a rozvinut analytický model záznamu IBNR závazku plynoucí z trojúhelníkového schématu. Následuje představení výběru metod odhadu, jež jsou v aktuárských kruzích hojně skloňovány a formují tak vstup hlubšímu pochopení. Mezi ně patří Mackova i mnichovská varianta metody Chain Ladder, Bornhuetter-Fergusonova metoda, Cape Cod a separační postupy. Součástí je uvedení předpokladů jednotlivých přístupů při zohlednění jejich naplnitelnosti v pojistné praxi a dalších faktorů, které významně ovlivňují kvalitu odhadu. Poslední kapitola obsahuje aplikaci popsaných přístupů na datech z praxe. Pozorování pochází od neživotní pojišt ovny amerického pojistného trhu a týkají se pojištění profesní odpovědnosti poskytovatelů zdravotní péče. Důvodem volby tématu je nedostatek, neúplnost a nepřesnost české literatury na dané téma. Z hlediska praktické části pak i aktuálnost v podobě analýzy technických vlastností typu pojištění, jež své uplatnění v českém pojistném sektoru teprve nalézá a lze se domnívat, že ve větším měřítku nalézat bude. 1

Kapitola 1 Význam IBNR rezervy v neživotním pojištění IBNR is like having a child that you did not know about. Sooner or later he/she is going to turn up on your doorstep. Ronald Poon Affat Tuzemská pojišt ovna má podle zákona č. 277/2009 Sb., o pojišt ovnictví dále jen ZOP povinnost vytvářet technické rezervy, které slouží ke krytí závazků z jí provozované činnosti. Vznik takového závazku je pravděpodobný nebo jistý, nejistá je však výše či okamžik jeho vzniku. [28] Technické rezervy obecně zaujímají významnou část pasiv v účetnictví komerčních pojišt oven, o čemž se můžeme přesvědčit pohledem do zprávy ČNB o stavu sektoru pojišt ovnictví [4]. Podíl technických rezerv k pasivům představuje 80 až 90 % u životních pojišt oven a okolo 60 % u pojišt oven působících v oblasti neživotního pojištění. [10] Tato disproporce je dána zejména charakterem produktů napříč oběma odvětvími, kdy u produktů životního pojištění je nastání pojistné události více pravděpodobné zpravidla 1 se jedná o pokrytí nevyhnutelných rizik smrti, dožití či jejich vzájemné kombinace. Roli zde hrají i větší pojistné kmeny, díky nimž je snadnější dosáhnout homogenních portfolií smluv a tedy i přesnějších odhadů s ohledem na zákon velkých čísel. Produkty neživotního pojištění naopak pracují s více druhy rizik a pojistné kmeny jsou často menší, což vede k obtížnější homogenizaci smluv. 2 1 ZOP, občanský zákoník ani pojistná teorie nevylučují zařazení např. úrazového pojištění do odvětví životního pojištění. 2 Právě proto je význam zajištění větší v odvětví neživotního pojištění. 2

Pravděpodobnost nastání pojistné události je i proto v tomto odvětví z hlediska dlouhodobého trendu více volatilní. To stejné jde říci o souhrnu všech plnění, který bývá hojně ovlivněn externími okolnostmi, jež nelze vždy vyloučit z podmínek plnění prostřednictvím pojistných výluk. Lakonicky lze konstatovat, že v neživotním pojištění jde o více než o pouhý život. Jiný pohled nabízí Ducháčková [9], která uvádí, že se technické rezervy tvoří na úhradu budoucích závazků, jež pojišt ovna nedokáže pokrýt svými příjmy běžného období, přičemž jejich smysl je rozdílný u obou z pojistných odvětví. U životního pojištění mají zpravidla dlouhodobý charakter a jsou tvořeny z celého přijatého pojistného očištěného od správních nákladů. Během pojistné doby dochází ke kumulaci těchto částek, které jsou následně použity na výplatu pojistného plnění. Proto se životnímu pojištění též přezdívá rezervotvorné. U neživotních pojištění se naopak část přijatého pojistného spotřebovává během roku, v němž dochází k inkasu a další upravená část postupuje do technických rezerv. Rezervy zde slouží především k vyrovnání časových, místních a věcných výkyvů ve výplatách pojistného plnění událostí nahodilého charakteru hovoří se o pojištění rizikovém. Správnou tvorbu a správu technických rezerv lze v jakémkoliv případě označit za jednu z nejvýznamnějších činností v rámci hospodaření komerční pojišt ovny. Tím je myšlena především metodika odhadu výše rezervy, vhodná skladba finančního umístění, tj. investice v souladu s požadavky bezpečnosti, likvidity, výnosnosti, diverzifikace apod. nebo také rozhodnutí, jaké dobrovolné rezervy jsou zapotřebí. Náležitostmi rezerv se blíže zaobírá hlava IV ZOP. Podívejme se ještě na účetní pohled technické rezervy se vytváří na vrub nákladů, přičemž daňová legislativa [27] umožňuje odpočet nákladů spojených s tvorbou technických rezerv z daňového základu u konkrétních rezerv do specifikované výše. 3 Zákonodárce tím bere na vědomí rizikovost podnikání pojišt oven, dalším důvodem také mohou být investičně omezující podmínky finančního umístění technických rezerv dané ZOP a souvisejícími předpisy. Není sporu, že pojišt ovny potřebují pro svůj bezproblémový chod technické rezervy vytvářet, zejména z důvodu krytí nastalých pojistných událostí. Problematickou částí vzhledem k motivům podnikatelského subjektu je však určení výše rezerv z účetního hlediska se totiž jedná o náklad pojišt ovny, který snižuje hodnotu výsledku hospodaření. Jde tedy o jevy protichůdné, kdy na jedné straně působí tlak na bezproblémový chod pojišt ovny meřený například kritériem solventnosti a v důsledku provozem pojistných produktů, na straně druhé maximalizace hospodářského výsledku. Metoda určení výše rezervy by proto neměla danou rezervu nadhodnocovat ani podhodnocovat. 3 Tvorba technické rezervy je ve zmíněné normě podmíněna tím, že jde o výdaj náklad na dosažení, zajištění a udržení příjmů. 3

