trubku o délce l. Prut (nebo trubka) bude namáhán kroutícím momentem M K [Nm]. Obrázek 1: Prut namáhaný kroutícím momentem.

Transkript

1 Namáhání krutem Uvažujme přímý prut neměnného kruhového průřezu (Obr.2), popřípadě trubku o délce l. Prut (nebo trubka) bude namáhán kroutícím momentem M K [Nm]. Obrázek : Prut namáhaný kroutícím momentem. Rozložení napětí v řezu z úhel zkroucení Působící kroutící moment způsobí vznik smykového napětí τ K, jehož velikost ve vzdálenosti ρ od středu prutu (trubky) bude τ K = M K J p ρ, () kde J p je polární kvadratický moment kruhového průřezu, jehož hodnota pro prut a pro trubku je J p = π 32 D4, (2) J p = π ( ) 4 d 32 D4. (3) D Závislost smykového napětí τ K na vzdálenosti ρ od středu prutu (trubky) je lineární. Rozložení napětí τ K je ukázáno na Obr.2. Maximální hodnota

2 Obrázek 2: Rozložení smykového napětí v různých průřezech. smykového napětí τk max bude na povrchu prutu (trubky - vnější povrch), tedy pro ρ = D. Pro prut bude 2 τ max K = M K J p D 2 = M K π = M K, (4) 6 D3 W K kde W K = π 6 D3 se nazývá průřezový modul v krutu. Pro trubku bude platit stejný vztah s rozdílem, že W K = ( π 6 D3 ( ) ) 4 d. D Úhel zkroucení prutu (trubky) ϕ [rad], o který se natočí body ležící na přímce v řezu ve vzdálenosti l od vetknutí lze vypočíst jako ϕ = M Kl, (5) kde G [P a] je modul pružnosti ve smyku. Vztah (5) je analogie ke vztahu l = F l pro případ jednoosého namáhání tahem. EA Pevnostní a tuhostní podmínka Pevnostní podmínka τ DK. Z podmínky Je zadáno maximální dovolené smykové napětí τ K = M K W K τ DK (6) lze určit zda dojde k poškození materiálu, popř. dimenzovat rozměr prutu (trubky) tak aby k poškození nedošlo. 2

3 Tuhostní podmínka Je zadán maximální povolený úhel zkroucení ϕ D. Z podmínky ϕ = M Kl ϕ D (7) lze rovněž určit zda dojde k poškození materiálu, popř. dimenzovat rozměr prutu (trubky) tak aby k poškození nedošlo. 2 Vzorové příklady Dimenzování hřídele Navrhněte ød hřídele pro stroj o výkonu P = 76.5 kw pracujícího při otáčkách n = 00 min. Maximální povolené smykové napětí v hřídeli je τ DK = 2 MP a. Porovnejte hmotnosti hřídele s plným kruhovým průřezem (prut) a hřídele tvořeného trubkou, kde poměr vnějšího a vnitřního průměru bude D trubka d trubka =.. Aby nedošlo k překročení povoleného napětí τ DK musí platit pevnostní podmínka (6), tedy: M K W K τ DK (8) Kroutící moment M K lze určit jako poměr výkonu P a úhlové frekvence ω otáčení hřídele, tedy: M K = P ω = P 2πf = = knm P 2π n 60 = (9) Průřezový modul v krutu pro případ prutu a trubky lze vyjádřit takto: W K = π 6 D3 (0) W K = π ( ) 4 ) ( 6 D3 (). Po dosazení za M K a W K pro příslušné typy hřídele do (6) dostaneme předpis pro průměry hřídelů D prut = 3 6MK πτ DK = cm (2) 3

4 6M K D trubka = 3 πτ DK ( ( ) ) 4 = cm (3). d trubka = D. = 2.38 cm (4) Porovnejme nyní hmotnosti obou typů hřídele. Označme m prut hmotnost prutu, V prut objem prutu, m trubka hmotnost trubky, V trubka objem trubky a l délku hřídele. Jedná se o hřídele ze stejného materiálu, pak musí být jejich hustota ρ stejná. Platí tedy ρ = m prut V prut = m trubka V trubka. (5) Objemy hřídelů lze vyjádřit takto: V prut = 4 πd2 l (6) V prut = 4 π ( D 2 d 2) l (7) Vyjádřeme z (5) hodnotu m prut, dosaďme za objemu jednotlivých hřídelů a upravme vztah. m prut = V prut V trubka m trubka = = = D 2 D 2 d 2 m trubka = 4 πd2 l π 4 (D2 d 2 ) l m trubka = (8) D 2 D 2 ( D. ) 2 m trubka = m trubka = m trubka = 5.769m trubka.2 Z uvedeného vyplývá, že hřídel tvořený plným prutem bude oproti hřídeli tvořenému trubkou téměř šestkrát těžší. Odstupňovaný prut Mějme dán odstupňovaný prut zatížený podle Obr.3. Stanovte průběh kroutícího momentu M K (x) a průběh úhlu natočení ϕ(x). Dáno M K = 20 knm 4

