BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY

Transkript

1 VYSOKÉ UČEÍ TECHICKÉ V BRĚ BRO UIVERSITY OF TECHOLOGY FAKULTA STROJÍHO IŽEÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A IFORMATIKY FACULTY OF MECHAICAL EGIEERIG ISTITUTE OF AUTOMATIO AD COMPUTER SCIECE MODELY HROMADÉ OBSLUHY MODELS OF QUEUEIG SYSTEMS DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR Bc. MIROSLAV HORKÝ rof. RDr. Ig. MILOŠ ŠEDA, Ph.D. BRO 25

2

3

4

5 ABSTRAKT V diloové ráci se zabývá odely hroadé obsluhy s využití Markovových řetězců. Systé hroadé obsluhy je takový systé, kde ožadavky řicházejí do tohoto systéu v áhodých okažicích a vyžadují obsluhu. Tato ráce se zabývá kokrétě takovýi odely hroadé obsluhy, v ichž itervaly ezi říchody ožadavků a doby obsluhy ožadavků ají exoeciálí rozděleí. V teoretické části diloové ráce se věuji robleatice stochastických rocesů, systéu hroadé obsluhy, klasifikaci systéů hroadé obsluhy a oisu exoeciálích odelů Markovova tyu. V raktické části oisuji tvorbu a fukci rograu, který řeší siulaci vybraého odelu M/M/. a závěr srovává výočty získaé aalyticky a siulací daého odelu M/M/. ABSTRACT The aster s thesis solves odels of queueig systes, which use the roerty of Markov chais. The queueig syste is a syste, where the objects eter ito this syste i rado oets ad require the service. This thesis solves secifically such odels of queueig systes, i which the itervals betwee the objects icoigs ad service tie have exoetial distributio. I the theoretical art of the aster s thesis I deal with the toics stochastic rocess, queueig theory, classificatio of odels ad descritio of the odels havig Markovia roerty. I the ractical art I describe realizatio ad fuctio of the rogra, which solves siulatio of chose odel M/M/. At the ed I coare results which were calculated i aalytic way ad by siulatio of the odel M/M/. KLÍČOVÁ SLOVA Stochastický roces, Markovovy řetězce, Markovovy rocesy se sojitý čase, Poissoův roces, systé hroadé obsluhy, odely frot, zdroj ožadavků, doba trváí obsluhy, discilía froty, reži froty, reži obsluhy, Kedallova klasifikace systéu hroadé obsluhy, odely hroadé obsluhy Markovova tyu, MATLAB, siulace. KEYWORDS Stochastic rocess, Markov chai, Cotiuous-tie Markov chai, Poisso rocess, Queueig theory, Queueig odels, source of objects, service rate, queue discilie, queue ode, service ode, Kedall s otatio describig queueig odels, Markovia queueig odels, MATLAB, siulatio.

6

7 PROHLÁŠEÍ O ORIGIALITĚ Títo rohlašuji, že ředkládaá diloová ráce je ojí ůvodí autorskou rací, kterou jse vyracoval od vedeí vedoucího diloové ráce a s oužití uvedeé odboré literatury. V Brě de 29. květa 25 Bc. Miroslav Horký BIBLIOGRAFICKÁ CITACE HORKÝ, M. Modely hroadé obsluhy. Bro: Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta strojího ižeýrství, s. Vedoucí diloové ráce rof. RDr. Ig. Miloš Šeda, Ph.D..

8

9 PODĚKOVÁÍ Děkuji doc. RDr. Miloši Šedovi, Ph.D. za odboré vedeí, ceé rady, řioíky a za celkovou ooc ři zracováí této diloové ráce.

10

11 Straa OBSAH Abstrakt 5 Prohlášeí o origialitě 7 Poděkováí 9 Úvod 3 2 Stochastické rocesy 5 2. Markovovy řetězce Markovovy rocesy se sojitý čase 7 3 Poissoův roces 9 4 Systéy hroadé obsluhy 2 4. Historie teorie hroadé obsluhy Základí charakteristiky systéu hroadé obsluhy Vstuí roud ožadavků Doba trváí obsluhy Discilía čekáí ve frotě Reži froty Reži obsluhy 23 5 Klasifikace systéů hroadé obsluhy Kedallova klasifikace systéu hroadé obsluhy Modely hroadé obsluhy Markovova tyu Exoeciálí odel jedoduché obsluhy M/M/ Exoeciálí odel víceásobé obsluhy M/M/ Exoeciálí odel jedoduché obsluhy s oezeou kaacitou M/M//k Exoeciálí odel víceásobé obsluhy s oezeou kaacitou M/M//k Uzavřeý exoeciálí odel jedoduché obsluhy M/M//./r Uzavřeý exoeciálí odel víceásobé obsluhy M/M//./r Modely systéů hroadé obsluhy s etrělivostí ožadavků Modely systéů hroadé obsluhy s rioritai ožadavků 39 6 Progra siulace odelu M/M/ 4 6. Prograová realizace Vstuí araetry odelu Geerováí áhodých hodot Pois realizace zracováí ožadavků v odelu Staoveí základích charakteristik systéu Grafické výstuy siulace Pois uživatelské rozhraí rograu Práce s rograe Siulace kokrétího říadu Ověřeí fukčosti vytvořeého rograu a kokrétí říadě 55 7 Závěr 57 Seza oužité literatury 59 Přílohy

12 Straa 2

13 ÚVOD Straa 3 Tato ráce se věuje robleatice systéu hroadé obsluhy a téatů s í sojeých. Systé hroadé obsluhy oisuje systéy, kde ožadavky vyžadují obsluhu. Každý z ás se stává účastíke systéu hroadé obsluhy, jestliže se dostae do situace, která si žádá řešeí, které lze odely hroadé obsluhy osat. Systé hroadé obsluhy je takový systé, ve které jsou daé ožadavky obsluhováy určitý zařízeí. a říkladu saoobsluhy lze jedoduše systé hroadé obsluhy osat, daou situaci si lze lehce ředstavit. Saoobsluha je v toto říadě obecě systé hroadé obsluhy. Zákazíci, kteří vstouili do saoobsluhy, tedy do systéu hroadé obsluhy, se stávají ožadavky, kteří vyžadují obsluhu. a obsluhu čekají ve frotě, okud jsou všechy liky obsazey. Odtud se odvozuje i další ázev robleatiky systéu hroadé obsluhy, teorie frot. Poklada se v toto systéu hroadé obsluhy stává obslužou likou a zákazíci ožadavky vyžadující obsluhu. Rozhodující je itezita vstuů ožadavků do systéu, itezita obsluhy a očet obslužých liek v saoobsluze, dále očet ožadavků čekajících a obsluhu a další. Tyto a další araetry oisují chováí systéu hroadé obsluhy. Jedotlivé odely systéu hroadé obsluhy jsou detailěji osáy v teoretické části této diloové ráce. Cíle diloové ráce je klasifikovat systéy hroadé obsluhy s využití Markovových řetězců, dále ileetovat vybraý odel včetě geerováí dat a grafického zázorěí siulačích výočtů. Ze saé ovahy zadáí, diloová ráce je rozdělea a teoretickou část a raktickou část. V teoretické části diloové ráce se zabývá téaty systéu hroadé obsluhy, které s daou robleatikou úzce souvisí. V rví kaitole oisuji stochastické rocesy, které vychází z ředokladu, že ke zěá v systéu dochází s určitýi ravděodobosti a rvky tohoto rocesu ají áhodý charakter. Mezi stochastické rocesy řadíe i Markovovy řetězce a Markovovy rocesy se sojitý čase, které oisují řechody ezi jedotlivýi stavy. Další kaitola se věuje Poissoovu rocesu, eboť Poissoovo rozděleí ravděodobosti á velký výza rávě v teorii hroadé obsluhy, rotože toto rozděleí oisuje áhodé jevy. V teorii hroadé obsluhy ak takto ůžee ozačit říchody zákazíků vyžadujících obsluhu a dobu obsluhy zákazíka. ásleduje 4. kaitola, která se věuje oisu charakteristik systéu hroadé obsluhy. V další kaitole je rovedea klasifikace systéů hroadé obsluhy. Teoretický východiske ro aši klasifikaci systéu hroadé obsluhy jsou Markovovy řetězce. Markovovy řetězce oisují ravděodobosti řechodu ezi stavy rocesu systéu. V odkaitolách jsou tyto jedotlivé odely detailě osáy. U každého odelu jsou uvedey jeho základí vlastosti a dále také jeho další charakteristiky, které slouží k osouzeí efektivosti daého odelu. V raktické části diloové ráce oisuji vytvořeí rograu, který byl realizová za účele siulace vybraého odelu M/M/. Závěrečá kaitola oisuje realizaci a fukci tohoto rograu. Cíle ráce bylo ileetovat vybraý odel včetě geerováí dat a grafického zázorěí siulačích výočtů. Progra siulace byl ileetová a kokrétí říadě a výsledky byly zázorěy graficky. Srávost realizovaého rograu byla rovedea a ověřea oocí siulačích exerietů a toto kokrétí říadě.

14 Straa 4

15 2 STOCHASTICKÉ PROCESY Straa 5 Podstatou stochastických odelů je alikace očtu ravděodobosti. V ateatických odelech deteriistických jsou rvky a vztahy ezi ii evě dáy, ak chováí odelu za určitých odíek je dáo těito odíkai. Veličiy a vazby ezi těito rvky jsou evé a lze zaedbat jejich kolísáí. Oake tohoto odelu je ateatický odel stochastický. O ateatických odelech stochastických luvíe, jestliže rvky ebo vztahy ezi ii ají áhodý charakter. Prvky odelu a vztahy ezi ii ají charakter áhodých jevů, áhodých veliči ebo áhodých rocesů. Takový stochastický odel uvažuje jedu ebo více áhodých složek. Stochastické odelováí á základ v teorii ravděodobosti, která se zabývá oakovatelýi jevy áhodé ovahy. Teto odel se řibližuje reálý dějů, ve kterých je áhodá složka většiou řítoá. Metody stochastického odelováí ají výza ředevší v rozhodovací rocesu v situacích za eurčitosti a ro řízeí rocesů a dějů, kde se taková áhodá složka vyskytuje. Také odely hroadé obsluhy a Markovovy řetězce využívají etod stochastického odelováí. Reálýi říklady, které lze řešit etodai stochastického odelováí, ohou být hroaděí jedotek, které ají rojít určitý systée hroadá obsluha, roblé frot, čekací liky, staoveí očtu obslužých jedotek aby evzikala frota, ebo staoveí očtu jedotek aby ečekala obsluha, aod. [5]. Jak již bylo zíěo výše, stochastické odely vychází z ředokladu, že ke zěá v určité systéu dochází s určitýi ravděodobosti; odel racuje s áhodýi veličiai. Hlaví ástroje odelováí stochastických rocesů jsou áhodé rocesy. áhodý roces ak ůže být defiová, jako ožia áhodých veliči, závislých a určité očtu araetrů. V oha alikacích se vyskytují ředevší rocesy s jedí araetre a tí je čas. Takové áhodé rocesy se azývají stochastické rocesy. Defiice stochastického rocesu je ásledující: Stochastický roces je ožia áhodých veliči { X t } t T, kde T cháee jako ožiu jistých araetrů []. Defiičí obor T cháee ejčastěji jako časovou ožiu. Obor fukčích hodot se běžě azývá stavový rostor, či rostor stavů stochastického rocesu R. Stave stochastického rocesu se rozuí určitá hodota, obvykle číslo, z čehož vylývá, že obore fukčích hodot je číselá ožia. Tyy stochastických rocesů odle defiičího oboru T a stavového rostoru R v obou říadech daé ožiy ohou obsahovat koečý ebo sočetý očet hodot. V těchto říadech se jedá o diskrétí časy, resektive o stavy. Pokud daé ožiy obsahují esočetý očet hodot, ak se jedá o sojitý čas, resektive stavy. Tyy stochastických rocesů odle defiičího oboru T a stavového rostoru R jsou řehledě shruty v ásledující tabulce. Tab. 2. [2] Stavový rostor R diskrétí sojitý Defiičí obor T, čas t T diskrétí diskrétí áhodá oslouost 3 sojitá áhodá oslouost sojitý 2 diskrétí áhodý roces 4 sojitý áhodý roces V reálých alikacích lze ajít všechy čtyři uvedeé tyy stochastických rocesů, aříklad diskrétí áhodá oslouost ůže oisovat odel rozhodováí v koečě oha etaách a s koečý očte alterativ, 2 diskrétí áhodý roces ůže oisovat očty zákazíků ve frotě, kteří čekají a obsluhu v ějaké obslužé jedotce, 3 sojitá áhodá oslouost ak ůže oisovat dobu čekáí zákazíka ve frotě a obsluhu v obslužé jedotce a 4 sojitý áhodý roces ak oisuje aříklad zěu zásob v čase [2]. V dalších dvou odkaitolách se budee zabývat takovýi stochastickýi rocesy, ezi které řadíe Markovovy řetězce ožia T,R je diskrétí a Markovovy rocesy se sojitý čase.

