Nejpoužívanější podmínky plasticity

Transkript

1 Nejpoužívanější podmínky plasticity Materiály bez vnitřního tření (např. kovy): Trescova Misesova Materiály s vnitřním třením (beton, horniny, zeminy): Mohrova-Coulombova, Rankinova Druckerova-Pragerova závisejí pouze na deviatorické části napětí závisejí také na hydrostatické části napětí

2 Trescova podmínka plasticity Inspirace Schmidovým zákonem (viz plasticita krystalu). Fyzikální předpoklad: k plastickému přetváření dojde, pokud smykové napětí na kterékoliv rovině v kterémkoliv směru dosáhne kritické hodnoty. Matematický zápis: σ max maximální hodnota smykového napětí σ (vypočtená z daných složek napětí ) kritická hodnota smykového napětí (mez kluzu ve smyku)

3 Trescova podmínka plasticity 1 max max min 1 max,, min,, největší smykové napětí největší hlavní napětí nejmenší hlavní napětí Možné tvary Trescovy funkce plasticity: max f σ σ nebo σ σ σ f max min

4 Příklady jednoosý tah x x x

5 Příklady jednoosý tlak x dvojosý tlak x y x x x x y

6 Příklady hydrostatický tlak x y z čistý smyk 1 z 1 x 1 x y

7 Trescova podmínka plasticity Příklad: jednoosý tah σ x y z xy xz yz 1 3 max min 1 max max plastické přetváření nastává, pokud tahové napětí dosáhne dvojnásobku meze kluzu ve smyku

8 Trescova podmínka plasticity Příklad: jednoosý tlak σ x y z xy xz yz 1 3 max min 1 max max plastické přetváření nastává, pokud tlakové napětí dosáhne dvojnásobku meze kluzu ve smyku

9 Trescova podmínka plasticity Příklad: hydrostatický tlak σ x y z xy xz yz 1 3 max max min max nelze plastické přetváření nenastává, ať už hydrostatické napětí dosáhne jakkoliv vysokých hodnot

10 Trescova podmínka plasticity Příklad: čistý smyk σ x y z xy xz yz 1 3 max min max max plastické přetváření nastává, pokud smykové napětí dosáhne meze kluzu ve smyku

11 Trescova podmínka plasticity Příklad: dvojosý tlak σ x y z xy xz yz 1 3 max min 1 max max plastické přetváření nastává, pokud tlakové napětí dosáhne dvojnásobku meze kluzu ve smyku

12 Trescova podmínka plasticity Příklad: kombinace tahu a smyku σ x y z xy xz yz 1 3 x y x y x y x y yx xy xy xy

13 Trescova podmínka plasticity Příklad: kombinace tahu a smyku σ x y z xy xz yz 1 max min yx xy 1 max max min

14 smykové napětí Kombinace tahu a smyku pro různé kovy kombinace napětí na mezi kluzu měď hliník měkká ocel Trescova podmínka 4 normálové napětí

15 Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost σ x x y y z xy xy xz yz y yx xy x

16 Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost σ x x y y z xy xy xz yz 1 3 x y x y x y x y xy xy

17 Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost Stavy napětí můžeme znázorňovat jako body v trojrozměrném prostoru, ale jednodušší je použít dvourozměrný prostor (rovinu), hlavních napětí. 1 x, y, xy Podmínka plastické přípustnosti: σ max 1, 1 3, 3

18 Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost

19 Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost

20 Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost 1 1 1

21 Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost 1 1 1

22 Trescova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost 1 1 1

23 Misesova podmínka plasticity Fyzikální předpoklad: k plastickému přetváření dojde, pokud hustota energie pružné deformace související se změnou tvaru dosáhne kritické hodnoty. Tato energie je úměrná invariantu J, proto lze místo kritické hodnoty energie pracovat s kritickou hodnotou odmocniny J, která má rozměr napětí. Matematický zápis: J σ druhý invariant deviatorického napětí σ (vypočtený z daných složek napětí ) mez kluzu ve smyku

24 Misesova podmínka plasticity Výpočet invariantu J: J s s s 1 x y z xy xz yz 1 6 x y x z y z xy xz yz Možné tvary Misesovy funkce plasticity: f σ J σ f σ J σ f σ 3J σ 3 f σ J σ

25 Misesova podmínka plasticity Příklad: čistý smyk σ x y z xy xz yz J J plastické přetváření nastává, pokud smykové napětí dosáhne hodnoty ( je tedy skutečně mez kluzu ve smyku)

26 Misesova podmínka plasticity Příklad: jednoosý tah nebo tlak σ x y z xy xz yz J J 3 plastické přetváření nastává, pokud normálové napětí dosáhne hodnoty 3 3 ( je tedy mez kluzu v tahu)

27 Misesova podmínka plasticity Příklad: hydrostatický tlak σ x y z xy xz yz J J nelze plastické přetváření nenastává, ať už hydrostatické napětí dosáhne jakkoliv vysokých hodnot

28 Misesova podmínka plasticity Příklad: dvojosý tlak σ x y z xy xz yz J J 3 plastické přetváření nastává, pokud tlakové napětí dosáhne meze kluzu v jednoosém tlaku

29 Misesova podmínka plasticity Příklad: kombinace tahu a smyku σ x y z xy xz yz 1 J 6 x y x z y z xy xz yz 1 3 yx xy

30 smykové napětí Kombinace tahu a smyku pro různé kovy Misesova podmínka 3 měď hliník měkká ocel Trescova podmínka 4 normálové napětí

31 Misesova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost J 1 J 6 x y x y xy 1 6 x y x z y z xy xz yz 1 3 x y x y xy J 1 1

