Úvod do teorie měření (stručný výběr otázek a témat)
Obsah 1. LOGICKÉ SCHÉMA EXPERIMENTÁLNÍ PRÁCE 2. METROLOGIE 3. ZÁKLADNÍ POJMY POČTU PRAVDĚPODOBNOSTI 4. ZÁKLADY TEORIE CHYB 5. NEJISTOTY MĚŘENÍ 6. METODY PRO ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ 7. LITERATURA
Trest smrti hrozil tomu, kdo zapomněl nebo zanedbal svoji povinnost zkalibrovat své měřidlo délky při každém úplňku. Takové bylo riziko královských architektů odpovědných za budování chrámů a pyramid pro faraony ve starém Egyptě tři tisíce let před naším letopočtem. První královský loket byl definován jako délka předloktí od lokte ke špičce nataženého prostředníčku vládnoucího faraona, plus šířka jeho ruky. Prvotní měření bylo přeneseno na černou žulu a do ní vytesáno. Pracovníkům na staveništích byly předány žulové nebo dřevěné kopie a architekti byli odpovědni za jejich udržování.
Měření Náklady na měření a vážení v dnešní Evropě představují plných 6 % celkového hrubého národního produktu. Metrologie se stala přirozenou součástí našeho každodenního života. Dřevěná prkna i kávu nakupujeme podle velikosti a váhy; měříme odběr vody, elektřiny a tepla, a důsledky toho pociťujeme v našich peněženkách. Váhy v koupelně nám kazí náladu, stejně jako policie kontrolující rychlost jízdy a případné finanční postihy. Množství aktivních látek v lécích, měření krevního vzorku i účinek chirurgova laseru musí být zcela přesné, nemá-li být ohroženo zdraví pacienta.
Úvod Kvantitativně formulovaný fyzikální zákon není nic jiného, než matematicky model fyzikálního děje. Model vytváří člověk fyzik, děj probíhá v přírodě nezávisle na pozorovateli. Jde o to, aby pozorováni byla provedena dostatečně přesně a jejich statistické zpracováni kvalitně, aby formulace zákona co nejpřesněji popisovala průběh děje. Při formulaci zákona hraje důležitou roli i syntéza dílčích poznatků vhodné zobecněni. Při jiných podmínkách nebo při přesnějšim měřeni můžeme zjistit méně či více významné odchylky od doposud užívaného zákona. Přikladem může být druhý Newtonův pohybový zákon (1687) a jeho korekce Einsteinovou teorii relativity (1905).
Příklad časté chyby měření Při vážení na vzduchu vzniká soustavná chyba měření v důsledku různého vztlaku, má-li předmět jinou hustotu než závaží. Tuto chybu lze korigovat!!
1. LOGICKÉ SCHÉMA EXPERIMENTÁLNÍ PRÁCE Hlavní zásady experimentální práce. Schéma experimentální práce. Protokol o měření. Podmínky měření.
Úspěch měřeni podmiňuje jeho dobrá příprava. Experimentátor si musí nejprve prostudovat potřebnou teorii zkoumaného jevu, vybrat vhodnou metodu, opatřit si měřici přístroje s potřebnými rozsahy a předpokládanou přesnosti (případně si je ocejchovat), dále vhodné vzorky k měřeni a další pomůcky.
Úspěch měřeni podmiňuje jeho dobrá příprava. Před vlastnim měřením je také nutné uvážit, jaké vnější faktory mohou ovlivnit měřeni (tomu je nutné mj. podřídit např. umístění přístrojů), je potřebné znát i místní laboratorní podmínky teplotu, tlak, vlhkost, případně rušivé magnetické pole, tepelné, světelné nebo radioaktivní pozadí.
Úspěch měřeni podmiňuje jeho dobrá příprava. Je rovněž vhodné včas si uvědomit, jakými soustavnými chybami bude měřeni zatíženo (ať již z důvodů použitých přístrojů nebo metody). Nakonec je také nutné věnovat patřičnou pozornost přípravě měřených vzorků a manipulaci s nimi.
Vlastní měřeni Na dobrou přípravu navazuje druha etapa vlastni měřeni. Jeho konkrétní průběh závisí na tom, jakou veličinu měříme a jakou použijeme metodu měřeni.
Vlastní měřeni Všeobecná doporučeni: před detailním měřením je vhodné proběhnout zhruba celé měřeni, abychom např. věděli, v jakých rozsazích hodnot veličin budeme měřit, zda nevznikají zřetelné extrémy (rezonanční maxima nebo stavy nulového vyváženi). Také si připravíme vhodné tabulky pro zápis hodnot naměřených veličin.
