INSURANCE Využití korelace v rezervování povinného ručení Ondřej Bušta, Actuarial services 7. prosince 2007 ADVISORY 1
Agenda Nástin problému Majetkové škody Zdravotní škody Korelační analýza a riziko pojistného Nejlepší odhad rezerv 2
Nástin problému Různý charakter majetkových a zdravotních škod Zpoždění v likvidaci Výše a volatility škod Řešení: Využití korelace mezi majetkovými a zdravotními škodami Předpoklady k využití korelace: Majetkové škody Kratší likvidace než u zdravotních škod Riziko chyby v odhadu rezervy malé ve srovnání s rizikem pojistného Korelace mezi majetkovými a zdravotními škodami 3
Nástin problému Nástroje: Volba teoretického rozdělení Měření korelace Agregační funkce (teorie kopul) Monte Carlo simulace 4
Některá zjednodušení (zdravotní škody) Zpoždění v likvidaci zdravotních škod nezávisí na riziku Nulový run-off od momentu hlášení prvního příznaku zdravotní škody Stejná distribuční funkce pro všechny zdravotní škody Žádné změny v likvidačním procesu Data jsou očištěna o vliv změn: Pojistných sazeb Škodní inflace Škodní frekvence 5
Příklad zadání Statutární výkazy Rok Pojistné RBNS majetek (stav 2006) RBNS zdraví (stav 2006) 2000 5 000 0 266 2001 5 000 0 263 2002 5 000 4 266 2003 5 000 12 607 2004 5 000 71 392 2005 5 000 224 238 2006 5 000 924 43 Nákladové procento 25% 6
Majetkové škody 7
Klasický odhad rezerv (I) Kumulativní trojúhelník výplat: 1 2 3 4 5 6 7 31.12.2000 1 700,0 2 380,0 2 487,1 2 536,8 2 539,4 2 541,9 2 542,2 31.12.2001 1 900,0 2 603,0 2 759,2 2 828,2 2 836,6 2 842,3 31.12.2002 1 800,0 2 556,0 2 683,8 2 724,1 2 729,5 31.12.2003 2 100,0 2 919,0 3 079,5 3 141,1 31.12.2004 1 900,0 2 717,0 2 825,7 31.12.2005 1 800,0 2 484,0 31.12.2006 2 000,0 8
Klasický odhad rezerv (II) Analýza reziduí: Rezidua po vývojových letech 0,040 0,030 0,020 Reziduum 0,010 0,000-0,010 0 1 2 3 4 5 6 7-0,020-0,030-0,040 Vývojový rok 9
Rezervy: Analýza rozdělení Kumulativní trojúhelník výplat metoda chain ladder Analýza rozdělení zpoždění Porovnání rozdělení empirického zpoždění výplaty s teoretickým rozdělením Porovnání distribučních funkcí Q/Q diagram Kumulativní pnost 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0 50 100 150 200 250 300 Zpoždění (dny) Empirické rozdělení 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Empirické rozdělení Teoretické rozdělení Teoretické rozdělení 10
Rezervy: Stochastická simulace Předpoklad stejného rozdělení vývojových faktorů jako vlastního zpoždění Za předpokladu logaritmicko-normálního rozdělení: 14,0% 12,0% IBNR - majetkové škody Kvantil E(X) IBNR 41,2 Pravděpodobnost 10,0% 8,0% 6,0% 4,0% 2,0% 0,0% -200-100 0 100 200 300 400 IBNR 50% 75% 90% 95% 99,50% 40,5 82,3 119,5 145,0 211,9 11
Rezervy: Stochastická simulace Škodné procento pro rok poslední vývojový rok (2006) 35,0% 30,0% Expozice v riziku Kvantil E(X) Škodné procento 60,1% Pravděpodobnost 25,0% 20,0% 15,0% 10,0% 5,0% 0,0% 40% 50% 60% 70% Škodní procento 50% 75% 90% 95% 60,1% 60,9% 61,6% 62,0% Rezervy 99,50% 63,2% 12
