Rulátor NQR ro liárí osilátor s aalýzou stability Pavl Stibaur Mihal Valáš Abstrat: V řísěvu j stručě shruta a řdvší aliováa todoloi ávrhu liárího zětovazbího stavového rulátoru NQR a bhar liárího osilátoru - rotačětraslačího atuátoru RAC a srováa s rulátor LQR. Protož ro řízí NQR í aalytiy roázáa lobálí stabilita j ověří stability rulačího obvodu odvoza a oužita uriá toda založá a Ljauovově toréu. Pro iltai ávrhovýh aloritů j oužito rostřdí Matlab. Úvod V osldíh lth dohází bouřlivéu rozvoji hatroiy a a trh řihází řada hatroiýh výrobů oatí otoaaráty autoatié račy aod. i aliai hatroiy do výrobů istujííh ývajíí jřáb osobí autoobil s ABS ESP. Mhatroiý systé j syriou obiaí haiýh a řídííh systéů tré jsou ralizováy očítačový systé a ůsobí ltroiýi ačíi čly. Mhatroié řší často vyžaduj zěu ostru ta aby byl systé lé řiditlý. Lší řiditlost v syslu ryhlé zěy stavu ohdy zaá ž j systé blízo z stability ož ovš řiáší zvýšé ároy a tody ávrhu a ověřováí záoů řízí. Naví j ro hatroié systéy j tyiý ohyb řístěí v vlé rozsahu ojíždějíí jřáb řsu hlavičy vého disu aod.. Naví hatroiý systé obvyl obsahuj odstaté liarity jž často ai í ožé liarizovat řízý asytriý tluič. Obvylé řístuy ávrhu řízí PD liarizaliárí rulátor aod. ta často vyhoví ožadavů a hováí řízého systéu. Proto j třba rozvíjt tody ávrhu liárího rulátoru. Návrh liárího rulátoru í jdoduhý a doosud ro ěj istuj obá todia. J disozii lá řada tod ro růzé třídy systéů a tyy úloh. V toto čláu j disutováo řízí liárího systéu ooí liárího vadratiého rulátoru NQR tré lz oužít ro široou třídu systéů osaýh rovii v tvaru u oud u u Mtoda řízí NQR Mtoda NQR vyhází z tod otiálího řízí a byla odvoza a záladě aaloi s todou LQR ro liárí systéy. Cíl sytézy NQR j ro dyaiý systé A.. u Ústav haiy Faulta strojí ČVU v Praz Karlovo á. Praha -ail stib@si.vut.z
avrhout stavově závislé oiity stavové zěté vazby K u. trá iializuj vadratié ritriu otiality J. u. R. dt. Q u a stabilizuj systé v rovovážé stavu. Za odí ž ati Q a R jsou ozitivě diití A a jsou sojité atiové u ár A j řiditlý stabilizovatlý v syslu liáríh systéů tdy hodost ati [. A.... A. ] ro R j očt stavů systéu ár Q A j ozorovatlý ro R tdy všhy ódystavy systéu jsou obsažy v ritriu istuj řízí a trajtori u t t t [ vyhovujíí oisu systéu ro tré j uioál očý všhy stavy jsou ěřitlé a vstuí roěé u jsou ozy ůž z Bllaova riiu dyaiého roraováí [Kubí 97] ro ozý ačí zásah u odvodit [Valáš 998] [Stibaur ] u * d R V P Q V. a atii P zísá řší stavově závislé Riatiho rovi P R P P A A P 8 Rovii 8 j ovš třba řšit v aždé bodě stavového rostoru. rasora obého stavového oisu Mtoda NQR oužívá stavový ois systéu v tvaru. Obý systé ůž být do tvaru trasorová oud slňuj odíu. V ubliovaýh rah j obvyl tato trasora rováděa ituitivě. rasora a vša í jdozačá. Bylo odvozo ěoli tod trasora tré uožňují tuto jdozačost aratrizovat [Valáš 999] [Stibaur ]. ato aratriza s stává další ávrhový aratr řízí. Jdou z rlativě álo výočtě áročýh variat j A-doozi. Fu... trá á v očátu hodotu... ůž být dooováa... A. d [... ] tato......... A A A... A Fu... až... s vyočtou ásldujíí ostu trý sstává A A z aiálě roů. V rví rou j vyočto 7 9