Vlastní měřeni Vlastni měřeni je proces, ve kterém se slučuje teoretická příprava s dobrou manuální zručnosti a zkušeností. K měřeni musíme přistupovat s rozvahou, klidem a vyvarovat se zmatkovaní. Jinak lze očekávat nejen neúspěch při experimentu, ale i např. zničeni přístrojů nebo újmu na zdraví.
Vlastní měřeni Schopnost dobrého experimentováni získáme jen vhodnou a trpělivou laboratorní prací.
Zpracování dat měřeni Tato etapa se bohužel velmi často podceňuje, což znehodnocuje celý proces fyzikálního měření.
Zpracování dat měřeni Je mylné představovat si, že experiment sestavený podle všech zásad s vhodnými měřícími přístroji bude dávat pouze přesný a správný výsledek. Jelikož v případě (náhodných) chyb měřeni jde o náhodné veličiny, bude vhodné před vlastními postupy zpracováni dat měřeni stručně uvést základní poznatky o teorii náhodných chyb, jak je zpracovala matematická statistika.
Zpracovaní dat měřeni Pochopení základních pojmů matematické teorie náhodných chyb je nezbytné pro úspěšné uskutečňování praktických postupů zpracováni dat fyzikálních měření.
2. METROLOGIE Pojem metrologie, rozdělení metrologie. Základní metrologické pojmy. Metrologické činnosti. Metrologické pojmy vztahující se k měření. Pravá hodnota veličiny. Pojem chyba a nejistota měření. Klasifikace chyb a nejistot měření.
Návaznost Návaznost je vlastnost výsledku měření nebo hodnoty etalonu, kterou může být určen vztah k uvedeným referencím zpravidla státním nebo mezinárodním etalonům, přes nepřerušený řetězec porovnání (řetězec návaznosti), jejichž nejistoty jsou uvedeny. Pro průmysl v Evropě se zajišťuje návaznost na nejvyšší mezinárodní úrovni především využíváním akreditovaných evropských laboratoří a národních metrologických institutů..
Metrologický systém
Kalibrace Základním prostředkem při zajišťování návaznosti měření je kalibrace měřidel. Tato kalibrace zahrnuje určení metrologických charakteristik přístroje. To se provádí pomocí přímého srovnání s etalony. Vystavuje se kalibrační certifikát a (ve většině případů) připevňuje se štítek na kalibrované měřidlo. Na základě těchto informací může uživatel určit, zda je přístroj vhodný pro danou aplikaci.
Kalibrace Existují tři důvody, proč je třeba přístroje kalibrovat: 1. Zajistit, aby údaje uváděné přístrojem byly konzistentní s jiným měřením. 2. Stanovit správnost údajů uváděných přístrojem. 3. Zjistit spolehlivost přístroje, tj. zda je možno se na něj spolehnout.
Kalibrace Kalibrací přístroje lze dosáhnout následujících skutečností: Výsledek kalibrace umožní buď přičlenění hodnot měřených veličin k indikovaným hodnotám, nebo stanovení korekcí vůči indikovaným hodnotám. Kalibrace může rovněž určit další metrologické vlastnosti, jako je účinek ovlivňujících veličin. Výsledek kalibrace lze zaznamenat v dokumentu, který se někdy nazývá kalibrační certifikát nebo zpráva o kalibraci.
Etalony Etalon je ztělesněná míra, měřicí přístroj, měřidlo, referenční materiál či měřicí systém určený k definování, realizaci, uchování či reprodukci jednotky nebo jedné či více hodnot určité veličiny mající sloužit jako reference. Příklad: Metr je definován jako délka dráhy, kterou urazí světlo v časovém intervalu 1/299 792 458 sekundy.