32 Misesova podmínka plasticity Příklad: rovinná napjatost 1 1 1

33 Tresca Trescova a Misesova podmínka (rovinná napjatost) 1 1 rovinná napjatost Mises

34 Tresca Trescova a Misesova podmínka (obecná napjatost) Mises 3 přípustná oblast má tvar šestibokého hranolu přípustná oblast má tvar rotačního válce pevnost v jednoosém tahu je stejná jako v jednoosém tlaku hydrostatická část napětí nehraje roli podmínky vhodné pro materiály bez vnitřního tření, např. kovy

35 Trescova a Misesova podmínka (obecná napjatost) Tresca přípustná oblast má tvar šestibokého hranolu Mises přípustná oblast má tvar rotačního válce

36 Mohrova-Coulombova podmínka plasticity Tresca: k plastickému přetváření dojde, pokud smykové napětí na kterékoliv rovině v kterémkoliv směru dosáhne kritické hodnoty. Mohr-Coulomb: kritická hodnota smykového napětí není konstanta, ale závisí na normálovém napětí působícím kolmo na příslušnou rovinu. tan c Matematický zápis: smykové napětí normálové napětí soudržnost (koheze) úhel vnitřního tření

37 Mohrova-Coulombova podmínka plasticity Zápis funkce plasticity pomocí hlavních napětí: Tresca f σ σ σ max min Mohr-Coulomb f 1sin 1sin σ max σ min σ c cos c (pro a ekvivalentní s Trescovou podmínkou)

38 Mohrova-Coulombova podmínka plasticity Příklad: jednoosý tah 1 3 max min 1 sin f c cos c cos f 1 sin mez kluzu v jednoosém tahu jednoosý tlak 1 3 max min 1 sin f c cos c cos f 1 sin mez kluzu v jednoosém tlaku

39 Mohrova-Coulombova podmínka plasticity Příklad: hydrostatická napjatost 1 f 3 max min f sin c cos c tan mez kluzu v hydrostatickém tahu při hydrostatickém tlaku plastické přetváření nenastává, ať už hydrostatické napětí dosáhne jakkoliv vysokých hodnot

40 Příklad: čistý smyk Mohrova-Coulombova podmínka plasticity 1 3 max min f c cos f c cos mez kluzu ve smyku

41 Mohrova-Coulombova Příklad: plasticky přípustná oblast pro rovinnou napjatost podmínka plasticity 1 sin 1 sin max 1,, min 1,, c cos 1 c cos ft 1 sin c cos fc 1 sin

42 Druckerova-Pragerova podmínka plasticity Mises: k plastickému přetváření dojde, pokud odmocnina z invariantu J (který je úměrný hustotě energie pružné deformace související se změnou tvaru) dosáhne kritické hodnoty. Drucker-Prager: kritická hodnota J není konstanta, ale závisí na středním (hydrostatickém) napětí. Matematický zápis: σ J σ 3 m součinitel vnitřního tření střední napětí druhý invariant deviatorického napětí mez kluzu ve smyku

43 Příklad: jednoosý tah 1 3 Druckerova-Pragerova podmínka plasticity J m /3 /3 f f 3 J 1/ 3 m 1/ 3 mez kluzu v jednoosém tahu

44 Příklad: jednoosý tlak 1 3 Druckerova-Pragerova podmínka plasticity J m /3 /3 f f 3 J 1/ 3 m 1/ 3 mez kluzu v jednoosém tlaku

45 Druckerova-Pragerova podmínka plasticity Příklad: čistý smyk 1 3 J m f J 3 m f mez kluzu ve smyku

46 Druckerova-Pragerova podmínka plasticity Příklad: plasticky přípustná oblast pro rovinnou napjatost f c 1/ 3 f c f t 1 1/ 3

47 Mohrova-Coulombova a Druckerova-Pragerova podmínka Mohr-Coulomb Drucker-Prager rovinná napjatost 1sin 1sin max min c cos σ σ 3 m J

48 Mohrova-Coulombova a Druckerova-Pragerova podmínka Mohr-Coulomb přípustná oblast má tvar šestibokého jehlanu Drucker-Prager přípustná oblast má tvar rotačního kužele obecná napjatost

49 Mohrova-Coulombova a Druckerova-Pragerova podmínka Mohr-Coulomb přípustná oblast má tvar šestibokého jehlanu Drucker-Prager přípustná oblast má tvar rotačního kužele pevnost v jednoosém tahu je menší než v jednoosém tlaku hydrostatická část napětí hraje roli podmínky vhodné pro materiály s vnitřním třením, např. zeminy, horniny nebo beton v podmínce plasticity se objevují dva materiálové parametry

50 Nejpoužívanější podmínky plasticity Trescova σ σ σ f max min Misesova σ σ f J Mohrova-Coulombova σ σ σ f 1 sin 1 sin max min σ Rankinova σ f max Druckerova-Pragerova σ σ σ f I J 1 zobecněná Ottosenova f σ c I σ c r σ J σ c J σ

51 Příklad: aproximace obálky pevnosti pro beton při rovinné napjatosti / fc experimentální data 1 1 xy 1/ fc

52 Příklad: aproximace obálky pevnosti pro beton při rovinné napjatosti Rankine Mohr-Coulomb

53 Příklad: aproximace obálky pevnosti pro beton při rovinné napjatosti Drucker-Prager (tahová oblast) Rankine + Drucker-Prager (tlaková oblast)

54 Příklad: aproximace obálky pevnosti pro beton při rovinné napjatosti / fc Menétrey-Willam vhodná podmínka plasticity pro beton, závisí na všech třech invariantech napětí (zvláštní případ zobecněné Ottosenovy) 1/ fc