Systémové struktury - základní formy spojování systémů

Transkript

1 Systémové struktury - základní formy sojování systémů Základní informace Při řešení ať již analytických nebo syntetických úloh se zravidla setkáváme s komlikovanými systémovými strukturami. Tato lekce se roto bude zabývat základními mechanismy, jak z oisu dílčích lineárních systémů vytvořit ois celkové struktury systému. Na druhé straně, je-li z disozici obrazová řenosová funkce, lze rozkladem jejího čitatele i jmenovatele na kořenové činitele, res. osléze na arciální zlomky odhadnout dílčí systémy a jejich vzájemné roojení. Pro úsěšné zvládnutí této oslední lekce, je samozřejmě třeba znát to co této lekci ředcházelo. ýstuy z výuky seznámit se se základními formami sojování lineárních systémů - sériové, aralelní a zětnovazební zaojení; umět určit charakteristiky výsledného lineárního systému ze znalosti dílčích soustav v daném zaojení.

2 Základní formy sojování systémů Biologické i mnohé technické systémy jsou složité systémy vysokých řádů, které lze zravidla složit z jednodušších odsystémů. xistují tři základní tyy sojení - sériové, aralelní a zětnovazební. Pois dalších složitějších soustav ať už ro účely jejich analýzy či syntézy se určuje omocí ravidel tzv. blokové algebry. Předokladem ro oužití blokové algebry jsou dvě základní odmínky: všechny členy systému jsou lineární; ři vzájemném sojování se jednotlivé bloky nesmějí ovlivňovat tj. ři vzájemném sojení více bloků musí ois jednotlivých bloků zůstat nezměněn. Z blokové algebry systémů vycházejí mnohé algoritmy, jako jsou nař. metoda ostuných úrav, metoda eliminace roměnných, Masonovo ravidlo, aod. šechny tyto ostuy jsou ale oněkud za horizontem očekávaných znalostí čtenářů tohoto textu, nadále se budeme zabývat ouze třemi výše uvedenými základními tyy sojení dvou dílčích soustav. Přesto, že jsou následující odvození vztahů ro různé tyy zaojení rovedeny ro sojité systémy, táž ravidla latí i ro systémy racující v diskrétním čase. Sériové kaskádní zaojení Při hledání vztahu ro výslednou řenosovou funkci s sériového kaskádního zaojení dvou dílčích lineárních systémů mezi řenosovými funkcemi dvou sériově kaskádně zaojených lineárních dílčích systémů s řenosovými funkcemi a obr.. vycházíme z latnosti vztahů a U,.. U s..3 Obr.. Sériové zaojení dvou lineárních systémů Rozšířením vztahu ro s a následující jednoduchou úravou dostaneme U U U U s Zobecněním vztahu.4 ro sériové zaojení N dílčích systémů latí N s i i..5 Při výočtu vztahu ro imulzní charakteristiku ht systému daného sériovým zaojením dvou dílčích soustav s imulsními charakteristikami h t a h t vyjdeme ze známého základ-

3 ního konvolučního vztahu mezi výstuem yt a vstuem xt systému a jeho imulzní charakteristikou ht y t ht * xt..6 Ze sériového zaojení obou dílčích soustav také latí, že y t y t h t * x t h t * y t h t *[ h t * x t]..7 zhledem k latnosti asociativního zákona ro konvoluci lze vztah.7 řesat do tvaru y říadně s využitím komutativního zákona t [h t*h t]* xt,.8 t [h t*h t]* xt..9 y Ze srovnání.6 a.9 je ro sériové zaojení dvou lineárních soustav s imulzními charakteristikami h t a h t h s t ht * h t,.0 ří. ro zobecnění se sériovým zaojením N soustav hs t ht*ht*...*hnt,. což je výsledek, který bylo možné očekávat, okud víme, že Lalacovým obrazem konvoluce je součin Lalacových obrazů originálních funkcí času a naoak. Příklad. Určete obrazovou řenosovou funkci sériového zaojení dvou dílčích systémů s řenosovými funkcemi 3 5 a. ýsledná řenosová funkce sériového zaojení zadaných systémů je dána součinem dílčích řenosových funkcí. Platí roto Příklad.. 3 Určete obrazovou řenosovou funkci sériového zaojení dvou identických dílčích diskrétních systémů d z z -. Pro diskrétní systémy latí identické ravidlo ro určení řenosové funkce sériového zaojení jako ro systémy racující ve sojitém čase. Proto výsledná řenosová funkce je Příklad.3 z d z z - z - z -. Určete obrazovou řenosovou funkci sériového zaojení dvou identických dílčích diskrétních systémů d z z - rostřednictvím jejich imulzních charakteristik. 3