Některé státní etalony ČR a příslušné laboratoře Státní etalon jednotky hmotnosti 1 kg
Základní jednotky SI Základní jednotky jsou vhodně zvolené jednotky základních veličin. Každá základní veličina má pouze jedinou hlavní jednotku, která slouží současně jako základní jednotka. V mezinárodní soustavě jednotek SI je sedm základních jednotek v dohodnutém pořadí
Základní jednotky SI Veličina Jednotka Značka délka metr m hmotnost kilogram kg čas sekunda s elektrický proud ampér A termodynamická teplota kelvin K látkové množství mol mol svítivost kandela cd
Základní jednotky SI metr délka dráhy, kterou proběhne světlo ve vakuu za 1/299 792 458 sekundy kilogram hmotnost mezinárodního prototypu kilogramu uloženého v Mezinárodním úřadě pro váhy a míry v Sévres u Paříže sekunda doba rovnající se 9 192 631 770 periodám záření, které odpovídá přechodu mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu atomu cesia 133 ampér stálý elektrický proud, který při průchodu dvěma přímými rovnoběžnými nekonečně dlouhými vodiči zanedbatelného kruhového průřezu umístěnými ve vakuu ve vzájemné vzdálenosti 1 metr vyvolá mezi nimi stálou sílu 2.10-7 newtonu na 1 metr délky vodiče kelvin kelvin je 1/273,16 termodynamické teploty trojného bodu vody mol mol je látkové množství soustavy, která obsahuje právě tolik elementárních jedinců (entit), kolik je atomů v 0,012 kilogramu nuklidu uhlíku 12 6 C (přesně) kandela kandela je svítivost zdroje, který v daném směru vysílá monochromatické záření o kmitočtu 540.10 12 hertzů a jehož zářivost v tomto směru je 1/683 wattu na steradián
Doplňkové jednotky Doplňkové jednotky jsou to takové jednotky, o nichž Generální konference pro váhy a míry dosud nerozhodla, zda mají být zařazeny mezi základní jednotky nebo jednotky odvozené.
Doplňkové jednotky Veličina Jednotka Značka rovinný úhel radián rad prostorový úhel steradián sr radián rovinný úhel sevřený dvěma polopřímkami, které na kružnici opsané z jejich počátečního bodu vytínají oblouk o délce rovné jejímu poloměru. steradián prostorový úhel s vrcholem ve středu kulové plochy, který na této ploše vytíná část s obsahem rovným druhé mocnině poloměru této kulové plochy.
Odvozené jednotky Odvozené jednotky vznikají pomocí fyzikálních definičních vztahů z jednotek základních nebo doplňkových. K vytváření dalších odvozených jednotek mohou být použity odvozené jednotky, které mají samostatný název. Odvozené jednotky jsou koherentní vzhledem k jednotkám základním, resp. doplňkovým. Některé odvozené jednotky jsou uvedeny v tabulce.
Odvozené jednotky Jednotka Značka Veličina Fyzikální rozměr m² plošný obsah m² m³ objem m³ m -1 vlnočet m -1 hertz Hz frekvence s -1 m/s rychlost m s -1 rad/s úhlová rychlost rad s -1 m/s² zrychlení m s -2 rad/s² úhlové zrychlení rad s -2 kg/m³ hustota kg m -3 m³/kg měrný objem m³ kg -1 newton N síla m kg s -2 pascal Pa tlak, napětí m-1 kg s-2 pascalsekunda dynamická viskozita m-1 kg s Ω -1 m²/s kinematická viskozita m² s -1 joule J energie, práce, teplo m² kg s -2 watt W výkon m² kg s -3 N m moment síly m² kg s -2 N/m povrchové napětí kg s -2 coulomb C elektrický náboj s A C/m³ hustota elektrického náboje m -3 s A volt V elektrické napětí, potenciál m² kg s -3 A-1 V/m intenzita elektrického pole m kg s -3 A-1 ohm elektrický odpor m² kg s -3 A-2 siemens S elektrická vodivost m-2 kg-1 s³ A² farad F elektrická kapacita m-2 kg-1 s 4 A² C/m² elektrická indukce m -2 s A farad na metr permitivita m-3 kg-1 s 4 A² henry H indukčnost m² kg s -2 A-2 H/m permeabilita m kg s -2 A-2 weber Wb magnetický indukční tok m² kg s -2 A-1 tesla T magnetická indukce kg s -2 A-1 A/m intenzita magnetického pole m -1 A J/K tepelná kapacita m² kg s -2 K-1 J/mol molární vnitřní energie m² kg s -2 mol -1 W/m² hustota tepelného toku kg s -3 W/sr zářivost m² kg s -3 sr-1 lumen lm světelný tok cd sr lux lx osvětlení m -2 cd sr cd/m² jas m -2 cd becquerel Bq aktivita s -1 C/kg ozáření (expozice) kg -1 s A gray Gy dávka m² s -2 Gy/s dávková rychlost m² s -3