16 Straa 6 2. Markovovy řetězce Markovovy řetězce atří ezi stochastické rocesy, které ají diskrétí jak časovou ožiu T, tak také stavový rostor R, tz. Markovovy řetězce oisují stochastický roces robíhající v diskrétí čase ři diskrétích řechodech ezi stavy. Stochastický charakter diskrétí áhodé oslouosti sočívá v to, že v okažiku se vyskytuje jede z ožých stavů s s určitou ravděodobostí, tedy s j. Proces usí slňovat také tzv. Markovskou vlastost. Markovská vlastost se týká ravděodobosti řechodu ezi stavy a říká, že ravděodobost řechodu v ásledující kroku závisí ouze a současé stavu, ve které se roces achází a ezávisí a stavech iulých. Markovská vlastost se vyjádří odíěýi ravděodobosti ásledově: s j s i, s 2 k,..., s P s j s i P. 2. Podíěá ravděodobost výskytu stavu j v okažiku závisí ouze a stavu, který se vyskytuje v okažiku -, tedy Markovův řetězec udává budoucost je a základě současosti, iulost ezá. Tyto odíěé ravděodobosti se též azývají ravděodobosti řechodu[2]. Chováí systéu s koečý očte stavů se odeluje oocí Markovova řetězce a je určeo:. vektore eodíěých absolutích ravděodobostí v určité okažiku,,..., ro,,2,..., 2.2 [ ] 2 kde i, i,2,...,, začí ravděodobosti, že roces v okažiku je ve stavu i. 2. aticí ravděodobostí řechodu P, kde i,2,...,, j,2,...,. 2.3 [ ] ij Pravděodobost ij budee azývat odíěou ravděodobostí řechodu ze stavu i do stavu j, k ěuž dochází ezi okažiky - a. ehoogeí Markovovův řetězec zaeá, že ij závisí a. Markovovův řetězec se azývá hoogeí, jestliže ravděodobosti ij ezávisí a to, ezi kterýi okažiky k řechodu dochází, tj. latí-li ij ij. Dále se budee zabývat ouze hoogeíi Markovovýi řetězci. Pravděodobost ij usí slňovat tyto odíky: ro i,2,...,, j,2,..., a 2.4 ij ij j ro i,2,..., 2.5 rotože ři suarizací každého řádku atice vychází, že řádek je rove. Pro řechod systéu ve dvou o sobě ásledujících okažicích latí: + P 2.6 Postuý dosazeí dojdee ke vztahu: + + P 2.7 který začí řechod ezi dvěa časovýi okažiky. Přechod od rvího časového okažiku ke druhéu časovéu okažiku se vyjádří: P 2.8 Postuý dosazováí odvodíe vztah: P 2.9 Chováí hoogeích Markovových řetězců o časových okažicích je tedy osáo ociai atice ravděodobostí řechodu a vektore výchozích absolutích ravděodobostí[].

17 2.2 Markovovy rocesy se sojitý čase Straa 7 Hovoříe-li o Markovových rocesech se sojitý čase, zaeá to, že řechody ezi jedotlivýi stavy se ohou uskutečit v libovolě blízkých časových okažicích, a ůžee tak říady zě vystihout ve sojité čase. I zde áhodé roěé Xt abývají hodoty, které jsou řiřazeé určitý stavů. V okažiku t i se ůže vyskytout jede ze stavů i,i 2, i ; okažiky t i, t i+, se liší o veličiu t, která se blíží k ule. Itezita ravděodobosti řechodu ze stavu i do stavu j je vyjádřea oocí liity ásledově: li t i j ij t, t + t aij t t 2. Ve většiě říadů se ředokládá, že tyto ravděodobosti řechodu a ij t jsou kostatí, tedy a ij. Pravděodobosti setrváí ij t,t+ t v liitě alé době by se ovše blížila jedé, roto se sleduje její jedotkový dolěk. Teto jedotkový dolěk rověž ředstavuje itezitu výstuu ze stavu j: li t i j jj t, t + t a t jj t 2. Matici ravděodobostí řechodu, zachycující odíěé ravděodobosti výskytu určitých stavů v době t+ t, odíěé výskyte určitých stavů v době t, lze zasat: a t t a2 t t... a t t a2 t t a22 t t... a2 t t P a t t a2 t t... a t t Matice A t ředstavuje atici itezit ravděodobostí řechodu a á tvar: a t a2 t... a t a2 t a22 t... a2 t A t a t a2 t... a t Jestliže růběh rocesu ezávisí a době, která ulyula od očátku rocesu, jedá se oět o hoogeích roces. Pro hoogeí roces latí vztah, který lze zasat: t t A 2.4 Výraz 2.4 je soustavou difereciálích rovic ro veličiy i t, kterou lze dále uravovat a tí dojít k řešeí: At t e 2.5 Rovici ro stacioárí ravděodobosti rocesu lze odvodit z ředešlého vztahu a latí: A 2.6 kde zaeá ulový vektor. Z alikačího hlediska jsou ejvýzaější ěkteré jedoduché Markovovy rocesy, ři kterých jsou řechody ezi stavy veli oezeé. Mezi tyto rocesy atří také Posisoův roces, který bude osá v další kaitole [].

18 Straa 8

19 3 POISSOŮV PROCES Straa 9 Poissoův roces je základí diskrétí stochastický roces, který se oužívá v ateatických odelech systéů hroadé obsluhy. Jelikož se v každé systéu hroadé obsluhy vyskytuje vstu ožadavků a obsluha ožadavků, ředokládáe, že vstu i obsluha ožadavků je ovlivňováa áhodýi vlivy. Proto je vhodý ateatický objekte ro odelováí očtu ožadavků jak vstuujících, tak obsluhovaých v systéu hroadé obsluhy rávě diskrétí stochastický roces [2]. Probleatika Poissoova rocesu bude dostatečě osáa v ásledující textu. Uvažujee Xt, že je očet výskytů určitého jevu v čase,t, ak{x t } t je sočteý Markovovův roces s ožiou stavů S{,2, } a s očátečí rozděleí a i ro stav i ǂ. Poissoův roces bývá charakterizová těito vlastosti: ezávislost - roces {X t } á ezávislé řírůstky. Počet jevů řiadajících a určitý časový iterval ezávisí a očtu jevů v libovolé jié itervale. 2 Stacioárost hoogeita v čase - roces {X t } á hoogeí řírůstky. Itezita vyskytujících se jevů růěrá hodota očtu těchto jevů za časový iterval je kostatí. Tato vlastost se azývá stacioárost a říslušé rocesy se azývají hoogeí Poissoovy rocesy. V říadě, že itezita jevů závisí a čase t hovoříe o ehoogeích Poissoových rocesech. 3 Regulárost ordiárost - ři dostatečě alé t ří kostatí hodotě se ravděodobosti řechodu ze stavu do stavu + v itervalu t,t+ t rovají:, t + t; t + t t + o 3. Pro ravděodobost setrváí ve stejé stavu v časové itervalu t,t+ t latí: t; t + t t + o 3.2, t Pravděodobost ostatích řechodů je v orováí s ředešlýi řechody zaedbatelá a latí: ij j i+ 2 t + t o t 3.3 Veličia o t obsahuje všechy výrazy řádu t 2 a vyššího, tedy ty, které se blíží k ule odstatě rychleji ež t, latí: o t li 3.4 t t Poissoův roces je tedy roces, ve které je ožý řechod je do ejbližšího vyššího stavu. Matice itezit ravděodobostí řechodu á tvar ásledující: A a základě shora uvedeých charakteristik latí ro ravděodobosti vztahy: t + t t + o t, 3.6 [ ] [ t + o t ] t + [ t + o t ] + o t t + t t, > 3.7

20 Straa 2 o úravě získáe: t + t t o t t t t a t + t t o t t + + t 3.9 t t Při t dostaee: t t 3. dt t t t + 3. dt zároveň usí latit očátečí odíky:, 3.2, > 3.3 Rovice 3.7, 3.8 ředstavují rekuretí soustavu difereciálě-diferečích rovic, které ají očátečí odíky a a ro > řešeí je: t t t e,,,2, ! Závěre tedy ůžee tvrdit, že Poissoovo rozděleí je rozděleí očtu zě za určitou dobu t. Pokud oložíe obdržíe čle: t t e 3.5 který udává ravděodobost, že v období délky t edojde ke zěě. Dále latí, že jestliže je rozděleí očtu zě systéu za určitou dobu Poissoovo, ak ro tetýž roces je rozděleí dob ezi zěai exoeciálí []. yí ůžee odvodit vztah distribučí fukce Ft exoeciálího rozděleí s araetre : F t t t e. 3.6

21 4 SYSTÉMY HROMADÉ OBSLUHY Straa 2 V reálé životě se setkáváe se systéy hroadé obsluhy veli často. Jedá se o takové systéy, ve kterých dochází k realizaci obsluhy ožadavků, které do systéu vstuují. V systéech hroadé obsluhy se vyskytují dva růzé druhy jedotek. Prví druhe jsou ožadavky a obsluhu, další jsou ak obslužé liky, které vyřizují daé ožadavky a obsluhu. Důležitý faktore v systéu hroadé obsluhy je kaacita obslužé liky a dále ak itezita řicházejících ožadavků do systéu. V závislosti a těchto dvou veličiách ůže docházet řed obslužýi likai k hroaděí ožadavků, tedy k vytvářeí frot odtud alterativí ázev daé robleatiky - odely frot. Cíle zkouáí systéů hroadé obsluhy je aalýza dat s ásledou otializací celého systéu hroadé obsluhy[7]. a čiost systéu lze ohlížet ze dvou hledisek, a sice z hlediska zákazíka a z hlediska obsluhy. Cíle zákazíka je strávit v systéu co ejkratší dobu, roto volí co ejkratší frotu, řechází do jié froty, oříadě odchází ze systéu zcela. Cíle rovozovatele je iializace ákladů a rovoz systéu. Sahou je tedy zitezivit obsluhu, reorgaizovat a secializovat obslužé liky ke sokojeosti zákazíků[3]. Obecě lze systé hroadé obsluhy zázorit ásledově dle obrázku 4.. Obr. 4. Struktura systéu hroadé obsluhy [6] ásledující tab. 4. ředstavuje situace každodeího života, které lze systée hroadé obsluhy osat. a říkladu ordiace lékaře lze systé hroadé obsluhy jedoduše objasit. Ordiace lékaře tedy ředstavuje obecě systé hroadé obsluhy, lékař oto ředstavuje obslužou liku a acieti v toto odelu zastuují ožadavky vyžadující obsluhu. Z tabulky je rověž atré, že systéy hroadé obsluhy ají růzou strukturu. Od ejjedodušších struktur, kde se achází jeda obslužá lika ordiace lékaře až o systéy s veli složitou strukturou liky ve výrobě. Systé hroadé obsluhy je dále ovlivňová veličiai, které budou jedotlivě osáy v dalších odkaitolách. Tab. 4. Příklady systéu hroadé obsluhy [7] Systé hroadé obsluhy Obslužé liky Požadavky ordiace lékaře lékař acieti baka řeážky klieti saoobsluha oklady zákazíci výrobí lika ísta a výrobí lice výrobky doraví systé křižovatky se seafory vozidla bezíová ua čerací stojay vozidla ádraží oklady cestující telefoí cetrála telefoí liky volající lyžařské středisko vleky lyžaři