4 Imulzní charakteristika dílčí soustavy je h d k {,, 0, 0, } a výsledná imulzní charakteristika je dána konvolucí obou dílčích imulzních charakteristik. Je roto {,, 0, 0, } * {,, 0, 0, } {,,, 0, 0, }. Této imulzní charakteristice ak odovídá obrazová řenosová funkce taková, jaká byla výsledkem řešení říkladu.. 3 Paralelní zaojení Při aralelním zaojení dvou systémů obr.3. jsou vstuy obou systémů totožné a výstuy jsou obecně vázány nějak definovaným funkčním říkazem - sojkou. Má-li být výsledný systém rovněž lineární, výstuy se musí sčítat. Pokud jsou řenosové funkce jednotlivých systémů definovány vztahy a, Protože, latí. 3.4 Pro obecně N aralelně zaojených systémů je N i i. 3.5 Nyní se oět okusme určit, jaký vztah latí i ro imulzní charakteristiku výsledné soustavy. Pro jednotlivé dílčí systémy je a Protože Obr.3. Paralelní zaojení dvou lineárních systémů y t ht* xt ht* xt y t h t* x t h t* xt. y t y t y t h t* xt h t* xt [h t h t]* xt. 3.7 A odobně jako v ředchozím říadě srovnáním vztahů, tentokrát.6 a 3.7 je

5 h ří. ro obecný říad aralelního zaojení N soustav Příklad 3. t h t h t, 3.8 N t hit i Určete celkovou řenosovou funkci systému vytvořeného aralelním zaojením odle obr.3., kde. h. 3.9 Přenosová funkce aralelního zaojení dvou Obr.3. Zaojení dle zadání říkladu 3. dílčích soustav je dána součtem řenosových dílčích soustav. Na zobrazeném zaojení má dolní větev jednotkový řenos vše co se řivede na vstu této větve se také objeví na jejím konci. Proto latí, že Příklad 3.. Určete celkovou řenosovou funkci aralelního zaojení dvou dílčích diskrétních soustav zadaných jejich imulzními charakteristikami h k {, -, 0, 0, } a h k {,,, 0, 0, }. Součet obou imulzních charakteristik je hk h k h k {,,, 0, 0, }. Tomu odovídá řenosová funkce z z - z -. 4 Zětnovazební zaojení 4. Pois řenosu zětnovazebního systému Zětnovazební zaojení dvou systémů je zobrazeno na obr.4.. Systém s řenosovou funkcí je umístěn v římé větvi, systém tvoří zětnou vazbu, řičemž výstu zětnovazebního systému je buď řičítán či odečítán od vstuního signálu celého systému - kladná nebo záorná zětná vazba. Nechť jsou jednotlivé řenosové funkce definovány ; 4. Dále, ředokládáme-li záornou zětnou vazbu, je ;

6 6 a z toho. 4.5 Z těchto rovnic můžeme sát.... X 4.6 říadě kladné zětné vazby 53 je Je-li v obou větvích zaojeno více systémů sériově nebo aralelně, je řenosová funkce celého zaojení určena vztahem, s m 4.8 kde rerezentuje celkovou obrazovou řenosovou funkci římé větve a s součin celkových řenosových funkcí římé i zětné větve zětnovazebního zaojení. Určit imulsní charakteristiku zětnovazebního zaojení ze znalosti imulzních charakteristik dílčích soustav již zdaleka není tak jednoduché jako v obou ředešlých zaojeních. 4. lastnosti zětnovazebního zaojení Zětnovazební zaojení má mnohé ozitivní, ro raxi užitečné vlastnosti, jako nař.: schonost vhodně rerodukovat vstu rinci regulace; snížená citlivost oměru výstu/vstu na změny arametrů systému; snížený vliv nelinearit; snížený vliv vnějších oruch a šumu; širší rozsah frekvenčního ásma. Může ale zůsobit ři zavedení kladné zětné vazby i neříjemné těžkosti, které vedou k možnému vzniku oscilací a nestabilitě. 53 Kladná zětná vazba nastává tehdy, okud zvýšení hodnoty řiváděné z výstuu na vstu zůsobí další zvýšení hodnoty na výstuu. Obr.4. Zětnovazební zaojení dvou lineárních systémů

