Příklady: 22. Elektrický náboj

Příklady: 22. Elektrický náboj 1. V krystalové struktuře chloridu cesného CsCl tvoří ionty Cs + vrcholy krychle a iont Cl leží v jejím středu (viz obrázek 1). Délka hrany krychle je 0,40 nm. Každému z iontů Cs + chybí jeden elektron (má tedy náboj +e), iont Cl má jeden elektron navíc (má tedy náboj e). a) [0,3 b] Jaká je velikost a směr elektrostatické síly, kterou na iont Cl působí jeden iont Cs + nacházející se v jednom z rohů krychle? Nakreslete obrázek a směr síly vyznačte. b) [0,3 b] Jaká je velikost a směr výslednice elektrostatických sil, kterými na iont Cl působí všech osm iontů Cs + nacházejících se v každém z rohů krychle? Nakreslete další obrázek a směr výslednice vyznačte. c) [0,4 b] Jestliže jeden z iontů Cs + chybí, říkáme, že krystal má defekt. Jaká je v tomto případě velikost a směr výslednice elektrostatických sil, kterými na iont Cl působí sedm zbývajících iontů Cs +? Nakreslete další obrázek a směr výslednice vyznačte. Obr. 1. 2. Na obr. 2 jsou dvě malé vodivé kuličky o stejné hmotnosti m a stejném náboji Q zavěšené v tíhovém poli Země na nevodivých závěsech o délce d. Předpokládejme, že úhel θ je tak malý, že přibližně platí tgθ sin θ. Soustava se nachází v rovnováze. a) [0,2 b] Jaká je velikost a směr elektrostatické síly, kterou působí kulička vlevo na kuličku vpravo? V obrázku vektor síly vyznačte. b) [0,8 b] Určete vzdálenost x mezi kuličkami pomocí zadaných veličin m, Q a d. Obr. 2. 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 1

3. Na obrázku 3 je centrální částice s nábojem Q obklopená dvěma soustřednými kružnicemi s poloměry r a R, R > r. Na kružnicích jsou rozmístěny nabité částice. a) [0,6 b] Jakou velikost má výsledná elektrostatická síla, kterou na centrální částici působí všechny ostatní částice? b) [0,4 b] V obrázku směr této výsledné elektrostatické síly vyznačte. Obr. 3. 4. Na obr. 4 leží ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka se stranou délky d tři stejné vodivé koule A, B, C, jejichž počáteční náboje jsou 2Q, 4Q, +8Q. a) [0,2 b] Jaká je velikost elektrostatické síly, která působí mezi koulemi A a C? b) [0,4 b] Pak proběhnou následující procesy: A a B jsou spojeny tenkým vodičem a pak rozpojeny; B je uzemněna vodičem a pak je vodič odstraněn; B a C jsou spojeny vodičem a pak rozpojeny. Jaká bude nyní velikost elektrostatické síly mezi koulemi A a C? c) [0,4 b] Jaká bude nyní velikost elektrostatické síly mezi koulemi B a C? Obr. 4. 5. Dvě pevné částice s náboji Q 1 = +1, 0 10 6 C a Q 2 = 3, 0 10 6 C jsou ve vzdálenosti 10 cm. a) [0,2 b] Jaká je velikost a směr elektrostatické síly, kterou působí náboj Q 1 na náboj Q 2? Nakreslete obrázek a vektor síly vyznačte. b) [0,8 b] Určete bod (včetně vzdáleností od nábojů Q 1 a Q 2 ), kam by měl být umístěn náboj Q 3, aby výsledná elektrostatická síla, která na Q 3 působí, byla nulová. Nakreslete další obrázek a polohu náboje Q 3 vyznačte. 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 2

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 3 6. Na obr. 5 je nevodivá tyč délky d zanedbatelné hmotnosti, otočná kolem svého středu. Na obou koncích tyče jsou připevněny malé vodivé koule zanedbatelných hmotností s kladnými náboji +Q 1 a +2Q 1. Tyč je vyvážena závažím G dle obrázku. Ve vzdálenosti h přímo pod každou z koulí je pevně umístěna koule s kladným nábojem +Q. a) [0,5 b] Určete vzdálenost x, pro níž je tyč vodorovná a je v rovnováze. b) [0,5 b] Pro jakou hodnotu h R bude tyč v rovnováze ve vodorovné poloze a nebude přitom vůbec zatěžovat čep, na němž je upevněna? Vypočítejte též novou polohu x R, kam musíme umístit závaží G. Obr. 5. 7. Náboje a souřadnice dvou nabitých částic, pevně umístěných v rovině xy, jsou: Q 1 = +3, 0 10 6 C, x 1 = 3, 5 cm, y 1 = 0, 50 cm; Q 2 = 4, 0 10 6 C, x 2 = 2, 0 cm, y 2 = 1, 5 cm. a) [0,5 b] Určete vektor elektrostatické síly působící na náboj Q 2. Nakreslete obrázek a vektor síly vyznačte. b) [0,5 b] Kam umístíte třetí náboj Q 3 = +4, 0 10 6 C, aby výsledná elektrostatická síla působící na Q 2, byla nulová? Vyznačte do obrázku polohu náboje Q 3. 8. Dvě pohyblivé částice nabité souhlasným nábojem stejné velikosti jsou původně od sebe vzdálené d = 3, 2 10 3 m. Velikost počátečního zrychlení první částice je a 1 = 7, 0 m/s 2, velikost počátečního zrychlení druhé částice je a 2 = 9, 0 m/s 2. Hmotnost první částice je m 1 = 6, 3 10 7 kg. a) [0,2 b] Určete velikost síly, která působí na první částici. Nakreslete obrázek a vektor síly vyznačte. b) [0,2 b] Určete hmotnost druhé částice. c) [0,6 b] Určete velikost náboje každé z částic. 9. Na obrázku 6a) jsou ve vzdálenosti d dva náboje Q 1 a Q 2. Předpokládejme, že Q 1 = Q 2 = 20, 0 10 6 C a d = 1, 50 m. a) [0,5 b] Jaká je velikost elektrostatické síly, která působí na Q 1? V obrázku 6a) vektor síly vyznačte. b) [0,5 b] Přidáme třetí náboj Q 3 = 20, 0 10 6 C podle obrázku 6b). Jaká je nyní velikost elektrostatické síly, která působí na Q 1? V obrázku 6b) vektor síly vyznačte. Obr. 6.

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 4 10. Na obr. 7 jsou čtyři náboje uspořádány do čtverce o straně a = 5, 0 cm, přičemž Q = 1, 0 10 7 C. Zvolte souřadný systém xy tak, aby osa x směřovala vodorovně zleva doprava a osa y svisle zdola nahoru. a) [0,8 b] Určete vektor (všechny složky) výsledné elektrostatické síly F, která působí na náboj v levém dolním rohu čtverce. b) [0,2 b] V obrázku vektor F vyznačte. Obr. 7. 11. Mějme dva náboje Q 1 = 26, 0 10 6 C a Q 2 = 47, 0 10 6 C. a) [0,3 b] Jaká musí být vzdálenost d mezi oběma náboji, aby elektrostatická síla F, která mezi nimi působí, měla velikost F = 5, 7 N? b) [0,5 b] Přidejme třetí náboj Q 3 = 13, 0 10 6 C. Do jaké vzdálenosti l od Q 1 jej musíme umístit, aby výsledná elektrostatická síla, která na něj působí, byla rovna nule? (Použijte vzdálenost d mezi Q 1 a Q 2 z předchozí podúlohy.) c) [0,2 b] Nakreslete obrázek a polohy nábojů Q 1, Q 2 a Q 3 vyznačte.