1.1 Technické rezervy v neživotním pojištění ZOP dále vymezuje, jaké technické rezervy je komerční pojišt ovna povinna vytvářet dle odvětví, v němž působí. Je-li činnost pojišt ovny součástí jedné či více skupin neživotního pojištění, je povinna vytvářet následující technické rezervy: [28] Rezerva na nezasloužené pojistné vytváří se ve výši předepsaného pojistného odpovídající následujícím účetním obdobím. Tvorba rezervy je projevem dodržení účetní zásady akruálního principu, kdy dochází k uznání důsledků účetních operací v době, k níž se vztahují, a tedy bez ohledu na tok peněz. Mění-li se pojistné riziko v průběhu období, lze tuto variabilitu zohlednit využitím matematicko-statistického aparátu. Totéž platí pro případ, kdy rezervu nelze standardně časově rozlišit z jakýchkoliv jiných důvodů. Rezerva na pojistná plnění je určena na krytí závazků z pojistných událostí vzniklých před rozvahovým dnem, které: byly hlášeny v běžném účetním období, ale nebyly v tomto období plně zlikvidovány 4 tzv. RBNS rezerva z angl. Reported But Not Settled, nebyly v běžném účetním období nahlášeny tzv. IBNR rezerva z angl. Incurred But Not Reported. Kromě odhadnuté výše pojistných plnění, k čemuž dochází prostřednictvím matematicko-statistických metod, příp. také kvalifikovaným odhadem, zahrnuje rezerva očekávané náklady na likvidaci pojistných událostí. V odvětví neživotního pojištění má tato rezerva nejdůležitější roli soudě dle podílu na technických rezervách, viz tabulka 1.1. Důvodem je časté časové zpoždění mezi vznikem pojistné události a splacením pojistného plnění. Podrobněji se této rezervě věnuji v následujících částech práce. Rezerva na prémie a slevy tvoří se za účelem krytí nákladů na prémie a slevy na pojistném, jež vyplývají z podmínek konkrétní pojistné smlouvy. Například u povinného ručení či havarijního pojištění jde o zdroje krytí bonusu v rámci bonus-malus systému. 4 Tj. události, u nichž celý proces likvidace zahrnující výplatu pojistného plnění doposud nezapočal nebo je v průběhu včetně probíhajícího vyplácení plnění, např. formou záloh. 4

Vyrovnávací rezerva slouží k vyrovnání technické ztráty nebo nadprůměrného škodního průběhu účetního období u zákonem vymezených odvětví. Rezerva tedy kryje výkyvy ve výplatách pojistného plnění způsobené nahodilými skutečnostmi. Dříve ZOP nevylučoval tvorbu pro jakoukoliv skupinu neživotního pojištění, právě z důvodu rizikového charakteru produktů. Současná podoba ZOP avšak umožňuje tvorbu pouze u pojištění úvěru a záruky rezerva ztratila na významu, což dokládá tabulka 1.1. Metodika určení výše rezervy podléhá prováděcímu předpisu k ZOP, vyhlášce č. 434/2009, Sb. Rezerva pojistného neživotního pojištění představuje hodnotu budoucích závazků pojišt ovny v pojistných odvětvích, u nichž se při výpočtu pojistného používá vstupní věk nebo zdravotní stav pojištěného např. úrazové pojištění. 5 Podíl této rezervy na celkových technických rezervách neživotních pojišt oven je zanedbatelný. 6 Rezerva na závazky Kanceláře rezerva na splnění závazků České kanceláře pojistitelů. Tvoří ji pojistitelé nabízející pojištění odpovědnosti z provozu vozidla bližší specifikace skupiny v příloze k ZOP a to s ohledem na podíl pojišt ovny na daném trhu co do velikosti sjednaných pojistných částek. Příkladem čerpání rezervy je plnění při škodě způsobené nezjištěným vozidlem, u čehož dochází k rozdělení plnění mezi příslušné pojišt ovny reflektující výše zmíněný podíl na trhu. Jiná rezerva slouží ke krytí závazků komerční pojišt ovny, které nelze zahrnout do žádné z předchozích rezerv. Pojistitel je povinen bez zbytečného odkladu písemně informovat Českou národní banku o důvodech tvorby, jakož i způsobu odhadu takové rezervy. Tabulka 1.1 zprostředkovává informaci o technických rezervách v čisté výši, tj. po úpravě o podíl zajistitele, v letech 2011 2013. Zobrazované hodnoty představují úhrn účetních položek rezerv všech neživotních pojišt oven, které v popsaném účetním období působily na území České republiky. Vedle těchto absolutních hodnot je vyjádřeno procentuální zastoupení konkrétní rezervy na hodnotě všech rezerv daného roku, tj. lze hovořit o relativním významu rezervy. Data pochází ze zprávy ČNB o ukazatelích pojistného trhu vydané 31. 12. 2013 [4]. 5 Od 21. 12. 2012 není nadále možné zohlednit pohlaví klienta při určení výše pojistného. Takové jednání by bylo v rozporu se zásadou rovného zacházení plynoucí ze směrnice Evropské unie a to navzdory samotné podstatě pojištění zohlednění příslušné míry rizika. 6 Pro úplnost dodejme, že u životního pojištění dochází při pojistném plnění zejména k čerpání technické rezervy pojistného životních pojištění. [4] Krytí rizik smrti či dožití nevede k významným časovým zpožděním mezi pojistnou událostí a dokončeným plněním. 5

Tabulka 1.1: Význam technických rezerv v odvětví neživotního pojištění v letech 2011 2013 2011 2012 2013 Typ rezervy mil. Kč % mil. Kč % mil. Kč % Nezasloužené pojistné 19 439 27.8 20 998 28.9 23 615 32.9 Pojistná plnění 43 158 61.7 45 050 62.0 44 722 60.5 Prémie a slevy 890 1.3 1 025 1.4 866 1.2 Vyrovnávací rezerva 981 1.4 692 1.0 661 0.9 Pojistné neživ. pojištění 272 0.4 291 0.4 308 0.4 Závazky Kanceláře 5 010 7.2 4 479 6.2 3 726 5.0 Jiné rezervy 134 0.2 119 0.2 35 0.1 Celkem 69 884 72 655 73 935 Z tabulky je patrná důležitost rezerv na nezasloužené pojistné a pojistná plnění. Dohromady představují okolo 90 % objemu technických rezerv. Jelikož je rezerva na nezasloužené pojistné v dalších obdobích rozpuštěna a slouží poté zejména jako zdroj rezervy na pojistná plnění, je klíčovost druhé zmíněné rezervy v neživotním pojištění nesporná. Zmiňme se v této části ještě krátce o evropské směrnici Solvency II, jež by měla vejít v účinnost k 1. 1. 2016. Obecným důsledkem implementace prvků směrnice je rostoucí význam role pojistného matematika, nebot si směrnice klade za cíl bezpečnější ohodnocení rizik, resp. větší stabilitu pojišt oven. Rizikový kapitál, který je prvkem solventnostního kapitálového požadavku, je kalkulován s ohledem na riziko vyjádřené technikou Value-at-Risk na ročním horizontu a hladině významnosti 0.995, VaR 99.5 1. Tento kapitál je tedy odhadnut takovým způsobem, že pravděpodobnost nedostatečné výše na pokrytí škod někdy se hovoří o zruinování je nejvíce 0.5 %, tedy s průměrnou realizací jedenkrát za 200 let. Ve skutečnosti je ale pravděpodobnost zruinování pojišt ovny mnohem menší, nebot po zřetelném porušení solventnostního požadavku intervenuje orgán dohledu. To však neznamená, že nemůže dojít ke krachu pojišt ovny za Solvency II regulátor volí kompromis mezi vhodnou výši kapitálu a v důsledku ekonomickou přístupností pojistného produktu. Z pohledu aktuárské vědy vede směrnice k vyšší pracnosti při analýze portfolií a posuzování dostatečnosti technické rezervy. England [11] zmiňuje vhodnost simulačních metod, díky nimž je možné zkonstruovat rozložení škod plynoucí z jednotlivých simulací vzorků oproti analytickým, nesimulačním přístupům. U obou metodik lze a je nutné tuto jednoroční nejistotu zohlednit. 6