22 Straa Historie teorie hroadé obsluhy Teorie hroadé obsluhy byla vyviuta za účele ředvídat chováí systéu oskytující určité služby, tak aby docházelo k jeho otializaci, oříadě zkvalitňováí. Základy teorie hroadé obsluhy oložil dáský ateatik A. K. Erlag , který racoval ro solečost rovozující telefoickou síť v Kodai a v roce 99 osal alikaci teorie ravděodobosti a robléy telefoího rovozu. Erlagova teorie byla dále rozvíjea ruský ateatike A.. Kologorove. Klasifikace systéů hroadé obsluhy tak, jak ji oužíváe des byla zavedea v 5. letech iulého století aglický ateatike D. G. Kedalle. Des jde již o klasickou část logistiky, osaou v řadě cizojazyčých i českých oografií a ve vysokoškolských textech [6]. 4.2 Základí charakteristiky systéu hroadé obsluhy Abycho osali systé hroadé obsluhy ateatický odele, je otřeba vycházet z aalýzy jeho chováí. ejdříve je uté zkouat oboustraé vazby základích rvků systéu, tedy secifikovat vstuí roud ožadavků zdroj ožadavků, vstuí roud ožadavků, zůsob a echaisus jejich obsluhy, včetě očtu a usořádáí obsluhujících zařízeí reži obsluhy, discilíu čekáí ve frotě, dále ořadí, v jaké vstuují ožadavky do režiu obsluhy reži froty a charakter dob trváí obsluhy. Další důležitou fází odelováí systéu hroadé obsluhy je statistická aalýza jeho jedotlivých rvků. Máe-li k disozici otřebá statistická data, je ožé osat chováí systéu hroadé obsluhy ateatický odele. Výsledke jeho řešeí jsou hodoty základích charakteristik. V závislosti a zkouaé rvku systéu, výsledke tedy ůže být středí hodota doby čekáí ve frotě, středí hodota délky froty, středí hodota doby setrváí v systéu, vytížeí a rostoje jedotlivých zařízeí obsluhy, očet ebo odíl ožadavků čekajících a obsluhu aod. [] Vstuí roud ožadavků Rozhodující vliv a čiost systéu hroadé obsluhy ají vlastosti a itezita vstuího roudu. Vstuí roud ožadavků lze obecě charakterizovat jako stochastický roces, rotože ožadavky řicházejí do systéu obsluhy ejčastěji v áhodých okažicích. Eirické údaje získaé ze systéu obsluhy vyhovují ředokladu Poissoova rozděleí očtu vstuujících ožadavků za určitý iterval. Rozděleí vstuujících ožadavků za určitý iterval odovídá exoeciálí rozděleí itervalů ezi jejich říchody, a roto se azývají systéy s Poissoový vstuí roude exoeciálí systéy. Kroě Poissoova rozděleí je ožé setkat se i s jiý zákoy rozděleí vstuího roudu, tyto systéy jsou však aalyticky obtížější []. Jako zdroj ožadavků lze cháat ožiu oteciálích zájeců o obsluhu. Důležité ro ois systéu hroadé obsluhy je jejich očetost, oříadě struktura. Zdroje ožadavků je tedy skuia ositelů ožadavků, ůže být jede ebo i více zdrojů, které jsou koečé ebo ekoečé. Pokud je zdroj ekoečý vysoký očet oteciálích zájeců o obsluhu, ak a očet oteciálích zájeců eá vliv očet již obsluhovaých ebo čekajících zájeců. V říadě alých oezeých zdrojů se očet oteciálích ožadavků zešuje, zdroj ožadavků je tedy koečý. Vstuy ožadavků do systéu oisujee oocí itezity vstuu očet ožadavků vstuujících do systéu za jedotku času a ebo oocí itervalu ezi vstuy X čas ezi dvěa o sobě ásledujícíi vstuy [3]. Tyto veličiy ezi sebou úzce souvisí. Mohou být jako deteriistické itervaly ezi vstuy jsou eěé, ař. autoatická výrobí lika a ebo jako ravděodobostí itervaly ezi vstuy jsou roělivé, ař. saoobsluha. Pravděodobostí itervaly jsou tedy charakterizováy tye tohoto ravděodobostího rozděleí a hodotai jeho araetrů. V oha raktických alikacích vyhovuje touto oisu exoeciálí rozděleí. Exoeciálí rozděleí je rozděleí s jediý araetre. Středí hodota tohoto rozděleí je rova EX/ [7].

23 4.2.2 Doba trváí obsluhy Straa 23 Další rozhodující vlive a čiost ve frotě je doba trváí obsluhy. Dobu obsluhy jedotlivých ožadavků ovlivňuje řada áhodých faktorů, roto ji lze také okládat za áhodou veličiu. Je to tedy doba, o kterou je ožadavek obsluhová obslužou likou. Doba trváí obsluhy se obvykle také řídí exoeciálí zákoe rozděleí []. Podobě jako itervaly ezi říchody ožadavků do systéu, tak i doba trváí obsluhy ůže být buď deteriistická a ebo ravděodobostí - exoeciálí rozděleí je ejvhodější rozděleí, které oisuje itervaly ezi říchody ožadavků do systéu. Pokud ozačíe araetr exoeciálího rozděleí sybole, ak středí doba trváí obsluhy je zasáa jako EX/ a araetr je ožé ozačit jako itezitu obsluhy, eboť jej lze iterretovat jako růěrý očet obsloužeých ožadavků za určitou časovou jedotku [7] Discilía čekáí ve frotě V systéu hroadé obsluhy ůžee rověž osat chováí ožadavků čekajících a obsluhu. Dle trělivosti ožadavků vyžadujících obsluhu se dělí systéy hroadé obsluhy a systéy bez čekáí a systéy s čekáí. Jedá-li se o systé hroadé obsluhy bez čekáí, zaeá to, že ožadavek do systéu evstouí, jelikož všecha zařízeí obsluhy jsou obsazea a reziguje a obsluhu. Systéu s čekáí, každý ožadavek který vstouí buď trělivě čeká a oouští systé až o ukočeí obsluhy a ebo čeká o určitou dobu a terve eí-li běhe í obslouže, oouští systé. Mezi systéy obsluhy s čekáí se řadí jedak systéy s eoezeou délkou froty, jedak systéy s oezeou délkou froty. Při eoezeé délce froty jsou všechy ožadavky obsloužey, okud jsou ožadavky a obsluhu ochoty čekat. Je-li očet íst ve frotě oeze, ak ři jejich lé obsazeí eí další ožadavků řicházející do systéu obsluha oskytuta. Tyto systéy se také azývají systéy se ztrátai jedá se o systéy bez čekáí, ale i o systéy s čekáí, avšak s oezeou kaacitou froty ebo s etrělivostí ožadavků běhe čekáí ve frotě [] Reži froty Další výzaý faktore, který ovlivňuje efektivost celého systéu hroadé obsluhy je srávě zvoleý reži froty. Reži froty ozačovaý též jako řád froty určuje zůsob řechodu ožadavků z froty do obsluhy. Tyto aglické zkratky FIFO, LIFO, SIRO, PRI ozačují základí tyy režiu froty. FIFO first i / first out oisuje reži, kdy jsou ožadavky obsluhováy v evě staoveé ořadí, tedy ožadavky řicházejí z froty do obsluhy v to ořadí, v jaké do systéu řišly. Příklade ůže být saoobsluha, baka, bezíová staice aod., jedá se o situaci, která se ejčastěji vyskytuje v systéech hroadé obsluhy. LIFO last i / first out oisuje oačý reži froty. Požadavky jsou obsluhováy v oačé ořadí ež v jaké do systéu vstouily, tedy jako rví ožadavek je obsluhová te, který vstouil do systéu jako osledí. SIRO selectio i rado order ozačuje reži, kdy dojde k áhodéu zůsobu řechodu ožadavků z froty do obsluhy. PRI riority oisuje reži, kdy ožadavky řechází z froty do obsluhy dle zadaých riorit. Požadavky jsou tedy obsluhováy dle defiovaých riorit. Pokud se současě vyskyte ve frotě ěkolik ožadavků s ejvyšší rioritou, oto jsou tyto ožadavky obsluhováy ve zvoleé režiu daého systéu [7] Reži obsluhy Počet a usořádáí obslužých liek ovlivňuje rověž efektiví fugováí systéu hroadé obsluhy. Každý systé je secifický rávě očte a usořádáí těchto liek. Počet a usořádáí obslužých liek je odstatý ro otializaci systéu. Je uté zvolit korois ezi áklady a rovoz jedotlivých obslužých liek které chcee logicky iializovat, tz.čí éě liek, tí ižší áklady a a straě druhé délkou froty čekajících ožadavků a obsluhu []. ejjedodušší jsou ty systéy, kde je ouze jeda obslužá lika. O usořádáí obslužých liek hovoříe, až ři rovozu více obslužých liek. Takové usořádáí ůže být buď aralelí ebo sériové. Obrázek 4.2 scheaticky zázorňuje systéy obslužých liek jeda obslužá lika, aralelě usořádaé obslužé liky a sériově usořádaé obslužé liky.

24 Straa 24 Obr. 4.2 Usořádáí obslužých liek [8] Paralelí usořádáí obslužých liek je takové, kdy je vedle sebe usořádáo ěkolik liek, které všechy oskytují stejou obsluhu. Příklade ohou být oklady v saoobsluze, stojay u bezíové uy aod. Dále se usí brát v otaz, zda se řed každou likou vytváří saostatá frota ebo zda je zde frota ouze jeda, ze které řechází do obsluhy rví ožadavek o uvolěí libovolé liky. Podle tohoto režiu se luví o systéech s jedou frotou ebo o systéech s více frotai. Sériové usořádáí obslužých liek zaeá usořádáí obslužých liek za sebou. Požadavek tedy usí ostuě rojít všei obslužýi likai. Příklade ůže být výrobí lika. V reálých systéech hroadé obsluhy se ejčastěji vyskytuje kobiace obou těchto tyů [7].