5 Obrázek 3: Odstupňovaný prut namáhaný krutem. M K2 = 0 knm G = 80 GP a a = 0.5 m b = m D D 2 = 0.25 m = 0.2 m Určení reakčního momentu M KA. pro takto namáhaný prut bude mít tvar: Momentová podmínka rovnováhy M KA + M K M K2 = 0 (9) Po vyjádření bude M KA = M K2 M K = (20) = 0 knm. Průběh kroutícího momentu M K (x). v jednotlivých částech prutu budou: Hodnoty kroutícího momentu I ( x 0, 2 3 a ) : M K (x) = M K M K2 II ( x 2 3 a, a ) : M K (x) = M K2 5

6 III ( x a, a + b 2 ) : MK (x) = M K2 IV ( x a + b 2, b ) : M K (x) = 0 Na Obr.4 je zobrazen průběh kroutícího momentu M K. Prostorová souřadnice x je vynášena směrem od vetknutí. Obrázek 4: Průběh kroutícího momentu. Průběh úhlu zkroucení ϕ(x). kvadratických momentů J p a J p2. Nejprve určeme hodnoty polárních J p = π 32 D4 = m 4 (2) J p2 = π 32 D4 2 = m 4 (22) Pro určení průběhu úhlu zkroucení s výhodou použijeme metodu superpozice. Výsledný úhel zkroucení ϕ(x) bude roven součtu úhlu zkroucení ϕ MK (x), který je způsoben kroutícím momentem M K a úhlu zkroucení ϕ MK2 (x), který je způsoben kroutícím momentem M K2. Úhel zkroucení ϕ MK (x) bude v jednotlivých částech prutu roven: 6

7 I ( x 0, 2 3 a ) : ϕ MK (x) = M K x II,III,IV ( x 2 a, 3 b ) : ϕ MK (x) = M 2 K 3 a Úhel zkroucení ϕ MK2 (x) bude v jednotlivých částech prutu roven: I,II (x 0, a ): ϕ MK2 (x) = M K 2 x III ( x a, a + b 2 ) : ϕmk2 (x) = M K 2 a IV ( x a + b 2, b ) : ϕ MK2 (x) = M K 2 a A výsledný úhel zkroucení prutu + M K 2 (x a) 2 + M b K ϕ = ϕ MK (x) + ϕ MK2 (x). (23) Na Obr.5 jsou ukázány průběhy úhlů natočení. Červeně je zobrazen celkový úhel natočení ϕ, zeleně je zobrazen úhel natočení ϕ MK a modře je zobrazen úhel natočení ϕ MK2. Obrázek 5: Průběh úhlu zkroucení. 7

8 Staticky neurčitý prut Dimenzujte prut kruhového průřezu, který je zatížen kroutícím momentem M K podle Obr.6. K dimenzování užijte jak pevnostní (6), tak tuhostní podmínku (7). Dále určete hodnoty reakčních momentů M KA a M KB. Obrázek 6: Staticky neurčitý prut. Dáno a = 0.6 m b = 0.4 m G = 80 GP a M K τ DK ϕ D = 0 knm = 80 MP a = ϕ D = π 80 ϕ D = rad Řešení tvar Podmínka statické rovnováhy pro takto zatížený prut bude mít M KA + M K M KB = 0. (24) 8

9 Tato podmínka představuje jednu rovnici o dvou neznámých (jedenkrát staticky neurčitý případ). Proto je nutné připojit ještě jednu podmínku ϕ B = 0. (25) Tato podmínka se nazývá deformační. Vyjadřuje fakt, že v místě B, tedy v místě pravého uložení, nedojde k žádnému zkroucení. Obecně se staticky neurčité případy řeší vždy stejně. Vypustí se přebytečná uložení, na jejich místech se ponechají reakce (síly, nebo momenty), se kterými se dále počítá, jako by to byly síly zatěžovací, a v místě odstraněného uložení se připojí deformační podmínka. Pro tento případ tedy vypustíme pravé uložení a připojíme deformační podmínku (25). Po vyjádření hodnoty úhlu zkroucení v místě B dostaneme ϕ B = M Ka + M K B (a + b) = 0. (26) Po vyřešení této rovnice a dosazení za M KB do (24) bude M KA = a a + b M K = 4 knm, (27) M KB = b a + b M K = 6 knm. (28) Maximální smykové napětí bude v pravé části prutu a maximální hodnota úhlu zkroucení bude v místě působení momentu M K τ max K = M K B W K, (29) ϕ max = M Ka + M K B a. (30) Po vyjádření extrémních hodnot smykového napětí a úhlu zkroucení můžeme napsat pevnostní a tuhostní podmínku. M K a M KB W K τ DK (3) + M K B a ϕ D (32) Po dosazení za W K = π 6 D3 a J p = π 32 D4 a upravení výše uvedených podmínek dostaneme D pevnost 3 6MKB πτ DK = cm (33) D tuhost 4 32 (MK M KB ) a πϕ D G = cm (34) 9