... A d...... a... -... -... A Jstliž - z řdhozího --ho rou j ulová u oto s oračuj -tý ro jia j A-doozi uoča. V -té rou j vyočto - d A -............ a A - -...... -...... Posaý výočt A-doozi závisí a ořadí roěýh v jjih výčtu.... Můž být zěě zěou ořadí výčtu.... to rozlad lz rovést i v říadě ž systé í osá aalytiýi výrazy al uříladu aroiová aěřýi tabulai či j vyjádř rozsáhlý roraový ód. Ověří stability NQR Bohužl stabilita ati A v syslu liáríh systéů záoré rálé části vlastíh čísl ati A v aždé bodě stavového rostoru zaručuj lobálí stabilitu liárího systéu systé. Pro ověří stability ůž oužít uriou todu založou a Ljauovově toréu: Kadidát Ljauovovy u j vadratiá ora založá a atii P jž j výsld řší stavově závislé Riatiho rovi 8 V P 7 Proto j tto adidát j zaručě ozitivě diití z riiu řší Riatiho rovi. Určí vyštřovaou oblast stavového rostoru D v tré s systé rálě ůž ohybovat. uto oblast oryj sítí bodů obráz. D D L obráz lustra orytí vyštřovaé oblasti D stavového rostoru sítí bodů obráz lustra uzavřé Ljauovovy lohy v oblasti D
V těhto bodh vyštří ativí diitost časové driva adidáta Ljauovovy u dv d A C dt P A P P A A. C C C 8 A K 9 Vyštří ativí diitosti časové driva Lja. u 8 v daé oblasti zaručí stabilitu rovovážého stavu. Zaručý rio ro trý j rovovážý stav atrator j ožé určit z ásldujíí úvahy. Pro alzí této oblasti vyjd oět z říé Ljauovovy tody. Podía ativosti časové driva Ljauovovy u 8 zaá ž hodota Ljauovovy u 7 lsá odél aždé trajtori ohybujíího s dyaiého systéu trý j stabilí v syslu Ljauova. Poud tdy v vyštřovaé oblasti stavového rostoru D istuj ro Ljauovovu ui 7 trá tdy slňuj odíu ativí diitosti časové driva 8 uzavřá hyrloha uzavírajíí rovovážý stav L : V azývaá Ljauovova loha á jistotu ž trajtori systéu očíajíí uvitř Ljauovovy lohy ta taé zůsta oř. s bud asytotiy řibližovat rovovážéu stavu viz obráz. J tdy ožé trasorovat hldáí riou atrativity a alzí Ljauovovy lohy trá j uzavřá a lě obsažá v vyštřovaé oblasti D. Aloritus ro říad dy oblast D á tvar advádru j odrobě osá v [Stibaur ]. ato oblast j oblastí zaručé atrativity. Sutčá oblast j větší toda j tdy oěrě ozrvativí. Přílad RAC Pois robléu Jdá s srováváí tstovaí říad ro liárí řízí [Bu 998]. Mhaisus obráz s ohybuj ouz v vodorové roviě tdy s ulatňuj ůsobí tíhové síly al ouz účiy dyaiýh sil. Pohyb vozíu j dá osuvou vazbou. Uvitř vozíu j ěu rotačí vazbou uvěo yvadlo o dél hotosti a ot strvačosti a j oháěo oho s ot M. Vozí j soj s rá ružiou o tuhosti. Síla F d ůsobíí a vozí j oruhovou vličiou systéu. Cíl řízí j stabilizovat systé v rovovážé oloz tdy utluit vibra osilátoru. Mhaisus oisuj soustava diriálíh rovi. řádu z z M si z F d