Pojistné: Analýza střední hodnoty Analýza škodných procent po letech vzniku: Rok Pojistné Škody 2000 5 000 2 542 2001 5 000 2 843 2002 5 000 2 734 2003 5 000 3 153 2004 5 000 2 893 2005 5 000 2 671 2006 5 000 3 006 Škodné procento 50,84% 56,85% 54,68% 63,05% 57,86% 53,41% 60,12% Výsledné hodnoty EX= 56,12% VarX=0,00178 13
Pojistné: Stochastická simulace Stochastická simulace škodného procenta Při předpokladu logaritmicko-normálního rozdělení škodného procenta (LN(-0,5806 ; 0,0056)): 35,0% 30,0% Expozice v riziku - pojstné a rezervy Kvantil E(X) Škodné procento 56,1% Pravděpodobnost 25,0% 20,0% 15,0% 10,0% 5,0% 0,0% 40% 50% 60% 70% Škodní procento 50% 75% 90% 95% 56,0% 58,9% 61,6% 63,3% Rezervy Pojistné 99,50% 67,9% 14
Zdravotní škody 15
Klasický odhad rezerv (I) Kumulativní trojúhelník podle zaúčtování: 1 2 3 4 5 6 7 31.12.2000 24,3 516,3 525,5 526,8 531,2 531,2 531,2 31.12.2001 41,2 457,6 484,9 484,9 486,5 486,5 31.12.2002 57,7 342,7 362,3 367,7 369,1 31.12.2003 93,8 726,2 756,3 759,0 31.12.2004 31,9 435,1 461,4 31.12.2005 53,7 250,9 31.12.2006 42,7 16
Klasický odhad rezerv (II) Analýza reziduí: Rezidua po vývojových letech Reziduum 14,000 12,000 10,000 8,000 6,000 4,000 2,000 0,000-2,000-4,000-6,000 0 1 2 3 4 5 6 7 Vývojový rok 17
Zdravotní škody Kolektivní model rizika S = N i = 1 X i S úhrn škodných nároků N počet pojistných událostí X škodní nárok 18
Rezervy: Počty škod Trojúhelník počtu škod: 1 2 3 4 5 6 7 31.12.2000 5,0 42,0 45,0 46,0 47,0 47,0 47,0 31.12.2001 10,0 50,0 55,0 55,0 56,0 56,0 31.12.2002 4,0 38,0 41,0 43,0 43,0 31.12.2003 10,0 55,0 58,0 60,0 31.12.2004 7,0 51,0 56,0 31.12.2005 7,0 40,0 31.12.2006 7,0 19
Rezervy: Počty škod Analýza reziduí: Rezidua po vývojových letech Reziduum 3,500 3,000 2,500 2,000 1,500 1,000 0,500 0,000-0,500-1,000-1,500 0 1 2 3 4 5 6 7 Vývojový rok 20
21 Pojistné: Počty škod Doplněný trojúhelník: 51,5 50,5 50,5 50,5 49,8 48,5 44,9 7,0 31.12.2006 45,8 44,9 44,9 44,9 44,3 43,2 40,0 7,0 31.12.2005 59,4 58,2 58,2 58,2 57,4 56,0 51,0 7,0 31.12.2004 62,1 60,8 60,8 60,8 60,0 58,0 55,0 10,0 31.12.2003 43,9 43,0 43,0 43,0 43,0 41,0 38,0 4,0 31.12.2002 57,1 56,0 56,0 56,0 55,0 55,0 50,0 10,0 31.12.2001 47,9 47,0 47,0 47,0 46,0 45,0 42,0 5,0 31.12.2000 Tail 7 6 5 4 3 2 1
Pojistné: Počty škod Analýza počtu škod po letech vzniku: Rok 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Dlouhodobý průměr: EN=52,7 VarN=59,91 Kmen (počet) 1 000 000 1 000 000 1 000 000 1 000 000 1 000 000 1 000 000 1 000 000 Škody 47,9 57,1 43,9 62,1 59,4 45,8 51,5 22
Pojistné: Počty škod analýza rozdělení Ze vztahu E(N) a Var(N) zvoleno negativně binomické rozdělení : N NBi(301,96;0,85) 23
Pojistné: Výše škod Porovnání empirického rozdělení a teoretického rozdělení: Distribuční funkce Q-Q diagram 1 1 Pravděpodobnost 0,8 0,6 0,4 0,2 Teoretické 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 20 40 60 80 100 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Škoda Empirické Teretické rozdělení Empirické rozdělení Teoretické rozdělení Empirické rozdělení Zvoleno zobecněné rozdělení: X Pareto(1;0,66; 200) 24