Násobné a dílčí jednotky Předpona Název Značka Původ Znamená násobek exa E řečtina (exa = šest) 1 000 000 000 000 000 000 1018 1 000 000 000 000 000 peta P řečtina (pente = pět) 1015 tera T řečtina (teras = nebeské znamení) 1 000 000 000 000 1012 giga G řečtina (gigas = obr) 1 000 000 000 109 mega M řečtina (megas = veliký) 1 000 000 106 kilo k řečtina (chiliolo = tisíc) 1 000 103 mili m latina (mille = tisíc) 0,001 7 mikro µ řečtina (mikros = malý) 0,000 001 4 nano n latina (nanus = trpaslík) 0,000 000 001 1 piko p italština (piccolo = maličký) 0,000 000 000 001-2 femto f dánština (femten = patnáct) atto a dánština (atten = osmnáct) 0,000 000 000 000 001-5 0,000 000 000 000 000 001-8
Násobné a dílčí jednotky Kromě těchto předpon je možno užívat i předpon odstupňovaných po jednom dekadickém řádu. Užívání těchto předpon je dovoleno jen ve zvláštních případech, tj. např. hektolitr (hl) nebo centimetr (cm), kterých se běžně užívalo před zavedením nové normy. Všeobecně se dává přednost užívání předpon odstupňovaných podle třetí mocniny deseti. Předpona Název Značka Původ Znamená násobek hekto h řečtina (hekaton = sto) 100 102 deka da řečtina (dekas = deset) 10 101 deci d latina (decem = deset) 0,1 9 centi c latina (centum = sto) 0,01 8
Násobné a dílčí jednotky Zásady pro správné používání předpon: 1. Předpony se zásadně týkají mocnin deseti (a nikoli například mocnin dvou) Příklad: Jeden kilobit představuje 1000 bitů a nikoli 1024 bitů 2. Předpony musí být psány bez mezery před značku dané jednotky. Příklad: Centimetr se píše jako cm a nikoli c m 3. Nelze používat kombinaci předpon. Příklad: 10-6 kg musí být psáno jako 1 mg a nikoli 1µkg 4. Předponu nelze psán samostatně. Příklad: 10 9 /m 3 nelze psát jako G/m 3
Vedlejší jednotky Vedlejší jednotky nepatří do soustavy SI, ale norma povoluje jejich používání. Tyto jednotky nejsou koherentní vůči základním nebo doplňkovým jednotkám SI. Jejich užívání v běžném praktickém životě je ale tradiční a jejich hodnoty jsou ve srovnání s odpovídajícími jednotkami SI pro praxi vhodnější. Bylo tedy nutné (a vhodné) povolit jejich užívání. K vedlejším jednotkám času a rovinného úhlu se nesmějí přidávat předpony. Předpony nelze také používat u astronomické jednotky, světelného roku, dioptrie a atomové hmotnostní jednotky. Lze používat také jednotek kombinovaných z jednotek SI a jednotek vedlejších nebo i kombinované z vedlejších jednotek, např. km h -1 nebo l min -1 apod. Bez časového omezení lze používat poměrových a logaritmických jednotek (např. číslo 1, procento, bel, decibel, oktáva) s výjimkou jednotky neper.
Vedlejší jednotky Veličina Jednotka Značka Vztah k jednotkám SI délka astronomická jednotka UA (AU) 1 UA = 1,49598 10 11 m parsek pc 1 pc = 3,0857 10 16 m světelný rok ly 1 ly = 9,4605 10 15 m atomová hmotnostní hmotnost jednotka u 1 u = 1,66057 10-27 m tuna t 1 t = 1000 kg čas minuta min 1 min = 60 s hodina h 1 h = 3600 s den d 1 d = 86 400 s teplota Celsiův C 1 C = 1 K rovinný úhel úhlový stupeň 1 = (π/180) rad úhlová minuta ' 1 ' = (π/10800) rad úhlová vteřina " 1 " = (π/648000) rad grad (gon) g (gon) 1 g = (π/200) rad plošný obsah hektar ha 1 ha = 10 4 m² objem litr l 1 l = 10-3 m³ tlak bar b 1 b = 10 5 Pa energie elektronvolt ev 1 ev = 1,60219 10-19 J optická mohutnost dioptrie Dp, D 1 Dp = 1 m -1 zdánlivý výkon voltampér VA jalový výkon var var
Skutečná hodnota veličiny je hodnota, kterou měřená veličina nabývá za podmínek existujících v okamžiku, kdy je měřena. Skutečná hodnota je hodnota ideální, protože v reálné světě nemůže být přesně zjištěna. Rozdíl hodnoty x zjištěné měřením fyzikální veličiny a její skutečné hodnoty x 0 se nazývá chyba měření e Takto definovaná chyba měření se nazývá také absolutní chyba, zatímco poměr absolutní chyby a skutečné hodnoty se nazývá relativní chyba
Zápis veličiny Každá veličina se vyjadřuje součinem číselné hodnoty její velikosti a její jednotky: A= {A}.[A], kde A je značka veličiny a {A} značka její číselné hodnoty vyjádřené v jednotce [A]. Jednotka fyzikální veličiny je zvolená veličina specifikovaná jako referenční veličina.