25 5 KLASIFIKACE SYSTÉMŮ HROMADÉ OBSLUHY Straa 25 Klasifikovat kokrétí systéy hroadé obsluhy lze a základě secifikace jejich základích rvků. ejčastějšíi kritérii jsou charakter a ty rozděleí vstuího roudu ožadavků, charakter a ty rozděleí dob obsluhy, reži a struktura obsluhy, discilía čekáí a očet íst ve frotě a reži froty. Abycho systéy hroadé obsluhy ohli jedoduše osat, oužívá se stadardí klasifikace základích tyů systéu hroadé obsluhy, která byla avržea D.G. Kedalle. 5. Kedallova klasifikace systéu hroadé obsluhy Tato stadardí klasifikace oužívá tříístý kód, založeý a kobiaci dvou íse a jedé číslice ve forě A/B/s, kde A ozačuje rozděleí itervalů ezi říchody ožadavků B ozačuje rozděleí doby trváí obsluhy s udává očet aralelích zařízeí obsluhy v systéu Pro ty rozděleí itervalů ezi říchody, a ro rozděleí dob obsluhy se obvykle oužívají syboly D, M, E k, GI, G, kde D začí deteriistické rozděleí M ozačuje exoeciálí rozděleí Markovova tyu E k ozačuje Erlagovo rozděleí k-tého řádu GI začí obecé ezávislé rozděleí G začí rozděleí obecé. Kroě tohoto tříístého kódu, se oužívá i rozšířeý ětiístý kód ve forě A/B/s/x/y. Píseo x ozačuje axiálí očet íst v systéu a íseo y začí velikost zdroje ožadavků. Pokud jsou deskritory x ebo y vyecháy, zaeá to, že jejich hodota je ekoečě velká, tedy eoezeá []. Šestý kóde se obecě ozačuje reži froty FIFO, LIFO, SIRO, PRI. Pokud jsou v uvedeé záise uvedey ouze rví tři syboly, zaeá to, že reži froty je vždy FIFO a kaacita systéu hroadé obsluhy a zdroj ožadavků jsou eoezeé [7]. Poto ař. ozačeí M/M/ zaeá, že se jedá o systé hroadé obsluhy s exoeciálí rozděleí itervalů ezi říchody ožadavků i dob obsluhy s jedou obslužou likou []. 5.2 Modely hroadé obsluhy Markovova tyu V dalších odkaitolách budou osáy základí exoeciálí odely systéů hroadé obsluhy, jejichž ateatické odely lze řešit aalyticky. Budee se zabývat odely hroadé obsluhy, v ichž itervaly ezi o sobě ásledujícíi říchody ožadavků a doby obsluh ají exoeciálí rozděleí Markovova tyu. Staoveí základích charakteristik kvality a efektivosti složitějších systéů hroadé obsluhy aalytický zůsobe je zravidla obtížé, roto se v těchto říadech usí oužít ostuy založeé a siulačích etodách []. V reálých situacích existuje začé ožství odelů hroadé obsluhy. Modely se ředevší liší ovahou vstuů jedotek do systéu, charaktere doby obsluhy, očte a usořádáí obslužých liek, kaacitou systéu a režie froty. Pří řešeí odelů ás budou zajíat základí charakteristiky systéu, ředevší středí hodota očtu ožadavků v systéu hroadé obsluhy, středí hodota očtu ožadavků ve frotě, středí hodota doby stráveé ožadavke v systéu hroadé obsluhy, středí hodota doby stráveé čekáí ožadavku ve frotě aod.[3].

26 Straa Exoeciálí odel jedoduché obsluhy M/M/ Základí ředoklady exoeciálího odelu jedoduché obsluhy jsou ásledující: - v systéu hroadé obsluhy je jedo obslužé zařízeí - jedá se o otevřeý systé, tz. zdroj ožadavků je eoezeý - velikost froty je eoezea - ožadavky trělivě čekají ve frotě a obsluhu, i když je kaacita obslužého zařízeí edostatečá - reži froty je FIFO [2]. Obr. 5. Schéa odelu jedoduché obsluhy M/M// / /FIFO [8] M/M/ odel je ejjedodušší říad systéu hroadé obsluhy, kdy rozděleí četostí áhodých, avzáje ezávislých veliči - doba obsluhy, doba ezi říchody, á exoeciálí charakter rozděleí. V celé ásledující textu bude oužito ásledující začeí: růěrý očet ožadavků, které vstuují do systéu za určitý časový iterval, tedy itezita říchodů růěrý očet ožadavků obsloužeých za časový iterval, tedy itezita obsluhy Pravděodobost vstuu jedotek do systéu v itervalu T, t je ožo vyjádřit za ředokladu Poissoova rozděleí očtu vstuujících ožadavků takto: T T P T e 5.! a odovídá-li rozděleí dob ezi říchody t exoeciálíu rozděleí, ak ro hustotu rozděleí dostaee: t q t e 5.2 Dále ředokládeje, že stav systéu v libovolé okažiku t, který bude urče čísle udávající očet jedotek v systéu, ezávisí kroě stavu ředcházejícího a žádé z ředešlých stavů, tudíž, že roces hroadé obsluhy á charakter Markovova rocesu. Ozačíe-li S stav, kdy v systéu je rávě jedotek, ak v itervalu t,t+ t se ohou uskutečit ouze tyto řechody: S S, S S S S ro výchozí stav a,,, + S S S S S S ro Uvažujee tedy ouze ožost setrváí ve stavu ebo řechod ezi sousedíi stavy. To je důsledek toho, že ravděodobosti řechodů, za ředokladu exoeciálího rozděleí, ezi esousedíi stavy budou ekoečě alé, eboť ravděodobosti vstuu ří. obsluhy více ež jedé jedotky v časové itervalu t jsou zaedbatelé. eodíěou ravděodobost, že systé se achází v časové okažiku t ve stavu S, tedy - ožadavků je ve frotě a jede v obsluze, ozačíe t. Je-li t ravděodobost říchodu jedotky v itervalu t,t+ t a dt ravděodobost ukočeí obsluhy v itervalu t,t+ t, ak o ulyutí doby t se zěí t v ravděodobost t+ t. Matice P je atice ravděodobostí řechodu ezi jedotlivýi stavy za dobu t:

27 Straa 27 t t... t t t t... P t t t Je-li v okažiku t vektor eodíěých ravděodobosti t dá výraze: t [ t t,...,,...], 5.4, t ak o ulyutí itervalu t bude latit: t + t t P 5.5 Ze vztahu 5.5 dostaee tudíž: t + t t t + t, 5.6 t t + t t t + t t t + t+ t, 5.7 Po řechodu k liitě ro t ak latí: d t t + t, dt 5.8 d t t + t + + t, dt 5.9 Pak získáe soustavu + lieráích hoogeích difereciálích rovic ravděodobostí t, t,, t, která se azývá Erlagovou soustavou. Řešeí itegrováí této soustavy lze určit t jako fukce araetrů a. V dalších výočtech bude zkouáo, zda systé hroadé obsluhy se o době fugováí stabilizuje, tz. zda řestae být závislý a čase t a a výchozích odíkách. Podíkou stabilizace zkouaého systéu je latost vztahu: li t,,,2, t kdy alesoň jede z výrazů je růzý od uly. Protože Markovův řetězec, odovídající atici ravděodobostí řechodu P je ergodický a eeriodický, existují ro všechy ravděodobosti t liity buď všechy kladé ebo všechy ulové. Pokud je slěa odíka ro stabilizaci systéu hroadé obsluhy, ak ro t se budou derivace v rovicích 5.9 blížit k ule, roto ůže být zasáo:, 5., Rozesáí těchto rovic získáe: Platí, že 2, 2, ůže se tedy sát:,,

28 Straa 28 ebo:, < 5.5 roto: kde / udává stueň vytížeosti systéu hroadé obsluhy a je azýváo růěrou itezitou rovozu. Použije-li se výraz -/- ro vyjádřeí liití, tj. stacioárí ravděodobosti, ak získáe:, 5.8 Pro otevřeý systé ůžee ředokládat, že řada bude klesající, tj. s rostoucí koverguje k ule, takže latí, že >, systé se estabilizuje a řada by rostla eohraičeě ade všechy eze. Pravděodobost toho, že áhodá veličia, ředstavující očet jedotek systéu, bude větší ež vyjádříe ro < takto: P > Proto ař. ravděodobost, že jedotka bude v systéu uset čekat, která je dáa ravděodobostí, že v systéu je alesoň jede ožadavek, lze vyjádřit: P > []. 5.2 Základí charakteristiky systéu M/M/ ásledě budou uvedey vzorce ro výočty základích charakteristik oužívaé k osouzeí efektivosti daého systéu jak z hlediska obsluhovaých ožadavků, tak z hlediska využití obslužých zařízeí. Tyto charakteristiky jsou určey a základě oužití shora odvozeých obecých vztahů a oto za ředokladu, že je záo rozděleí stacioárích ravděodobostí, které vyjadřují ravděodobost očtu jedotek acházejících se v systéu hroadé obsluhy. - Středí hodota očtu ožadavků v systéu: E d d d d d d + 2 a dosadíe-li za, získáe

29 Straa 29 - Středí hodota očtu ožadavků ve frotě: 2 f E E E - Středí hodota očtu volých obslužých íst: K E Pravděodobost, že ožadavek bude čekat: > P Pravděodobost, že ožadavek ebude čekat: P Pravděodobost vziku froty: > 2 2 P Středí hodota doby stráveé ožadavke v systéu hroadé obsluhy: E E T E Středí hodota doby stráveé čekáí ožadavku ve frotě: 2 f f f E E T E 5.28 kde ro latí: Mezi ET a ET f latí vztah: T E T E f 5.29 který zaeá, že střeí hodotu doby stráveé čekáí ožadavku ve frotě dostaee, když od středí hodoty doby stráveé ožadavke v SHO odečtee střeí hodotu doby stráveé ožadavke v obsluze [2].

30 Straa Exoeciálí odel víceásobé obsluhy M/M/ Základí vlastosti exoeciálího odelu víceásobé obsluhy jsou ásledující: - a rozdíl od exoeciálího odelu jedoduché obsluhy, v toto odelu se achází aralelě usořádaých hoogeích obslužých zařízeí, z ichž každé obslužé ísto á itezitu obsluhy jsou-li v rovozu dvě zařízeí obsluhy, budou ít dohroady itezitu obsluhy 2 atd., tedy ejvýše - oět se jedá o otevřeý systé, tz. zdroj ožadavků je eoezeý - velikost froty je eoezea - ožadavky trělivě čekají ve frotě a obsluhu, i když je kaacita obslužého zařízeí edostatečá - reži froty je FIFO[2]. Obr. 5.2 Schéa odelu víceásobé obsluhy M/M// / /FIFO [8] Frota v toto odelu se začíá vytvářet až ři vstuu +-ího ožadavku. Rozděleí itervalů ezi říchody a rozděleí dob trváí obsluhy v každé obslužé zařízeí se ředokládá zase exoeciálí. Dále se ředokládá, že ožadavky vstuují do systéu s kostatí itezitou. Matice ravděodobostí řechodu vyadá takto: t t t + t t t + 2 t P [ + ] t t t + t t... Tak jako u M/M/ i zde latí: + t t P t, kde t [ t t,...,,...], t 5.3 Rozesáí vztahu získáe: t + t t t + t 5.32 t t + t t t + + t t + + t+ t t + t t t + [ + t] t + t+ t [ ], < 5.33, 5.34

31 Straa 3 Po řechodu k liitě t ak latí: d t t + t dt 5.35 d t t + t t, < dt 5.36 d t t + t + + t, dt 5.37 Získáe soustavu lieárích hoogeích difereciálích rovic ravděodobostí t, t,, t. Za ředokladu stabilizace zkouaého systéu li t, ro,,.. ůžee soustavu 5.36 sát ve tvaru: , < , 5.4 Veličiu získáe ostuý dosazováí ze soustavy rovic 5.39, kde ro zjedodušeí ožijee / a získáe tak:, < 5.4!, 5.42! Veličiu dostaee oět z odíky, obecě lze odíku vyjádřit ve tvaru!! + řito latí: roto: t !!! i! +!! i 5.45 Podíka stabilizace v toto systéu je vyjádřea takto: < Zaeá to tedy, že itezita vstuu usí být eší ež itezita obsluhy všech zařízeí []. 5.46

32 Straa 32 Základí charakteristiky systéu M/M/ ásledě budou uvedey vzorce ro výočty základích charakteristik oužívaé k osouzeí efektivosti daého systéu jak z hlediska obsluhovaých ožadavků, tak z hlediska využití obslužých zařízeí. - Středí hodota očtu ožadavků v systéu: + + f f E E E Středí hodota očtu ožadavků ve frotě: f E! / / Středí hodota očtu volých obslužých íst: / K E Pravděodobost, že ožadavek bude čekat:! > P P Pravděodobost, že ožadavek ebude čekat:! P Středí hodota doby stráveé ožadavke v systéu hroadé obsluhy: + f T E E E T E Středí hodota doby stráveé čekáí ožadavku ve frotě: 2! E E T E f f f Pravděodobost, ze ožadavek bude a obsluhu čekat alesoň dobu w: w u w du u f w ex!, w> [2]. 5.54

