Převod mezi parametry Hoekovy - Brownovy a Mohrovy - Coulombovy podmínky

Převod mezi parametry Hoekovy - Brownovy a Mohrovy - Coulombovy podmínky Úvod Vzhledem k tomu, že v praxi pro popis chování horninového masivu převládá dosud použití Mohrovy Coulombovy podmínky (dále MC, bylo v minulosti odvozeno několik řešení pro převod mezi parametry m,s Hoekovy Brownovy podmínky porušení hornin (dále HB a c,ϕ MC podmínky. Z mnoha řešení se dnes nejvíce používají následující tři: - řešení odvozené Hoekem a Brownem v roce 1990, - řešení odvozené Hoekem, Carranzou Torresem a Corkumem v roce 00, - řešení odvozené Sofianem a Halakatevakisem v roce 003, která jsou dále podrobněji popsána v článku. Na závěr článku je provedeno porovnání jednotlivých řešení, na základě kterého jsou uvedena některá doporučení. Hoekova Brownova podmínka porušení horninového masivu Původní Hoekova Brownova podmínka porušení hornin byla publikována v roce 1980 [1] a umožnila popsat nelineární chování od zdravých skalních hornin až po horniny se střední puklinatostí. Tato podmínka nebyla nová, identické vztahy byly odvozeny již v roce 1936 pro porušení betonu. Význam této podmínky porušení spočíval v jejím propojení s klasifikacemi hornin a to nejdříve Bieniawského klasifikací RMR (Rock Mass Rating a později z (Geological Strength Index. HB podmínka je odvozena na základě měření in-situ (jedná se tedy o empirickou podmínku viz obr. 1. a předpokladu, že porušení horninového masivu je řízeno posunem či otočením jednotlivých kusů horniny navzájem od sebe oddělených mnoha puklinami. V případě neporušeného horninového masivu je tento předpoklad splněn tím, že se masiv nachází v takovém stavu porušení, že není možné určit řídící soustavu ploch nespojitosti a na masiv je možné pohlížet jako na isotropní materiál. Pro neporušený horninový masiv se tedy objemová přetvoření v pružné oblasti řídí deformačními charakteristikami E a ν, při porušení bude hornina zvětšovat svůj objem a přetvoření jsou počítána pomocí pravidel teorie plasticity. Podmínka porušení je nelineární a je založena na vztahu mezi větším a menším hlavním napětím: σ 1ef = σ 3ef + mσ 3ef / + s (1 kde: σ 1ef větší hlavní napětí při porušení horniny,

σ 3ef menší hlavní napětí při porušení horniny, pevnost horniny v prostém tlaku určená v laboratoři na neporušeném vzorku rozměru cca 50 x 100 mm, m,s nelineární parametry závisející na vlastnostech horniny: - pro porušenou horninu: m RMR 100 = exp m i 14 RMR 100 s = exp 6 - pro neporušenou horninu či horninový masiv s vyklíněnými vrstvami: m RMR 100 = exp m i 8 RMR 100 s = exp 9 kde m i je pevnostní parametr neporušené horniny pro vrcholové podmínky viz. tab. 1. Pevnost horniny v prostém tlaku se vyjádří položením menšího hlavního napětí rovného nule do HB podmínky (1: mass = s ( kde: pevnost horniny v prostém tlaku, s nelineární parametr závisející na vlastnostech horniny. Obdobně položíme větší napětí rovné nule do HB podmínky (1 a řešení získané kvadratické rovnice vede na vztah určující pevnost horniny v tahu: ( σ tmass = m m + 4s kde: pevnost horniny v prostém tlaku, m,s nelineární parametry závisející na vlastnostech horniny.