Jak na chyby Existence náhodných chyb vyvolává potřebu řešení dvou problému: - jakým způsobem určit ze souboru vzájemně odlišných naměřených hodnot výsledek měření, který se nejvíce blíží správné hodnotě měřené veličiny - jakým způsobem charakterizovat odchylku výsledku měření od správné hodnoty, tj. jak určit velikost náhodné chyby (velikost nejistoty typu kapitola o nejistotách) zjištěného výsledku opakovaných měření.
3. ZÁKLADNÍ POJMY POČTU PRAVDĚPODOBNOSTI Náhodná veličina a její charakteristiky. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Základní statistický soubor, výběr ze základního statistického souboru. Odhady parametrů základního statistického souboru, konfidenční interval.
Základní statistické pojmy Údaje o hodnotě spojitě proměnné veličiny se získávají měřením (např. měřením teploty, hustoty apod.), údaje o hodnotě nespojité (diskrétní) veličiny se získávají čítáním (např. určením počtu částic emitovaných zdrojem ionizujícího záření). Soubory takto zjištěných náhodných kvantitativních údaju se nazývají statistické soubory. Náhodnou veličinu označujeme velkým písmenem (např. X, Y..), jednotlivé hodnoty ze statistického souboru malými písmeny ( např. x i, y j ), celkový počet hodnot ve statistickém souboru symbolem n. Počet případů, v nichž se určitá hodnota x i vyskytne ve statistickém souboru se nazývá absolutní četnost n i, podíl n i / n je relativní četnost f i.
Funkce náhodných veličin O chování náhodných veličin lze uvádět pouze pravděpodobnostní výroky. To znamená, že např. četnost výskytu určité hodnoty náhodné veličiny v daném statistickém souboru nemůžeme stanovit s jistotou, ale pouze s určitou pravděpodobností.
Funkce náhodných veličin Možnosti výskytu určitých hodnot ve statistickém souboru, tj. přirazení pravděpodobností k hodnotám náhodné veličiny, proto popisujeme pomocí rozdělení pravděpodobnosti. Toto rozdělení lze pro spojité i diskrétní veličiny jednoduše popsat pomocí distribuční funkce F(x), která je pro náhodnou veličinu X definována tak, že v bode x 0 je F(x 0 ) rovna pravděpodobnosti, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovné x 0. Je tedy F (x 0 ) = P(x x 0 ). Je zřejmé, že distribuční funkce je funkce neklesající a platí pro ní lim F( x) = 0 a lim F( x) = 1. x x
Funkce náhodných veličin Pro spojitě proměnné veličiny se chování náhodné veličiny nejčastěji popisuje pomocí funkce nazývané hustota pravdepodobnosti f(x). Ta je definována jako derivace distribuční funkce F(x) podle x (pokud tato derivace existuje). Platí df( x) f ( x) = = F'( x) dx
Příklad - zadání Uvažujme náhodný pokus realizovaný pomocí zařízení podobného ruletě. Tento pokus spočívá v mnohokrát opakovaném roztočení kruhu, v jeho otáčení vlivem setrvačnosti a konečně v jeho samovolném zastavení působením pasivních odporu. Kruh má na svém obvodu značky dělící obvod v intervalu 0 až 2π, mimo kruh je pevná značka určující, na kterém místě se kruh zastavil. Protože předpokládáme, že každý úhel při zastavení je stejně možný (jako by tomu melo být např. u rulety), představují naměřené hodnoty tohoto úhlu spojitou náhodnou veličinu proměnnou v intervalu 0, 2π.