F d M obráz Shéa liárí úlohy RAC y lz sado trasorovat do tvaru M u u. d stavový vtor [ ] z z a jsou vtorové u s složai si si z z z a [ ] Hodoty aratrů jsou 8..7.9.9.8 N systé obsahuj žádé tluí. Při ávrhu rulátoru byly oužity stavová zětá vazba liárí avržá todou LQR a liárí avržá todou NQR [Stibaur ]. Váhové ati byly zvoly ostatí ro LQR i NQR stjé
Q R [ ].. dy bylo řdvší rrováo uliděí vozíu řd uliděí rotujíí hoty. Pro rozlad systéu do tvaru byla oužita A-doozi s ořadí stavovýh roěýh ři rozladu [ ]. Výsldy Liárí zětovazbí řízí systé stabilizovalo v vli blízé oolí očátu stavového rostoru obráz to doutuj ro vtor očátčíh odí [..]. Pohyb systéu z j o álo vzdálějšího bodu stavového rostoru [.. ] j vša již stabilí a vyhovujíí obráz. - z. dz z -. dz.. -. -. -. -. di i di i - - - - - - - - LQR otrolld [.. ] NQR otrolld. [.. ] obráz Průběh stavovýh vliči systéu RAC řízého rulátor LQR obráz Průběh stavovýh vliči systéu RAC řízého rulátor NQR z. z. dz..... -. -. - -. -. -. - i -. -.8 di i di - - - - - - - - - - - - NQR otrolld [.. ] LQR otrolld [.. ] obráz Průběh stavovýh vliči systéu RAC řízého rulátor LQR obráz 7 Průběh stavovýh vliči systéu RAC řízého rulátor NQR Oroti tou ři oužití stavově závislého stavového rulátoru NQR bylo dosažo stabilizujíího hováí a v říadě očátčíh odí ro tré systé stabilizovalo i LQR i výrazě výhodějšího růběhu stavového vtoru z orováí obráz - obráz a obráz a obráz 7.
Ověří stability řízého systéu bylo rovdo todou ačrtutou v úvodu tohoto čláu. Na rví ohld tato zísaá Ljauovova u á uzavřou Ljauovovu lohu obráz 8 a lz ta s jistotou alézt ai siistiý odhad riou atrativity rovovážého stavu. Poud vša uváží ž stavová roěá úhl atočí yvadla j riodiá s itrval π π tdy stav j vždy ozý alz i ozou Ljauovovu lohu v vyštřovaé oblasti s hodotou Ljauovovy u.8 d a os j Ljauovova loha oza itrval π π v obrázu azačo črhovaou čarou. Siulačě ověřé hováí řízého systéu taé uazuj odobě jao v všh doosud záýh aliaíh NQR ž NQR j stabilizujíí řízí. - V.... 8... 8 8.. 8.... -. -. V..8. 8... - -. -... V......8.8.8...8 8.............8.8.8.8.....8... - - - -... V 8.8...... 8..8 8.8 - - -.. obráz 8 Ljauovovy lohy ro RAC v osovýh řzh Závěr Pro již dřív ubliovaou todu ávrhu stavově závislé stavové zěté zěté vazby NQR í doosud roázáa lobálí stabilita. V této rái j stručě uvda uriá toda vyštří stability systéu řízého rulátor NQR. Pro tstovaí řílad RAC j avržo liárí řízí NQR tré výzaě řoává výsldy řízí liárí rulátor. Dál j ověřa stabilita tohoto řízí a urč zaručý rio atrativity rovovážého stavu. Litratura Mra C. P. Cloutir J.R.: "Missil loitudial autoilot dsi usi th stat-ddt Riati quatio thod" Prodis o th tratioal Cor o Noliar Probls i Aviatio ad Arosa Uivrsity Prss EbryRiddl Aroautial Uivrsity Daytoa Bah 99 Valas M. Stibaur P.: "Noliar Cotrol o Multibody Systs" : Abrosio J. Shihl W. ds.: Pro. o Euroh Colloquiu Advas i Coutatioal Multibody Dyais Lisabo 999. 7- Bu R.. Brsti D. S. Coola V..: A Bhar Probl or Noliar Cotrol Dsi tratioal Joural o Robust ad Noliar Cotrol 8 7-998 Stibaur P.: Nliárí řízí liáríh haiýh systéů dizrtačí rá ČVU v Praz