V roce 1988 byla původní HB podmínka pevnosti horniny (1 upravena pro křehký pružno-plastický materiál s reziduálním zpevněním (pokles tuhosti a pevnosti materiálu pro vrcholové a reziduální podmínky (obr..[4]: σ = σ + m σ σ + s σ 1p 3 p c 3 p c σ = σ + m σ σ + s σ 1r 3 r c 3 r c kde: σ 1p maximální hlavní napětí při vrcholových podmínkách, σ 1r σ 3 maximální hlavní napětí při reziduálních podmínkách, minimální hlavní napětí, pevnost v prostém tlaku horninového vzorku, m p,s p pevnostní parametry horniny pro vrcholové podmínky viz tab.., m r,s r pevnostní parametry horniny pro reziduální podmínky viz tab.. Pevnostní parametry horniny se mění z hodnot za vrcholových podmínek do hodnot při reziduálních podmínkách v přímé závislosti na poklesu maximálního hlavního přetvoření E 1. Minimální hlavní přetvoření v plastické oblasti se mění úměrně podle maximálního hlavního přetvoření. Z obr.. je patrné, že výše popsané chování horniny je možné popsat parametry f,h a α. Chování horniny v plastické oblasti se tedy dá plně definovat těmito parametry: f,h,α,m,s,. V roce 00 Hoek a kol [] odvodili tzv. modifikovanou HB podmínku porušení horniny na základě provedené analýzy stovek podzemních děl a skalních svahů. Tato modifikovaná HB podmínka je použitelná i pro horniny se značnou puklinatostí (RMR 5. Nejlepší shody bylo dosaženo pomocí iterace a byly odvozeny nové parametry a a D pro HB podmínku. Parametr a je exponent nabývající hodnot od 0,5 do 0,65 (pro původní HB podmínku má hodnotu 0,5 a je závislý na stupni rozpukání horniny. Koeficient D zohledňuje porušení horninového masivu vlastní stavbou a jeho hodnota je od 0,0 pro neporušený masiv až po 1,0 pro extrémně rozrušené horniny viz tab. 3. σ 1ef = σ 3ef + ( m b σ 3ef / + s a (3 kde: σ 1ef větší hlavní napětí při porušení horniny, σ 3ef m b,s menší hlavní napětí při porušení horniny, pevnost horniny v prostém tlaku, nelineární parametry závisející na vlastnostech horniny,

m i pevnostní parametry neporušené horniny pro vrcholové podmínky 100/8 14 D m b = m i e ( s = e ( 100/9 3D a = 1 + 1 6 /15 ( e ( e ( 0/3 hodnota z klasifikace hornin (Geological strength index, D koeficient porušení horninového masivu viz tab. 3. Z výše uvedené rovnice je patrné, že parametry m b, s a a jsou závislé na složení horniny a vlastnostech ploch nespojitosti v horninovém masivu (vyjádřených pomocí. Hodnota pevnostního parametru m i neporušené horniny se určí na základě experimentů a její typický rozsah je cca od 4 (pro jílovce až po 33 (pro granit. Pokud nejsou k dispozici měření, je možné zhruba použít přibližné horniny podle Hoeka viz tab. 1. Pevnost horniny v prostém tlaku získáme dosazením menšího hlavního napětí σ 3 s nulovou hodnotou do HB podmínky (3: = i s a (4 kde: pevnost horniny v prostém tlaku, s nelineární parametr závisející na vlastnostech horniny, s = e ( 100 /9 3D a = 1 + 1 6 /15 ( e ( e ( 0/3 D koeficient porušení horninového masivu viz tab. 3. hodnota z klasifikace hornin. a pevnost horniny v tahu obdržíme tak, že položíme větší hlavní napětí σ 1 a menší hlavní napětí σ 3 rovno tahové pevnosti horniny a dosadíme do HB podmínky (3, což odpovídá dvojosému tahu: σ t = s m b (5 kde: pevnost neporušené horniny v prostém tlaku, m b,s nelineární parametry závisející na vlastnostech horniny.

