Struktura a vlastnosti plynů Ideální plyn
Ideální plyn Protože popsat chování plynů je nad naše možnosti, zavádíme zjednodušený model tzv. ideálního plynu, který má tyto vlastnosti: Částice ideálního plynu jsou hmotné body. Důsledek: Ideální plyn lze stlačit na jakkoli malý objem. Částice na sebe nepůsobí žádnými silami s výjimkou vzájemných srážek anebo nárazů do stěn nádoby. Důsledek: Částice se pohybují volně a mezi dvěma srážkami rovnoměrně přímočaře. Ideální plyn nelze zkapalnět. Srážky jsou dokonale pružné, tzn. platí zákon zachování hybnosti a mechanické energie.
Rychlost molekul ideálního plynu Částice ideálního plynu se pohybují všemi směry a všemi rychlostmi. Ale velmi rychlých i velmi pomalých je málo a většina částic má rychlost blízkou jakési střední hodnotě. Tuto skutečnost vyjadřuje experimentálně ověřitelný graf rozdělení počtu částic podle rychlostí, na jehož osu x nanášíme rychlost v a na osu y počet částic, které mají rychlost z intervalu v,v+.
Graf 200 rozdělení počtu částic podle rychlostí n 922 800 N = 2.0 6 molekul H 2 T = 300 K 400 0 2000 v/m/s 0 2000 4000 6000 8000 0000
Rozdělení molekul podle rychlostí Z grafu vyplývá: Z 2 milionů molekul vodíku při teplotě 300 K jich má právě 922 rychlost z intervalu 2000; 200 ms -. Vidíme, že křivka má zřetelné maximum. Rychlost, kterou se pohybuje největší počet částic, nazýváme nejpravděpodobnější (vp).
200 n 050 N = 2.0 6 molekul H 2 T = 300 K 800 V p = 580 ms - 400 0 58O v/m/s 0 2000 4000 6000 8000 0000
Graf rozdělení rychlostí Je pochopitelné, že při změně teploty se mění rychlosti částic a v důsledku toho i tvar grafu. 200 n T = 00 K N =,3.0 6 molekul H 2 800 T 2 = 300 K 400 T 3 = 000 K 0 v/m/s 0 2000 4000 6000 8000 0000
Statistický popis ideálního plynu Protože nelze určit rychlosti, polohy či energie všech molekul (jsou velmi malé, velmi rychlé a v plynu je jich velmi mnoho), popisujeme ideální plyn statisticky. Důležitou roli hraje průměrná energie částic neboli tzv. energie střední (E 0 ). E 0 E E 2... n E n Této střední energii E 0 odpovídá jistá rychlost, kterou nazýváme střední kvadratickou (v k ). E 0 2 hmotnost částice 2 m č v k
Statistický popis ideálního plynu I když se částice plynu pohybují různými rychlostmi a ty se při srážkách stále mění, můžeme rychlost částic určit statisticky: Průměrná rychlost nejpravděpodobnější rychlost, kterou bychom u částic naměřili. Střední kvadratická rychlost taková rychlost, kterou kdyby měly všechny částice id. plynu, tak by jejich kinetická energie byla rovna vnitřní energii ideálního plynu.
Vnitřní energie Nechá se dokázat, že střední energie závisí pouze na teplotě a to přímo úměrně. Protože ideální plyn má nulovou potenciální energii (částice na sebe nepůsobí silami), je vnitřní energie částice ideálního plynu rovna kinetické energii a tedy střední energii částic E 0 tedy vypočtu tak, že teplotu vynásobíme vhodnou konstantou: k Boltzmannova konstanta 3 k =,38 0-23 JK - E 0 2 kt částice se může pohybovat třemi směry
Vnitřní energie ideálního plynu Všechny plyny mají kinetické energie při téže teplotě sice stejné. To však již neplatí pro jejich střední kvadratické rychlosti. Tepelný pohyb méně hmotných částic je tedy intenzivnější než pohyb částic více hmotných. E v 0 k 3 2 kt 3kT m č 2 2 m č v k T = 500 K
Tlak ideálního plynu
Tlak plynu Je způsoben nárazy částic plynu na stěny nádoby. Protože na danou plochu S dopadá za určitou dobu různý počet částic o různých rychlostech, tak tlak velmi rychle kolísá. Mluvíme pak o fluktuaci tlaku. Přístroje pak nejsou schopny tyto rychlé změny registrovat a měří určitou střední hodnotu tlaku.