Příklady: 23. Elektrické pole 1. Tenká nevodivá tyč konečné délky d je rovnoměrně nabita nábojem Q (viz obr. 1). a) [0,2 b] Určete lineární hustotu τ náboje tyče. b) [0,6 b] Určete intenzitu E elektrického pole v bodě P ve vzdálenosti y od středu tyče. V obrázku vektor E vyznačte. c) [0,2 b] Ukažte, že je-li y d, vypočtená intenzita přechází na vztah pro intenzitu pole bodového náboje Q ve vzdálenosti y. Obr. 1. 2. Mějme tenký prstenec poloměru R, který je rovnoměrně nabit kladným nábojem délkové hustoty τ. a) [0,2 b] Jaký celkový náboj Q se na prstenci nachází? b) [0,4 b] Určete velikost a směr intenzity E elektrického pole buzeného prstencem v bodě P, který se nachází na ose prstence ve vzdálenosti z od jeho středu. Nakreslete obrázek a vyznačte směr intenzity. c) [0,4 b] Ze závislosti E(z) zjištěné v úloze (b) určete vzdálenost z = z m, ve které je velikost intenzity maximální. Agojendzadani 3. Na obr. 2 je nevodivá tyč délky d rovnoměrně nabita nábojem Q. a) [0,2 b] Určete délkovou hustotu τ náboje tyče. b) [0,5 b] Určete velikost a směr elektrické intenzity v bodě P ve vzdálenosti a od konce tyče. Nakreslete obrázek a vektor intenzity vyznačte. c) [0,3 b] Kdyby byl bod P velmi daleko od tyče vzhledem k její délce d, chovala by se tyč jako bodový náboj. Ukažte, že se velikost intenzity v předchozí podúloze pro a d redukuje na vztah pro intenzitu pole bodového náboje. Obr. 2. 4. Elektrický dipól se skládá z nábojů +2e a 2e, jejichž vzdálenost je d = 0, 78 nm. Nachází se v elektrickém poli o velikosti intenzity E = 3, 4 10 6 N/C. a) [0,1 b] Vypočítejte velikost elektrického dipólového momentu p tohoto dipólu. Nakreslete obrázek a směr vektoru p vyznačte. b) [0,3 b] Vypočítejte velikost momentu elektrostatických sil působícího na dipól, je-li dipólový moment orientován souhlasně rovnoběžně, c) [0,3 b] kolmo, d) [0,3 b] svírá-li dipólový moment p s vektorem intenzity E úhel 60. 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 1

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 2 5. Na obr. 3 dvě plastikové tyče ohnuté do tvaru půlkružnice tvoří kružnici o poloměru R ležící v rovině xy. Osa x prochází styčnými body půlkružnice a náboj na obou tyčích je rozložen rovnoměrně. Jedna tyč má kladný náboj +Q, druhá záporný náboj Q. a) [0,2 b] Vypočítejte délkovou hustotu náboje τ na tyči s kladným nábojem. b) [0,5 b] Jaká je velikost a směr vektoru intenzity E v bodě P ve středu kružnice? Nakreslete obrázek a vektor intenzity vyznačte. c) [0,3 b] Jaká by byla velikost intenzity E v bodě P ve středu kružnice, kdyby obě tyče měly stejný, homogenně rozložený kladný náboj +Q? Obr. 3. 6. Elektron je uvolněn z klidu v homogenním elektrickém poli o velikosti intenzity E = 2, 0 10 4 N/C. Vliv gravitační síly zanedbejte. a) [0,5 b] Určete velikost a směr jeho zrychlení. Nakreslete obrázek a vektory intenzity elektrického pole a zrychlení vyznačte. b) [0,3 b] Vypočítejte velikost rychlosti v čase t 1 = 1 ns po uvolnění. Do obrázku vyznačte směr vektoru rychlosti v tomto čase. c) [0,2 b] Změnila by se situace, kdyby byl ve stejném elektrickém poli z klidu uvolněn proton? Pokud ano, nakreslete nový obrázek a všechny vektory vyznačte. 7. Na obr. 4 je kruhový disk o poloměru R, v němž byl vyříznut otvor o poloměru r (r < R). Na disku je rovnoměrně rozložen elektrický náboj s konstantní plošnou hustotou σ. a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q rozložený na disku s otvorem. b) [0,5 b] Určete velikost intenzity E elektrického pole v bodě P, který se nachází ve vzdálenosti z od středu disku tak, jak ukazuje obrázek. c) [0,1 b] Nakreslete obrázek a vektor elektrické intenzity E v bodě P vyznačte. d) [0,2 b] Jaká je velikost intenzity elektrického pole ve středu disku? Obr. 4.

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 3 8. Elektron pohybující se rychlostí v 0 = 5, 00 10 8 cm/s vletí do homogenního elektrického pole o intenzitě velikosti E = 1, 00 10 3 N/C. Elektron se pohybuje ve směru vektoru intenzity. a) [0,6 b] Určete velikost síly, která působí na elektron. Nakreslete obrázek a vektory intenzity a síly vyznačte. b) [0,2 b] Za jak dlouho se elektron zastaví? c) [0,2 b] Jakou dráhu elektron během této doby urazí? 9. Elektron se nachází v homogenním elektrickém poli o velikosti intenzity E = 1, 40 10 6 N/C. Elektron je na počátku v klidu. Pro výpočty užijte newtonovskou mechaniku. a) [0,3 b] Určete velikost zrychlení a elektronu. b) [0,3 b] Nakreslete obrázek a vektor elektrické intenzity E a vektor zrychlení a elektronu nakreslete. c) [0,2 b] Za jak dlouho by dosáhl rychlosti rovné jedné desetině rychlosti světla? d) [0,2 b] Jakou dráhu by za tuto dobu urazil? 10. Na obrázku 5 je polonekonečná nevodivá tyč rovnoměrně nabitá nábojem o délkové hustotě τ. a) [0,4 b] Určete x-ovou složku E x elektrické intenzity v bodě P. b) [0,4 b] Určete y-ovou složku E y elektrické intenzity v bodě P. c) [0,2 b] Určete velikost elektrické intenzity E v bodě P. Nakreslete obrázek a vektor elektrické intenzity E vyznačte. Obr. 5. 11. Elektrický kvadrupól (obrázek 6) je vytvořen dvěma elektrickými dipóly, jejichž dipólové momenty p, p jsou stejně velké, opačně orientované a posunuté o d vůči sobě ( d p). a) [1 b] Určete elektrickou intenzitu v bodě P na jeho ose daleko od jeho středu (z d). Obr. 6.

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 4 12. Na obr. 7 je elektrický dipól, který je tvořen dvěma náboji +Q a Q vzdálených od sebe o d. a) [0,5 b] Zvolte vhodnou souřadnou soustavu a určete vektor elektrické intenzity E v bodě P ve vzdálenosti r od středu spojnice nábojů dipólu (viz obr. 7). b) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vektor elektrické intenzity E v bodě P vyznačte. c) [0,3 b] Vyjádřete vektor elektrické intenzity E pro r d pomocí dipólového momentu p. Obr. 7. 13. V prostoru mezi dvěma opačně nabitými deskami (se stejnou velikostí plošné hustoty náboje) vyplněném vakuem je homogenní elektrické pole. Z povrchu záporně nabité desky se z klidu uvolní elektron a dopadne za dobu t = 1, 5 10 8 s na protější desku, která je ve vzdálenosti d = 2, 0 cm. a) [0,3 b] S jakou velikostí rychlosti v dopadne elektron na druhou desku? b) [0,2 b] Jaká je velikost elektrické intenzity E mezi deskami? c) [0,3 b] S jakou hustotou σ je náboj rozložen na kladné desce? d) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vyznačte polaritu desek a vektor elektrické intenzity E.