33 5.2.3 Exoeciálí odel jedoduché obsluhy s oezeou kaacitou M/M//k Straa 33 V ředchozích dvou odelech M/M/ a M/M/ jse ředokládali, že celý systé á eoezeou kaacitu. Model M/M//k eoezeou kaacitu eá, ale kaacita systéu hroadé obsluhy je oezea tak, že v systéu se celke ůže vyskytovat axiálě k ožadavků. Teto systé je rověž systé se ztrátai, rotože je-li systé lě obsaze, vstu dalších ožadavků do systéu eí ožý tz. ožadavek je obsluhová a ouze k- ožadavků čeká ve frotě. Základí vlastosti exoeciálího odelu jedoduché obsluhy s oezeou kaacitou jsou ásledující: - v systéu hroadé obsluhy se achází jedo obslužé zařízeí, tj. - jedá se o otevřeý systé, zdroj ožadavků je eoezeý - velikost froty je v toto systéu oezea kaacitou, ve frotě ůže být axiálě k- ožadavků - i když edostačuje kaacita obslužého zařízeí, ožadavky a obsluhu trělivě čekají ve frotě - ožadavky ostuují do obsluhy v režiu froty FIFO [2]. Obr. 5.3 Schéa odelu jedoduché obsluhy s oezeou kaacitou M/M//k/ /FIFO [8] Pro stacioárí ravděodobosti latí:, k 5.55, > k 5.56 k stacioárí ravděodobost bude určea z odíky. Dále oět ozačíe / eusí být v toto říadě eší ež, ak bude latit: k Řada ve jeovateli je koečá a součet této řady: k +, a k+, roto a k+, 5.58 k+ a k + a k +, []. 5.59

34 Straa 34 Základí charakteristiky odelu M/M//k ásledě budou osáy výočty základích charakteristik systéu oužívaé k osouzeí efektivosti daého systéu. - Středí hodota očtu ožadavků v systéu: E k k k k + + k k + k Středí hodota očtu ožadavků ve frotě: E f k k E k Středí hodota doby stráveé ožadavke v systéu hroadé obsluhy: E E T Středí hodota doby stráveé čekáí ožadavku ve frotě: E f E T f 5.63 kde ro latí: k k a k udává ravděodobost, že v systéu je rávě k ožadavků: k k k + k 5.64 Rověž také udává ravděodobost, že ožadavek ebude obslouže v důsledku oezeé kaacity systéu. Oačý jeve je, že ožadavek bude obslouže a jeho ravděodobost je rávě - k [2] Exoeciálí odel víceásobé obsluhy s oezeou kaacitou M/M//k U tohoto odelu celý systé hroadé obsluhy oět eá eoezeou kaacitu, ale kaacita systéu je oezea tak, že v systéu se celke ůže vyskytovat axiálě k ožadavků, zároveň obsluhováo současě ůže být ožadavků a hoogeích aralelě usořádaých obslužých zařízeích a zbývajících axiálě k- ožadavků ůže být ve frotě. Teto odel obsluhy je oět systé se ztrátai. Základí vlastosti odelu M/M//k jsou odobé jako u již oisovaého odelu M/M/: - v toto odelu se achází aralelě usořádaých hoogeích obslužých zařízeí, z ichž každé obslužé ísto á itezitu obsluhy - oět se jedá o otevřeý systé, tz. zdroj ožadavků je eoezeý - velikost froty je ale oezea očte, ve frotě ůže být axiálě k- ožadavků - všechy ožadavky trělivě čekají ve frotě a obsluhu, i když je kaacita obslužého zařízeí edostatečá - ožadavky vstuují do obsluhy v režiu FIFO

35 Straa 35 Obr. 5.4 Schéa odelu víceásobé obsluhy s oezeou kaacitou M/M//k/FIFO [8] Itezita vstuu je kostatí ro všecha < k, zatíco ro k je ulová, eboť ožadavky do systéu eohou z důvodu kaacity vstuovat. Itezita obsluhy je roěá. Itezity vyjádříe ásledě takto:,,,,k-,, k, k+,, 5.65,,,,, +, +2,...[2] Pro stacioárí ravděodobosti k latí:!!, 5.67!!, k < 5.68 Poocí vztahu k vyočítáe :!! + k [] Základí charakteristiky odelu M/M//k ásledě budou uvedey vzorce ro výočty ejběžějších charakteristik systéu oužívaé k osouzeí efektivosti daého systéu. - Středí hodota očtu ožadavků ve frotě: 2! k E k k k f Středí hodota doby stráveé čekáí ožadavku ve frotě: f f E T E Středí hodota doby stráveé ožadavke v systéu hroadé obsluhy: + f T E T E Středí hodota očtu ožadavků v systéu: - T E E [2]. 5.73

36 Straa Uzavřeý exoeciálí odel jedoduché obsluhy M/M//./r V ředešlých odelech otevřeých systéů hroadé obsluhy jse ovažovali zdroj ožadavků vyžadujících obsluhu za eoezeý. ásledke tohoto ředokladu byla ezávislost itezity vstuu ožadavků a stavu systéu. V říadě uzavřeého systéu hroadé obsluhy latí, že zdroj ožadavků je oezeý, tedy koečý. V toto říadě itezita obsluhy ovlivňuje itezitu vstuu ožadavků. Po skočeí obsluhy ožadavky oouštějí systé a stávají se zovu rvky ožiy otecioálích ožadavků ve zdroji []. Základí vlastosti odelu M/M//./r jsou odobé jako u již oisovaého odelu M/M/: - v systéu se achází jedo obslužé zařízeí, tj. - jedá se o uzavřeý systé, tz. zdroj ožadavků je oezeý r ožadavky - velikost froty eí oezea - všechy ožadavky trělivě čekají ve frotě a obsluhu, i když je kaacita obslužého zařízeí edostatečá - ožadavky vstuují do obsluhy v režiu FIFO Obr. 5.5 Schéa odelu uzavřeého systéu jedoduché obsluhy M/M//./r/FIFO [8] Itezita vstuu eí kostatí, ale závisí a očtu ožadavků v systéu. Obvyklý zůsob vyjádřeí této závislosti je založe a ředokladu, že záe itezitu vstuu ožadavků v otevřeé systéu. Itezita obsluhy je kostatí, ezávisí a stavu systéu: r,,,,r, r +, r ,,2, 5.75 Za odíky stabilizace systéu hroadé obsluhy / <, latí ravděodobosti,,, Pro stacioárí ravděodobosti tedy latí: r!,,,,r,, > r 5.76 r! r Stacioárí ravděodobost bude určea z odíky r r!! r, a oto: 5.77

37 Straa 37 Základí charakteristiky odelu M/M//./r ásledě budou uvedey vzorce ro výočty ejběžějších charakteristik systéu oužívaé k osouzeí efektivosti daého systéu. Tyto výočty lze rovést obdobě jako v otevřeé jedokaálové systéu. - Středí hodota očtu ožadavků v systéu: E r r - Středí hodota očtu ožadavků ve frotě: E f r r Středí hodota doby stráveé ožadavke v systéu hroadé obsluhy: E E T Středí hodota doby stráveé čekáí ožadavků ve frotě: E f E Tf 5.8 kde ro latí: r E [2] Uzavřeý exoeciálí odel víceásobé obsluhy M/M//./r Základí vlastosti odelu M/M//./r jsou odobé jako u již oisovaého odelu M/M/: - v toto odelu se achází aralelě usořádaých hoogeích obslužých zařízeí, z ichž každé obslužé ísto á itezitu obsluhy - jedá se ale o uzavřeý systé, tz. zdroj ožadavků je oezeý r ožadavky - v ráci tohoto uzavřeého systéu velikost froty eí vlastě oezea - všechy ožadavky trělivě čekají ve frotě a obsluhu, i když je kaacita obslužého zařízeí edostatečá - ožadavky vstuují do obsluhy v režiu froty FIFO Obr. 5.6 Schéa odelu uzavřeého systéu jedoduché obsluhy M/M//./r/FIFO [8]

38 Straa 38 Itezita vstuu a itezita obsluhy ožadavku ejsou kostatí, ale závisí a očtu ožadavků v systéu, tj. a stavu, v jaké se systé hroadé obsluhy achází. Pro tyto itezity latí: r,,,,r, r +, r + 2,, 5.82,,2,,, +, +2, 5.83 Za odíky stabilizace systéu hroadé obsluhy / < latí ravděodobosti,,, Pro stacioárí ravděodobosti tedy latí:!!! r r,,,, 5.84!!! r r, +,,r, 5.85, r +, 5.86 Stacioárí ravděodobost bude určea z odíky r, oto:!! + r r r 5.87 Základí charakteristiky odelu M/M//./r ásledě budou uvedey vzorce ro výočty ejběžějších charakteristik systéu oužívaé k osouzeí efektivosti daého systéu. - Středí hodota očtu ožadavků v systéu: +!! r r r r E Středí hodota očtu ožadavků ve frotě: + r f r E E Středí hodota doby stráveé ožadavke v systéu hroadé obsluhy: E T E Středí hodota doby stráveé čekáí ožadavku ve frotě: f f E T E 5.9 kde ro latí: r E [2].

39 Straa Modely systéů hroadé obsluhy s etrělivostí ožadavků etrělivost ožadavků zaeá, že okud ožadavky v systéu hroadé obsluhy ejsou ochoty čekat ve frotě, rezigují a obsluhu. Tato etrělivost se ůže rojevit dvojí zůsobe. Poto hovoříe o tzv. ariorí etrělivosti a o aosteriorí etrělivosti. Ariorí etrělivost zaeá, že ožadavek do systéu evstouí, okud je v systéu již jistý staoveý očet ožadavků, ebo zadaý očet ožadavků ve frotě, říadě jistá zadaá ředokládaá ez doby čekáí a obsluhu. Ariorí etrělivost se odeluje oocí roělivých hodot závislých a stavu systéu. Aosteriorí etrělivost zaeá, že ožadavek vstouí do systéu, zařadí se do froty, avšak o jisté ezí době reziguje a obsluhu a systé oouští. Aosteriorí etrělivost se odeluje oocí roělivých hodot závislých a stavu systéu. Pro itezity vstuu a obsluhy ožadavků u ariorí etrělivosti ožadavků latí:,,,,, J, +, + 2,, 5.92,,2,,,, +, + 2,, 5.93 řito fukce J je zadaá fukce etrělivosti. Pro itezity vstuu a obsluhy ožadavků u aosteriorí etrělivosti ožadavků latí:,,,, 5.94,, 2,,, + v, +, + 2,, 5.95 araetr v zde ředstavuje itezitu exoeciálího rozděleí áhodé veličiy, oocí íž se odeluje aosteriorí etrělivost ožadavků, tz. dobu čekáí ožadavků ve frotě, ežli rezigují a obsluhu[2] Modely systéů hroadé obsluhy s rioritai ožadavků Všechy ředchozí odely hroadé obsluhy ěly solečé to, že reži froty byl FIFO, tz. ožadavky řistuovaly k obsluze v ořadí, ve které do systéu řišly. Je-li alikováa v systéu hroadé obsluhy jistá riorita ožadavků, zaeá to, že tyto ožadavky jsou obsluhováy ředostě a reži froty se ěí a PRI. U takových ožadavků ůžee rozlišovat tzv. relativí rioritu ožadavek je obslouže o říchodu do systéu ihed, jakile se uvolí obslužé zařízei; k řerušeí robíhající obsluhy edochází a absolutí rioritu ožadavek je obslouže okažitě ve chvíli svého říchodu do systéu bez ohledu a to, že je obsluhová jiý ožadavek a v toto říadě dochází k řerušeí robíhající obsluhy. Itezita obsluhy je kostatí ro všechy stavy systéu a je ozačea. Uvažovaý celkový očet vstuujících ožadavků do systéu je osatelý Poissoový rocese s itezitou + 2, kde je itezita vstuu referovaých ožadavků a 2 je itezita vstuu ostatích, ereferovaých. Itezita rovozu systéu je ozačea, a odíkou stabilizace systéu je oět /<. Pravděodobost výskytu ožadavků v systéu se vyjádří. Musí být zavedey ravděodobosti, které odroběji vystihují skladbu referovaých ožadavků r a ereferovaých ožadavků r2 v systéu. Pak ro ravděodobosti k,,r latí, že v systéu ve stabilizovaé stavu je rávě k referovaých a ereferovaých ožadavků, tz. v systéu se achází celke k+ ožadavků.