1.2 Rezerva na pojistná plnění K časovému nesouladu mezi dobou nastání pojistné události a dokončeným plněním z pojistného může dojít z mnoha důvodů. Několik let může trvat soudní spor mezi pojistitelem a pojištěným. Pak by rezerva měla být schopna pokrýt kromě žalované částky i případné úroky z prodlení a náklady řízení. Dále při vyhotovení znaleckého posudku, u významných pojistných částek nebo u produktů s velkou četností pojistného podvodu je déletrvající samotný proces likvidace. Poškozený také může vznést nárok na pojistná plnění dodatečně. K tomu dochází zejména v případě, kdy nárok nebyl během doby trvání pojistné smlouvy znám, jako například pozdější projevy zrealizovaného rizika u úrazového pojištění. Jak bylo vymezeno dříve, rezerva na pojistná plnění za určité období lze rozdělit na část, z níž je kryt závazek pojistitele z nahlášené pojistné události, který nebyl v roce vzniku v celé výši proplacen RBNS; někdy též otevřené pojistné nároky a část kryjící závazek za škodu, jež nebyla v roce vzniku nahlášena IBNR. Zdůrazněme, že IBNR a RBNS tedy nejsou rezervy, alebrž specifické závazky pojistitele, k jejichž úhradě nedochází v roce vzniku. 7 Po nahlášení pojistné události a jejím plném neuhrazení je RBNS rezerva upravena o očekávaný odhad zbylé výše pojistného plnění. 8 Tyto odhady provádí likvidátor pojistných události na základě svých zkušeností s finálními výšemi škod v příslušné pojistné skupině a s ohledem na praxi v pojišt ovně, v níž působí. S průběhem procesu likvidace pojistné události dochází ke zpřesňování odhadu plnění, což je zohledňováno v záznamovém systému pojišt ovny, ve výši vrstvy, resp. rezervy. RBNS část tudíž představuje součet odhadů individuálních případů angl. case estimates. [5] Postup individuálního ocenění není aplikován u portfolií, v nichž dochází k velkému počtu škod malého rozsahu. Důvodem budiž časová náročnost kontroly průběhu likvidace u všech pojistných událostí, množství lidských kapacit nebo třeba relativní nevýznamnost škod malého rozsahu. V takovém případě lze užít zjednodušeného postupu, který zmiňují Mandl a Mazurová [20], kdy se celková výše RBNS rezervy navyšuje o pevně stanovenou částku při každém zaznamenání škody v účetním období neproplacené. Alternativou je kalkulace celkové rezervy na pojistná plnění. Při odhadu jsou použita historická data o veškerých vyplacených plněních, tedy dochází k predikci obou opožděných závazků zároveň součet RBNS a IBNR částí. [14] 7 Spojení IBNR rezerva či RBNS rezerva jsou proto významově vzato nevhodná; v odborné literatuře či mezi aktuáry jsou však ustálená. Díky stručnému vystižení skutečnosti jsou používána i v této práci. 8 Například škoda, o jejíž výši probíhá soudní řízení. Mezitím pojišt ovna poskytne poškozenému zálohu na pojistná plnění a zároveň odhaduje zbytek závazku. 7

Stanovení IBNR rezervy vychází nejčastěji ze známého vývoje pojistného plnění, přičemž výsledná predikce je upravena o RBNS vrstvu. Kalkulaci provádí pojistně matematické sekce komerčních pojišt oven prostřednictvím matematicko-statistických metod. Je vhodné, aby skupina, jejíž vývoj plnění sledujeme, byla velmi úzce vymezena, tedy aby představovala konkrétní pojistný kmen. Při tom je však nutné brát ohled na dostatečnou velikost a obecně kvalitu datového souboru. Neméně významné může být i zohlednění vnějších vlivů jako jsou legislativní změny, míra inflace, zajištění apod., o nichž pojednává podkapitola Faktory kvality odhadu a jejich zohlednění. Právě z těchto důvodů není aplikace metod odhadu IBNR v praxi mechanickou činností, nýbrž je nutné uvažovat o datech v širším kontextu. Jednotlivým přístupům určení výše IBNR rezervy věnuji následující kapitolu této práce. 8

Kapitola 2 Modely pro stanovení IBNR rezervy If you don t understand how the method works, it doesn t matter. You just have to be able to do it. Gordon Klein Při tvorbě technické rezervy na pojistná plnění je nezbytné odhadovat budoucí výplaty plnění a podle toho uzpůsobovat výši rezervy. V následujících částech práce budu proto nejčastěji hovořit o odhadech pojistného plnění. Často jsou však předmětem predikce i jiné veličiny než vyplacená plnění. Časové rozlišení okamžiků spjatých s vývojem pojistné události je proto klíčové z hlediska vlastní analýzy. Rezervování modelování rezerv lze postavit pouze na datech o vzniku pojistné události a finálním zlikvidování, avšak pokročilejší metody odhadu, které pracují s více informacemi, nezřídka dosahují přesnějších odhadů. Rozlišme tudíž tyto stavy pojistné události: vzniklá, ale nenahlášená, nahlášená, ale plně nezlikvidovaná, zlikvidovaná. Východiskem většiny matematicko-statistických metod při predikci IBNR rezervy, resp. rezervy na pojistná plnění je vývojový trojúhelník angl. run-off triangle. Ten obsahuje hodnoty již proplacených pojistných nároků angl. paid claims, zaevidovaných nároků angl. incurred claims, příp. jiné. Každá pojistná událost je zaznamenána náležitě dle doby vzniku a změny stavu, tudíž trojúhelník představuje uspořádání historických dat o vývoji. V tabulce 2.1 znázorňuje osa i rok vzniku pojistné události a osa j rok, v němž došlo k dokončení výplaty pojistného plnění nebo zaevidování škody 9