**Tlak plynu závisí na: počtu částic v nádobě (N) objemu nádoby (V) hmotnosti částice (mč) střední kvadratické rychlosti (vk) Tlak plynu tedy mohu vyjádřit: p N 2 m č v k 3 V Na danou plochu dopadá pouze třetina částic.
**Tlak plynu Předešlý vztah mohu dále upravovat: 2 3 k č v V m N p č m N m + m hmotnost plynu 2 3 v k V m p V m + 2 3 p v k hustota plynu
STAVOVÁ ROVNICE
**Tlak plynu Nevýhodou rovnice pro výpočet tlaku plynu je to, že obsahuje veličiny, které nemůžeme přímo měřit (v k, m č, N v ). Naším cílem tedy bude napsat ji pouze pomocí veličin, které měřit můžeme. Když totiž zkombinujeme: 3 2 kt 2 2 m č v k p 3 N V 2 m č v k p 3 N 3 V k T p V N k T
Stavová rovnice Rovnice p.v=n.k.t obsahuje pouze veličiny popisující stav (tzv. stavové veličiny). Ty pak lze již měřit (p, V, T) nebo snadno vypočítat (N). Stavovou rovnici můžeme vyjádřit také následujícím vztahem: p V T n R p V konst p V p V 0 0 T T T 0
**Úpravy stavové rovnice Do stavové rovnice můžeme dosadit počet částic i v molech: pv N k T N n + Na pv n N k T a + R N a k p V n RT p V R T n látkové množství N a Avogadrova konstanta (N a =6,022.0-23 mol - ) R univerzální plynová konstanta (R=8,3 J.mol-K- M m molární hmotnost m M m
TEPELNÉ DĚJE V PLYNECH
Děje v plynu Souvislost mezi tlakem (p), objemem (V) a teplotou (T) ideálního plynu vyjadřuje stavová rovnice, kterou můžeme zapsat např. v tomto tvaru: p V T konst Při tepelných dějích v plynech je pak jedna stavová veličina (p, V nebo T) konstantní a ostatní dvě se mění. Dostáváme tak čtyři tepelné děje: Izotermický Izochorický Izobarický Adiabatický
Izotermický děj Izotermickým dějem rozumíme změny tlaku plynu způsobené změnami jeho objemu při konstantní teplotě. (Jestliže plyn svůj objem zvětšuje, mluvíme o izotermické expanzi, v opačném případě o izotermické kompresi.) Závislost tlaku plynu na jeho objemu při konstantním teplotě je možno popsat rovnicemi: p V p 0 V 0 konst, p 0, V 0 počáteční tlak a teplota p, V konečný tlak a teplota p V T konst tj. tlak je nepřímo úměrný objemu.
**Izotermický děj Grafem závislosti tlaku na objemu je křivka zvaná izoterma. (Matematicky se jedná o hyperbolu.) 3 2,5 p/mpa Závislost tlaku plynu na jeho objemu při izotermickém ději (izotermy při různých teplotách) 2,5 T 2 = 600 K T = 300 K T 3 = 900 K 0,5 0 0 2 4 6 8 0 V/l
**Izotermický děj Při izotermickém ději se koná práce (plyn působí na píst silou po dráze). Jestliže plyn zvětšuje svůj objem, pak teplota klesá, a jestliže svůj objem snižuje, pak teplota roste. Má-li pak být stlačování resp. rozpínání plynu izotermické (tj. při konstantní teplotě), musí být velmi pomalé, aby se teplota plynu vyrovnávala s teplotou okolí. První termodynamický zákon pro izotermický děj Při izotermickém ději nemění plyn svoji teplotu, proto je změna jeho vnitřní energie nulová, tzn. všechno dodané teplo se mění na práci: Q W
**Adiabatický děj Adiabatický děj je rychlé rozpínání plynu (adiabatická expanze) nebo jeho stlačování (adiabatická komprese) provázená výraznými změnami teploty. Závislost tlaku plynu na jeho objemu můžeme popsat takto: p V nebo p 0 V 0 konst p... Poissonova V konst.