Pojistné: Stochastická simulace Stochastická simulace počtu škod a výše škod Nezávislost počtu na výši škody 14,0% 12,0% Expozice pojistného rizika Kvantil E(X) Škodné procento 10,3% Pravděpodobnost 10,0% 8,0% 6,0% 4,0% 2,0% 0,0% 0,0% 5,0% 10,0% 15,0% 20,0% 25,0% Škodné procento 50% 75% 90% 95% 99,50% 9,9% 12,4% 15,1% 16,7% 21,2% 25
Korelace pojistné riziko 26
Korelační analýza Analyzujeme korelaci: Škodné procento majetkové škody Počet škod zdravotní škody 27
Korelační koeficienty Kendalovo tau: τ = 1 2 2P n( n 1) 1 Kde: n počet pozorování P = i< j sign [( X X )( Y Y )] i j i j Spearmanovo rho: ρ = 6 n i= 1 1 2 n( n d 2 i 1) Kde: d rozdíl mezi pořadími n počet pozorování 28
Korelační koeficienty - výsledky Data po letech vzniku: Korelační koeficienty: Rok 2000 Majetkové škody 50,8% Zdravotní škody 47,9 τ = 60% 2001 56,9% 57,1 2002 2003 54,7% 63,1% 43,9 62,1 ρ = 77,1% 2004 57,9% 59,4 2005 53,4% 45,8 2006 60,1% 51,5 29
Agregace rizik Archimedovské kopuly: Název C α ( u, v) ϕ (t) α Clayton Frank Gumbel max 1 ( e ln 1+ α exp 1 1 α α α [ u + v 1] α,0 ( 1) αu 1)( e α e 1 αv 1) 1 α α [( lnu ) + ( ln v) ] α α α t [ 1, ) \ {} 0 ln e α e t (, ) \ {} 0 α ( lnt) α 1 1 [ 1, ) 30
Závislosti v koncích Různé kopuly pro 50% korelaci: Gaussian copula (linear dependence) Clayton (lower tail dependence) 1,1 1,1 1 1 MTPL (CR) 0,9 0,8 0,7 MTPL (CR) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,6 0,5 0,5 0,7 0,9 1,1 0,5 0,5 0,7 0,9 1,1 CASCO (CR) CASCO (CR) Frank copula (central dependence) Gumbell copula (upper tail dependence) 1,1 1,1 1 1 MTPL (CR) 0,9 0,8 0,7 MTPL (CR) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,5 0,7 0,9 1,1 CASCO (CR) 0,6 0,5 0,5 0,7 0,9 1,1 CASCO (CR) 31
Měření závislostí v koncích Neparametrický odhad distribuční funkce na datech: Kde: Z i = K( z) = Pr( Z z) pocet i [( X, Y ) kde X < X ay < Y ] i j n 1 Parametrický odhad pro jednotlivé kopuly: j i j i Kde: ϕ(z) ϕ' ( z) K ( z) = z ϕ( z) ϕ'( z) - generátor - derivace generátoru 32
Parametrické odhady K(z) pro jednotlivé kopuly: Clayton: z(1 + α K( z) = α z α ) Frank: K( z) αz 1 e 1 e ln α 1 e α = z αz Gumbel: K( z) = z( α ln z) α 33
Hodnocení závislostí v koncích Genest Rivest (1993): Genest-Rivest (1993) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 K(Zi) 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Zi Kz(Empirical) Kz(Clayton) Kz(Frank) Kz(Gumbel) 100% závislost 34
Pojistné: Celková simulace RAROC: Celková expozice v riziku - pojistné 7,00% 6,00% Pravděpodobnost 5,00% 4,00% 3,00% 2,00% 1,00% 0,00% 3 500 4 000 4 500 5 000 5 500 6 000 výplaty Celkové výplaty Očekávaná hodnota Pojistné 99,5% interval spolehlivosti 35
Odhad rezervy 36
Rezervy: Majetkové škody - rekapitulace Standardní chain ladder Výsledky: 14,0% 12,0% IBNR - majetkové škody Kvantil E(X) IBNR 41,2 Pravděpodobnost 10,0% 8,0% 6,0% 4,0% 2,0% 0,0% -200-100 0 100 200 300 400 IBNR 50% 75% 90% 95% 99,50% 40,5 82,3 119,5 145,0 211,9 37
Rezervy: Zdravotní škody 2000-2005 Trojúhelník na počty škod chain ladder x průměrná škoda Rok Neznámé škody Průměrná škoda IBNR rezerva 2000 0,9 10 9,4 2001 1,1 10 11,2 2002 0,9 10 8,8 2003 2,5 10 24,7 2004 3,8 10 37,8 2005 5,9 10 59,4 38