Hoek a Brown odvodili také vztah pro určení hodnoty modulu přetvárnosti horniny. Pro horniny s pevností v prostém tlaku menší či rovnou 100 MPa platí vztah: E m ( GPa = 1 D ( / 40 100 10 10 kde: pevnost neporušené horniny v prostém tlaku, D koeficient porušení horninového masivu viz tab. 3. hodnota z klasifikace hornin, a pro horniny s pevností v prostém tlaku větší 100 MPa: E m ( GPa = 1 D 10 ( 10 / 40 (7 kde: D koeficient porušení horninového masivu viz tab. 3. hodnota z klasifikace hornin. (6 Mohrova Coulombova podmínka MC podmínka plasticity předpokládá porušení materiálu největším smykovým napětím, při kterém nastává plastické přetvoření materiálu. Smykové napětí roste s velikostí středního normálového napětí, na které má hlavně u zemin velký vliv účinek vnitřního tření. Matematicky se tato podmínka plasticity vyjadřuje výrazem: τ max ( σ = f (8 s kde τ max největší smykové napětí, σ s střední normálové napětí. Graficky se MC podmínka vyjadřuje obalovou křivkou Mohrových kružnic, která je symetrická k ose σ a je ve směru osy tlakových napětí otevřená. Tvar obalové křivky je různý přímkový, kvadratický či cykloidální. Prakticky se obalová křivka sestrojuje pomocí několika kružnic napětí. Pro skalní horniny se používá obalová křivka druhého a vyššího řádu (obr. 3. Pro parabolickou mezní obalovou čáru pevnosti platí následující vztahy: ( σ = σ + σ cosα + σ σ + osα (9 1 d d d t d σ t 1 σ t σ t cos α d = + 1 σ d σ d σ d kde σ d pevnost horniny v tlaku,

σ t α d σ 1 pevnost horniny v tahu, úhel smykových ploch, větší hlavní napětí, σ menší hlavní napětí. U hornin poloskalních se používá obalová čára ve tvaru přímky, pro kterou platí vztah: σ = σ 1 tg 45 o ϕ c tg 45 o ϕ (10 kde ϕ úhel vnitřního tření horniny, c σ 1 soudržnost horniny, větší hlavní napětí, σ menší hlavní napětí. Pro horniny sypké a úlomkovité má obalová čára přímkový charakter a platí pro ni vztah: σ 1tg 45 o ϕ ( σ = (11 kde ϕ úhel vnitřního tření horniny, σ 1 σ větší hlavní napětí, menší hlavní napětí. Řešení odvozené Hoekem a Brownem v roce 1990 Hoek a Brown odvodili soubor rovnic nutných pro výpočet c,ϕ z HB podmínky pro tři různé podmínky [3]: 1 pro známou hodnotu efektivního normálového napětí σ n, což je typické při řešení stability svahu h =1+ 16 ( mσ + sσ n c 3m θ = 1 3 90 + arctan 1 (1 h 3 1 φ = arctan 1 4h cos θ 1 τ = cot φ cosφ ( m 8

c = τ σ n tanφ pro známou hodnotu menšího hlavního napětí σ 3. Tento přístup je vhodný při řešení napětí okolo podzemních děl: ( σ σ n = σ 3 + 1 σ 3 ( σ 1 σ 3 + 1 mσ c τ = ( σ n σ 3 1+ m ( σ 1 σ 3 τ φ = 90 arcsin ( σ 1 σ 3 c = τ σ n tanφ (13 3 pro případ, kdy jsou pro obě podmínky (HB a MC stejné hodnoty pevnosti horniny v tlaku při jednoosém zatížení, což je vhodné, pokud neznáme hodnotu normálového napětí σ n či menšího hlavního napětí σ 3. : σ n = s 4 s + m τ = σ n 1+ m s φ = 90 arcsin c = τ σ n tanφ τ (14 s Řešení odvozené Hoekem, Carranzou Torresem a Corkumem 00 Toto řešení nabízí vztahy pro určení ekvivalentního úhlu vnitřního tření ϕ a ekvivalentní pevnosti v soudržnosti c pro zadaný rozsah napětí v horninovém masivu []. Základní princip je dán v hledání odpovídajících lineárních vztahů popisující přímky odpovídající nelineární závislosti mezi hlavními napětími podle HB podmínky pro zadaný rozsah napětí σ t < σ 3 < σ 3max a zavedení konceptu globální pevnosti horninového masivu. Zavedení globální pevnosti horniny se umožňuje odprostit od posuzování čistě numerického překročení pevnosti horniny v daném místě a lépe vystihnout celkové chování horninového masivu v okolí podzemního díla (např. vliv pilíře horniny při svislém dělení