**Adiabatický děj Grafem závislosti tlaku na objemu je křivka zvaná adiabata. Ve srovnání s izotermou je strmější. p/mpa 00 Adiabata ve srovnání s izotermou 90 80 70 adiabata 60 50 40 30 20 izoterma 0 0 0 2 4 6 8 0 V/l
**Adiabatický děj První termodynamický zákon pro adiabatický děj Při adiabatickém ději plyn nepřijímá ani neodevzdává teplo, tzn. první termodynamický zákon se redukuje na tvar: U W Práce se tedy koná na úkor vnitřní energie. 3 2 k N T
Izobarický děj Izobarickým dějem rozumíme změny objemu plynu vyvolané změnami teploty při konstantním tlaku. Může se jednat o izobarickou expanzi nebo kompresi. Závislost objemu plynu na teplotě při konstantním tlaku je možno popsat rovnicemi: V T V T 0 0 konst, Objem je přímo úměrný teplotě. V T p konst
**Izobarický děj Izobarický děj můžeme v pv-diagramu zobrazit izobarou (graf konstantní funkce). p/mpa Izobara 00 90 80 70 60 50 40 30 20 0 0 0 2 4 6 8 V/l 0
**Izobarický děj Při izobarickém ději se koná práce, protože plyn působí silou po dráze. Práce je rovna obsahu plochy pod izobarou: Plocha pod grafem je obdélník, jehož obsah p/mpa vypočteme snadno: 80 70 Práce vykonaná plynem se rovná obsahu plochy pod izobarou 60 50 W S p V 40 30 20 W 0 0 0 2 4 6 8 0 V/l
**Izobarický děj První termodynamický zákon pro izobarický děj Q U W c p m T U p V c p měrná tepelná kapacita při konstantním tlaku
Izochorický děj Izochorickým dějem rozumíme změny tlaku plynu vyvolané změnami teploty při konstantním objemu. Závislost objemu plynu na teplotě při konstantním tlaku je možno popsat rovnicemi: p T p T 0 0 konst, Tlak je přímo úměrný teplotě. p T V konst
**Izochorický děj Izochorický děj můžeme v pv-diagramu zobrazit izochorou. p/mpa 00 Izochora 90 80 70 60 50 40 30 20 0 0 0 2 4 6 8 V/l 0
**Izochorický děj Objem plynu je konstantní, a proto plyn nekoná práci. (Obsah plochy pod izochorou je nulový.) První termodynamický zákon pro izochorický děj Q U c v mt U c v měrná tepelná kapacita při konstantním objemu
**Ohřívání plynu Plyn můžeme zahřívat izobaricky (p=konst) nebo izochoricky (V=konst). Při izobarickém ohřevu se však část dodaného tepla změní na práci, a proto není nárůst teploty tak velký, jako když plyn ohříváme izochoricky. Proto také platí: c c c c p p v c p v c v
**Plyn při nízkém a vysokém tlaku
KRUHOVÝ DĚJ
Kruhový děj Kruhový děj je určitá posloupnost tepelných dějů (izotermického, adiabatického, izochorického nebo izobarického), která je volena tak, aby se plyn po určité době vracel do výchozího stavu a periodicky konal nenulovou práci. Kruhový děj využívají tepelné motory, což jsou technická zařízení, která mění teplo na práci. Jejich důležitou součástí je válec s pracovním plynem, jenž je uzavřen pístem. Zdrojem tepla je pak ohřívač, nutný je i chladič.
Cykly kruhového děje. Na počátku má plyn vysokou teplotu a tlak a malý objem je připravený se rozpínat a konat práci 2. Rozpínat se může adiabaticky, izotermicky anebo izobaricky (zde adiabaticky). (část -2 grafu) 3. Píst je nyní na konci válce a musíme jej vrátit zpět. K tomu je ovšem potřeba síla. Protože však plyn má stále vysoký tlak, na jeho stlačení bychom museli vynaložit veškerou práci, kterou jsme při rozpínání získali.