Příklad - řešení Distribuční funkce této náhodné veličiny je pak x F( x) = pro x (0;2π > 2π F( x) = 0 pro x 0 F( x) = 1 pro x 2π Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny pak je x d df( x) = = 2π 1 f ( x) = pro x (0;2π > dx dx 2π f ( x) = 0 pro x 0 a x > 2π
Příklad - řešení
Příklad Uvažujme náhodný pokus spočívající ve sledování počtu bodu při hodech vrhací kostkou. Množina možných hodnot je 1, 2, 3, 4, 5, 6 a proto počet bodů představuje nespojitou (diskrétní) náhodnou veličinu. Předpokládáme opět ideální vrhací kostku, tj. všechny hodnoty 1 až 6 jsou stejně pravděpodobné.
Příklad - řešení Obdobou hustoty pravděpodobnosti je v případě diskrétních veličin pravděpodobnostní funkce p(x). Je to pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty x i a proto ji píšeme ve tvaru p ( xi ) = P( X = xi ) V našem příkladu je pravděpodobnost počtu bodů p(x i ) pro všechna x i stejná a rovná se 1/6. Průběh pravděpodobnostní funkce pro výsledek našeho pokusu je na následujícím obrázku.
Příklad - řešení
Charakteristiky náhodných veličin Pro posouzení statistických souboru údaju zjištěných měřením nebo čítáním mají největší důležitost informace o poloze údajů ve statistickém souboru a o jejich rozptýlení (variabilitě). V prvním případě jde o určení vhodné střední úrovně, kolem které se hodnoty náhodné veličiny soustřeďují, ve druhém případe jde o určení rozmezí, ve kterém se vyskytují a o způsob jejich rozložení uvnitř tohoto rozmezí.
Střední hodnota Polohu hodnot náhodné veličiny X nejlépe charakterizuje střední hodnota, kterou označujeme symbolem E(X) a která je pro spojitě proměnnou veličinu X definovaná Vztahem Symboly a, b v tomto vztahu jsou meze definičního oboru veličiny X.
Rozptyl Varianci náhodných veličin nejlépe charakterizuje rozptyl D2, který určujeme ze vztahu
Rozdělení pravděpodobnosti Náhodné procesy, jejichž výsledkem jsou statistické soubory náhodných veličin, jsou velmi rozmanité a tomu také odpovídá velký počet funkcí, které vyjadřují jejich rozdělení pravděpodobnosti. Nejčastěji se můžeme setkat v oblasti vyhodnocování fyzikálních měření se s: Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení
Rovnoměrné rozdělení Náhodnou veličinu X lze popsat rovnoměrným rozdělením, jestliže všechny hodnoty náhodné veličiny X v daném intervalu mají stejnou pravděpodobnost výskytu. Pro rozsah hodnot náhodné veličiny X vymezený v intervalu a x b jsou distribuční funkce F(x) a rozdělení hustoty pravděpodobnosti f(x) určeny vztahy
Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti Nejčastěji používaný model rozdělení spojité náhodné veličiny a mnoho spojitých náhodných veličin se jím alespoň přibližně řídí. Náhodné veličiny řídící se tímto rozdělením můžeme charakterizovat jako veličiny vzniklé složením vlivu, které jsou nezávislé, kterých je vetší počet a z nichž každá ovlivňuje skutečnou hodnotu náhodné veličiny jen malým příspěvkem.
Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti Náhodná veličina X nabývá hodnot x v intervalu (,+ ) s hustotou pravděpodobnosti
Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti
Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti Okolnost, že distribuční funkce normálního rozdělení závisí na dvou parametrech je v mnoha případech pro práci s touto funkcí nepříznivá. Zejména je obtížné takovou funkci tabelovat pro různá x a různé kombinace hodnot µ a σ 2. Této závislosti se lze zbavit lineární transformací, která se nazývá normování: u = x µ σ
Binomické rozdělení Pro diskrétní náhodné veličiny. Toto rozdělení popisuje situaci, kdy náhodný jev nastává s pravděpodobností p a kdy n krát nezávisle opakujeme náhodný pokus, při kterém muže náhodný jev nastat a zkoumáme počet x výskytu jevu v sérii techto n nezávislých pokusu. Binomická náhodná veličina X nabývá hodnot 0, 1, 2,, n. Pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení je
Poissonovo rozdělení Pro diskrétní náhodné veličiny. Vztahuje se k náhodné veličině, která vyjadřuje počet výskytu málo pravděpodobných (řídkých) jevů za daných podmínek (v určitém časovém intervalu, ve vymezené oblasti apod.). Poissonova náhodná veličina X nabývá hodnot 0, 1, 2, a její pravděpodobnostní funkce je
Základy matematické statistiky V praxi se vyskytují případy, kdy na základe malého poctu experimentálně získaných hodnot určité veličiny náhodného charakteru se mají stanovit informace o chování této veličiny. Touto problematikou se zabývá matematická statistika.
