Prostorová variabilita prostorová závislost (autokorelace) reprezentuje korelaci mezi hodnotami určité náhodné proměnné v místě i a hodnotami téže proměnné v jiném místě j; prostorová heterogenita je strukturální nestabilita projevující se kolísáním parametrů modelu a je spojena s umístěním zkoumaného subjektu (např. stromu) v prostoru. vztah mezi y a X = (X 1, X 2,,X p ) není v celém studovaném prostoru konstantní
Prostorová variabilita e1 e2 e1 e2 e3 e4 e3 e4 globální model předpokládá stejné parametry lokální model parametry modelu se v prostoru mění
Jak řešit problém prostorové nestability modelu? rozdělením na homogenní oblasti (stratifikace) f ( x) i k f ( x) x ik k h k hk x k f ( x) j k jk x k vytvořením prostorově závislého modelu, jehož parametry se mění jako funkce polohy (GWR)
Geograficky vážená regrese (GWR) relativně nová metoda umožňující odhad parametrů regresního modelu při zohlednění vlivu prostorové nestability proměnných. Tento přístup umožňuje lokálně zpřesnit parametry globálních modelů. Autoři metody: A. S. Fotheringham, Ch. Brunsdon, M. Charlton Základní publikace: Geographically Weighted Regression (the analysis of spatially varying relationships). J.Wiley and Sons, Ltd., 2002, 269 s., ISBN 0-471-49616-2 informace na internetu: http://ncg.nuim.ie/ncg/gwr/index.htm
MNČ vs. GWR MNČ GWR p i 0 X ij β j + εi j=1 y = β + p u, v u, v + ε y=β + X β i 0 i i ij j i i i j=1 ˆ T β = X X -1 T X y -1 ˆ T β = X WX X T i i i Wy W i w 0 0 i1 0 w 0 i2 0 0 w in
Stanovení vah pro výpočet parametrů Vychází se ze základního předpokladu, že hodnoty parametrů v bodě i jsou nejvíce ovlivněny blízkými měřeními a váha měření se vzdáleností od bodu i klesá. Jak definovat tyto váhy a jak určit konkrétní váhy okolních měření?
Stanovení vah pro výpočet parametrů Pro výpočet vah w ik se používá jádrová funkce (kernel function) K(d ik ) s těmito vlastnostmi: K(0) = 1 d ik lim K d = 0 K(d ik ) je monotónně klesající funkce pro kladná reálná čísla
Typy jádrové funkce jádrová funkce klesající podle Gaussovy funkce úměrně se vzdáleností (Gaussian distance-decay-based kernel function) definovaná Váhová funkce w = e ik - d ik h 2 Šířka jádra
Typy jádrové funkce metoda nejbližšího souseda (the nearest neighbor kernel function) definovaná w ik 2 2 d ik 1 pro h i 0 pro d d ik ik h > h i i Váhová funkce Šířka jádra
Volba šířky jádra - experimentátorem určená, předdefinovaná (např. podle předchozích výzkumů, údajů z literarury apod.) - technika založená na krosvalidaci (CV), tj. minimalizaci funkce 2 i ˆi i CV = y - y h - minimalizace Akaikova informačního kritéria AIC (je výhodné v tom, že je ho možno použít i v jiných modelech než lineárním, např. v Poissonově nebo logistickém)
Posouzení přínosu GWR oproti MNČ Metoda testuje, zda model získaný pomocí GWR dává statisticky významně přesnější model než globální MNČ. Testuje se pomocí F testu (ANOVA) DSS RSS RSS 0 1 F DSS / RSS / 1 1 1 RSS 0 reziduální suma čtverců MNČ RSS 1 reziduální suma čtverců GWR
Výsledky modelu 1. Parametry MNČ modelu + obvyklé statistiky (testy význmanosti, intervalové odhady, rezidua, ) 2. Parametry GWR modelu + obvyklé statistiky (testy význmanosti, intervalové odhady, rezidua, ) 3. Test přínosu GWR metody 4. Regresní diagnostiky
Příklad Zhang, L. at all.: Modeling spatial variation in tree diameter height relationships. Forest Ecology and Management 189 (2004) 317 329 Model: H 0 DBH 1 ln(h) = ln( 0 ) + 1.DBH
Příklad
Příklad
Příklad
Příklad
Příklad
Příklad
Příklad