Příklady: 24. Gaussův zákon elektrostatiky 1. Na obrázku je řez dlouhou tenkostěnnou kovovou trubkou o poloměru R, která nese na povrchu náboj s plošnou hustotou σ. Vyjádřete velikost intenzity E jako funkci vzdálenosti r od osy trubky pro a) [0,4 b] r < R, b) [0,4 b] r R c) [0,2 b] Zakreslete obě závislosti do jednoho grafu a vyznačte na osách důležité hodnoty. Obr. 1. 2. V plné nevodivé kouli o poloměru R je nerovnoměrně rozložen náboj s objemovou hustotou ϱ(r) = ϱ 0 (r/r), kde ϱ 0 je konstanta a r je vzdálenost od středu koule. a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q, který je v kouli rozložen. b) [0,3 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity na vzdálenosti r od středu koule pro r R. c) [0,3 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity na vzdálenosti r od středu koule pro r < R. d) [0,2 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od středu koule. Určete maximální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r této hodnoty nabývá. Obojí vyznačte do grafu. 3. Na obrázku 2 je nevodivá kulová vrstva o vnitřním poloměru a, vnějším poloměru b s nerovnoměrnou objemovou hustotou náboje ϱ(r) = A/r (uvnitř vrstvy), kde A je konstanta a r je vzdálenost od středu kulové vrstvy. Do středu kulové slupky je umístěn bodový náboj Q. a) [0,4 b] Jak velký náboj je v materiálu kulové vrstvy rozmístěn? b) [0,2 b] Určete velikost intenzity elektrického pole v dutině (tj. pro 0 < r < a) jako funkci r. c) [0,4 b] Jaká musí být hodnota konstanty A, aby velikost elektrické intenzity v materiálu vrstvy (tj. pro a r b) byla konstantní (tj. nezáležela na r)? Obr. 2. 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 1

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 2 4. Na obr. 3 je znázorněna část dvou velkých rovnoběžných nevodivých desek, z nichž každá nese na jedné stěně rovnoměrně rozložený náboj. Plošné hustoty nábojů jsou σ (+) = 6, 8 mc m 2 pro kladně nabitou desku a σ ( ) = 4, 3 mc m 2 pro záporně nabitou desku. a) [0,3 b] Určete velikost intenzity výsledného elektrického pole E vlevo od desek. Nakreslete obrázek a vektor výsledné intenzity vyznačte. b) [0,3 b] Totéž určete pro výsledné elektrické pole vpravo od desek a c) [0,4 b] mezi deskami. Obr. 3. 5. Dva dlouhé nabité souosé válce mají poloměry r 1 = 3 cm a r 2 = 6 cm. Tloušťku stěn válců zanedbejte. Délková hustota kladného náboje na vnitřním válci je τ 1 = +5 10 6 C/m, délková hustota záporného náboje na vnějším válci je τ 2 = 7 10 6 C/m. a) [0,2 b] Určete velikost elektrické intenzity E ve vzdálenosti r od osy válců, když r < r 1. b) [0,2 b] Určete velikost elektrické intenzity E ve vzdálenosti r od osy válců, když r 1 r < r 2. c) [0,2 b] Určete velikost elektrické intenzity E ve vzdálenosti r od osy válců, když r r 2. d) [0,4 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od osy válců. Určete maximální a minimální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r těchto hodnot nabývá. Vše vyznačte do grafu. 6. V elektrickém poli je umístěna krychle o hraně a = 1, 40 m (obr. 4). Levý zadní dolní roh krychle splývá s počátkem souřadné soustavy. Vypočtěte tok elektrické intenzity pravou stěnou krychle, je-li intenzita vyjádřena v N/C: a) [0,2 b] E(x, y, z) = 4 ı, b) [0,2 b] E(x, y, z) = 10 j, c) [0,4 b] E(x, y, z) = 4 ı + 5y j 8y 2 k. d) [0,2 b] Jaký je celkový tok elektrické intenzity povrchem krychle pro každé z těchto polí? Obr. 4.

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 3 7. V plné nevodivé kouli o poloměru R je rovnoměrně rozložen náboj s objemovou hustotou ρ. a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q, který je v kouli rozložen. b) [0,3 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity na vzdálenosti r od středu koule pro r < R. c) [0,3 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity na vzdálenosti r od středu koule pro r R. d) [0,2 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od středu koule. Určete maximální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r této hodnoty nabývá. Obojí vyznačte do grafu. 8. Ve výšce d 1 = 350 m byla naměřena intenzita elektrického pole o velikosti E 1 = 50 N/C, ve výšce d 2 = 200 m pak E 2 = 100 N/C. V obou případech směřovala elektrická intenzita svisle k Zemi. Uvažte krychli o hraně a = 150 m, jejíž spodní stěna leží ve výšce d 2. Zanedbejte zakřivení Země. a) [0,3 b] Určete tok elektrické intenzity Φ E,1 horní stěnou krychle. b) [0,3 b] Určete tok elektrické intenzity Φ E,2 dolní stěnou krychle. c) [0,4 b] Stanovte celkový náboj Q uzavřený v krychli. 9. Náboj je rovnoměrně rozložen v objemu nekonečně dlouhého nevodivého válce o poloměru R s konstantní objemovou hustotou náboje ρ. a) [0,4 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od osy válce pro r < R. b) [0,4 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od osy válce pro r R. c) [0,2 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od osy válce. Určete maximální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r této hodnoty nabývá. Obojí vyznačte do grafu. 10. V elektrickém poli o intenzitě E = 4 i 3(y 2 + 2) j (N/C) je umístěna krychle (viz obrázek 5). Určete tok intenzity a) [0,2 b] horní podstavou, b) [0,2 b] dolní podstavou, c) [0,2 b] levou stěnou a d) [0,2 b] zadní stěnou krychle. e) [0,2 b] Jaký je celkový tok intenzity všemi stěnami krychle? Obr. 5.

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 4 11. Na obr. 6 je znázorněna nabitá kulová vrstva (vnitřní poloměr a = 10 cm, vnější poloměr b = 20 cm) s konstantní objemovou hustotou náboje ρ = 1, 0 10 6 C/m 3. a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q, který je v kulové vrstvě rozložen. b) [0,2 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od středu kulové vrstvy pro r < a. c) [0,2 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od středu kulové vrstvy pro a r < b. d) [0,2 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od středu kulové vrstvy pro r b. e) [0,2 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od středu kulové vrstvy. Určete maximální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r této hodnoty nabývá. Obojí vyznačte do grafu. Obr. 6. 12. Tok elektrické intenzity každou stěnou hrací kostky (v jednotkách 10 3 Nm 2 /C) má velikost danou počtem N ok na stěně (tj. má-li stěna např. dvě oka, tok elektrické intenzity touto stěnou je 2 10 3 Nm 2 /C). Tok pro lichá čísla (tj. 1, 3 a 5) je záporný, pro sudá čísla (tj. 2, 4, 6) je kladný. a) [0,5 b] Určete celkový tok elektrické intenzity celým povrchem hrací kostky. b) [0,5 b] Určete celkový náboj, který se uvnitř kostky nachází. 13. V nevodivé kouli je rovnoměrně rozložen náboj s objemovou hustotou ρ. Nechť r je polohový vektor obecného bodu P uvnitř koule vzhledem k jejímu středu. a) [0,5 b] Určete velikost intenzity E elektrického pole v bodě P. b) [0,5 b] Poté do koule vyvrtáme nesoustřednou kulovou dutinu, jak je znázorněno na obrázku 7. Určete velikost intenzity elektrického pole E 1 v každém bodě dutiny. Je velikost intenzity v dutině konstantní? Obr. 7.