čelby. Vztah pro určení globální pevnosti horniny σ cm vychází z MC podmínky a má následující tvar: σ cm = c cos φ 1 sin φ kde: ϕ ekvivalentní úhel vnitřního tření, c ekvivalentní soudržnost, a pro uvažovaný rozsah napětí σ t < σ 3 < /4 má tvar: m = ( m b + 4s a( m b 8s m b 4 + s 1+ a ( a 1 ( ( + a kde: pevnost neporušené horniny v prostém tlaku, m b,s a = 1 + 1 6 nelineární parametry závisející na vlastnostech horniny, /15 ( e ( e ( 0/3 hodnota z klasifikace hornin. Výše naznačený postup vede k následujícím vztahům pro určení ekvivalentního úhlu vnitřního tření ϕ a ekvivalentní soudržnosti c pro rozsah napětí v horninovém masivu σ t < σ 3 < /4: 6am φ = sin 1 b ( s + m b σ 3a a 1 ( 1+ a ( + a+ 6am b s + m b ( a 1 σ 3a (15 (16 c = ( 1+ a + a [( 1+ as + ( 1 am b σ 3a ] s + m b ( 1+ 6am b ( s + m b a 1 ( a 1 σ 3a ( σ 3a 1+ a ( ( + a (17 kde: pevnost neporušené horniny v prostém tlaku, m b,s nelineární parametry závisející na vlastnostech horniny, a = 1 + 1 6 /15 ( e ( e ( 0/3 hodnota z klasifikace hornin. Maximální hodnota menšího napětí σ 3max určující horní limit mezního napětí (a tím také rozsah platnosti převodních vztahů musí být určena samostatně pro každý řešený případ. Hoek vyřešil obecný vztah pro hodnotu σ 3max pro dvě základní úlohy:

1 pro tunely s vysokým nadložím (napětí v okolním masivu či tunely s nízkým nadložím σ 3 max = 0,47 σ cm (velikost poklesové kotliny, kdy nadloží je menší než 3průměry tunelu. γh m 0,94 kde: σ cm globální pevnost horniny, γ H objemová tíha horniny, (18 výška nadloží, v případě, že vodorovné napětí je větší než svislé, tak se zadává místo γh vodorovné napětí. skalní svahy určení stability svahu a polohy kritické smykové plochy σ = 0,7 cm σ cm γh σ 3 max 0,91 kde: σ cm globální pevnost horniny, γ objemová tíha horniny, H výška svahu. (19 Řešení odvozené Sofianem a Halakatevakisem Sofianos a Halakatevakis odvodili vztahy pro určení parametrů c, ϕ MC podmínky na základě předpokladu, že rozsah hodnot c, ϕ je přímo určen pevností horninového masivu a napětí v hornině [5][6]. V případě osově symetrických podzemních děl se menší hlavní napětí nachází na líci výrubu a je rovno odporu výstroje p i. Minimální hodnota odporu výstroje p i může být v případě nevystrojeného výrubu nulová. Horní limit hodnoty menšího hlavního napětí se v případě vytvoření plastické oblasti v okolí výrubu rovná hodnotě napětí na rozhraní plastické a pružné oblasti a je dán vztahem: p e = p eo ( p eo + ( 1 [ m b ( p eo + s] a p o 1+ ( a m b m b ( p eo + s [ ] a 1 (0 kde: p eo napětí na vnější hranici plastické oblasti horniny podle původní HB podmínky (1,