Tabulka 2.1: Vývojový trojúhelník Rok zpoždění j Rok vzniku i 1 2... j... n 1 n 1 Y 1,1 Y 1,2... Y 1,j... Y 1,n 1 Y 1,n 2 Y 2,1 Y 2,2... Y 2,j... Y 2,n 1.... i Y i,1 Y i,2... Y i,j... n 1 Y n 1,1 Y n 1,2 n Y n,1 od doby vzniku pojistné události. Pro j = 1 pak platí, že ke změně stavu vzniklé pojistné události došlo v témže roce, tzn. nejde o IBNR ani RBNS závazek. Proto jsou odhadovány hodnoty pro j > 1. Vhodnější by bylo využít obecných názvů os doba vzniku a doba zpoždění postupně i a j, nebot aktuáři pracují i s menšími časovými jednotkami než rok, jako např. pololetí či kvartál. V této práci však uvažuji roční období. O datech ve vývojovém trojúhelníku znázorněném tabulkou 2.1 hovoříme zaměnitelně jako o škodách či nárocích v inkrementální 1 podobě. Y i,j pak značí výši všech škod u dané, vymezené skupiny pojistého kmene, které nastaly v roce i a byly proplaceny zaevidovány v průběhu roku i + j 1. V celé práci je uvažováno, že i a j pochází z N + a n je jejich maximem. Dále předpokládáme, že hodnoty Y i,j jsou známé, je-li splněna podmínka i + j n + 1 a nepozorovatelné pro i + j > n + 1. Cílem metod pro stanovení IBNR rezervy je právě odhad těchto nepozorovatelných hodnot nebo hodnot v úhrnné podobě. Mnoho přístupů totiž vychází z vývojového trojúhelníku, v němž se jsou data o škodách zaznamenána kumulativně angl. cumulative losses. Příslušné částky pak značíme C i,j a platí C i,j = { Yi,j pro j = 1, Y i,j + C i,j 1 pro j > 1. 2.1 Odhady dosud nepozorovaných nároků zapisujeme Ŷi,j, příp. Ĉi,j. Je patrné, že se nachází pod hlavní diagonálou doplněného vývojového schématu, jež je dána podmínkou i + j = n + 1. Tato diagonála rovněž představuje poslední známý rok. 1 Přírůstkové, nekumulativní. 10

Pozici odhadů přibližuje tabulka 2.2, na níž lze spatřit, že dochází k doplnění trojúhelníku na čtverec či matici řádu n. Tabulka 2.2: Doplněný vývojový trojúhelník Rok zpoždění j Rok vzniku i 1 2 3... n 1 n 1 Y 1,1 Y 1,2 Y 1,3... Y 1,n 1 Y 1,n 2 Y 2,1 Y 2,2 Y 2,3... Y 2,n 1 Ŷ 2,n 3 Y 3,1 Y 3,2 Y 3,3... Ŷ 3,n 1 Ŷ 3,n... n 1 Y n 1,1 Y n 1,2 Ŷ n 1,3... Ŷ n 1,n 1 Ŷ n 1,n n Y n,1 Ŷ n,2 Ŷ n,3... Ŷ n,n 1 Ŷ n,n... Celková výše rezervy na pojistná plnění lze pro vzniklé pojistné události zapsat jako součet všech odhadů, tj. R = n n Ŷ i,j, 2.2 i=2 j=n i+2 případně v kumulativní podobě schématu jako R = n n 2 Ĉ i,n C n j,j+1. 2.3 i=2 j=0 Výše krytí v budoucích letech y je pak součtem diagonálních inkrementálních hodnot pod hlavní diagonálou schématu, R y = n Ŷ y i+1,i, y > n. 2.4 i=2 Předpokladem uvedených vztahů 2.2, 2.3 a 2.4 je skutečnost, že žádné zpoždění nároku nepřesáhne n let, jak bylo dříve uvedeno. V případě významu vývoje škod o zpoždění přesahujícím n je nutné rozšířit schéma o sloupec představující všechna tato zpoždění. Jde o faktor chvostu angl. tail factor, který lze označit jako j =. Nezahrnutím může dojít k negativnímu ovlivnění očekávání o vhodné výši technické rezervy. [7] Nabízí se otázka, kdy je faktor chvostu zanedbatelný. Za zanedbatelnost považujeme takový stav, kdy platí Y i,n = 0 neboli C i,n /C i,n 1 = 1. Není na škodu porovnat uvedené rovnice i pro menší j a v případě jejich platnosti 11

pracovat s kratším vývojem, aby se předešlo zkreslení odhadů. V následující podkapitole je zaveden ukazatel vývojového faktoru f j, jenž tuto vztahovost zaznamenává. Momentálně postačí toto intuitivní vysvětlení. V případě vlivu faktoru chvostu je pak vhodné proložit pozorované vývojové faktory křivkou a použít extrapolovaná f j v rámci úvah o závazku. 2 Lyons a kol. [16] uvádí tvary vhodných křivek k použití, exponenciální křivka Weibullova křivka mocninná křivka f j = 1 + e a+b j, f j = 1 1 e a jb, f j = a bj. Uvedené křivky lze logaritmizací zlinearizovat a následně použít lineární regresi k odhadu parametrů a a b. V praktické části nicméně pro jednoduchost použiji prostředí R a nelineární metodu nejmenších čtverců. 3 Ná závěr této části se zaměřme na obecné vlastnosti a vztahy mezi vývojovými schématy, resp. samotnou podstatu záznamu dat. Při stanovování IBNR rezervy či rezervy na pojistná plnění je fundamentální znalostí vývoj proplaceného plnění. Hodnoty v takovémto trojúhelníku lze rozložit na: nároky bez zpoždění, nároky se zpožděním v nahlášení, též IBNR, nároky se zpožděním v likvidaci, též RBNS, nároky se zpožděním v nahlášení i likvidaci, kombinace IBNR a RBNS. Je zřejmé, že nároky včas nahlášené i zlikvidované představují první sloupec uvedeného schématu, který nemá se zpožděnými závazky a tedy rezervou na pojistná plnění co do činění. Poměrně něšt astným se v této souvislosti jeví samotný název rezervy plynoucí ze ZOP. Vhodnější by bylo pojmenování typu rezerva na opožděné nároky, příp. v účetním období nevyřízené nároky, podobně jako v anglické terminologii outstanding claims reserve. 2 Faktor f získáme vzájemným vynásobením odhadů f j > 1 pro j n. Ve vyplněném trojúhelníku zohledníme vliv chvostu, i C i, : C i, = C i,n f. 3 Podstata techniky spočívá v proložení pozorování křivkou nelineární funkční podoby při zvolených hodnotách parametrů. Během následujících iterací dochází ke zpřesňování parametrů modelu součet čtverců reziduí je minimalizován do té doby, dokud není dosaženo nastavené hodnoty konvergenčního kritéria. 12

