Mˇ eˇren ı ˇ cetnost ı (Poissonovo rozdˇ elen ı) 1 / 56

Transkript

1 Měření četností (Poissonovo rozdělení) 1 / 56

2 Měření četností (Poissonovo rozdělení) Motivace: měření aktivity zdroje Geiger-Müllerův čítac: aktivita: 1 Bq = 1 částice / 1 s = s 1 Jaká je přesnost měření? Složitější:měření energetického spektra zářiče 2 / 56

3 Experiment s mincí Chceme experimentálně ověřit, že pravděpodobnost padnutí panny je p = 0.5 Výsledky experimentu: počet hodů N = 7 panny x = 4 orli y = 3 Odhad p = x N = 0.57 Je to konsistentní s p = 0.5? Potřebuji znát chybu měření σ p Ta bude očividně klesat s počtem měření N. 3 / 56

4 Binomické rozdělení N pokusů s dvěma možnými výsledky (Head, Tail). Binomické rozdělení P (n; N, p) - pravděpodobnost právě k výsledků jednoho typu (Head) z N pokusů při pravděpodobnosti p při každém pokusu: P (k; N, p) = ( N k ) p k (1 p) (N k) = N! k!(n k)! pk (1 p) (N k) k = Np k N p 4 / 56

5 Binomické rozdělení Diskrétní rozdělení pro k 0. ( N ) k p k (1 p) (N k), k = 0, 1,..., N f(k; N, p) = B(N, p) = 0, jinak. 5 / 56

6 Geiger-Müllerův čítac: časový průběh pulsů: Čas mohu rozdělit na N stejných časových úseků tak, aby v každém úseku byla max. jedna událost. Celkový počet událostí za celkový čas je popsán binomickým rozdělením. Jak velké N je dostatečně velké?... 6 / 56

7 Poissonovská aproximace Rozdělme t na nekonečně malé intervaly... Pro N a p 0 tak, že Np λ, lze binomické rozdělení s parametry N, p aproximovat Poissonovým rozdělením P (X = x) = ( N )p x q N x e λ λx x x!, N 7 / 56

8 Poissonovo rozdělení f X (x, λ) = { e λ λx x!, x = 0, 1,... 0, jinak. x = σ 2 x = λ Pokud tedy změřím za daný čas N událostí výsledek měření je x = (N ± N) tedy relativní chyba měření δ = x σ x = N = 1 N N Pro větší λ (tj. N) se blíží Gaussovu rozdělení. 8 / 56

9 Měření aktivity zdroje 9 / 56

10 Měření aktivity zdroje 10 / 56

11 Chyby měření-připomenutí Každá vynesená hodnota je změřena s jistou nepřesností chybou. Zdroj chyb (neuvažujeme systematické chyby): Chyba měřicí přístroje - Lze zanedbat pokud je přesnost přístroj podstatně vyšší než přesnost měření. - Pozor na rozdíl mezi absolutní a relativní chybou přístroje. - Kombinuje se se statistickou chybou: σ 2 celkova = σ 2 stat + σ 2 pristroje. Opakovaná měření - výpočet pomocí aritmetického průměru a chyby aritmetického průměru. Měření počtu nezávislých událostí - např. počet pozorovaných rozpadů jader za určitý časový interval. λn - Řídí se Poissonovým rozdělením: n! e λ, kde n je počet pozorovaných událostí. - Chyba měření je: σ = n.

12 Systematické chyby chyby měření statistické - náhodné fluktuace - mnoho nezávislých zdrojů - sčítání v kvadrátech - klesají s množstvím dat systematické (bias) - systematická změna měřené veličiny - ovlivňuje všechna měření ve stejném směru - nezávislé na množství dat

13 Zdroje systematických chyb Chyba měřicího přístroje Relativní chyba měřicí přístroj ukazuje systematicky o určité procento více či méně, než je reálná hodnota. Například: špatně zkalibrovaný teploměr vytahané měřicí pásmo. Absolutní chyba Konstantní příspěvek ke všem měřeným hodnotám Nejčastěji špatně nastavený nulový bod Například nevynulování prázdných vah - korekce na váhu misek. Lze odstranit rekalibrací přístroje.

