Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Transkript

1 Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

2 Pravděpodobnost a matematická statistika týden ( ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza (histogramy, četnosti absolutní, relativní, prosté, kumulativní), základní statistické charakteristiky (průměr, výběr.rozptyl, minimum, maximum, medián, kvartily, boxplot), sešikmenná rozdělení (vzájemná poloha mediánu a střední hodnoty), chvosty, kvantily 2. týden ( ) Princip statistické indukce, výběr, vlastnosti výběru, experiment. Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti a jeho souvislost s histogramem. Pravděpodobnost, pravidla pro počítání s pravděpodobností, podmíněná pravděpodobnost, závislost náhodných veličin. 3.týden ( ) Využití závislosti při stanovení pravděpodobnosti - věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta 4.týden ( ) Rozdělení chyb měření - normální rozdělení a počítání s ním. Odhady parametrů normálního rozdělení. Intervaly spolehlivosti pro normální data. Jednovýběrové testy o střední hodnotě 5.týden ( ) Výběrový poměr jako odhad pravděpodobnosti sledovaného jevu. Alternativní rozdělení, binomické rozdělení. Intervalový odhad výběrového poměru. Výběry s vracením a bez vracení (binomické a hypergeometrické rozdělení) 6.týden ( ) odpadá 7.týden ( ) Poruchy v čase (Poissonův proces). Poissonovo rozdělení, exponenciální rozdělení, jeho výhody a nevýhody, modelování doby do poruchy pomocí Weibullova rozdělení, lognormálního rozdělení, případně useknuté normální rozdělení. 8.týden ( ) Testy dobré shody, Q-Q graf (pouze vysvětlení), testy normality. Některé neparametrické testy 9.týden ( ) Dvě náhodné veličiny - srovnání dvou výběrů (dvouvýběrové testy) 10. týden ( ) Dvě náhodné veličiny. Dvourozměrné četnosti jako odhad dvourozměrného rozdělení, frekvenční tabulka. Marginální rozdělení (vše pouze diskrétně s tabulkou) 11. týden ( ) Závislost náhodných veličin, míry závislosti (kovariance, korelace), test významnosti korelačního koeficientu 12. týden ( ) Regrese, lineární regresní model (přímková, kvadratická, polynomická regrese), analýza reziduí, pásy spolehlivosti 13. týden ( ) Více výběrů, jednoduché třídění, ANOVA. 14. týden ( ) Rezerva, opakování, testy normality (náhrada za )

3 Od hazardu ke hvězdám : Abraham de Moivre pokusy s mincemi spojitá křivka Galtonova deska

4 Od hazardu ke hvězdám : Abraham de Moivre pokusy s mincemi Galtonova deska spojitá křivka Pascalův trojúhelník N N! n k = = k k!(n k)! Moivre navrhl rovnici: y = e x2 2 y = Ke (x a) 2 2b 2

5 Rozdělení chyb měření přelom 18. a 19. století: rozdíly v astronomických měřeních - která hodnota je správná? Karl Friedrich Gauss a Piere Laplace: křivka chyb měření gaussova křivka počátek 19. století: Adolphe Qételet - antropometrická měření anglických vojáků Obvod hrudi skotských vojáků v palcích, naměřený Quételetem ve dvacátých letech 19. století

6 Normální rozdělení přelom 18. a 19. století: rozdíly v astronomických měřeních - která hodnota je správná? Karl Friedrich Gauss a Piere Laplace: křivka chyb měření gaussova křivka počátek 19. století: Adolphe Qételet - antropometrická měření anglických vojáků Obvod hrudi skotských vojáků v palcích, naměřený Quételetem ve dvacátých letech 19. století normální rozdělení

7 Normální rozdělení f(x) = 1 p 2 e x2 2, x 2 R f(x) = 1 p 2 e x2 2 2 f(x) = 1 p 2 e (x µ) hustota pravděpodobnosti > 0 µ 2 R - parametr měřítka, - parametr polohy Normální rozdělení N(µ, 2 )

8 Normální rozdělení f(x) = 1 p 2 e x2 2, x 2 R Standardní normální rozdělení N(0,1) X s N(0, 1) 1.0 X 2 ( 1, +1) P (a apple X apple b) = Z b a f(x)dx {z } ha, bi

9 Normální rozdělení f(x) = 1 p 2 e x2 2, X s N(0, 1) x 2 R P ( 1 apple X apple 1) = P ( 2 apple X apple 2) = P ( 3 apple X apple 3) = Y s N(µ, 2 ) P (µ apple Y apple µ + )= P (µ 2 apple Y apple µ +2 )= P (µ 3 apple Y apple µ +3 )= {z } hµ,µ+ i 68,26% {z } hµ 2,µ+2 i 95% {z } hµ 3,µ+3 i 99.7%

10 Normální rozdělení X s N(0, 1) Y s N(µ, 2 ) P ( 1 apple X apple 1) = P ( 2 apple X apple 2) = P ( 3 apple X apple 3) = P (µ apple Y apple µ + )= P (µ 2 apple Y apple µ +2 )= P (µ 3 apple Y apple µ +3 )= P (µ k apple Y apple µ + k ) = P ( k apple Y µ apple k ) = P ( k apple Y µ apple k) = P ( k apple X apple k) Y s N(µ, 2 ) ) X = Y µ s N(0, 1)