Základní soubor je soubor všech možných zjistitelných hodnot náhodné veličiny s daným rozdělením pravděpodobnosti. Může obsahovat konečný i nekonečný počet hodnot. V případe spojité proměnné náhodné veličiny by rozsah základního souboru mel být nekonečný. Z praktického hlediska ale stačí N tak velké, že další zvyšování N již nepřináší znatelné změny charakteristik. Realizace měření, při kterém je získán soubor naměřených hodnot odpovídající rozsahu základního souboru je často v praxi z důvodu technických, časových i ekonomických nemožná. K dispozici tedy obvykle máme soubor podstatně menší, který představuje určitý výběr ze základního souboru. Aby se charakteristiky takového souboru co nejlépe blížily charakteristikám základního souboru, je třeba aby představoval náhodný výběr.
Náhodný výběr Náhodný výběr ze základního souboru je skupina n hodnot náhodné veličiny vybraných nezávisle na sobe a takovým způsobem, aby všechny hodnoty základního souboru mely stejnou možnost být do tohoto výběru pojaty. Náhodným výběrem může mj. být i souhrn hodnot získaných při opakování měření téže veličiny za stejných podmínek. Počet hodnot náhodného výběru n udává rozsah náhodného výběru. Podobně jako má základní soubor své charakteristiky, můžeme analogickými veličinami charakterizovat i náhodný výběr a to například výběrovým průměrem, výběrovým rozptylem, výběrovou směrodatnou odchylkou a výběrovým rozdělením pravděpodobnosti.
Charakteristiky náhodného výběru
Charakteristiky náhodného výběru To by se mj. projevilo i tím, že charakteristiky obou souboru by byly odlišné, i když rozdíly by byly relativně malé. Totéž by platilo i pro další náhodné výběry ze stále stejného základního souboru. Lze tedy vyslovit tvrzení, že výběrové charakteristiky jsou náhodnými veličinami.
Charakteristiky náhodného výběru Například z náhodného výběru rozsahu n odebraného ze základního souboru náhodné veličiny X se vypočítá výběrový průměr x 1. Odběrem dalšího náhodného výběru z téhož základního souboru a stejného rozsahu se stanoví výběrový průměr x 2, z dalšího náhodného výběru x 3 atd. Hodnoty těchto výběrových průměrů nebudou stejné a budou mít náhodný charakter. Výběrový průměr se chová jako náhodná veličina. Stejně se bude chovat výběrový rozptyl s 2.
Charakteristiky náhodného výběru Výběrové charakteristiky jsou tedy náhodnými veličinami a lze je popsat rozděleními pravděpodobnosti, která se nazývají výběrová rozdělení. Je zřejmé, že pro práci s výběrovými soubory je nezbytná znalost toho, jaká výběrová rozdělení jsou přirazená k jednotlivým výběrovým charakteristikám.
Charakteristiky náhodného výběru Nejvýznamnější výběrová charakteristika je výběrový průměr. Lze dokázat, že platí tvrzení: jestliže náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry µ(x) a σ(x), potom i hodnoty výběrového průměru budou rozděleny podle normálního rozdělení pravděpodobnosti s parametry µ = µ(x) a σ = σ(x)= σ(x) / sqrt(n)
Charakteristiky náhodného výběru
Vyhodnocení měření Vraťme se nyní k problému vyhodnocení souboru náhodných veličin získaných měřením fyzikální veličiny ovlivněné náhodnými chybami. Tyto soubory jsou obdobou statistických souboru a mezi jejich základní charakteristiky také patří poloha a rozptyl (variance).
Aritmetický průměr Základním ukazatelem polohy statistického souboru (x1, x2,, xn) je aritmetický průměr x, který určujeme pomocí vztahu
Směrodatná odchylka statistického souboru Časteji se ale rozptýlení souboru charakterizuje kladnou druhou odmocninou z rozptylu, která se nazývá směrodatná odchylka statistického souboru s. Je určená vztahem
Základní charakteristiky souboru
4. ZÁKLADY TEORIE CHYB
Chyby měření jsou 1. náhodné 2. systematické 3. hrubé řešíme specificky viz dále Na celkové chybě měření se podílejí jak chyby náhodné, tak chyby systematické. Proto chybu měření e často označujeme jako úplnou chybu měření.