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 5 14. Kulově symetrické, ale nehomogenní rozložení nábojů v nevodivé kouli vytváří elektrické pole o velikosti intenzity E(r) = Kr 4, které směřuje radiálně od středu koule, přičemž r je vzdálenost od středu a K je konstanta. a) [0,5 b] Jaká je objemová hustota ρ nábojů? b) [0,5 b] Koule má poloměr R. Jaký úhrnný náboj Q je v kouli rozložen? 15. Rovinná vrstva tloušťky d je rovnoměrně nabitá s objemovou hustotou náboje ρ. Určete velikost elektrické intenzity E jako funkci x, tj. kolmé vzdálenosti měřené od střední roviny vrstvy, v bodech a) [0,5 b] uvnitř a b) [0,5 b] vně vrstvy. 16. Vodivá koule o poloměru R = 10 cm nese na svém povrchu neznámý náboj Q. Intenzita elektrostatického pole ve vzdálenosti d 1 = 15 cm od středu koule má velikost E 1 = 3, 0 10 3 N/C a směřuje ke středu koule. a) [0,5 b] Určete náboj Q na povrchu koule. b) [0,2 b] Určete plošnou hustotu σ náboje na povrchu koule. c) [0,3 b] Určete velikost elektrické intenzity E 2 ve vzdálenosti d 2 = 20 cm od středu koule. 17. Dvě tenké a rovnoběžné kovové desky tvaru čtverce o straně a = 8, 5 cm, leží ve vzdálenosti d = 1, 5 mm od sebe. Jedna deska nese náboj Q 1 = 1, 2 10 16, druhá Q 2 = 1, 2 10 16. a) [0,2 b] Určete plošné hustoty σ 1 a σ 2 nábojů na obou deskách (vliv konečných rozměrů desek zanedbejte). b) [0,3 b] Určete velikosti výsledné elektrické intenzity E mezi deskami a c) [0,3 b] vlevo a vpravo od desek. d) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vektor výsledné elektrické intenzity E v jednotlivých oblastech vyznačte.

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 1 Příklady: 25. Elektrický potenciál 1. Na obrázku 1 je plochý prstenec o vnějším poloměru R a vnitřním poloměru r = 0, 2R, na němž je rozložen elektrický náboj s konstantní plošnou hustotou σ. Osa z je rovnoběžná s osou prstence, jak je naznačeno na obrázku. a) [0,2 b] Určete náboj Q, který se na prstenci nachází. b) [0,5 b] Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete potenciál v bodě P na ose prstence ve vzdálenosti z od jeho středu. c) [0,3 b] Pomocí potenciálu z předchozí úlohy určete velikost a směr z-ové složky vektoru elektrické intenzity E v bodě P. Nakreslete obrázek a vyznačte tuto složku. Obr. 1. 2. Částice o hmotnosti m s kladným elektrickým nábojem Q 0 a s počáteční kinetickou energií E k je vystřelena (z velké vzdálenosti) na střed velmi hmotného atomového jádra majícího elektrický náboj Q 1. Jádro považujte za nehybné. a) [0,5 b] Jak nejblíže ke středu jádra se částice přiblíží? b) [0,2 b] V jaké vzdálenosti od středu jádra bude velikosti zrychlení částice maximální? c) [0,3 b] Určete tuto maximální velikost zrychlení. 3. Potenciál ve středu rovnoměrně nabitého kruhového disku o poloměru R je ϕ 0. a) [0,5 b] Jak velký je celkový náboj Q na disku? b) [0,5 b] Jaký potenciál je na ose disku ve vzdálenosti z = 5R od středu disku? 4. Tyč z plastu, stočená do tvaru kružnice o poloměru R, nese kladný náboj +Q rovnoměrně rozložený na jedné čtvrtině obvodu a záporný náboj 6Q rovnoměrně rozložený na zbytku kružnice (obrázek 2). Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a vypočítejte hodnotu potenciálu a) [0,5 b] ve středu S kružnice, b) [0,5 b] v bodě P na ose symetrie kružnice kolmé k její rovině ve vzdálenosti z od jejího středu. Obr. 2.

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 2 5. Disk o poloměru R je nabit od svého středu r = 0 až do vzdálenosti r = R/2 s konstantní plošnou hustotou náboje σ 1 a od r = R/2 až do r = R s konstantní hustotou σ 2. a) [0,2 b] Jaký je úhrnný náboj Q na disku? b) [0,5 b] Jaký je potenciál na ose disku ve vzdálenosti z od jeho středu, jestliže zvolíme ϕ = 0 v nekonečnu? c) [0,3 b] Z výsledku předchozí podúlohy (s využitím symetrie úlohy) určete intenzitu elektrického pole na ose disku ve vzdálenosti z od jeho středu. Nakreslete obrázek a vektor intenzity elektrického pole vyznačte. 6. Na obr. 3 je plastová tyč délky L, ležící v ose x, rovnoměrně nabitá kladným elektrickým nábojem Q. a) [0,2 b] Určete délkovou hustotu náboje τ na tyči. b) [0,5 b] Je-li ϕ = 0 v nekonečnu, vypočítejte potenciál v bodě P ležící na ose x ve vzdálenosti d od jejího levého konce. c) [0,3 b] Z výsledku předchozí podúlohy určete velikost intenzity elektrického pole v bodě P. Nakreslete obrázek a vektor intenzity vyznačte. Obr. 3. 7. Obr. 4 znázorňuje nevodivou tyč délky L, která je rovnoměrně nabita kladným nábojem s délkovou hustotou τ. a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q na tyči. b) [0,5 b] Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete potenciál v bodě P. c) [0,3 b] Z výsledku z předchozí úlohy a s využitím symetrie úlohy určete intenzitu E elektrického pole v bodě P. V obrázku vektor intenzity E vyznačte. Obr. 4. 8. Nevodivá tyč délky L na obr. 5 je nabita s proměnnou délkovou hustotou náboje τ(x) = cx, kde c je kladná konstanta. a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q na tyči. b) [0,5 b] Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete potenciál v bodě P. c) [0,3 b] Z výsledku z předchozí podúlohy určete velikost a směr y-ové složky intenzity elektrického pole v bodě P. Nakreslete obrázek a vektor y-ové složky intenzity vyznačte. Obr. 5.

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 3 9. Náboj Q je rovnoměrně rozložen v celém objemu nevodivé koule o poloměru R. a) [0,5 b] Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu. Určete potenciál ϕ(r) ve vzdálenosti r < R od středu koule. b) [0,5 b] Jak velké je napětí U mezi povrchem a středem koule? 10. Tlustá kulová slupka s vnitřním poloměrem r 1 a vnějším r 2 je nabita nábojem Q rovnoměrně rozloženým v celém jejím objemu s hustotou ρ. Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete elektrický potenciál ϕ(r) jako funkci vzdálenosti r od středu kulové slupky. Uvažujte samostatně oblasti: a) [0,3 b] r > r 2, b) [0,4 b] r 2 > r > r 1 a c) [0,3 b] r < r 1. 11. Disk z nevodivého plastu byl nabit s konstantní plošnou hustotou σ. Poté byly tři kvadranty disku odstraněny. Zbývající čtvrtina disku je zobrazena na obr. 6. Osa z je rovnoběžná s osou disku, jak je naznačeno na obrázku. a) [0,2 b] Určete náboj Q, který se nachází na zbývající čtvrtině disku. b) [0,5 b] Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete potenciál v bodě P, který leží na ose disku ve vzdálenosti z od jeho středu. c) [0,3 b] Pomocí výsledku z předchozí podúlohy určete z-ovou složku intenzity elektrického pole v bodě P. 12. Obr. 6. a) [1 b] Jaký je potenciál v bodě P uprostřed čtverce, v jehož rozích se nacházejí bodové elektrické náboje (obr. 7) Délka strany čtverce je d = 1,3 m a náboje mají velikosti Q 1 = +12 nc, Q 2 = -24 nc, Q 3 = +31 nc, Q 4 = +17 nc Obr. 7.