4. Plyn tedy ochladíme zde izochoricky, ale možno i adiabaticky anebo izobaricky. (2-3 v grafu) 5. Nyní již vnější silou navrátíme píst do výchozí polohy. (zde adiabaticky) Sice musíme vynaložit jistou práci, ta je ale menší než ta, kterou jsme při expanzi získali. (3-4 v grafu) 6. Píst je sice ve výchozí poloze, plyn má však nízkou teplotu. Proto jej ohřejeme (zde izochoricky). (4- v grafu) 7. Píst je v původní poloze a plyn ve výchozím stavu; celý cyklus se tedy může opakovat práce se koná periodicky.
** p/mpa 20 5Q 4 =64,6 kj Kruhový děj pro 3,2 mol H T =500 K 2 adiabatická expanze 23 izochorické ochlazen 34 adiabatická kompres 4 izochorický ohřev 0 4 W 2 =42,0 kj T 4 =500 K 5 2 T 2 =850 K Q W 34 =-4,0 kj 23 =-36,6 kj 3 T 0 3 =283 K 0 2 4 6 8 0 V/l
Práce při kruhovém ději Práce ideálního plynu je vždy určena plochou pod křivkou, znázorňující děj v pv diagramu Práce, kterou jsme získali při adiabatické expanzi, se rovná obsahu plochy pod adiabatou. Práce, kterou jsme museli vrátit při adiabatické kompresi, se také rovná obsahu plochy pod adiabatou. Výsledná práce je tedy obsahem plochy omezené grafem kruhového děje.
Práce při kruhovém ději p/mpa 20 5 0 5 W 0 0 2 4 6 8 0 V/l
Schéma tepelného motoru Ohřívač T =500 K Q = 64,6 kj Plyn ve válci s pístem W=28,0 kj Q 2 = 36,6 kj Chladič T 2 =283 K
Účinnost kruhového děje Tepelný motor získává teplo z ohřívače (Q ), část je přemění na práci (W) a zbytek odevzdá chladiči (Q 2 ), přičemž evidentně platí: Q = Q 2 + W Teplo odevzdané chladiči představuje ztráty. K posouzení velikosti těchto ztrát zavádíme fyzikální veličinu účinnost (): Q Q Q V našem případě je pak účinnost: 28,0 0,434 43,4% 64,6 2 W Q
Carnotův cyklus Existuje pak kruhový děj, jenž má při daných teplotách ohřívače a chladiče nejvyšší účinnost. Tímto dějem je Carnotův cyklus. Účinnost Carnotova cyklu: T T T 2 T T 2 V našem případě tedy: 500 30 0,247 24,7% 500
** p/mpa 20 5 T =500 K Carnotův cyklus 2 izotermická expanse 23 adiabatická expanse 34 izotermická komprese 4 adiabatická komprese 0 5 T 4 =30 K 4 2 T 2 =500 K T 3 =30 K 3 0 0 2 4 6 8 0 V/l
Z Carnotova cyklu plyne: Carnotův cyklus má tím větší účinnost, čím větší je rozdíl teplot (tepelný spád) mezi ohřívačem a chladičem. Je možné sestrojit tepelný stroj se 00% účinností? Ze vztahu pro účinnost vyplývá, že je to možné, pouze pokud by teplota chladiče byla 0 K to není možné. 3. termodynamický zákon: Není možné dosáhnout teploty 0 K. 2. možností je sestrojit tepelný stroj, který by ke své činnosti nepotřeboval chladič. To je také nemožné.
Perpetuum mobile 2. druhu Je takový tepelný stroj, který má účinnost 00%, neboli je to takový stroj, který ke své činnosti nepotřebuje chladič. Ohřívač T =500 K Q = 00 kj Plyn ve válci s pístem W=00 kj Q 2 = 0 J
2. termodynamický zákon: Není možné sestrojit periodicky pracující tepelný stroj, který by jen přijímal teplo od určitého tělesa (ohřívače) a měnil by je v ekvivalentní práci (tj. vykonával stejně velkou práci). Jiná formulace: Teplo nemůže samovolně (tj. bez konání práce) přecházet z tělesa chladnějšího na těleso teplejší.