14 Zdroje systematických chyb Vliv experimentátora Opakovaná nepřesnost při provádění měření Vyložená nepřesnost - Např. Systematicky špatné odečítání - Lze zjistit přeměřením - Lze odstranit Nevyhnutelné chyby - Např. reakční doba - Lze odhadnout předem - Může se vyrušit - Lze odstranit např. nahrazením člověka elektronikou Antropický princip

15 Zdroje systematických chyb Interakce měřicího přístroje s měřeným systémem Příklad: Teploměr odebírá z lázně teplo a ochlazuje měřené těleso. Měření proudu/napětí - nesplnění podmínek ideálního ampér/voltmetru. Přítomno vždy nelze pozorovat a neovlivnit.

16 Zdroje systematických chyb Chyby vyplývající z neúplné znalosti oprav a modelů. Nepřímá měření často komplikované závislosti bez explicitního vzorce. modelově závislé nepřesná znalost parametrů Opravy systematických chyba často podle modelů a simulací ne vždy úplně dokonalé Víme, že se dopouštíme chyby, ale nevíme jakým směrem. Často jsme pouze schopni jen odhadnout její velikost.

17 Zápis systematických chyb Zapisuje se samostatně od statistické chyby: R = 5.0 ± 1.2(stat) ± 0.8(sys) Ω Nikdy nekombinovat dohromady! R = 5.0 ± (stat) ± (sys) Ω Zobrazujeme také odděleně. Často se zobrazují odděleně systematické chyby z různých zdrojů.

18 Zobrazení systematických chyb

19 Jak zjistit systematické chyby Obecně, velmi těžko... Většinou se snažíme nějak parametrizovat naši neznalost. Různé postupy: Samostatně nabraná kalibrační měření. Předběžný odhad přesnosti na základě parametrů měřicího přistroje. Fit z měřených dat. Odhad porovnáním různých modelů Změření nepřesnosti parametrů modelu. Teoretický odhad chyb plynoucí z aproximací v daném mmodelu. Srovnání předpovědí různých modelů. Porovnání s Monte Carlo simulacemi daného procesu.

20 Systematické chyby Práce experimentálního fyzika je z 50% starost o systematické chyby - při přípravě - během experimentu - při zpravovaní dat Neexistují přesná pravidla zkušenost a zdravý rozum. Systematické chyby by neměly být naschvál ani zveličovány ani podceňovány....tak trochu černá magie...

21 Charakteristiky přístrojů

22 Nežádoucí jevy - zdroje systematických chyb

23 Přesnost měřicích přístrojů Mezní chyba 0 - nejvyšší přípustná chyba Měřicí rozsah R -rozdíl krajních hodnot stupnice, R = x max x min Redukovaná mezní chyba δ 0,R = 0/R. Relativní chyba δ S - pro danou hodnotu x i: δ S = 0/x i. Třída přesnosti - rozřazení (analogových) přístrojů dle ČSN podle redukované mezní chyby Dělení měřících přístrojů podle třídy přesnosti P = 0 R P Kategorie 0.1 etalony, normály 0.2 cejchovní 0.5 laboratorní 1 laboratorní 1.5 provozní 2.5 provozní... absolutní chyba je dána pro celý rozsah výhodné měřit v horní polovině rozsahu - minimalizace relativní chyby.

24 Digitální přístroje Různé uvádění chyb: analogové přístroje -třída přesnosti (například: 0,5 ) 0,001 % MH + 0,01 % MHMR 50 ppm MH + 20 ppm MHMR 5 % MH + 20 dig 5 % + 20 dig 1 % + 0,003 2 % č.h + 1 dig 0,05 % of Reading + 0,02 % Full Scale 0.1 % of rdg + 5 dgt % of reading % of range U digitálních přístrojů se chyba často uvádí jako součet mezní chyby rozsahu relativní chyby δ R = δ 0 + δ sx Základní chyba u číslicových multimetrů je udávaná většinou ve vztahu ±(%čtení + nejmenší dílek) Časté zkratky: ppm - jedna miliontina MH - měřená hodnota MHMR - maximální hodnota měřícího rozsahu dig - číslice