Příklady: 26. Kapacita 1. Baterie B na obr. 1 poskytuje napětí 12 V. Kapacity kondenzátorů mají hodnoty C 1 = 1, 0 µf, C 2 = 2, 0 µf, C 3 = 3, 0 µf a C 4 = 4, 0 µf. a) [0,5 b] Určete náboje Q 1, Q 2, Q 3 a Q 4 na kondenzátorech v případě, že je zapnut pouze spínač S 1. b) [0,5 b] Určete náboje Q 1, Q 2, Q 3 a Q 4 na kondenzátorech v případě, že jsou sepnuty oba spínače S 1 i S 2. Obr. 1. 2. Na horní elektrodu deskového kondenzátoru s elektrodami o obsahu S byl přiveden náboj +Q a na spodní elektrodu náboj Q. Poté byla měděná deska tloušťky b vsunuta doprostřed mezi elektrody tak, jak ukazuje obr. 2. a) [0,2 b] Jaká je kapacita C 0 kondenzátoru před vsunutím měděné vodivé desky? b) [0,2 b] Jaká je kapacita C 1 kondenzátoru po vsunutí měděné vodivé desky? c) [0,2 b] Jaká je energie kondenzátoru E el,0 před vsunutím desky? d) [0,2 b] Jaká je energie kondenzátoru E el,1 po vsunutí desky, jestliže náboj na elektrodách zůstane nezměněn? e) [0,2 b] Jak velká práce W je vykonána při vsunutí desky? Obr. 2. 3. Deskový kondenzátor má elektrody o obsahu S, které se nacházejí ve vzdálenosti d od sebe. Na elektrodách je napětí U 0. Mezi elektrody byla vsunuta deska z dielektrika tloušťky b (b < d) o relativní permitivitě ε r. Pomocí zadaných veličin určete, a) [0,1 b] jaká byla kapacita C 0 kondenzátoru před vsunutím dielektrika, b) [0,1 b] jak velký je volný náboj Q na kondenzátoru, c) [0,2 b] jaká je velikost intenzity elektrického pole E 0 v mezeře mezi elektrodami a dielektrickou deskou, d) [0,2 b] jaká je velikost intenzity elektrického pole E 1 v dielektrické desce, e) [0,2 b] jaké je napětí U 1 mezi elektrodami po vsunutí dielektrické desky a f) [0,2 b] jaká je kapacita C 1 kondenzátoru se vsunutým dielektrikem. 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 1

4. Kapacity kondenzátorů v bloku na obrázku 3 jsou C 1 =10,0 µf, C 2 =5,0 µf, C 3 =4,0 µf, napětí U = 120 V. a) [0,3 b] Určete výslednou kapacitu bloku kondenzátorů. b) [0,3 b] Určete náboj na kondenzátoru C 1. c) [0,1 b] Určete napětí na kondenzátoru C 2. d) [0,3 b] V kondenzátoru C 2 došlo k elektrickému průrazu a kondenzátor se stal pro elektrický proud průchodným. Jaké změny napětí a náboje následovaly na svorkách kondenzátoru C 1? Obr. 3. 5. Kapacity kondenzátorů v bloku na obrázku 4 jsou C 1 =15,0 µf, C 2 =2,0 µf, C 3 =10,0 µf, napětí U = 220 V. a) [0,3 b] Určete výslednou kapacitu bloku kondenzátorů. b) [0,3 b] Určete náboj na kondenzátoru C 2. c) [0,1 b] Určete napětí na kondenzátoru C 3. d) [0,3 b] V kondenzátoru C 3 došlo k elektrickému průrazu a kondenzátor se stal pro elektrický proud průchodným. Jaké změny napětí a náboje následovaly na svorkách kondenzátoru C 1? Obr. 4. 6. Deskový kondenzátor má elektrody kruhového tvaru o poloměru R = 8, 2 cm vzdálené od sebe d = 1, 3 mm. Prostor mezi elektrodami je vyplněn dielektrikem mající relativní permitivitu ε r = 4, 8. a) [0,5 b] Vypočítejte jeho kapacitu. b) [0,2 b] Jak velký náboj Q se objeví na elektrodách, když na kondenzátor vložíme napětí U 0 = 120 V? c) [0,3 b] Použijte náboj vypočítaný v předchozí podúloze a určete napětí na kondenzátoru U 1, když odstraníme dielektrikum mezi deskami (počítejte s relativní permitivitou vzduchu rovnou 1). 7. Elektrody kulového kondenzátoru mají poloměry r 1 a r 2 (r 2 > r 1 ). Prostor mezi elektrodami je vyplněn vzduchem s relativní permitivitou ε r = 1. a) [0,3 b] Na vnitřní elektrodu přivedeme náboj Q, na vnější elektrodu přivedeme náboj Q. Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od středu elektrod, pro r 1 r < r 2. b) [0,3 b] Určete napětí U mezi elektrodami. c) [0,2 b] Vypočítejte kapacitu kulového kondenzátoru. d) [0,2 b] Jaká by byla kapacita kulového kondenzátoru, kdyby se poloměr r 2 blížil nekonečnu? 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 2

8. Deskový kondenzátor s elektrodami o obsahu S a vzdáleností d mezi elektrodami je vyplněn dvěma dielektriky s relativními permitivitami ε r,1 a ε r,2. Obě dielektrika mají stejnou tloušťku d/2 (viz obr. 5). Na jednu elektrodu byl přiveden náboj +Q a na druhou Q. a) [0,4 b] Určete velikosti elektrických intenzit E 1 v prvním dielektriku a E 2 v druhém dielektriku. b) [0,4 b] Určete napětí U mezi elektrodami. c) [0,2 b] Určete kapacitu C tohoto deskového kondenzátoru. Obr. 5. 9. Deskový kondenzátor s elektrodami o obsahu S je vyplněn dvěma dielektriky s relativními permitivitami ε r,1 a ε r,2 tak, jak je znázorněno na obrázku 6. Na jednu z elektrod byl přiveden náboj +Q, na druhou Q. Určete a) [0,4 b] jeho kapacitu C, b) [0,3 b] hustoty náboje σ 1 a σ 2 na levé, resp. pravé polovině elektrody a c) [0,3 b] napětí U mezi elektrodami. Obr. 6. 10. Tři kondenzátory jsou zapojeny podle obrázku 7. Jejich kapacity mají hodnoty C 1 = 10, 0 mf, C 2 = 5, 00 mf a C 3 = 4, 00 mf. Přiložené napětí je U = 100 V. a) [0,2 b] Vypočítejte výslednou kapacitu C bloku všech tří kondenzátorů. b) [0,4 b] Určete pro každý z kondenzátorů jejich náboje Q 1, Q 2 a Q 3 c) [0,4 b] a jejich napětí U 1, U 2 a U 3. Obr. 7. 11. Na mýdlovou bublinu poloměru R 0 je pomalu předáván náboj Q. V důsledku vzájemného odpuzování povrchových nábojů se poloměr bubliny mírně zvětší na velikost R. Následkem expanze se tlak vzduchu uvnitř bubliny sníží na velikost p = p 0 V 0 /V, kde p 0 je atmosférický tlak, V 0 je počáteční objem a V je koncový objem. a) [1 b] Dokažte, že mezi uvedenými veličinami platí vztah Q 2 = 32π 2 ε 0 p 0 R(R 3 R 3 0 ). 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 3

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 4 12. Deskový vzduchový kondenzátor o ploše elektrod S = 40 cm 2 a vzdálenosti elektrod d = 1, 0 mm je nabit na napětí U = 600 V. Určete a) [0,2 b] jeho kapacitu C, b) [0,2 b] velikost náboje Q na každé z elektrod, c) [0,2 b] energii E el elektrického pole vzniklého mezi jeho elektrodami, d) [0,2 b] velikost intenzity elektrického pole E mezi elektrodami a e) [0,2 b] hustotu energie w el elektrického pole mezi elektrodami.