Co s chybami HRUBÉ CHYBY SYSTEMATICKÉ CHYBY NÁHODNÉ CHYBY IDENTIFIKACE ROZBOR ODSTRANĚNÍ KOREKCE STATISTICKÝ POPIS Ale napřed o nich musíme něco vědět
Náhodné chyby Jak získat nejsprávnější odhad skutečné hodnoty měřené veličiny? Za předpokladu, že náš soubor představuje náhodný nevychýlený výběr ze základního souboru, nabízí se možnost považovat za nejsprávnější tu hodnotu, která se v souboru nejčastěji opakuje. Odpovídá ji maximum v normálním Gaussově rozdělení. Z matematického vyjádření tohoto rozdělení lze dokázat, že nejsprávnějším odhadem skutečné hodnoty je aritmetický průměr x ze všech naměřených hodnot x i, = výběrový průměr.
Náhodné chyby Dokázat lze i tvrzení, že čím vetší je počet měření, tím více se hodnota aritmetického průměru přiblíží ke skutečné hodnotě měřené veličiny. Velikost náhodné chyby zřejmě souvisí s tím, jak jsou jednotlivé naměřené hodnoty x i rozptýleny okolo hodnoty aritmetického průměru x. Je zřejmé, že čím přesnějším měřidlem budeme popisované měření délky provádět, tím méně budou naměřené hodnoty rozptýleny kolem hodnoty aritmetického průměru a křivka rozdělení bude štíhlejší.
Náhodné chyby Základem pro kvantitativní vyjádření velikosti náhodné chyby nejlepší odhad směrodatné odchylky základního souboru, který v tomto případe nazýváme směrodatná odchylka s(x) jednoho měření veličiny x, a která je daná vztahem
Náhodné chyby
Rizika Posuďme praktický význam takového kroku, Jednoduchou integrací funkce f(x) lze ukázat, že plocha pod křivkou normálního rozdělení v intervalech (µ σ,µ +σ ) představuje asi 68% z celkové plochy pod touto křivkou. Pak pro dostatečně velká n platí, že neboli že pravděpodobnost, že skutečná hodnota x měřené veličiny leží v intervalu je 68 %, resp. že riziko, že správná hodnota leží mimo tento interval je 32 %.
Rizika Obdobné tvrzení platí pro interval okolo hodnoty aritmetického průměru který je ovšem užší, protože platí vztah
Rizika V řadě případů však je riziko 32% toho, že skutečná hodnota měřené veličiny leží mimo daný interval nepřijatelně velké a interval je proto nutné nějakým definovaným způsobem rozšířit. Pokud je splněn předpoklad o dostatečně velkém počtu měření n (v praxi stačí n nad 50 ), můžeme k tomu využít vlastností normálního rozdělení. Lze odvodit, že pro dvakrát rozšířený interval okolo aritmetického průměru x přibližně platí A riziko, že skutečná hodnota x měřené veličiny leží vně dvakrát rozšířeného intervalu je 5%.
Rizika
Rizika Ve velké většině případů ovšem předpoklad o dostatečně velkém počtu měření splněn není a navíc se v laboratorní a technické praxi vyžadují jiné hodnoty rizika, než poskytují uvedené příklady.
Náhodné chyby S.k. Řešení se našlo pomocí jiných rozdělení. Byly odvozeny koeficienty t n,α, které jsou funkcí počtu měření n a stanoveného rizika α. Pomocí koeficientu t n,α, které se nazývají Studentovy koeficienty, mužeme stanovit interval spolehlivosti (konfidenční interval):
Studentovy koeficienty Jestliže máme k dispozici n opakovaných měření a vypočítáme jejich aritmetický průměr x a směrodatnou odchylku aritmetického průměru s (x ), leží skutečná hodnota x s pravděpodobností P =1 α v intervalu spolehlivosti. V tabulce uvádíme Studentovy koeficienty pro v praxi nejobvyklejší případy, tj. počet měření od 3 do 20 a obvykle volená rizika 5%, resp. 1%.
Studentovy koeficienty
Příklad
Systematické chyby Systematické chyby souvisejí obvykle s použitou metodou či měřícími přístroji nebo se samotným pozorovatelem. Říkáme, že jsou způsobeny kontrolovatelnými vlivy.