3.1.8 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru

Transkript

1 3..8 Přeěny energie v echanické oscilátoru Předoklady: 0050, Pedagogická oznáka: Odvození zákona zachování energie rovádí na vodorovné ružině, rotože je říočařejší. Pro zájece je uvedeno na konci hodiny. Př. : Na vodorovně uístěné ružině kitá ve vodorovné sěru závaží. Tření ezi závaží a odložkou je zanedbatelně alé. Poiš, jak se ění energie závaží běhe jedné eriody (běhe ohybu ezi body ). 0 Závaží se ohybuje z rovnovážné olohy do axiální kladné výchylky (z bodu 0 do bodu ): velikost rychlosti závaží se zenšuje kinetická energie závaží se zenšuje, velikost výchylky závaží se zvětšuje zvětšuje se rodloužení ružiny zvětšuje se otenciální energie ružiny. Závaží se ohybuje z axiální kladné výchylky do rovnovážné olohy (z bodu do bodu 0): velikost rychlosti závaží se zvětšuje kinetická energie závaží se zvětšuje, velikost výchylky závaží se zenšuje zenšuje se rodloužení ružiny zenšuje se otenciální energie ružnosti. Závaží se ohybuje z rovnovážné olohy do axiální záorné výchylky (z bodu 0 do bodu ): velikost rychlosti závaží se zenšuje kinetická energie závaží se zenšuje, velikost výchylky závaží se zvětšuje zvětšuje se zkrácení ružiny zvětšuje se otenciální energie ružiny. Závaží se ohybuje z axiální záorné výchylky do rovnovážné olohy (z bodu do bodu 0): velikost rychlosti závaží se zvětšuje kinetická energie závaží se zvětšuje, velikost výchylky závaží se zenšuje zenšuje se zkrácení ružiny zenšuje se otenciální energie ružiny. Př. : Proč v ředchozí říkladu nerozebíráe klasické kitání závaží na svislé ružině? Kroě kinetické energie závaží a otenciální energie ružiny se v ři kitání ve svislé sěru ění i otenciální energie závaží. Příklad je tak složitější. Situace vodorovně kitajícího závaží na ružině veli řioíná kyvadlo: běhe kitání se neustále řeěňují dva druhy energie jeden v druhý zřejě se jedná o obecnou vlastnost kitavého ohybu.

2 Pokusíe se očetně dokázat, že celková energie kitání se v růběhu eriody neění otřebujee vzorec o velikost otenciální energie ružiny. Oakování z rvního ročníku: Vzorce ro energie jse získávali jako vzorce ro vykonanou ráci:w = F s. Problé: síla, kterou je ružina stlačována (natahována), se ění se zěnou délky. Velikost síly je dána vztahe F = k l, síla řío úěrně roste se stlačení (rodloužení) neůžee tedy oužít klasický vztah ro ráci, rotože síla se neustále ění. Práci určíe jako lochu od grafe závislosti ůsobící síly na dráze (tzn. na stlačení ružiny). F V grafu je nakreslena locha od grafe znázorňující vykonanou ráci ři stlačení od nuly F do l - ravoúhlý trojúhelník s odvěsnai F = k l (největší ůsobící síla) a l (největší stlačení). ab F l k l l W S = k ( l) = = = = Potenciální energie ružiny E ( ) = k l energie závisí ouze na druhé ocnině rodloužení nezáleží na to, zda se ružina rodloužila nebo zkrátila ísto l ůžee sát y ( ) E = k l = ky. Pro celkovou energii ružiny v každé okažiku latí: E = Ek + E = v + ky. v ω y cos ωt y = y sin ωt. Dosadíe vztahy ro okažité hodnoty: = ( ), ( ) E = v + ky = cos( ) sin ( ) ω y ωt + k y ωt = E = ω y cos ( ωt) + ky sin ( ωt) Z ohybové rovnice echanického oscilátoru: F = ky = ω y ω = k. E = ky cos ( ) sin ( ) cos ( ) sin ( ) ωt + ky ωt = ky ωt ωt ky ky + = = Oačné dosazení: k = ω E = ω y cos ( ωt) + ω y sin ( ωt) = ω y cos ( t) sin ( t) ω + ω = = v = v celková energie (součet kinetické energie závaží a otenciální energie ružiny) se běhe kitavého ohybu neění a její velikost se rovná: E = ky - otenciální energii ružiny v axiální výchylce, E = v - kinetické energii závaží v okažiku růchodu rovnovážnou olohou.