Příklady: 27. Proud a odpor 1. Velikost hustoty proudu v prvním válcovém vodiči o poloměru R se mění podle vztahu J 1 = J 0 (1 r/r), kde r je vzdálenost od osy válce. Hustota proudu tedy dosahuje maximální hodnoty J 0 v ose vodiče (r = 0) a lineárně klesá k nule na povrchu vodiče (r = R). Velikost hustoty proudu ve druhém válcovém vodiči o stejném poloměru R se mění podle vztahu J 2 = J 0 r/r, kde r je opět vzdálenost od osy válce. Hustota proudu tedy v tomto případě dosahuje maximální hodnoty J 0 na povrchu vodiče (r = R) a lineárně klesá k nule směrem k ose vodiče (r = 0). a) [0,4 b] Vypočítejte celkový proud I 1 tekoucí prvním vodičem. b) [0,4 b] Vypočítejte celkový proud I 2 tekoucí druhým vodičem. c) [0,2 b] Zdůvodněte, proč se oba proudy I 1 a I 2 nerovnají. 2. Na obrázku 1 je nakreslen elektrický obvod se spirálou umístěnou uvnitř tepelně izolovaného válce s ideálním plynem. Válec je uzavřen pístem, který se pohybuje bez tření. Spirálou prochází proud I = 240 ma, její odpor je R = 550 Ω, hmotnost pístu je m = 12 kg. a) [1 b] Jak velkou rychlostí v se musí píst zvedat, aby se teplota T plynu ve válci neměnila? Obr. 1. 3. Ke koncům měděného drátu o průměru d = 1 mm a délce l = 33, 0 m je přiloženo napětí U = 1, 20 V. Rezistivita mědi je ρ Cu = 1, 69 10 8 Ωm. Vypočtěte a) [0,3 b] proud I tekoucí drátem, b) [0,2 b] velikost hustoty proudu J v drátu, c) [0,3 b] velikost intenzity E elektrického pole v drátu, d) [0,2 b] výkon P, s jakým se v drátu vyvíjí teplo. 4. Vzdálenost mezi přední a zadní stěnou kvádru je a = 15, 8 cm, obsah každé z nich je S = 3, 50 cm 2 a odpor (měřený mezi nimi) je R = 935 Ω. Koncentrace vodivostních elektronů v materiálu, z něhož je kvádr vyroben, je n = 5, 33 10 22 m 3. Mezi přední a zadní stěnu kvádru je přiloženo napětí U = 35, 8 V. a) [0,2 b] Jaký proud I prochází kvádrem? b) [0,2 b] Jaká je velikost hustoty proudu J (předpokládáme-li, že je konstantní v celém průřezu)? c) [0,2 b] Jaká je velikost driftové rychlosti v d vodivostních elektronů? d) [0,2 b] Jaká je velikost intenzity E elektrického pole v kvádru? e) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vyznačte směr proudu I a vektory J, v d a E. 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 1

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 2 5. Rezistor má tvar komolého kužele (viz obrázek 2). Poloměry jeho kruhových podstav jsou a, b a jeho výška je L. Jestliže se kužel zužuje jen málo, můžeme předpokládat, že zvolíme-li libovolný průřez kolmý k ose, bude v něm hustota proudu konstantní (a ovšem jiná než v jiném průřezu). Materiál, z něhož je rezistor vyroben, má rezistivitu ρ. a) [0,6 b] Vypočtěte odpor R rezistoru. b) [0,4 b] Určete odpor R rezistoru v případě, že a = b, tj. rezistor má tvar válce. Obr. 2.

Příklady: 28. Obvody 1. V obvodu na obrázku je dáno E 1 = 6, 0 V, E 2 = 5, 0 V, E 3 = 4, 0 V, R 1 = 100 Ω, R 2 = 50 Ω. Obě baterie jsou ideální. Vypočtěte a) [0,3 b] napětí mezi body a a b a b) [0,7 b] proudy I 1 a I 2 procházející oběma rezistory. Obr. 1. 2. V obvodu na obrázku je dáno E 1 = 3, 00 V, E 2 = 1, 00 V, R 1 = 5, 00 Ω, R 2 = 2, 00 Ω, R 3 = 4, 00 Ω. Obě baterie jsou ideální. a) [0,4 b] Určete proudy I 1, I 2 a I 3 tekoucí rezistory R 1, R 2 a R 3. b) [0,3 b] S jakým výkonem je elektrická energie disipována v rezistorech R 1, R 2 a R 3? c) [0,3 b] Jaký je výkon baterií 1 a 2? Obr. 2. 3. Uvažujme dva stejné kondenzátory o kapacitách C 1 = C 2 = C. Jeden kondenzátor je nabit nábojem Q 0. Druhý nenabitý kondenzátor je pak k němu připojen vodiči o odporu R. a) [0,2 b] Vypočtěte celkovou energii obou kondenzátorů před jejich spojením. b) [0,2 b] Určete náboje Q 1 a Q 2 na obou kondenzátorech po jejich spojení a dosažení ustáleného stavu. c) [0,4 b] Vypočtěte celkovou energii kondenzátorů po jejich spojení a dosažení ustáleného stavu. d) [0,2 b] Případný rozdíl energií před a po spojení kondenzátorů vysvětlete. 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 1

4. Je dán obvod na obrázku. Jaký odpor musí mít rezistor R, aby ideální baterie dodávala do obvodu energii s výkonem a) [0,2 b] 60,0 W, b) [0,2 b] maximálně možným, c) [0,4 b] minimálně možným? d) [0,2 b] Vypočtěte výkon v případech (b) a (c). Obr. 3. 5. V obvodu na obr. 4 je kondenzátor o kapacitě C = 10 µf, dvě ideální baterie o elektromotorických napětích E 1 = 1, 0 V a E 2 = 3, 0 V, dva rezistory o odporech R 1 = 0, 20 Ω a R 2 = 0, 40 Ω a spínač S. Spínač byl nejprve dlouhou dobu rozpojen. a) [0,2 b] Určete náboj na kondenzátoru. b) [0,3 b] Poté, co byl spínač S velmi dlouho rozpojen, byl na dlouhou dobu sepnut. Určete proud (velikost a směr) protékající rezistory R 1 a R 2. V obrázku vyznačte směry proudů. c) [0,3 b] Jak se změnil náboj na kondenzátoru? d) [0,2 b] Poté, co byl spínač S na dlouhou dobu sepnut, byl opět rozpojen. Určete proud (velikost a směr), který poteče rezistorem R 2 ihned po rozpojení spínače S. Obr. 4. 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 2

6. Máte k dispozici dvě stejné baterie o elektromotorickém napětí E = 12 V a vnitřním odporu r = 25 mω. Baterie mohou být spojeny paralelně obrázek (a), nebo sériově obrázek (b) a připojeny k rezistoru o odporu R = 10 Ω. Určete a) [0,2 b] proud tekoucí rezistorem R pro zapojení (a) a b) [0,2 b] pro zapojení (b) a c) [0,3 b] rychlost disipace energie rezistorem R pro zapojení (a) a d) [0,3 b] pro zapojení (b). Obr. 5. 7. Na obr. 6 je obvod, jehož prvky mají hodnoty E 1 = 3, 0 V, E 2 = 6, 0 V, R 1 = 2, 0 Ω, R 2 = 4, 0 Ω. Tři baterie v obvodu jsou ideální zdroje. a) [0,3 b] Pomocí 1. Kirchhoffova zákona sestavte rovnici pro proudy I 1, I 2 a I 3 (uvažujte směry proudů zvolené na obrázku). b) [0,3 b] Pomocí 2. Kirchhoffova zákona sestavte další dvě rovnice takové, aby dohromady tvořily systém tří lineárních rovnic tří neznámých I 1, I 2 a I 3. c) [0,4 b] Určete velikosti a směry proudů v každé ze tří větví obvodu. Nakreslete obrázek a směry proudů vyznačte. Obr. 6. 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 3