11 Normální rozdělení Symetrie: X s N(0, 1) f(x) =f( x) X s N(µ, 2 ) f(µ + x) =f(µ x)

12 Normální rozdělení f(x) = 1 p 2 e x2 2, x 2 R F(x) X s N(0, 1) P (X apple x) = Z x 1 f(u)du (x) =P (X apple x) distribuční funkce x S jakou pravděpodobností bude hodnota náhodné veličiny X menší než x? S jakou pravděpodobností nebude hodnota náhodné veličiny X větší než x? S jakou pravděpodobností bude hodnota náhodné veličiny X větší než x? P (X >x)=1 P (X apple x) =1 (x)

13 Normální rozdělení f(x) = 1 p 2 e x2 2, x 2 R p X s N(0, 1) P (X apple x) = Z x 1 f(u)du (x) =P (X apple x) distribuční funkce F -1 (p) Jakou hodnotu náhodná veličina X nepřekročí s pravděpodobností p? x p = 1 (p) kvantilová funkce Jakých hodnot bude náhodná veličina X nabývat s předem danou pravděpodobností p?

14 Normální rozdělení f(x) = 1 p 2 e (x µ) 2 2 2, x 2 R X s N(µ, P (X apple x) = 2 ) Z x 1 f(u)du F (x) =P (X apple x) distribuční funkce F (x) = Z x 1 f(u)du f(x) = df (x) dx, x 2 R

15 Normální rozdělení = S jakou pravděpodobností bude budoucí hodnota náhodné veličiny X v intervalu? P (a apple X apple b) = Z b 1 f(x)dx ha, bi Z b a Z a 1 f(x)dx f(x)dx }F(b)-F(a) P (a apple X apple b) = F (b) F (a) {z } ha, bi

16 Normální rozdělení Symetrie: X s N(0, 1) f(x) =f( x) (x) =1 ( x) X s N(µ, 2 ) f(µ + x) =f(µ x) F (µ + x) =1 F (µ x) P ( X apple x) = (x) ( x) = (x) (1 (x)) = 2 (x) 1 P ( X µ apple x) =F (µ + x) F (µ x) = F (µ + x) (1 F (µ + x)) = 2F (µ + x) 1

17 Normální rozdělení Jakých hodnot kolem střední hodnoty bude náhodná veličina X nabývat s předem danou pravděpodobností 1-p? P (a apple X apple b) =1 a = F 1 (p/2), b = F 1 (1 p/2) (p/2)-kvantil normálního rozdělení a (1-p/2)-kvantil normálního rozdělení Ze symetrie plyne: X s N(0, 1) : x p/2 = p p/2 1 p p/ F -1 (p/2) F -1 (1-p/2) 1 (p/2) = x 1 p/2 = 1 (1 p/2) Y s N(µ, 2 ): y p/2 = F 1 (p/2) = 2µ y 1 p/2 = 2µ F 1 (1 p/2)

18 Normální rozdělení Jaký je vztah mezi xp/2 a yp/2? X s N(0, 1),Y s N(µ, ) X = Y µ ) Y = X + µ F (y) =P (Y apple y) = P ( Y µ apple y µ )= 2 ) p/2 1 p p/2 P (X apple y µ )= ( y µ ) F -1 (p/2) F -1 (1-p/2) Tedy je: F (y) = y µ... a odtud: F 1 (p) = 1 (p)+µ Vše se prakticky vyjadřuje pouze v tzv. kritických hodnotách: u p = 1 (1 p/2)

19 Normální rozdělení Jaký je vztah mezi xp/2 a yp/2? p/2... označme tedy 1 (1 p/2) = u p... potom 1 p 1 (p/2) = u p F 1 (1 p/2) = µ + u p F 1 (p/2) = µ u p p/ F -1 (p/2) F -1 (1-p/2) Tedy je: F (y) = y µ... a odtud: F 1 (p) = 1 (p)+µ Vše se prakticky vyjadřuje pouze v tzv. kritických hodnotách: u p = 1 (1 p/2)

20 Normální rozdělení Jaký je vztah mezi xp/2 a yp/2? p/2... označme tedy 1 (1 p/2) = u p... potom 1 p 1 (p/2) = u p F 1 (1 p/2) = µ + u p F 1 (p/2) = µ u p p/2 Tedy pro 2 (0, 1) F -1 (p/2) F -1 (1-p/2) X s N(0, 1) ) P ( u apple X apple u )=1 Y s N(µ, 2 ) ) P (µ u apple Y apple µ + u )=1 P ( u apple Y µ apple u )=1

21 Parametry normálního rozdělení Střední hodnota náhodné veličiny X: Z 1 E(X) = 1 xf(x)dx Rozptyl náhodné veličiny X: var(x) =E(X E(X)) 2 = E(X 2 ) E(X) 2 X s N(µ, 2 ) ) E(X) =µ var(x) = 2 Jak tyto parametry najít, když máme k dispozici pouze několik měření veličiny X? x 1,x 2,x 3,...,x n X 1,X 2,X 3,...,X n