Inkrementální hodnoty ve schématu pojistného plnění jsou zpravidla kladné. K záporným přírůstkům může dojít z důvodu navrácení již vyplaceného plnění pojistiteli zejména po vynesení rozsudků v soudních sporech nebo například záznamovou chybou. Pozorovatelným trendem je pak větší počet negativních přírůstků ve schématu při rostoucím j, kdy klesá celková velikost vyplacených plnění a tedy jejich relativní význam, viz ukázky schémat [21]. Zajímavější je konstrukce ukazatele celkových závazků, který představuje v čase upravovaný odhad celkové sumy evidovaných nároků. Algebraicky celkové závazky = vyplacená plnění + RBNS, 2.5 přičemž při j = n uvažujeme rovnost mezi celkovými závazky a vyplaceným plněním. Všechny závazky jsou v této době splaceny a rezerva na pojistná plnění je rozpuštěna, tzn. IBNR = RBNS = 0. V praxi je poměrně častým jevem počáteční nadhodnocení a postupné snižování celkových závazků v průběhu let zpoždění. Záleží ovšem na charakteru produktu nebo i rezervní filozofii pojišt ovny. Dle databáze [21] můžeme soudit, že k výraznému snižování dochází u menších kmenů či obecně u kmenů s větší výsledkovou variabilitou. Ačkoliv by odhadované ocenění technických rezerv mělo být co nejbližší skutečnému stavu, podhodnocení rezervy je kvůli finančnímu umístění rezerv horším případem než nadhodnocení. Pojišt ovny proto u takovýchto kmenů zaujímají konzervativních strategií v podobě mírného navýšení a postupné úpravy odhadu rezervy snižováním zejména RBNS vrstvy. To dokládá i způsob tvorby RBNS, kdy je vrstva postupem likvidace upravována likvidátorem či aktuárem. Odhad zbývající výše IBNR vrstvy pro jednotlivé roky i získáme odečtením současné výše RBNS od predikce konečné hodnoty plnění v daném roce. Momentální výši RBNS rezervy pro každý rok vzniku vypočteme jako rozdíl mezi sledovanými hodnotami celkových závazků a celkových výplat, tzn. jde o rozdíl hodnot na nejdelší diagonále obou schémat. V případě, že je tento rozdíl pro libovolné i záporný, neuvažujeme žádný další závazek IBNR charakteru, tj. dosud nenahlášené škody. Je-li podobných roků vzniku u nějakého souboru vícero, znamená to, že u daného kmene nejsou škody hlášeny s velkým časovým zpožděním od doby vzniku, tj. IBNR závazek nabývá nízkých hodnot j. 4 Uvedené trojúhelníky bývají doplněny vektory zaslouženého pojistného pro jednotlivé roky i, vývoje cenové hladiny a jiných indikátorů. Jednotlivé postupy stanovení rezervy jsou předmětem následujících podkapitol. 4 Toto ovšem neplatí v častém případě úpravy celkových závazků směrem dolů. Je-li RBNS výrazně nadhodnocena, nelze rozlišit v odhadech plnění vrstvu IBNR od RBNS. To nicméně v praxi tolik nevadí zásadní je doplnění trojúhelníku výplat na čtverec. 13

2.1 Chain Ladder Chain Ladder 5 dále též CL je jedna z nejoblíbenějších metod odhadu IBNR. Její oblíbenost spočívá v jednoduchosti a v tom, že klade minimum předpokladů na datovou základnu, jak uvádí Mack [17]. Základním předpokladem CL je, že sloupce v kumulativním trojúhelníku jsou úměrné, [20] tzn. je uvažován přibližně stejný průběh výplat nároků či jejich evidence u sledovaného kmene od počátku pojistné doby. K vyjádření poměru mezi jednotlivými obdobími, roky, se zavádí vývojový faktor f j angl. development factor, který odhadujeme následujícím způsobem: f j = n j i=1 C i,j+1 n j i=1 C, 2.6 i,j přičemž 1 j n 1. Sloupec reprezentovaný jmenovatelem opomíjí hodnotu C i,j pro poslední známé i. Důvodem je neznalost hodnoty na stejném řádku následujícího sloupce, tedy trojúhelníkové uspořádání dat. Z logiky kumulace nároků, resp. uvažování nezáporných hodnot, je dále patrné, že f j 1. S ohledem na zmíněný předpoklad úměrnosti mezi sloupci lze zapsat C i,j+1 C i,j f j. 2.7 Dodejme, že vztah 2.7 platí pouze za podmínky i + j > n + 1, tj. pro hodnoty pod hlavní diagonálou. Pomineme-li neužitečnost odhadů pro i + j n + 1, které již známe, je evidentní, že by navíc byly odchýleny od skutečnosti. 6 Samotné faktory f j jsou aritmetickým průměrem individuálních vývojových faktorů F i,j, pro něž platí F i,j = C i,j+1 /C i,j. Odhad f j s využitím F i,j by poté vypadal jako f j = 1 n j F i,j, 2.8 n j 1 j n 1. Tento postup určení vývojových faktorů se však kvůli pracnějšímu vyjádření nepoužívá. Populárnější je využití vztahu 2.6. [14] Obecně je pak odhad na libovolné pozici pod hlavní diagonálou vývojového schématu kumulativních škod dán i=1 Ĉ i,j = C i,n i+1 j 1 k=n i+1 f k, 2.9 5 V češtině se někdy hovoří o stupňové nebo řetězově žebříkové metodě. 6 Nepravděpodobnou variantou jsou alespoň dva stejné sloupce stejné délky. Pak by vztah 2.7 platil i nad hlavní diagonálou schématu, pro přechody mezi těmito sloupci. 14

kde i + j > n + 1. Příslušnou celkovou výši rezervy určíme tak, jak je uvedeno ve vztahu 2.3. Zajímala-li by nás potřebná výše rezervy pro jednotlivé doby vzniku pojistné události, vypočetli bychom ji jako R i = Ĉi,n C i,n i+1, 2.10 přičemž 2 i n. Hodnoty plnění z pojistných událostí vzniklých v i = 1 nám slouží referenční a neuvažujeme výskyt žádných dalších významných plnění vyplývajících z pojistné události vzniklé v tomto roce. Výše uvedený přístup k CL lze označit za deterministický, nebot nespecifikuje náhodné vlivy mezi jednotlivými pojistnými nároky, tzn. jeho výstupem je pouze první obecný moment střední hodnota. Navzdory jednoduchosti dosahuje tento výpočetní algoritmus poměrně přesných odhadů. To je také důvod, proč je spousta stochastických přístupů uplatňovaných v praxi s touto metodou v souladu, tj. vychází ze stejných předpokladů. Na rozdíl od klasického CL ale umožňují kvantifikaci variability odhadů, příp. popis dalších momentů, což lze využít při konstrukci intervalů spolehlivosti. To vše tvoří nezbytnou součást řízení rizik v pojišt ovnictví. 7 Velkého ohlasu se v době představení dočkal Mackův model dále též MM, který však nepředpokládá nějaké konkrétní rozdělení dat o nárocích. V roce 1993 jej zveřejnil aktuár německé zajišt ovny Munich Re, Thomas Mack [17]. Model je založen na třech pravděpodobnostních předpokladech, které nejsou v rozporu s deterministickým přístupem k CL, tzn. odhady nároků jsou totožné. Tyto tři základní předpoklady Mackova modelu se týkají očekávání, meziřádkové nezávislosti a rozptylu. V souladu s článkem Macka zmiňme, že Y a C jsou náhodné veličiny. Dále uved me vztah pro výpočet konečných kumulativních odhadů nároků pro jednotlivé roky vzniku pojistné události i, Ĉ i,n = C i,n i+1 n 1 j=n i+1 s platností pro i > 1. Po přepsání vztahu 2.7 do podoby uvedené v Mackově článku získáme ˆf j E C i,j+1 C i,1,..., C i,j = C i,j f j, 2.11 kde 1 j n 1, a jelikož neodhadujeme již pozorované hodnoty, tak i + j > n + 1. Jde o pouhé vyjádření podmíněné střední hodnoty, kdy se 7 Doplňující informace jsou rovněž používany při simulacích založených často na třídě algoritmů Markov Chain Monte Carlo, které také nalézejí své uplatnění v pojišt ovnictví. To se týká i rezervování, kde slouží k odhadu rozdělení pravděpodobnosti nároků. 15