8. Na obrázku je obvod, jehož prvky mají hodnoty E 1 = 3, 0 V, E 2 = 6, 0 V, R 1 = 2, 0 Ω, R 2 = 4, 0 Ω. Tři baterie v obvodu jsou ideální zdroje. a) [0,3 b] Pomocí 1. Kirchhoffova zákona sestavte rovnici pro proudy I 1, I 2 a I 3 (uvažujte směry proudů zvolené na obrázku.) b) [0,3 b] Pomocí 2. Kirchhoffova zákona sestavte další dvě rovnice takové, aby dohromady tvořily systém tří lineárních rovnic tří neznámých I 1, I 2 a I 3. c) [0,4 b] Určete velikosti a směry proudů v každé ze tří větví obvodu. Nakreslete obrázek a směry proudů vyznačte. Obr. 7. 9. Na obrázku je obvod, jehož prvky mají hodnoty E 1 = 3, 0 V, E 2 = 6, 0 V, R 1 = 2, 0 Ω, R 2 = 4, 0 Ω. Tři baterie v obvodu jsou ideální zdroje. a) [0,3 b] Pomocí 1. Kirchhoffova zákona sestavte rovnici pro proudy I 1, I 2 a I 3 (uvažujte směry proudů zvolené na obrázku.) b) [0,3 b] Pomocí 2. Kirchhoffova zákona sestavte další dvě rovnice takové, aby dohromady tvořily systém tří lineárních rovnic tří neznámých I 1, I 2 a I 3. c) [0,4 b] Určete velikosti a směry proudů v každé ze tří větví obvodu. Nakreslete obrázek a směry proudů vyznačte. 10. Kondenzátor o kapacitě C se vybíjí přes rezistor o odporu R. Obr. 8. a) [0,3 b] Vyjádřete pomocí časové konstanty, za jak dlouho klesne náboj kondenzátoru na polovinu své počáteční hodnoty. b) [0,5 b] Za jak dlouho klesne elektrická potenciální energie kondenzátoru na polovinu své počáteční hodnoty? c) [0,2 b] S jakým výkonem se v rezistoru vyvíjí teplo během vybíjení? 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 4

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 5 11. Na obr. 9 je obvod s pěti rezistory připojenými k ideální baterii o elektromotorickém napětí E = 12, 0 V. a) [0,3 b] Určete ekvivaletní odpor R systému rezistorů připrojených k baterii. b) [0,3 b] Určete proud I tekoucí baterií. c) [0,4 b] Jaké napětí je na rezistoru o odporu 5, 0 Ω? Obr. 9. 12. Na obrázku je rezistorová síť připojená k ideální baterii. Údaje na jednotlivých prvcích jsou: R 1 = 100 Ω, R 2 = R 3 = 50 Ω, R 4 = 75 Ω, E = 6, 0 V. a) [0,4 b] Určete ekvivaletní odpor R systému rezistorů připrojených k baterii. b) [0,4 b] Jaké proudy procházejí jednotlivými rezistory? c) [0,2 b] Jaký výkon dodává obvodu baterie? Obr. 10. 13. V sériovém RC obvodu je E = 12, 0 V, R = 1, 40 MΩ, C = 1, 80 mf. a) [0,2 b] Vypočtěte časovou konstantu τ c. b) [0,4 b] Určete maximální náboj Q max, který kondenzátor získá během nabíjení. c) [0,4 b] Za jak dlouho se kondenzátor nabije nábojem Q = 16 mc? 14. V okamžiku t = 0 je sepnut spínač a kondenzátor o počátečním napětí U 0 = 100 V se začne vybíjet přes rezistor o odporu R = 0, 1 Ω. V okamžiku t 1 = 10, 0 s je napětí na kondenzátoru U 1 = 1, 00 V. a) [0,2 b] Vypočtěte časovou konstantu τ c. b) [0,4 b] Jaké bude napětí U 2 na kondenzátoru v čase t 2 = 17, 0 s? c) [0,4 b] Jaký bude proud I 2 tekoucí obvodem v čase t 2 = 17, 0 s? 15. Kondenzátor o kapacitě C = 25 µf s počátečním nábojem Q 0 se vybíjí přes rezistor o odporu R = 80 kω. a) [0,2 b] Vypočtěte časovou konstantu τ c. b) [0,4 b] Za jak dlouho kondenzátor ztratí třetinu svého náboje a c) [0,4 b] dvě třetiny svého náboje?

16. V obvodu na obrázku 11 je E = 1, 2 kv, C = 6, 5 mf, R 1 = R 2 = R 3 = 0, 73 MΩ. Kondenzátor C je bez náboje, v okamžiku t = 0 je sepnut spínač S. a) [0,3 b] Vypočtěte hodnotu napětí U 2 na rezistoru R 2 pro t = 0 b) [0,3 b] a pro t. c) [0,2 b] Vypočtěte proudy I 1, I 2 a I 3 procházející každým z rezistorů pro t = 0 d) [0,2 b] a pro t. Obr. 11. 17. Dva rezistory R 1 a R 2 mohou být připojeny sériově, nebo paralelně k ideální baterii o elektromotorickém napětí E. a) [0,3 b] Určete celkový ztrátový výkon P p při paralelním zapojení těchto rezistorů a b) [0,3 b] celkový ztrátový výkon P s při sériovém zapojení těchto rezistorů. c) [0,4 b] Je dán odpor R 1 = 100 Ω. Jaký má být odpor R 2, aby ztrátový výkon P p při jejich paralelním zapojení byl pětinásobkem ztrátového výkonu P s při jejich sériovém zapojení? 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 6

Příklady: 29. Magnetické pole 1. Na obrázku je obdélníková cívka skládající se z N závitů drátu. Strany cívky mají délku a a b a protéká jí elektrický proud I naznačeným směrem. Osa, kolem níž se může cívka otáčet, má směr její delší strany a je totožná s osou y. Magnetické pole má velikost indukce B a směr vektoru B svírá úhel 30 s rovinou xy, v níž cívka leží. a) [0,5 b] Určete velikost a směr magnetického dipólového momentu µ cívky. Nakreslete obrázek a vektor µ vyznačte. b) [0,5 b] Určete velikost a směr silového momentu M působícího na cívku vzhledem k její ose otáčení. Do stejného obrázku vyznačte vektor M. Obr. 1. 2. Kovový vodič má hmotnost m a klouže bez tření po dvou vodorovných kolejnicích s rozchodem d, jak je ukázáno na obrázku. Celá soustava se nachází ve svislém magnetickém poli o indukci B. Stejnosměrný elektrický proud I, dodávaný generátorem G, protéká první kolejnicí, vodičem a druhou kolejnicí, kterou se vrací zpět. a) [0,4 b] Určete velikost magnetické síly, kterou působí magnetické pole na kovový vodič. b) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vyznačte směr pohybu vodiče. c) [0,4 b] Určete velikost jeho rychlosti jako funkci času za předpokladu, že v čase t = 0 byl v klidu. Obr. 2. 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 1

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 2 3. Na obr. 3 je schematicky znázorněn princip hmotnostního spektrometru, který slouží k měření hmotností iontů: iont o hmotnosti m (která má být změřena) s nábojem Q vzniká s nulovou počáteční rychlostí ve zdroji Z a poté je urychlen elektrickým polem vytvořeným napětím U. Iont opustí zdroj Z a vlétá štěrbinou do separační komory, ve které na něj působí homogenní magnetické pole B, kolmé k jeho rychlosti ( B je kolmé k rovině obrázku a směřuje k nám). Magnetické pole způsobí, že se iont bude pohybovat po půlkružnici, dopadne na fotografickou desku ve vzdálenosti x od štěrbiny a exponuje ji tam. Pomocí zadaných veličin určete, a) [0,4 b] s jakou rychlostí vlétne iont do magnetického pole, b) [0,4 b] jaká je velikost síly, kterou působí magnetické pole na iont a c) [0,2 b] jaká je hmotnost iontu. Obr. 3. 4. Částice s nábojem Q se pohybuje po kružnici poloměru r rychlostí velikosti v. Považujte její kruhovou dráhu za proudovou smyčku. a) [0,2 b] Jaký proud I představuje tato částice pohybující se po kružnici? b) [0,4 b] Určete velikost magnetického dipólového momentu µ této myšlené proudové smyčky. c) [0,4 b] Určete velikost momentu sil, kterým působí na tuto smyčku s magnetickým dipólovým momentem µ homogenní magnetické pole s indukcí velikosti B svírající s normálou smyčky úhel ϕ = 90. 5. Elektron má kinetickou energii E k = 1, 20 kev a pohybuje se po kružnici v rovině kolmé k vektoru magnetické indukce B. Poloměr této kružnice je r = 25, 0 cm. Určete: a) [0,2 b] velikost rychlosti v elektronu, b) [0,4 b] velikost magnetické indukce B pole, c) [0,2 b] frekvenci f pohybu a d) [0,2 b] periodu T pohybu. 6. Elektron je urychlován z klidu napětím U = 350 V. Poté vletí do homogenního magnetického pole o indukci B = 300 mt kolmo k vektoru magnetické indukce. Vypočtěte: a) [0,3 b] velikost rychlosti v elektronu v magnetickém poli, b) [0,3 b] velikost magnetické síly F B, která působí na elektron v magnetickém poli, a c) [0,4 b] poloměr r jeho dráhy v magnetickém poli.