40 Straa 4 Základí charakteristiky odelu systéů hroadé obsluhy s rioritai ožadavků yí budou osáy výočty ejběžějších charakteristik systéu: - Pravděodobost, že systé je rázdý: Pravděodobost dalších stavů, vzhlede k zavedeý k,,r : +,,,,2,,2, Průěré relativí vytížeí systéu jedotlivýi druhy ožadavků: r r r, r, Podíly z celkové středí hodoty doby obsluhy řiadající a jedotlivé druhy ožadavků: E T k,,, oř. 2 E T2 k,,2 5.99,5. k k - Středí hodoty očtů jedotlivých druhů ožadavků v systéu: E, oř. E 2 5.,5.2 - Středí hodoty délek frot řiadající a jedotlivé druhy ožadavků a středí hodota celkové délky froty: 2 E f,, E f,2, oř. E E + E 5.3,5.4,5.5 f f, f, 2 - Středí hodoty dob čekáí ve frotách a středí hodota celkové doby čekáí ve frotě: E T f,, E T f,2, 2 oř. E T f E T f, + E T f, 2 [2]. 5.6,5.7,5.8

41 6 PROGRAM SIMULACE MODELU M/M/ Straa 4 V ředchozí kaitole jse se zabýval oise aalytického zůsobu řešeí exoeciálích odelů hroadé obsluhy. U aalytických ostuů jsou výsledé charakteristiky odelu řesé, eboť chováí odelu je osáo fukčíi vztahy. Výsledé charakteristiky odelu jsou získáy dosazeí kokrétích hodot do těchto vztahů. Modely hroadé obsluhy lze také zkouat siulačíi exeriety. Siulaci lze tedy charakterizovat jako roces vytvořeí odelu reálého systéu a ásledé rováděí exerietů s vytvořeý odele za účele ochoeí čiostí a chováí zkouaého systéu. Siulace á oskytuje oěrě rychlou ředstavu o chováí zkouaého systéu ři ěících se odíkách. Siulačí exeriety lze díky vytvořeéu odelu oakovat a hodoty získaé siulací je ožo dále statisticky ebo graficky zracovávat a vyhodocovat. Při rováděí siulačích exerietů je důležité rozhodout, jak vyjádříe dyaické vlastosti odelu, tj. jaký zůsobe zachytíe čas v odelu. ejedá se ouze o volbu časové jedotky iuta, de, týde, atd., ale ředevší se rozhodujee jaký zůsobe zachytíe ostu času v odelu. Jsou dvě ožosti zachyceí času v odelu a to etoda evého časového kroku a etoda roěého časového kroku. V etodě evého časového kroku se vždy o ulyutí časového itervalu evého kroku zjišťuje, k jaký zěá běhe ulyulého kroku v odelu došlo. V etodě roěého časového kroku ostuuje čas odele o eravidelých časových krocích, tedy jedotlivé časové kroky á ředstavují rávě ty okažiky, kdy dochází ke zěě v systéu ař. říchod ožadavku do systéu, ukočeí obsluhy ožadavku. [9] Pro rováděí siulačích exerietů odelu hroadé obsluhy M/M/ byl vytvoře rogra siulace odelu M/M/. Při tvorbě rograu bylo ro zachyceí dyaické vlastosti odelu využito etody roěého časového kroku. V íže uvedeých odkaitolách je rovede rozbor tvorby rograu včetě ileetace vytvořeého rograu a kokrétí říadu. 6. Prograová realizace Progra siulace odelu hroadé obsluhy M/M/ byl vytvoře v rograovací rostředí MATLAB. MATLAB je sofistikovaé rograové rostředí uožňující rovádět výočty, vykreslováí 2D i 3D grafů fukcí, ileetaci algoritů, očítačovou siulaci, aalýzu a rezetaci dat i vytvářeí alikací včetě uživatelského rozhraí. Při tvorbě rograu byl využit itegrovaý ástroj MATLABu azývaý GUIDE Grahical User Iterface Develoet Eviroet, uožňující iteraktiví tvorbu grafického uživatelského rozhraí. Základíi atributy tohoto ástroje je jedoduchost, rovázaost a kolexost. Vytvořeé grafické rozhraí se uloží do souboru *.fig. Současě se uloží zdrojový kód aktuálího vzhledu do souboru *.. V rostředí GUIDE bylo vytvořeo grafické uživatelské rozhraí rograu siulace. Vytvořeé grafické rozhraí rograu je uložeo v souboru MHO_siulace.fig a MHO_siulace.. Po vytvořeí tohoto grafického rozhraí ásledovala fáze, kdy jedotlivý vytvořeý objektů byly řiřazey jejich fukce. Pro editaci -souborů je využit v MATLABu editor zdrojových kódů. Kód rograu realizující siulaci uvedeého odelu včetě všech hlavích odíek, cyklů a výočtů je součástí souboru MHO_siulace.. Při tvorbě zdrojového kódu siulačího rograu jse vycházel z vytvořeého zjedodušeého vývojového diagrau a obrázku 6. zadáí vstuích araetrů, geerováí áhodých hodot s ožadovaý rozděleí, slěí odíky stability, vstu ožadavku do systéu, volba liky obsluhy, jsou-li všechy liky obsazey, ak čekaí ve frotě, obsluha ožadavku, odchod ožadavku. V ásledujících odkaitolách budou osáy ouze hlaví části vytvořeého kódu rograu siulace odelu M/M/.

42 Straa 42 Obr. 6. Zjedodušeý vývojový diagra rograu siulace odelu M/M/ 6.. Vstuí araetry odelu Zadáí vstuích araetrů odelu se rovádí řes říslušá editovatelá oka, kde jsou tyto araetry zadáváy jako textový řetězec detailěji osáo v kaitole 6.3. Pro řevod textového řetězce a ožadovaý číselý datový ty je využita řío ileetovaá fukce MATLABu str2double. Po zadáí vstuích araetrů je rovedea kotrola těchto zadaých araetrů. Musí být slěa odíka, že všechy zadaé araetry jsou >. Pokud je tato odíka slěa, rovede se ásledující test odíky stability systéu //<. Podíka zajistí, že systé se ůže stabilizovat a frota eroste ade všechy eze. Posaé zadáí vstuích araetrů včetě výočtu stability systéu tvoří část rograu rerezetovaý kóde rograu: labdastr2doublegethadles.labda_edit,'strig'; istr2doublegethadles.i_edit,'strig'; PocKastr2doublegethadles.PocKa_edit,'Strig'; PocSistr2doublegethadles.PocSi_edit,'Strig'; rolabda/i; PodStabro/PocKa; % labda... itezita vstuu % i... itezita obsluhy μ % PocKa... očet liek obsluhy % PocSi... očet siulovaých ožadavků % ro... itezita rovozu % PodStab... odíka stability, usí latit PodStab < v oačé říadě by frota rostla ade všechy eze a edošlo by ke stabilizaci systéu 6..2 Geerováí áhodých hodot Základe siulace je geerováí áhodých hodot s ožadovaý rozděleí. Jelikož je uto zajistit u těchto áhodých hodot daé ravděodobostí rozděleí, usíe se rozhodout jakou etodu zvolit - existují růzé etody jako je vylučovací etoda, etoda iverzí fukce ebo tabulková etoda. Pro siulaci otřebujee geerovat dvě hodoty a to itervaly ezi říchody jedotlivých ožadavků a dobu trváí obsluhy jedotlivých říchozích ožadavků. V obou říadech se jedá o áhodé veličiy s exoeciálí rozděleí s říslušý araetre itezita vstuu, itezita obsluhy. Pro geerováí hodot těchto dvou veliči využijee etodu iverzí fukce. K alikaci této etody je uté zát distribučí fukci F áhodé veličiy x, která usí být rostoucí a itervalu <a,b> a usí zobrazovat iterval <a,b> a iterval <,>.

43 Straa 43 Postu této etody je takový, že vygeerujee áhodé číslo r s rovoěrý rozděleí a itervalu <,> a číslo r ovažujee za hodotu distribučí fukce v dosud ezáé bodě x, tedy F x. Z tohoto vztahu odvodíe x odle vztahu ro iverzí fukci: r r x F 6. V kaitole 3 jse již rovedli odvozeí vztahu 3.6 distribučí fukce Fx exoeciálího rozděleí s araetre. Vztah ro geerováí áhodých čísel s exoeciálí rozděleí ůžee díky touto x x vztahu odvodit r F x e e r x l r. Z tohoto vztahu vylývá, že itervaly ezi říchody jedotlivých ožadavků odovídají áhodý hodotá s exoeciálí rozděleí lyoucí ze vztahu: x l r 6.2 Pokud bude ve vztahu zěě araetr a dostaee áhodé hodoty dob trváí obsluhy s exoeciálí rozděleí jedotlivých říchozích ožadavků. V kódu rograu je ro toto geerováí áhodých hodot s exoeciálí rozděleí využita řío ileetovaá fukce MATLABu exrd. Díky této fukci se kód rograu ro vygeerováí áhodých hodot ezi říchody jedotlivých ožadavků a doby obsluhy zjedoduší. Tato část rograu je rerezetováa kóde rograu: ItMezPriexrd/labda,PocSi,; DobObsPozexrd/i,PocSi,; % ItMezPri... itervaly ezi říchody ožadavků % DobObsPoz... doba obsluhy ožadavku Počet vygeerovaých áhodých hodot závisí a zadaé očtu siulovaých ožadavků, okud tedy zadáe roěou PocSi siulujee růchod ožadavků odele. Geerujee jedořádkovou atici se áhodýi itervaly říchodů ožadavků a jedořádkovou atici áhodých dob obsluh jedotlivých ožadavků s exoeciálí rozděleí Pois realizace zracováí ožadavků v odelu V ředchozí kaitole 6..2 jse osali geerováí áhodých hodot itervalu říchodů ožadavků a dob obsluh jedotlivých ožadavků. V této kaitole bude osáa rograová realizace zracováí ožadavků v odelu, tedy rozděleí ožadavků do jedotlivých liek obsluhy. Jestliže jsou všechy liky obsazey, říchozí ožadavky se řadí do froty a čekají ve frotě o dobu, ež se ěkterá lika uvolí. Tato část kódu rograu realizující uvedeé zracováí ožadavků využívá řío ileetovaých fukcí MATLABu cusu, i, for, if. Uvažuje exoeciálí systé hroadé obsluhy s obslužýi likai, eoezeý zdroje ožadavků, jež trělivě čekají ve frotě, která fuguje v režiu FIFO. Z vygeerovaých áhodých hodot itervalu říchodů ožadavků získáe okažiky říchodů ožadavků kuulativí sčítáí itervalů říchodů ožadavků. Zracováí rvích ožadavků jedotlivýi likai je zajištěo rví cykle for v rograu. Okažik odchodu ožadavku je rove součtu okažiku říchodu ožadavku do systéu a době obsluhy daého ožadavku. V oocé vektoru uchováváe okažiky odchodu ožadavku z jedotlivých liek obsluhy. Podle těchto okažiků odchodů ásledě rozhodujee, ke které lice řistouí další ožadavek ke zracováí. V aše říadě ožadavek vstouí do liky, která je ejdéle volá hledáe iiu v dobách odchodů, což je realizováo v rograu oocí odíky if v druhé cyklu for. Je-li v okažiku říchodu ožadavku ěkterá z liek volá, zracuje říchozí ožadavek ejdéle volá lika okažitě. Jsou-li všechy liky obsazey, ožadavek čeká ve frotě a okažik, kdy se ěkterá z liek uvolí.