22 Bodové odhady parametrů N(µ, 2 ) x 1,x 2,x 3,...,x n Bodový odhad střední hodnoty náhodné veličiny X: \E(X) = 1 n nx i 1 X i = X =ˆµ X 1,X 2,X 3,...,X n Bodové odhady rozptylu náhodné veličiny X: var(x) =E(X E(X)) 2 = E(X 2 ) E(X) 2 var(x) \ = 1 nx (X X) 2 i = 1 n X X 2 n n i ( X) 2 =ˆ2 i 1 var(x) ^ = 1 n 1 nx (X X) 2 i = i 1 1 n 1 n X i 1 i 1 X 2 i výběrový průměr rozptyl základního souboru n n 1 ( X) 2 = s 2 výběrový rozptyl

23 Bodové odhady parametrů N(µ, 2 ) Kdy použít který odhad rozptylu náhodné veličiny X? var(x) \ = 1 n nx (X X) 2 i = 1 X n n i 1 i 1 X 2 i rozptyl základního souboru použijeme pro velká n (řádově stovky) ( X) 2 =ˆ2 var(x) ^ = 1 n 1 nx (X X) 2 i = i 1 1 n 1 n X i 1 X 2 i výběrový rozptyl použijeme pro malé rozsahy výběru n n n 1 ( X) 2 = s 2

24 Intervalový odhad střední hodnoty Výběrový průměr i výběrový rozptyl jsou opět náhodné veličiny E( X) =µ var( X) = Odtud: 2 n ) X s N µ, 2 n ) X µ P ( u apple X µ p n apple u )=1 P ( p n u apple X µ apple p n u )=1 p n s N(0, 1) P ( X pn u apple µ apple X + p n u )=1 P ( X p n u apple µ apple X + p n u )=1 P (µ 2h X p n u, X + p n u i)=1

25 Intervalový odhad střední hodnoty Výběrový průměr i výběrový rozptyl jsou opět náhodné veličiny E( X) =µ var( X) = 2 n ) X s N µ, 2 n ) X µ p n s N(0, 1) Odtud (1 ) -intervalový odhad střední hodnoty při známém parametru je h X p n u, X + p n u i P (µ 2h X p n u, X + p n u i)=1

26 Intervalový odhad střední hodnoty Výběrový průměr i výběrový rozptyl jsou opět náhodné veličiny E( X) =µ var( X) = 2 n ) X s N µ, 2 ) n X µ s N(0, 1) p n Odtud (1 ) -intervalový odhad střední hodnoty při známém parametru je h X p n u, X + p n u i (1 )-intervalový odhad střední hodnoty při neznámém parametru je h X s p t (n 1), X + p s t (n 1)i n n t (n 1) (1 /2)- kvantil kde je kritická hodnota Studentova t-rozdělení s parametrem (n -1) takzvané stupně volnosti

27 Interval spolehlivosti pro průměr P (L apple X apple U) =1 (1 ) -interval spolehlivosti pro průměr dat z normálního rozdělení N(µ, 2 ) 2 v případě, že známe rozptyl, nebo též hµ hµ p n u,µ+ p n u i s p t (n 1),µ+ p s t (n 1)i n n pokud rozptyl odhadujeme z dat pomocí výběrového rozptylu s 2. Všimněte si, že oba intervaly jsou ve tvaru (µ SE,µ + SE) SE je tzv. standardní chyba (Standard Error)

28 Hmotnosti obsahu balení, dávkovaného automatem: Lze považovat automat za správně seřízený (m0=25,0g)? X = 24.55, s 2 (X) =0.21, s(x) =0.46, n= 50 hm 0 SE,m 0 + SEi SE = p s t (n 1) n Chceme ověřit, zda měření odpovídají rozdělení N(m 0,s 2 ) =0.05 ) t 0.05 (49) = 2.01 SE =0.132 X /2h24.868, i

29 Hmotnosti obsahu balení, dávkovaného automatem: Lze považovat automat za správně seřízený (m0=25,0g)? X = 24.55, s 2 (X) =0.21, s(x) =0.46, n= 50 Chceme ověřit, zda měření odpovídají rozdělení N(m 0,s 2 ) =0.05 ) t 0.05 (49) = 2.01 SE =0.132 X /2h24.868, i

30 Jednovýběrové testy o střední hodnotě X /2hm 0 X m 0 /2h s p t (n 1),m 0 + p s t (n 1)i n n s p n t (n 1), s p n t (n 1)i X m 0 s p n/2h t (n 1),t (n 1)i, X m 0 s p n t (n 1) H 0 : µ = m 0 H A : µ 6= m 0 Nulová hypotéza Alternativní hypotéza T = X m 0 p n s ) t (n 1) Testová statistika hladina významnosti, kritická hodnota T t (n 1) rozhodovací pravidlo Nulová hypotéza se nepřijímá, pouze zamítá či nezamítá! Statisticky nelze nic dokázat, pouze zamítnout!