hodnota očekávané škody odráží od škod se stejným rokem vzniku, ale menším zpožděním. Podmínkou je tedy škoda pro předchozí čas zpoždění. S tím souvisí druhý předpoklad MM nezávislost mezi vývoji nároků dle roku vzniku pojistné události. Výpočetní metodika neuvažuje vztahy mezi řádky schématu, {C i,1,..., C i,n } {C j,1,..., C j,n }, i j. 2.12 Mack [17] dále uvádí důkazy pro to, že vztahy 2.11 a 2.12 jsou implicitní součástí výpočtu klasickým CL přístupem. Zaved me množinu všech pozorovaných dat, D = {C i,n i + j n + 1}. Chceme dokázat, že E C i,n D = C i,n i+1 f n i+1... f n 1, tj. nejlepší predikce konečných hodnot škod, je ekvivalentní s neboli Ĉ i,n = C i,n i+1 f n i+1... f n 1 Ĉ i,n = E C i,n D. Pro jednodušší vyjádření důkazu uved me zkrácený tvar očekáváných kumulativních hodnot při j = n pro libovolné i > 1, E i C i,n = E C i,n C i,1,..., C i,n i+1. Důkaz je opakovanou aplikací předpokladu o očekávání 2.11 po zohlednění předpokladu o nezávislosti mezi řádky 2.12, tedy E C i,n D = E i C i,n = E i E C i,n C i,1,..., C i,n 1 = E i C i,n 1 f n 1 = E i C i,n 1 f n 1 =. = E i C i,n i+1 f n i+1... f n 1 = C i,n i+1 f n i+1... f n 1. Nezbytným doplňkem výše uvedeného důkazu je nestrannost vypočítaných vývojových faktorů f j a nekorelovanost mezi faktory. Necht B k = {C i,j j k, i + j n + 1}, 1 k n. Pro zvolené k představuje B k pozorované hodnoty C i,j v prvních k sloupcích. Ilustraci takovéto množiny nároků B k nabízí obrázek 2.1. 16

Obrázek 2.1: Znázornění množiny nároků B k k B k S využitím B k lze zapsat předpoklad o očekávání jako E C i,k+1 B k = E C i,k+1 C i,1,..., C i,k = C i,k f k. Pak Bk E fk = = = E = f k, n k C i,k+1 B k i=1 n k E n k C i,k i=1 E C i,k+1 B k i=1 n k n k C i,k i=1 C i,k f k i=1 n k C i,k i=1 díky čemuž lze vyjádřit nestrannost odhadů vývojových faktorů f k, tj. Bk E fk = E E fk = f k, 1 k n 1. 17

Nekorelovanost takovýchto odhadů plyne pro j < k na základě E fj f k = E E fj f Bk k Bk = E fj E fk = E fj f k = E fj E fk. Mack ve svém článku [17] konstatuje, že nekorelovanost mezi odhadnutými faktory je překvapující, nebot faktory f k a f k 1 vychází ze stejného sloupce {C 1,k,..., C 1 k,k }. Nekorelovanost ovšem neimplikuje obecnou nezávislost, ale pouze lineární. Nelze tudíž vyloučit nelineární závislost mezi faktory. Uvedený důkaz o nekorelovanosti lze rozšířit na součin libovolných faktorů, E fn i+1... f n 1 = f n i+1... f n 1. 2.13 Z toho plyne, že Ĉ i,n = C i,n i+1 f n i+1... f n 1 2.14 je nestranný odhad teoretického E C i,n D = C i,n i+1 f n i+1... f n 1. Totéž platí o odhadu vhodné rezervy pro události vzniklé v i, R i, nebot je rozdílem nestranného odhadu a posledního pozorování, viz 2.10. Hlavní přínos článku je představení jednoduchého výpočtu střední kvadratické chyby dále také MSE odhadu škody, resp. rezervy. Vypočtená hodnota MSE vyjadřuje variabilitu bodového odhadu. Využitím D = {C i,n i + j n + 1} lze vyjádřit MSE odhadu konečných škod Ĉi,n jako 2 MSE Ĉi,n = E Ĉi,n C i,n D. 2.15 Podmíněnost výrazu ke množině D je nutná, jelikož počítáme kvadratickou chybu jako měřítko náhodného vývoje rezervy v budoucnosti. Totéž platí pro odhad rezervy v každém roce i, nebot její výše by měla pokrýt kumulovanou výši škody s ohledem na předchozí vývoj. Neboli 2 MSE Ri = E Ri R i D 2 = E Ĉi,n C i,n D = MSE Ĉi,n. 18