44 Straa 44 Začátek obsluhy daého ožadavku je tedy součet okažiku říchodu ožadavku do systéu a doba čekáí ožadavku ve frotě rozdíl ezi dobou ukočeí obsluhy ředchozího ožadavku a dobou říchodu ožadavku. Posledí cykle for v této části rograu zajistíe aktualizaci okažiku odchodu ožadavku říslušé liky, která daý ožadavek zracovává. Posaý algoritus zracováí ožadavku tvoří část rograu rerezetovaý kóde rograu: OkaPriPozcusuItMezPri; % OkaPriPoz... okažik říchodu ožadavku do systéu for i:pocka OkaOdcPoziOkaPriPozi+DobObsPozi; Po_vekiOkaOdcPozi; VyuKaii; evliobsi; ed % OkaOdcPoz... okažik odchodu ožadavku ze systéu % Po_vek... oocý vektor ro ukládáí odchodů ožadavků ro jedotlivé kaály % VyuKa... kaál a které je daý ožadavek zracovává % evliobs... doba evyužití kaálu rostoj kaálu for ipocka+:pocsi if OkaPriPozi>iPo_vek DobCekFroi; evliobsiokapripozi-ipo_vek; else DobCekFroiiPo_vek-OkaPriPozi; evliobsi; ed ZacObsPoziOkaPriPozi+DobCekFroi; OkaOdcPoziZacObsPozi+DobObsPozi; % ZacObsPoz... začátek obsluhy ožadavku % DobCekFro... doba čekáí ožadavku a obsluhu ve frotě ed for j:pocka if Po_vekjiPo_vek Po_vekjOkaOdcPozi; VyuKaij; break ed ed 6..4 Staoveí základích charakteristik systéu V této fázi již záe okažiky odchodu všech ožadavků ze systéu, doby stráveé jedotlivýi ožadavky ve frotě a doby evyužití jedotlivých liek obsluhy. Z těchto získaých hodot již ůžee staovit ěkteré základí charakteristiky systéu a to růěrou dobu obsluhy ožadavku, růěrou dobu čekáí ožadavku ve frotě, růěrou dobu stráveou ožadavke v systéu a růěrou dobu evyužití liek obsluhy. Pro staoveí těchto charakteristik je využito řío ileetovaé fukce MATLABu ea. Tato část rograu je rerezetováa kóde rograu: ruer_pdoeadobobspoz; ruer_pdcvfeadobcekfro; ruer_pdsvsearuer_pdo+ruer_pdcvf; ruer_loeaevliobs; %ruer_pdo... růěrá doba obsluhy ožadavku %ruer_pdcvf... růěrá doba čekáí ožadavku ve frotě %ruer_pdsvs... růěrá doba stráveá ožadavke v systéu %ruer_lo... růěrá doba evyužití liek obsluhy

45 Straa 45 Staoveí ásledujících základích charakteristik systéu jako je růěrý očet ožadavků v systéu, růěrý očet ožadavků ve frotě a růěrý očet ožadavků v obsluze je oroti ředchozí časový charakteristiká áročější. Musíe ejrve určit očty ožadavků v systéu v jedotlivých časových itervalech. Určujee tedy časové itervaly, ro které se achází v systéu,2 až ožadavků. Ze zalostí doby, kterou jedotlivé ožadavky strávily v systéu a ze zalosti kokrétího očtu ožadavků jse schoi staovit četost jedotlivých ožadavků v systéu. yí jse již schoi určit celkové doby říslušých očtů ožadavků v systéu. Ze zalosti celkové doby říslušého očtu ožadavků v systéu a celkové doby siulace doba růchodu všech ožadavků odele staovíe odíle těchto dvou hodot ravděodobost, se kterou se achází v systéu rávě ožadavků. Pro staoveí těchto charakteristik je využito řío ileetovaých fukcí MATLABu sort, diff, for, if, su atd. Pro oisovaou část rograu uvádí ouze části kódu rograu ro seřazeí časových itervalů, určeí očtu ožadavků v systéu, staoveí ravděodobostí a základích charakteristik systéu. Části rograu řešící zíěou robleatiku jsou rerezetováy kóde rograu: CasOka[OkaPriPoz;OkaOdcPoz]; CasOkasortCasOka; %CasOka...seřazeí časových okažiků říchodů a odchodů jedotlivých ožadavků do a ze systéu PocPozSys; for i2:2*pocsi citac; for j:pocsi if OkaPriPozjCasOkai citaccitac+; ed if OkaOdcPozjCasOkai citaccitac-; ed ed PocPozSysiPocPozSysi-+citac; % řijde-li ožadavek, zvýší se očet ožadavků v systéu o % odejde-li ožadavek, síží se očet ožadavků v systéu o ed %PocPozSys...očet ožadavků v systéu v růběhu siulace PravSiCelDobCasOka_i/axOkaOdcPoz_i; PravSi*CisPoz; frpravsipocka+:maxpozsys*cispoz:maxpozsys-pocka; s-fr; %PravSi...ravděodobosti jedotlivých očtů ožadavků v systéu %...růěrý očet ožadavků v systéu %fr... růěrý očet ožadavků ve frotě %s... růěrý očet obsluhovaých ožadavků V části rograu realizující výočet základích charakteristik systéu jsou ileetováy vzorce z kaitoly číž získáe středí hodotu očtu ožadavků v systéu, středí hodotu očtu ožadavků ve frotě, středí hodotu očtu obsluhovaých ožadavků, středí hodotu doby obsluhy ožadavku, středí hodotu doby stráveou ožadavke ve frotě a středí hodotu doby stráveou ožadavke v systéu.

46 Straa Grafické výstuy siulace V ředchozích odkaitolách byly osáy zadáváí vstuích araetrů systéu, geerováí áhodých hodot a staoveí základích charakteristik siulovaého systéu M/M/. yí řejdee k řešeí grafické iterretace hodot získaých siulací. Grafický výstue siulovaých hodot jsou grafy. Pro hodoty získaé siulací jako jsou okažik říchodu ožadavku do systéu, doba obsluhy ožadavku, okažik odchod ožadavku jsou vytvořey jedotlivé skrity -soubory, které ají řesě defiovaou strukturu ro vykresleí ožadovaého grafu. Pro vykresleí grafu bylo využito řío ileetovaých grafických fukcí MATLABu bar, lot, stairs. Uvedea bude ouze část kódu skritu Graf_O_Do_Oo. ro vykresleí siulovaých hodot okažiku říchodu ožadavku do systéu, doby obsluhy ožadavku a okažiku odchodu ožadavku. Tyto hodoty jsou vykresley v jedo grafu. Část rograu uvedeého skritu je rerezetováa kóde rograu: lotx,'paret',axes,'markersize',5,'marker','*','liewidth',,... 'Color',[ ],'Dislayae','Prichod ozadavku'; hold o loty,'paret',axes,'markersize',5,'marker','*','liewidth',,... 'Color',[ ],'Dislayae','Doba obsluhy ozadavku'; hold o lotz,'paret',axes,'markersize',5,'marker','*','liewidth',,... 'Color',[ ],'Dislayae','Odchod ozadavek'; % Vykresleí grafu tří hodot v jedo grafu % x - okažik říchodu ožadavku do systéu % y - doba obsluhy ožadavku v systéu % z - okažik odchodu ožadavku ze systéu

47 6.2 Pois uživatelské rozhraí rograu Straa 47 Jak již bylo uvedeo v úvodu kaitoly 6., ro tvorbu uživatelského rozhraí rograu bylo využito ástroje GUIDE. Vytvořeé hlaví oko rograu zobrazeé a obrázku 6.2 se skládá ze šesti hlavích aelů. V levé části hlavího oka rograu jsou čtyři aely a v ravé části oka dva aely. ejrve budou osáy aely levé části oka od horí části oka sěre dolů. Pro sadější idetifikaci aelů, aely byly číselě ozačey až 6. Pael číslo je azvá Model obsluhy M/M//FIFO a je zde zobrazeo zjedodušeé schéa siulovaého odelu. Pael číslo 2 je azvá Grafické zázorěí a je zde uístěo tlačítko GRAFY. Stiske tlačítka se vyvolá oko s abídkou dalších voleb ro vykresleí grafu, vyvolaé oko je a obrázku 6.3. Pael číslo 3 je azvá Možost orováí stejého odelu s jiý očte liek a je zde uístěo tlačítko POROVAI. Stiske tlačítka je vyvoláo oko uožňující rovést siulaci stejého odelu s jiý očte obslužých liek, vyvolaé oko je a obrázku 6.4. Pael číslo 4 je ojeová Charakteristiky systéu M/M/ aalytické řešeí a slouží k zobrazeí aalyticky vyočteých hodot siulovaého odelu. V ravé horí části hlavího oka rograu se achází ael číslo 5 a je azvá Vstuí araetry siulace. Pael slouží ro zadáí vstuích araetrů siulace do říslušých editovatelých oke. Pael obsahuje tlačítko SIMULACE, které slouží ro suštěí siulace, tlačítko Odstraěí araetrů siulace uožňuje odstrait zadaé araetry včetě již vyočteých charakteristik daého odelu v říadě, že již roběhla siulace, tlačítko áověda slouží ro vyvoláí oka s áovědou ro vytvořeý rogra a tlačítko ZAVŘÍT ukočí běh rograu. Pael číslo 6 je azvá Charakteristiky systéu M/M/ siulace a slouží k zobrazeí hodot získaých siulací daého odelu. Obr. 6.2 Hlaví oko rograu

48 Straa 48 Obr. 6.3 Oko- Grafické výstuy siulovaých hodot, Oko 2 - áověda a obrázku 6.3 je zobrazeo oko azváé Grafické výstuy siulovaých hodot určeé ke grafické iterretaci hodot získaých siulací vyvolaé tlačítke GRAFY v hlaví okě rograu. Oko obsahuje celke devět tlačítek. Os tlačítek slouží ro vyvoláí grafů hodot získaých siulací. Posledí tlačítko Zavřít slouží ro uzavřeí oka. Pro sadější idetifikaci tlačítek v obrázku byla tlačítka ozačea a až i. Tlačítko a vyvolá oko grafu s vygeerovaýi hodotai itervalů ezi říchody. Tlačítko b slouží k vyvoláí oka grafu, okud zjišťujee okažik říchodu ožadavku do systéu. Tlačítko c slouží ro vyvoláí oka grafu s vygeerovaýi hodotai dob obsluhy ožadavku. Tlačítko d vyvolá oko grafu, zjišťujee-li okažik odchodu ožadavku ze systéu. Tlačítko e slouží ro vyvoláí oka grafu s dobou čekáí ožadavků ve frotě. Tlačítko f vyvolá další ožé oko grafu, kde alezee tři hodoty vykresleé současě - říchod ožadavku do systéu, doba obsluhy ožadavku, odchod ožadavku ze systéu. Tlačítko g slouží ro vyvoláí oka grafu se čtyři hodotai vykresleých v toto grafu teto graf zachytí říchod ožadavku do systéu, dobu obsluhy ožadavku, dobu čekáí ožadavku ve frotě, okažik odchodu ožadavku ze systéu. Tlačítko h slouží k vyvoláí oka grafu, otřebujee-li zjistit využití liek jedotlivýi ožadavky iforace udávající, a které lice je zracovává daý ožadavek. Tlačítko i slouží ro vyvoláí oka grafu udávající očet zákazíku v systéu v jedotlivých časových itervalech v růběhu siulace. a obrázku 6.3 je zobrazeo také oko 2 azvaé áověda vyvolaé tlačítke áověda v hlaví okě rograu. Oko obsahuje iforace o vytvořeé rograu siulace. Uzavřeí oka se rovede tlačítke OK. a obrázku 6.4 je zobrazeo oko ojeovaé Porováí stejého odelu s jiý očte liek vyvolaé tlačítke POROVAI v hlaví okě rograu. Oko uožňuje rovést siulaci stejého odelu s jiý očte obslužých liek. Oko obsahuje editovatelé oko ro zadáí ového očtu obslužých liek, tlačítko Výočet, které slouží ro suštěí siulace se zadaý očte obslužých liek, tlačítko Odstraěí araetrů siulace-orováí uožňuje odstraěí zadaých araetrů včetě již vyočteých charakteristik daého odelu v říadě, že již roběhla siulace s jiý očte liek, tlačítko Zavřít slouží ro uzavřeí oka. Oko obsahuje dva aely. Pael azvá Charakteristiky orovávaého systéu M/M/ získaé siulací slouží ro zobrazeí hodot získaých siulací s jiý očte obslužých liek. Pael azvá Grafické orováí urče ke grafickéu orováí hodot získaých siulací v hlaví okě rograu a hodot získaých siulací s jiý očte obslužých liek. Pael obsahuje dvě tlačítka. Prví tlačítko slouží ro vyvoláí oka grafu dvou hodot vykresleých do jedoho grafu - odchod ožadavku ze systéu hodoty získaé siulací v hlaví okě rograu a odchod ožadavku ze systéu orováí hodoty získaé siulací s jiý očte obslužých liek. Druhé tlačítko slouží ro vyvoláí oka grafu dvou hodot vykresleých do jedoho grafu - dob čekáí ožadavků ve frotě hodoty získaé siulací v hlaví okě rograu a dob čekáí ožadavků ve frotě orováí hodoty získaé siulací s jiý očte obslužých liek.