Rezervy: Zdravotní škody 2006 Majetkové škody: Zdravotní škody: Expozice v riziku - pojstné a rezervy Expozice pojistného rizika 35,0% 30,0% 14,0% 12,0% Pravděpodobnost 25,0% 20,0% 15,0% 10,0% 5,0% Pravděpodobnost 10,0% 8,0% 6,0% 4,0% 0,0% 2,0% 40% 50% 60% 70% Škodní procento 0,0% 0,0% 5,0% 10,0% 15,0% 20,0% 25,0% Rezervy Pojistné Škodné procento Korelace majetkové vs. zdravotní škody: 39
Rezervy: Zdravotní škody 2006 Využití korelace zdravotních a majetkových škod: Výsledky simulace v okolí očekávaného procenta: Celkové škody Známe Neznáme Průměrná škoda IBNR rezerva 55,9 7 48,9 10 489 Stochastický přistup: Simulace počtu a výše škod využití vztahu střední hodnoty a rozptylu u počtu škod 40
Závěr 41
Závěr Co jsme odhadli? Předpověděli jsme objem zdravotních škod na základě vývoje majetkových škod Důvody proč? Korelace mezi zdravotními a majetkovými škodami Rozdílná doba likvidace mezi majetkovými a zdravotními škodami Matematický aparát Analýza zpoždění Volba teoretického rozdělení Korelační analýza Volba agregační funkce Monte Carlo simulace 42
Aplikace v praxi Data Matematický aparát Testování a kalibrace 43
Další využití Strategická analýza Náklady na kapitál a kapitálové požadavky 50,0% 45,0% RAROC 40,0% 35,0% 30,0% 25,0% 20,0% 0 100 200 300 400 500 600 700 Capital Current Strategy 1 Strategy 2 Strategy 3 Strategy 4 44
Další využití Hodnocení zajistného programu Rozdělení zisku Porovnání zajistného a úhrad od zajistitelů 3 000 3 000 2 000 2 500 1 000 2 000 Zisk 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8-1 000-2 000-3 000 Mio 1 500 1 000 500 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Kumulativní pnost Kumulativní pnost Brutto zisk Netto zisk Platby zajistitele Cedované pojistné Tarifování produktů 45
Ondřej Bušta KPMG Česká republika +420 222 123 829 obusta@kpmg.cz www.kpmg.cz The information contained herein is of a general nature and is not intended to address the circumstances of any particular individual or entity. Although we endeavor to provide accurate and timely information, there can be no guarantee that such information is accurate as of the date it is received or that it will continue to be accurate in the future. No one should act on such information without appropriate professional advice after a thorough examination of the particular situation. Informace zde obsažené jsou obecného charakteru a nejsou určeny k řešení situace konkrétní osoby či subjektu. Ačkoliv se snažíme zajistit, aby poskytované informace byly přesné a aktuální, nelze zaručit, že budou odpovídat skutečnosti k datu, ke kterému jsou doručeny, či že budou platné i v budoucnosti. Bez důkladného prošetření konkrétní situace a řádné odborné konzultace by neměla na základě těchto informací být činěna žádná opatření. 2007 KPMG Česká republika, s.r.o., a Czech limited liability company and a member firm of the KPMG network of independent member firms affiliated with KPMG International, a Swiss cooperative. All rights reserved. Printed in the Czech Republic. 46