Díky vlastnosti E X a 2 = Var X + E X a 2, která je kombinací základních vlastností střední hodnoty a rozptylu, 8 lze upravit vztah 2.15 na MSE Ĉi,n Ĉi,n 2 = Var C i,n D + E C i,n D. Tedy MSE odhadu konečné škody je součtem stochastické chyby rozptyl náhodného procesu vývoje škod a chyby v odhadu konečné škody. Dále je zapotřebí vyjádřit podmíněný rozptyl procesu škod, třetí předpoklad Mackova modelu. Víme, že f j je aritmetický průměr individuálních faktorů F i,j = C i,j+1 /C i,j při 1 i n j. Pak platí, že Var F i,j C i,1,..., C i,j je nepřímo úměrný C i,j neboli Var F i,j C i,1,..., C i,j = σ 2 j /C i,j. [18] Ekvivalentní zápis, který představuje předpoklad o rozptylu, má podobu Var C i,j+1 C i,1,..., C i,j = C i,j σ 2 j, 1 i n, 1 j n 1, 2.16 kde σ 2 j je neznámým parametrem. Parametr σ 2 j značí rozptyl vývojových faktorů. Pro 1 j n 2 jej lze odhadnout prostřednictvím σ 2 j = n j 1 Ci,j+1 C i,j n j 1 C i,j i=1 f j 2. 2.17 Není-li přítomen významný chvost, tzn. f n 1 = C i,j+1 /C i,j = 1, pokládáme σ n 1 = 0. Tím by však byl omezen výpočet variability odhadů pro poslední zpoždění. Mack [17] proto navrhuje extrapolaci obvykle exponenciálně klesající posloupnosti σ 1,..., σ n 2 o jeden člen loglineární regresí. Nebo využít zjednodušující formuli σ 2 n 1 = min σ 4 n 2, min σ σ n 3, 2 σ n 2 2. 2.18 n 3 2 Podobně jako u f j lze dokázat nestrannost σ 2 j. Za platnosti tří výše odvozených předpokladů MM odhadujeme střední kvadratickou chybu R i = Ĉi,n C i,n i+1 jako MSE Ri n 1 = Ĉ2 i,n j=n i+1 Důkaz lze nalézt v původním Mackově článku [17]. σ 2 j f 2 j 1 1 + n j Ĉ i,j k=1 C. 2.19 k,j 8 Var X = E X 2 E X 2 ; E X ± a = E X ± a; VarX ± a = VarX. 19

V článku z roku 1999 [18] Mack nabízí výrazné urychlení výpočtu 2.19. Podstatou je rekurzivní formule odhadu variability jednotlivých odhadů plnění, MSE Ĉi,j+1 = Ĉ2 i,j MSE F i,j + MSE f j + MSE Ĉi,j f j 2, 2.20 se zřejmou počáteční podmínkou MSEC i,n i+1 = 0, nebot nás zajímá variabilita odhadu. 9 Dále platí MSEf j = σj 2 n j i=1 C, 2.21 i,j MSEF i,j = σ2 j C i,j. 2.22 Dekompozici MSE na riziko spojené s náhodným procesem a volbou hodnot parametrů blíže popisuje Murphy [22]. Výhodou formule 2.20 je také fakt, že umožňuje zahrnutí faktoru chvostu, MSE Ĉi, MSE F i, + MSE f + MSE Ĉi,n f. 2 2.23 = Ĉ2 i,n Pak ovšem musí pojistný matematik určit mimo f arbitrární MSE f a samozřejmé σ 2. Hodnotu kvadratické chyby můžeme určit extrapolací nebo kvalifikovaným odhadem vzhledem k příslušnému vývojovému faktoru. Jelikož není v datech s dlouhými chvosty neobvyklá nerovnost f n < f, je nárůst chyby ve chvostu často větší než při předchozím zpoždění. Získaný odhad variability vyjadřuje nejistotu, jež se váže k odhadu výše rezervy v roce i. Mohla by nás také zajímat variabilita celkové rezervy. Sečtení rozptylů odhadů rezerv pro všechny roky vzniku není správným krokem, nebot nepředpokládáme nezávislost odhadů rezerv pro jednotlivé roky vzniku, alebrž pouhou nezávislost vývojových roků. Jelikož odhady plynou ze společných vývojových faktorů, je nutné rozložit variabilitu na rizika spjatá s procesem škod a volbou parametrů, viz výpočetní dokument k Mackově modelu [6]. Některé zdroje přesto pouze sčítají individuální směrodatné odchylky např. R balíček ChainLadder spravovaný aktuáry. Možným důvodem je matematické nadhodnocení výše směrodatné odchylky, které je v souladu s konzervativním oceněním technických rezerv. V praxi lze využít odhad variability ke tvorbě výkyvové přirážky. Jelikož je rezerva součtem velkého množství náhodných individuálních závazků, lze podle Jedličky [14] předpokládat asymptoticky normální rozložení celkového závazku díky centrální limitní větě. Pak lze snadno zkonstruovat interval spolehlivosti. 9 Mack [18] navíc operuje s parametry α a w, jejichž změnami hodnot lze ovlivňovat vztahy mezi vývojovými faktory. 20

Výše přirážky k celkové rezervě na pojistná plnění je na hladině významnosti α rovna součinu náležitého kvantilu normálního rozdělení a odmocniny střední kvadratické chyby odhadu součtu odhadů chyb pro všechna i, tj. včetně i = 1, [13] přirážka = u 1 α MSE R. 2.24 Při odchýlení zvolené velikosti technické rezervy od skutečné je větším problémem podhodnocená rezerva než nadhodnocená. Důvodem je, že aktiva, jejichž zdrojem jsou technické rezervy, jsou umístěna na finančních trzích. Proto konstruujeme pravostranný interval spolehlivosti, jehož horní mez je součtem bodového odhadu rezervy a přirážky. Předpoklady Mackova modelu lze shrnout následujícím způsobem: 1. E C i,j+1 C i,1,..., C i,j = C i,j 1 f j 1, 1 i n, 1 j n 1. 2. {C i,1,..., C i,n } {C j,1,..., C j,n }, i j. 3. Var C i,j+1 C i,1,..., C i,j = C i,j σ 2 j, 1 i n, 1 j n 1. Navzdory oblíbenosti metody zapříčeněné její jednoduchostí a vysoké kvalitě odhadů má Mackův model několik nedostatků. Sám Mack [17] zmiňuje, že vypočtené směrodatné odchylky vývojových faktorů nereflektují správnost specifikace modelu nebo to, že budoucí vývoj nemusí být v souladu s minulostí, tzn. pochybnost předpokladu konstantních sloupců. Druhý předpoklad o nezávislosti vývoje dle roku vzniku pojistné události také není moc reálný. Některá pojistná odvětví vykazují vývojový trend ve směru roku vzniku. Jedlička a kol. [15] uvádí objem škod placených z Garančního fondu České kanceláře pojistitelů, který má rostoucí tendenci. Nebo poměrně krajní, ale rovněž možná situace je změna metodiky hodnocení škodních událostí, kdy lze očekávat vliv roku na výši závazku. Model také neumožňuje kvantifikaci proběhnuvší ani zohlednění očekávané míry inflace v nárocích. Zdůrazněme však, že zohlednění míry inflace není nevyhnutelně nutné. Podstata modifikace, jakož i důvod jsou vysvětleny v podkapitole Faktory kvality odhadu a jejich zohlednění. Dále Mackův model nebere zřetel na vztah mezi vyplacenými plněními a celkovými závazky. Nepochybně se však výše plnění odvíjí i od evidovaných závazků a zohlednění této informace by mohlo vést k přesnějším odhadům. Tento vzájemný vztah zohledňuje mnichovská varianta CL, která je předmětem následující podkapitoly. 21