49 Straa Práce s rograe Obr. 6.4 Oko orováí stejého odelu s jiý očte liek Suštěí rograu siulace odelu obsluhy M/M/ se rovádí v rograovací rostředí MATLAB. V MATLABu usí být astavea srává cesta ke složce, kde je rogra ulože. V okě Coad Widow se zadá říkaz MHO_siulace, tí se rovede suštěí rograu siulace odelu obsluhy M/M/ a zobrazí se hlaví oko rograu osaé v ředchozí kaitole. Ovládáí rograu je veli sadé a ituitiví. V hlaví okě rograu v aelu Vstuí araetry siulace zadáe itezitu vstuu, itezitu obsluhy, očet liek obsluhy a očet siulovaých ožadavků zkouaého systéu. Poté stiskee tlačítko SIMULACE. Pokud jsou zadaé hodoty > a je slěa odíka stability roběhe siulace ro zadaé araetry odelu M/M/ okud ěkterá z odíek eí slěa, zobrazí se chybová hláška, která ás uozorí, že jse ři zadáváí araetrů siulace chybovali. V hlaví okě rograu áe již dostué základí charakteristiky systéu. Poocí tlačítka GRAFY si jedoduše vyvoláe grafy z již asiulovaých hodot, které chcee zkouat. Pokud chcee exerietovat s daý odele je ožo zadaou hodotu ouze řesat, ásledě usí vždy ásledovat stisk tlačítka SIMULACE. Ukočeí rograu se rovede stiske tlačítka Zavřít.

50 Straa Siulace kokrétího říadu V ředchozích kaitolách byl osá rogra vytvořeý ro siulaci odelu hroadé obsluhy M/M/ včetě oisu ráce s títo rograe. V této kaitole bude rovedea siulace kokrétího říadu včetě rovedeí rozboru získaých dat siulací. Kokrétí říade uvažuje siulaci systéu hroadé obsluhy rerezetovaý suerarkete Kauflad. Teto systé ůžee charakterizovat jako systé s eoezeý zdroje trělivých ožadavků a velikostí froty kaacitě eoezeou. Obslužé liky uvažujee jedotlivé oklady a ožadavky uvažuje řicházející zákazíky k okladá. Zákazíci k okladá řistuují v áhodých časových itervalech a doba obsluhy zákazíka a okladě á rověž áhodý charakter, obě tyto áhodé hodoty ají exoeciálí rozděleí. Itezita říchodů zákazíků k okladá je 45 zákazíků za hodiu a itezita obsluhy jedé oklady je 8 zákazíků za hodiu. V rovozu jsou 3 oklady. Pro teto kokrétí říad rovedee siulaci růchod 5 zákazíků systée. Vstuí araetry ro zadáí do rograu jsou itezita vstuu 45, itezita obsluhy 8, očet liek obsluhy 3 a očet siulovaých zákazíků je 5. Po zadáí těchto hodot do suštěého rograu a stiskutí tlačítka SIMULACE se rovede v říadě slěí odíky stability itezita rovozu je rova hodotě,8333; odíka stability je tedy slěa, rotože latí,8333< siulace kokrétího říadu. Obr. 6.5 Získaé hodoty siulací kokrétího říadu

51 Straa 5 Podíka stability byla slěa. V hlaví okě rograu obrázek 6.5 lze již vyčíst řadu základích charakteristik kokrétího systéu - jako jsou růěrá doba obsluhy zákazíka 3,65 i, růěrá doba čekáí zákazíka ve frotě 3,6 i, růěrá doba stráveá zákazíke u oklady 6,7i, růěrý očet zákazíků v systéu 5 zákazíků, růěrý očet zákazíků ve frotě 2,3 zákazíci, růěrý očet zákazíků u oklade 2,7 zákazíků. Tyto základí charakteristiky získaé siulací je ožo orovat s výsledky získaýi aalytický řešeí. Kroě těchto základích charakteristik lze vyčíst také dolňující ravděodobostí charakteristiky. Ze siulace je atré, že v jisté okažiku je axiálí očet zákazíků u oklade 3 zákazíci jsou obsluhovái a zbylých 7 zákazíků čeká ve frotě a obsluhu. Pro očty zákazíků,2,3 jsou ze siulace staovey jejich ravděodobosti výskytu o dobu siulace. aříklad 8 zákazíků se v systéu achází s ravděodobostí 8,987. Odhady ravděodobostí jsou staovey i ro aalytickou část řešeí kokrétího systéu a tedy ohou být tyto ravděodobosti oět orováy. V této fázi jse již sezáei se základíi charakteristikai kokrétího siulovaého říadu. Tyto základí charakteristiky ás ale dostatečě eiforují o to, jak robíhal růchod všech 5 zákazíků řes oklady. K ochoeí chováí systéu á slouží grafická iterretace hodot získaých siulací, které je ožo vyvolat oocí tlačítka GRAFY. Ve vyvolaé odokě si zvolíe graf, který chcee zkouat. a obrázku 6.6 jsou uvedey 4 grafy, ve kterých jsou zachycey časové okažiky růchodu 5 zákazíků řes oklady. a obrázku 6.6 jsou uvedey grafy doby obsluhy jedotlivých zákazíků každý zákazík á jiý obsah ákuího koše, tedy jejich zracováí a okladě trvá růzou dobu, okažik říchodu zákazíka k okladě, okažik odchodu obsloužeého zákazíka od oklady a doba stráveá zákazíke ve frotě okud jsou všechy oklady obsazey, zákazík čeká a obsluhu ve frotě. Obr. 6.6 Graf - doba obsluhy zákazíka, Graf 2- okažik říchodu zákazíka k okladě, Graf 3 - okažik odchodu obsloužeého zákazíka od oklady, Graf 4 - doba stráveá zákazíke ve frotě

52 Straa 52 Pro vysvětleí získaých hodot siulací si vezee zákazíka, který řišel k okladě v ořadí jako 24. zákazík. Teto Zákazík řichází k okladě v čase 28,6i a jeho obsluha a okladě trvá 6,7i. V okažiku říchodu tohoto zákazíka k okladá říchod v čase 28,6i jsou všechy oklady obsazey a roto usí čekat ve frotě o dobu,52i. Po ulyutí tohoto časového itervalu se a ěj dostae řada. Zákazík odchází od oklady v čase 36,83i. Pro leší iterretaci růchodu 5 zákazíků si uživatel ůže zvolit graf uvedeý a obrázku 6.7, který zahruje v jedo grafu dobu obsluhy jedotlivých zákazíků, okažiky říchodů zákazíků k okladá, okažiky odchodů obsloužeých zákazíků a doby stráveé zákazíke ve frotě. Obr. 6.7 Graf doby obsluhy zákazíka, okažiky říchodů zákazíků k okladá, okažiky odchodů zákazíků od oklade, doba stráveá zákazíke čekající a obsluhu Každý graf je vyvolá v saostaté okě. Pro sadou ráci s grafe jsou v MATLABu ileetováy růzé fukce. a obrázku 6.8 jsou uvedey základí oerace, které uožňují s daý grafe aiulovat. Graf je ožo uložit, vytiskou, zvětšit/zešit ebo růzě osouvat. Pro aše využití je veli vhodá osledí ikoa, která á uožňuje sadou idetifikaci zákazíka a vybraého časového okažiku. Obr. 6.8 Možé oerace ráce s grafe

53 Straa 53 V této fázi jse již rozkouali časové okažiky růchodů zákazíků systée. Graf a obrázku 6.9 á iterretuje další důležitou iforaci. Zobrazuje á, a které okladě kokrétě je daý zákazík obslouže. Z tohoto grafu lze vyčíst, že ái zkouaý 24. zákazík byl obslouže a druhé okladě. Obr. 6.9 Graf zracováváí ožadavku daou okladou Graf a obrázku 6. á odává iforaci o vývoji očtu zákazíků v systéu v růběhu siulace. Vidíe, že o většiu času jsou všechy oklady využity. Pouze ve 3 časových itervalech se u oklade achází éě ež 3 zákazíci. Obr. 6. Graf vývoje očtu zákazíků v systéu

54 Straa 54 V hlaví okě rograu obrázek 6.5 byly zjištěy základí charakteristiky kokrétího systéu a to růěrá doba obsluhy zákazíka 3,65 i, růěrá doba čekáí zákazíka ve frotě 3,6 i, růěrá doba stráveá zákazíke u oklady 6,7i, růěrý očet zákazíků v systéu 5 zákazíků, růěrý očet zákazíků ve frotě 2,3 zákazíci, růěrý očet zákazíků u oklade 2,7 zákazíků. V rograu siulace odelu M/M/ je uožěo orovat chováí kokrétího říadu ři zěě očtu oklade ři zachováí okažiku říchodu ožadavku do systéu a době obsluhy ožadavku. Pokud bycho orovávali systé se 2 okladai, odíka stability by ebyla slěa. Systé by se eohl stabilizovat a frota by rostla ade všechy eze. Z tohoto důvodu byla ro orováí chováí systéu rovedea siulace ro 4 oklady. Siulací byly zjištěy základí charakteristiky orovávaého systéu obrázek 6.. Průěrá doba čekáí zákazíka ve frotě klesla z 3,6 i a,4 i, růěrá doba stráveá zákazíke u oklady klesla z 6,7 i a 4 i, růěrý očet zákazíků v systéu klesl z 5 zákazíků a 3 zákazíky. Pro grafickou iterretaci dosažeých výsledků siulací je využito grafů ro orováí odchodu zákazíků od oklade a doby stráveé zákazíke ve frotě. Porováí je zobrazeo a obrázku 6.2. Obr. 6. Hodoty orovávaého systéu získaé siulací Obr. 6.2 Graf orováí odchodů zákazíků a doba stráveá zákazíke ve frotě Možost orováváí ůže být využita aříklad ři otializaci daého systé hroadé obsluhy. Z ohledu zákazíka je cíle otializace zkráceí čekací doby ve frotě. Z ohledu rovozovatele je důležitá otializace vytížeí jedotlivých oklade a saozřejě očet oklade. V raxi je tedy uté hledat korois, který bude vyhovovat oběa straá.