7 Z uvedených vlastností si na říkladu demonstrujme možnost rozšíření roustnéhoo frekvenčního ásma. Příklad 4.: Ověřte vliv zětné vazby na frekvenční vlastnosti zětnovazebního systému s úlnou záornou zět- nou vazbou odle obr.4., je-li v římé větvi systém. řádu s řenosovou funkcí G. 4.9 Obr.4. Systém. řádu se setrvačností s úlnou zětnou vazbou Přiomeňme, že z raktických důvodůů je užitečné obrazovou řenosovou funkci tohoto tyu sát ve tvaru K 4.0, T kde K je koeficient zesílení říká kolikrát je výstuní signál větší než vstuní v celém frek- venčním ásmu a T je časová konstantaa rerezentující setrvačnosti systému a která rovněž úzce souvisí s mezní frekvencí řenášeného ásma. Frekvenční řenosová funkce zadaného systému v římé větvi je 4. G ω. jω a frekvenční řenosová funkce výsledného zětnovazebního systému 4. G ω jω jω 0, 5 F ω.. G ω jω jω 0, 5jω jω jω Ze vztahu 4. je zřejmé, že si systém zajedná o chováváá globální vlastnosti - oět se systém. řádu se setrvačností, zmenšil se ale koeficient zesíleníí z na 0,5 a odobně se zmenšila i časová konstanta systému, oět z na 0,5. Bodeho modulová frekvenční charakteristika systému. řádu se setrvačností je určena vztahem Obr.4.3 Modulová Bodeho charakteristika ω 0log ω systému. řádu se setrvačností 4.3 0log K 0log T ω. Zoakujme si rovněž, že grafické znázornění Bodeho frekvenční charakteristiky je založeno na aroximaci lomenou římkou ro dva mezní říady: ro ω «/T je Tω «a tedy ro ω» /T je Tω» a tedy ω ω 0log K 0 logtω 0log k

8 Modulová Bodeho frekvenční charak- teristika systému. řádu se setrvačností má roto tvar uvedený na obr zadaném říadě má zětnovazební zaojení v roustném ásmu oloviční zesílení, tedy nikoliv 0log 0 jako ůvodní zadaná soustava, ale 0log/, tj. 0log 6. e svých klesají- cích částech jsou frekvenční charakteris- tiky obou systémů osány výrazy Struktura zětnovazebníhoo regulačního systému zahrnuje některé tyické odsystémy s řesně definovanou úlohou. Základní konfigurace takového jednoduchéhoo zětnovazebního systému s jedním vstuem a jedním výstuem Single Inut - Single Outut, SISO je uveden na obr.4.5. Referenční veličina R je externí signál, jehož hodnota je srovnávána se signálem na výstu- hodnotu řízené veličiny. odnota chybového signálu je dána rozdílem referenční a zětnova- zební veličiny a tento rozdíl ředstavuje hybnou akční veličinu systému. Je-li chybový signál u zětnovazební větve B. Referenční veličina zravidla ředstavuje ideální či ožadovanou nulový, znamená to, že řízená veličina má ožadovanou hodnotu a není třeba zasahovat. Je-li naoak chybový signál velký, je otřeba vyvolat intenzivní akci, která uvede řízenou veličinu do ožadovaných mezí. Blok římého řízení ředstavuje část systému, která transformuje chybový signál na akční řídicíí signál, který již římo ovlivňuje chování řízené soustavy, která může být konečně jako každý jiný rvek schématu ovlivněna nežádoucím ůsobením vněj- veli- šího rostředí - oruchami. Blok zětnovazebních rvků transformuje řízenou výstuní činu do tvaru, který může být oužit ro srovnání s referenčním vstuem. Obr.4.44 Modulová Bodeho charakteristika systé- mu. řádu se setrvačností dle zadání G ω 0 log 0 log ω 0 log ω; ω F ω 0 log 0 log 0 log 0log 0log ω 0log log 0log ω 0 log ω. To znamená, že jejich růběh je v této části stejný. Tvar frekvenčních charakteristik obou soustav je zobrazen na obr.4.4 Frekvenční charakteristika zětnovazebního systému má oroti ůvodnímu dvojnásobně široké řenášené ásmo, ovšem za cenu snížení zesílení na olovinu. 4.3 Princi zětnovazební regulace Obr.4.5 Princi zětnovazební regulace 8