7. Vodičem dlouhým l = 50 cm a rovnoběžným s osou x protéká proud I = 0, 50 A v kladném směru osy x. Vodič se nachází v magnetickém poli o indukci B = (0, 003 j + 0, 010 k) T. a) [0,5 b] Určete velikost Ampérovy síly F B působící na vodič. b) [0,5 b] Nakreslete obrázek a osy, vodič i vektor Ampérovy síly vyznačte. 8. Kovový vodič má hmotnost m = 0, 1 kg a klouže bez tření po dvou vodorovných kolejnicích s rozchodem d = 50 cm, jak je ukázáno na obr. 4. Celá soustava se nachází ve svislém magnetickém poli o indukci B o velikosti B = 10 mt. Stejnosměrný elektrický proud I, dodávaný generátorem G, protéká první kolejnicí, vodičem a druhou kolejnicí, kterou se vrací zpět. Závislost velikosti rychlosti tyče na čase je dána funkcí v(t) = 0, 125 t. a) [0,3 b] Určete velikost výsledné síly F působící na vodič. b) [0,5 b] Určete velikost proudu I tekoucí vodičem. c) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vektor rychlosti v vodiče vyznačte. Obr. 4. 9. Měděný proužek široký d = 150 mm, mající tloušťku t = 10 mm se nachází v homogenním magnetickém poli o indukci B, jejíž velikost je B = 1, 5 T; B je kolmé k ploše proužku. Jestliže proužkem protéká elektrický proud I = 10, 3 A, naměříme na jeho šířce Hallovo napětí U H = 1, 1 10 7 V. Určete a) [0,2 b] velikost hustoty proudu J v proužku, b) [0,2 b] velikost intenzity elektrického pole E H napříč proužku, c) [0,3 b] driftovou rychlost v d elektronů procházejících proužkem a d) [0,3 b] počet n elektronů v objemové jednotce. 10. Při experimentu s Hallovým jevem protéká vodivým proužkem v podélném směru elektrický proud I = 3, 0 A. Proužek je dlouhý l = 4, 0 cm, široký d = 1, 0 cm a tlustý t = 10 mm. Magnetické pole o indukci B = 1, 5 T je kolmé k ploše proužku (ve směru tloušťky) a na jeho šířce bylo naměřeno Hallovo napětí U H = 10 mv. Z uvedených údajů určete a) [0,4 b] driftovou rychlost v d nosičů náboje a b) [0,4 b] počet nosičů n náboje v objemové jednotce vodiče. c) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vyznačte směr proudu I tekoucího proužkem, vektor magnetické indukce B a polaritu Hallova napětí U H. Nosiče náboje jsou elektrony. 11. Proudovou smyčkou, tvořenou jedním závitem, protéká proud I = 4, 00 A. Smyčka má tvar pravoúhlého trojúhelníku se stranami a = 50, 0 cm, b = 120 cm a c = 130 cm. Smyčka se nachází v homogenním magnetickém poli o indukci velikosti B = 75, 0 mt a směru rovnoběžném se směrem elektrického proudu tekoucího nejdelší stranou (přeponou) smyčky. a) [0,5 b] Určete velikosti Ampérových sil F a, F b a F c působících na každou ze tří stran smyčky. b) [0,5 b] Jaká je celková síla F působící na smyčku? 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 3

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 4 12. Obrázek 5 zobrazuje dřevěný válec o hmotnosti m = 0, 250 kg a délce L = 0, 100 m, kolem něhož je v podélném směru hustě navinuto N = 10 závitů vodiče. a) [1 b] Jaký minimální proud I, protékající cívkou, zabrání válci ve valivém pohybu po nakloněné rovině, jestliže se válec s cívkou nachází v magnetickém poli o indukci B = 0, 500 T, které je orientováno svisle vzhůru? Rovina závitů cívky je rovnoběžná s nakloněnou rovinou, úhel nakloněné roviny je θ. Obr. 5. 13. Elektrické pole o velikosti intenzity E = 1, 50 kv/m a magnetické pole o velikosti indukce B = 0, 400 T působí současně na pohybující se elektron, přičemž výslednice těchto dvou sil je rovna nulovému vektoru. a) [0,5 b] Určete minimální velikost rychlosti v min elektronu. b) [0,5 b] Nakreslete obrázek a vektory E, B a v min vyznačte.

Příklady: 30. Magnetické pole elektrického proudu 1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. a) [1 b] Jaký musí být proud (velikost a směr) ve vodiči 2, aby výsledné magnetické pole v bodě P bylo nulové? Obr. 1. 2. Na obrázku 2 protéká dlouhým přímým vodicem proud 30 A a obdélníkovou smyčkou proud 20 A. Dosaďte hodnoty a = 1,0 cm, b = 8,0 cm a L = 30 cm. a) [1 b] Vypočtěte výslednou sílu působící na smyčku. 3. Čtvercovou smyčkou s délkou strany a protéká proud I. Obr. 2. a) [0,6 b] Určete velikost magnetické indukce B 1, kterou vytváří proud tekoucí jednou z jejích stran, ve středu smyčky. b) [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B, kterou vytváří proud tekoucí celou smyčkou, ve středu smyčky. c) [0,2 b] Nakreslete obrázek a směr proudu a vektoru magnetické indukce B ve středu smyčky vyznačte. 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 1

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 2 4. Na obrázku 3 je průřez dlouhým válcovým vodičem o poloměru a, kterým protéká homogenně rozložený proud I směrem k nám. Dosaďte hodnoty a = 2, 0 cm a I = 100 A. a) [0,4 b] Určete magnetickou indukci B pro r a. V obrázku vektor B vyznačte. b) [0,4 b] Určete magnetickou indukci B pro r < a. V obrázku vektor B vyznačte. c) [0,2 b] Nakreslete závislost B(r) pro 0 < r < 6, 0 cm. Obr. 3. 5. Na obr. 4 je průřez dlouhým přímým vodičem válcového tvaru o poloměru a s válcovou dutinou o poloměru b. Osy válce a dutiny jsou rovnoběžné a jejich vzdálenost je d. Proud I je ve vodiči rozložen homogenně v celém vyznačeném průřezu. a) [0,3 b] Určete velikost magnetické indukce B ve středu dutiny. b) [0,3 b] Určete velikost magnetické indukce B ve středu dutiny, jestliže b = 0 nebo d = 0. c) [0,4 b] Dokažte, že velikost magnetické indukce v dutině je konstantní. Obr. 4. 6. Magnetická indukce v určité oblasti prostoru je dána vztahem B = (3, 0 i + 8, 0(x 2 /d 2 ) j) mt, kde d je konstanta s rozměrem délky a x i d jsou vyjádřeny v metrech. Víme, že toto pole je způsobeno elektrickým proudem. a) [0,3 b] Vypočítejte integrál B d s po lomené Ampérově křivce c vedoucí po úsečkách z bodu (0, 0, 0) c přes (d, 0, 0), (d, d, 0) a (0, d, 0) zpět do (0, 0, 0). b) [0,5 b] Dosaďte hodnotu d = 0, 50 m do výrazu pro indukci B a pomocí Ampérova zákona vypočtěte velikost elektrického proudu I tekoucího ve směru kolmém ke čtverci o délce strany a = 0, 5 m. Čtverec leží v prvním kvadrantu roviny xy a má jeden z vrcholů v počátku soustavy souřadnic. c) [0,2 b] Určete, zda-li je tento proud ve směru jednotkového vektoru + k, nebo k.