naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

Transkript

1 Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají 2 body. U otázek s možností volby odpovědi, je vždy správná právě jedna možnost. Správnou odpověd zřetelně zakroužkujte.v případě, že nebude jednoznačně zřejmé, která z variant je zakroužkována, či pokud nebude zakroužkována žádná nebo naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. 1. Uved te předpis a načrtněte graf libovolné posloupnosti {a n } n=1, která je ostře rostoucí a konvergentní. například posloupnost a n = 1 1 n, 2. Napište libovolné parametrické vyjádření úsečky y = x, x (, 1). například x(t) = t y(t) = t, t (; 1) 3. Uved te funkční předpis a načrtněte graf libovolné ostře klesající funkce f : R R tak, aby platilo: 1 f(x) dx = 8. pravidlo ostře klesající splňuje například funkce f : y = x + b a hledáme b tak, aby platilo 1 [ ] 1 ( x + b) dx = 8 x2 + bx = b = 8 b = Zadání úlohy splňuje tedy funkce f : y = x

2 4. Uved te příklad funkce dvou proměnných (předpisem nebo graficky), která je zdola omezená. například funkce f(x, y) = x 2 + y 2, [x, y] R. 5. Napište alespoň jedno řešení obyčejné diferenciální rovnice u (t) u(t) =, t R. Všechna řešení dané rovnice jsou tvaru u(t) = c 1 e t + c 2 e t, t R 6. Metodou prosté iterace řešíme nelineární rovnici x 2 x =. Rekurentní formuli uvažujeme ve tvaru x k+1 = x 2 k. Z jakého intervalu musíme volit počáteční aproximaci x, aby metoda konvergovala k řešení rovnice? (a) x (1, 2) (b) x 1, 1 (c) x 2, 4 (d) x ( 1, 1) (b) 7. Pomocí mocninné [ metody ] hledáme dominantní (v absolutní hodnotě největší) vlastní číslo 3 1 matice A =. Pro jakou volbu počátečního vektoru y 2 metoda nalezne dominantní vlastní číslo matice A? (a) y = [1, 1] T (b) y = [, ] T (c) y = [ 1, 1] T (d) y = [1, ] T (d) 8. Jaká je diskrétní L 2 -aproximace konstantní funkcí ϕ(x) = const. pro funkci f = f(x), x která je dána tabulkou i ? f(x i ) (a) ϕ(x) = 3 (b) ϕ(x) = 2,6 (c) ϕ(x) = 2 (d) ϕ(x) = 1,8 (b) 9. Pomocí složeného lichoběžníkového pravidla chceme přibližně určit x 2 dx. Jaký dostaneme výsledek, pokud budeme volit krok h = 1? 3 2

3 (a) 8,75 (b) 9 (c) 9,5 (d) 1 (c) 1. Necht P (A) =.3 a P (B) =.2. Určete P (A B) a P (A B) víte-li, že A a B jsou nezávislé. P (A B) = P (A) P (B) =.3.2 =.6 a P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = = V rámci statistického šetření bylo naměřeno následujících deset hodnoty: 3, 12, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 1. Spočtěte výběrový medián a výběrový průměr. uspořádáme hodnoty podle velikosti 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 12, medián je prostřední hodnota, tj. x = 2.5, průměr x = 1 n xn = 3 1 = Na obrázcích jsou zachyceny pravděpodobnostní funkce dvou náhodných veličin. Určete zda (a) rozptyl náhodné veličiny X 1 je větší než rozptyl náhodné veličiny X 2 ; (b) rozptyl náhodné veličiny X 1 je menší než rozptyl náhodné veličiny X 2 ; (c) rozptyl náhodné veličiny X 1 je roven rozptylu náhodné veličiny X 2 ; (d) rozptyl náhodné veličiny X 1 a rozptyl náhodné veličiny X 2 nelze porovnat. (b) 13. Do jednoho obrázku načrtněte graf funkce hustoty N (; 1) a N ( 1; 3). 14. Je dána náhodná veličina X, která se řídí rovnoměrným rozdělením. Pro kvantily x.1 a x.25 této náhodné veličiny platí (a) x,1 < x,25 (b) x,1 > x,25 (c) x,1 = x,25 3

4 (d) x,1 a x,25 nelze porovnat (nerovnost záleží na parametrech rozdělení) (a) 15. Stanovte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny, která se řídí rovnoměrným rozdělení na intervalu, 1. EX = 1 2 = 5 a DX = varx = = Napište obecný tvar smíšeného procesu ARM A(1, 2). y t = a 1 y t 1 + ɛ t + b 1 ɛ t 1 + b 2 ɛ t Pro X Exp (δ = 2) určete funkci hustoty veličiny Y = X 2. { 1 e x δ pro x Známe distribuční funkci exponenciálního rozdělení F (x) = pro x < Distribuční funkce Y :F (y) = P (Y < y) = P (X 2 < y) = P (X < y) = F ( y) = 1 e y δ Funkce hustoty Y : f(x) = F (x) = e y 1 δ 2 1 y δ 18. Uved te konkrétní příklady následujících hospodářských pojmů (respektujte účetní, nikoliv, daňové pojetí): (a) Výnos, který není příjmem: (b) Příjem, který není výnosem: (c) Výdaj, který není nákladem: (d) Náklad, který není výdajem: (a) Např.Tržba za dodávku odběrateli v okamžiku uskutečnění dodávky odběrateli. Příjmem se stává až v okamžiku zaplacení faktury. (b) Např. Finančním úřadem uskutečněný převod peněz podniku za nadměrný odpočet DPH. (c) Např.: Zaplacená vlastní daňová povinnost při měsíčním (čtvrtletním) vyúčtovaní DPH. (d) Např.: Účetní odpis majetku. 19. Vklad je úročen sazbou 2% p.a.. Úrok je připisován pololetně. Vklad na počátku ročního období obsahoval 1 mil. Kč. V průběhu ročního období nebyly na účtu žádné jiné než úrokové pohyby. Kolik bylo na vkladu na konci ročního období po připsání posledních úroků (uved te v milionech Kč na plný počet potřebných desetinných míst)? Při prvním připsání úroku (po půl roce) na účtu bude 1+1 tis.kč.=11 tis. Kč. Při druhém připsání úroku na účtu bude ,1 tis.kč = 12,1 tis. Kč. 2. (a) Do hospodářského výsledku podniku před daní nepatří příjem za nadměrný odpočet DPH. Správnou variantu zakroužkujte ANO NE 4

5 (b) Do hospodářského výsledku podniku před daní nepatří příjem peněz z vystavené faktury (výnosy za dodávku k této faktuře již byly účtovány). Správnou variantu zakroužkujte ANO NE (a) Nadměrný odpočet DPH do hospodářského výsledku podniku nepatří. (b) Příjem peněz za zaplacenou fakturu do hospodářského výsledku nepatří. Tato částka se do hospodářského výsledku dostala již při vystavení faktury. 5