p eo = p o 1 m b 4 p + m o b + s m b 8 p o m b,s a = 1 + 1 6 napětí v hornině od vlastní tíhy, pevnost neporušené horniny v prostém tlaku, nelineární parametry závisející na vlastnostech horniny, /15 ( e ( e ( 0/3 hodnota z klasifikace hornin. Parametry c, ϕ MC podmínky jsou odvozeny pro rozsah napětí σ t < σ 3 <σ 3max viz obr. 4: kde: σ t = s m b σ 3 max m p o m b,s = 0,47 p m o σ C p o 0,06 [ ( ] m b 4 ( ( + a = m b + 4s a m b 8s 1+ a a = 1 + 1 6 [( + s] a 1 napětí v hornině od vlastní tíhy, pevnost neporušené horniny v prostém tlaku, nelineární parametry závisející na vlastnostech horniny, /15 ( e ( e ( 0/3 hodnota z klasifikace hornin, pro MC podmínku ve tvaru: σ = kσ + C (1 1 3 o

kde: C o 3 3 ( + ( 4 ( pe pi 4mb pe pi 6s pe pi = a ( mb pe + s ( mb pi + s m ( a + 1 6( pe pi 4 ( pe pi + 1 a+ 1 b a ( mb pe + s ( mb pi + s m ( a + + a+ b b ( e i 3 ( p p 1s + 6m p + p k = 1 a ( mb pe + s ( mb pi + s m ( a + 1 1 + e + 1 a+ 1 + b 3 ( pe pi a ( mb pe + s ( mb pi + s m ( a + i + a+ b Porovnání řešení V tabulce 4 jsou uvedeny výsledky přepočtu parametrů MC podmínky z HB podmínky podle tří výše uvedených postupů pro různé horniny a nevystrojený výrub s nadložím 40 m a napětím v masivu p o 1 MPa (tj. liší se průměry výrubu. Závěr Z mnoha řešení pro převod mezi parametry MC a HB podmínky dávají největší shodu řešení odvozená v poslední době, tj. po roce 000. Je dobré si uvědomit, že princip novějších řešení využívá matematickou aproximaci závislosti hlavních napětí a jeho přesnost je daná jednak intervalem uvažovaného napětí a jednak okrajovými podmínkami řešení, nicméně je vždy na straně bezpečné. Určitá nevýhoda novějších řešení je v použití indexové klasifikace. Tato klasifikace není u nás rozšířena a protože to není čistá tunelářská klasifikace, umožňuje pouze stanovení geomechanických parametrů horninového masivu a ignoruje vhodnost masivu pro tunelování.

Poděkování Příspěvek byl zpracován v rámci řešení výzkumného záměru MSM 6840770003 Rozvoj algoritmů počítačových simulací a jejich aplikace v inženýrství. Literatura [1] Hoek E., Broen E.T.: Empirical strength criterion for rock masses, ASCE J. Geotech. Eng. 1980, 106 (GT9,1013-36 [] Hoek E., Carranza Torres C., Corkum B.: Hoek - Brown failure criterion 00 edition. Proceedings of the North American Rock Mechanics Society Meeting, Toronto, July 00 [3] Hoek E.: Estimating Mohr Coulomb Friction and Cohesion Values from the Hoek Brown Failure criterion, In: Int. Journal Rock Mechanics and Mining Science, 1990, 7 (3, 7 9 [4] Hoek E., Broen E.T.: Practical estimates of rockmass strength, In: Int. Journal Rock Mechanics and Mining Science, 1997, 34(8, 1165-86 [5] Sofianos A. I.: Tunnelling Mohr Coulomb strength parameters for rock masses satisfying the generalized Hoek Brown criterion, In: Int. Journal Rock Mechanics and Mining Science, 003, 40, 435-440 [6] Sofianos A.I., Halakatevakis N: Equivalent tunneling Mohr Coulomb strength parameters for given Hoek Brown ones, In: Int. Journal Rock Mechanics and Mining Science, 00, 39 (1, 131-137