2.2 Munich Chain Ladder Projekce IBNR závazku nejčastěji vychází z trojúhelníku zaznamenávajícího zaplacená pojistná plnění. Při predikování vývoje však pojistný matematik aplikuje stejné analytické přístupy i na trojúhelník s pojišt ovnou evidovanými celkovými závazky, tzn. se součty vyplaceného plnění a RBNS rezervy. Ačkoliv by odhady vyplývající z analýzy obou trojúhelníků v kumulativní podobě měly být stejné, 10 není tomu tak vždy a to bez ohledu na existenci chvostu. Tímto problémem se zaobírali aktuáři zajišt ovny Munich Re, T. Mack a G. Quarg, kteří vymysleli a v roce 2004 zveřejnili přístup odhadu IBNR, jehož součástí je společná práce s oběma trojúhelníky. Metoda pojmenovaná podle zajišt ovny, Munich Chain Ladder dále též MCL, vychází z úvahy, že mezi hodnotami zmíněných trojúhelníků se nachází významné vztahovosti, jejichž zohlednění vede k přesnějšímu odhadu rezervy. Východiskem MCL jsou tedy oba výše zmíněné vývojové trojúhelníky, v kumulativní podobě. S ohledem na článek Macka a Quarga [19] dále zaved me představující hodnotu vyplaceného pojistného plnění za pojistnou událost vzniklou v roce i se zpožděním výplaty j, I i,j reprezentující výši evidovaných závazků nastalých v roce i a se zpožděním j, Další proměnné, které byly vypočítány standardním CL 11 dále též SCL, jsou v této podkapitole odlišeny pravým horním indexem P nebo I. Takovýto index značí, že hodnota proměnné vychází pouze z trojúhelníku výplat P nebo celkových evidovaných škod I, např. vývojové faktory fj P, fj I apod. Ústředním nástrojem MCL je poté podíl proplacených škod na výši celkového závazku, tj. P/I podíl pro j-té zpoždění je pak P/I i,j = I i,j. 2.25 P/I j = n i=1 n i=1 I. 2.26 i,j Pro projekce získané CL přístupem dále platí rekurentní vztahy +1 = f P j a I i,j+1 = I i,j f I j. 2.27 10 Vzájemný poměr mezi hodnotami by měl s vývojem konvergovat ke 100 %, nebot veškeré závazky jsou do doby j = n proplaceny a RBNS rezerva je vyčerpána. 11 Tím chápejme klasický CL přístup i Mackův model jako jeho nadstavbu zároveň. 22

Snadno lze odvodit, že f P j n = i=1 n +1. 2.28 Na první pohled může být překvapující indexace sum od 1 do n. Je ale zřejmé, že hodnoty pod diagonálou vznikají součinem hodnoty v předchozím sloupci na stejném řádku s vývojovým faktorem. Totéž pak platí i pro evidované škody. Výše uvedené lze pro obě databáze shrnout jako i=1 f P j = n i=1 +1 n i=1 a f I j = n i=1 I i,j+1 n i=1 I. 2.29 i,j Jelikož nás zajímá, čím je způsobena nekonzistence výsledků aplikace SCL na oba trojúhelníky, upravme odhad P/I podílu, tj. pro libovolnou hodnotu pod diagonálou, P/I i,j = P i,n i+1 fn i+1 P... fj 1 P I i,n i+1 fn i+1 I... f j 1 I = = n k=1 P i,n i+1 P n k,n i+2 k=1 n k=1 P... P k,j n k,n i+1 k=1 P k,j 1 n k=1 I i,n i+1 I n k,n i+2 k=1 n k=1 I... I k,j n k,n i+1 k=1 I k,j 1 n k=1 P i,n i+1 P k,j n k=1 P k,n i+1 n k=1 I i,n i+1 I. 2.30 k,j n k=1 I k,n i+1 A dosad me 2.30 do podílu P/I i,j a sloupcového průměru P/I j, n k=1 P i,n i+1 P k,j n k=1 P k,n i+1 P/I i,j P/I j = n k=1 I i,n i+1 I k,j n k=1 I k,n i+1 n k=1 P k,j n k=1 I k,j = / P i,n i+1 Ii,n i+1 n k=1 P n k,n i+1 k=1 I k,n i+1 = P/I i,n i+1 P/I n i+1. 2.31 23

Vztah 2.31 představuje klíčovou rovnici. Plyne z ní, že poměr odhadovaného P/I i,j a průměru sloupce, v němž se nachází, je roven poměru poslední známé hodnoty P/I i,j a příslušného sloupcového průměru. To znamená, že odhadované P/I i,j je podprůměrné nadprůměrné, je-li diagonální hodnota stejného řádku podprůměrná nadprůměrná vzhledem ke svému sloupci. Tato skutečnost vede k tomu, že konečné predikce ne nutně konvergují ke 100 %, nýbrž zcela závisí na vztahu pozorovaných dat k jejich vlastnímu sloupcovému průměru. Mack a Quarg [19] proto hovoří o systematické chybě SCL. Někdy se o této limitaci hovoří jako o P/I problému SCL přístupu. Obrázek 2.2: P/I problém P/I [%] 0 50 100 150 odhad pozorování průměr 2 4 6 8 10 Zpoždění Graf 2.2 demonstruje systematickou chybu SCL. Plyne z něj, že konečné hodnoty P/I i,n se pohybují v rozmezí zhruba 95 a 150 %. Správně by však měly být všechny body do jednoho na hodnotě 100 % pro j = n. 12 Navíc je viditelné, že odhady získáné SCL jsou ve vztahu k průměru spíše divergentní než konvergentní v průběhu let j. Mack a Quarg se ve svém článku [19] dále zaobírají vztahy mezi individuálními vývojovými faktory a P/I podíly. Pochopení a modelové zohlednění vede k minimalizaci projevů P/I problému a tedy zkvalitnění predikce. Grafy na obrázku 2.3 zobrazují vztahy mezi faktory Fi,j P či Fi,j I a příslušnými P/I podíly pro první tři zpoždění výchozích vývojových trojúhelníků. 13 Příslušnost je dána pozicí ij podílu P/I i,j, která je totožná jmenovateli individuálního faktoru, tzn. P/I i,j a / 1 nebo I i,j /I i,j 1. V následujícím textu podkapitoly budu pro jednoduchost zápisu hovořit zaměnitelně o podílu P/I i,j jako o P/I a o faktorech Fi,j P a Fi,j I jako o F P a F I. 12 Případně velmi blízké 100 % při likvidaci většiny nikoliv všech událostí do j = 10. 13 Zahrnutím celého vývojového trojúhelníku by došlo k posunu těžiště směrem k menšímu j kvůli většímu počtu pozorování a tedy podstatnému vychýlení směrnice fitující přímky. 24