3 Př. 3: Urči eriodu, se kterou se ění kinetická energie závaží, okud závaží kitá s eriodou,4 s. Kinetická energie závaží osciluje ezi nulovou a axiální hodnotou. Nulové hodnoty dosahuje běhe jednoho kitu dvakrát (v kladné i záorné extréní výchylce), axiální hodnoty také (ři růchodu rovnovážnou olohou) kinetická energie se ění s oloviční eriodou než je erioda kitů závaží T =, s. E Př. 4: Na obrázku je graf, který zachycuje časový růběh výchylky, kinetické a otenciální energie echanického oscilátoru. Urči, který graf náleží ke které veličině. Černá čára á oloviční frekvenci než zbývající dvě, á kladné i záorné hodnoty jde o graf výchylky. Modrá čára dosahuje axiální hodnoty v okažicích, kdy je výchylka nulová v těchto okažicích je axiální rychlost jde o graf kinetické energie. Červená čára dosahuje axiální hodnoty v okažicích, kdy je velikost výchylky axiální jde o graf otenciální energie. Stejné vzorce latí i v říadě, že ružina je svislá a závaží kitá ve svislé sěru. Př. 5: - Na ružině o tuhosti 0 N kitá závaží o hotnosti 00 g s axiální výchylkou 4c. Urči: a) celkovou energii oscilátoru, b) eriodu, frekvenci a úhlovou frekvenci kitání, c) rovnice ro okažitou výchylku a okažitou rychlost, d) hodnoty okažité výchylky a okažité rychlosti v čase t = 0,s, e) hodnoty kinetické a otenciální a celkové energie v čase t = 0,s. - k = 0 N, = 00g = 0,kg, y = 4c = 0,04, t = 0,s a) celková energie oscilátoru 0 0,04 E = ky = J = 0,06J b) erioda, frekvence a úhlová frekvence kitání 0, k 0 T = π = π s = 0, 63s f Hz,6Hz k 0 = π = π 0, = 3

4 k k 0 - ω = π f = π 0rad s π = = 0, = c) rovnice ro okažitou výchylku a okažitou rychlost y = y sin ωt = 0,04 sin 0t v ( ) ( ) = ω y = 0 0,04 s = 0,4 s ( ω ) ( ) v = v cos t = 0,4cos 0t - - d) hodnoty okažité výchylky a okažité rychlosti v čase t = 0,s, ( t) ( ) - - ( t) ( ) y = 0,04 sin 0 = 0,04 sin 0 0, = 0,034 v = 0, 4cos 0 = 0, 4cos 0 0,0 s = 0, s e) hodnoty kinetické a otenciální a celkové energie v čase t = 0,s. 0 0,034 J 0,0 J E = ky = = E 0, 0, J 0,0048J k = v = = E = E + E = 0,0 + 0,0048 J = 0,068J k Výsledek se dobře shoduje s hodnotou vyočtenou v bodě a), alý rozdíl je zůsobe chybou v zaokrouhlování. Zatí jse se zabývali ouze kitání jehož výchylka se nezenšuje. U skutečného kitání se výchylka vždy ostuně zenšuje až se kitání zastaví reálné kitání je vždy tluené. Př. 6: Co zůsobí ostuné utluení kitů závaží na ružině? Působení sil: odor vzduchu, vnitřní tření ři zěnách tvaru ružiny. Zěny tluení: Vzduchorázdno: tluení se zenší (neůsobí odor vzduchu), ale ružina se čase stejně zastaví, ztráty ři zěnách tvaru ružiny zůstanou ružina se zastaví oaleji. Voda: tluení se zvětší (odor vody je větší než odor vzduchu) ružina se zastaví rychleji. Př. 7: Kterou další veličinu charakterizující kitavý ohyb ovlivňuje velikost tluení. Zvětšující se tluení rodlužuje eriodu kitů (zoaluje naříklad ohyb z axiální výchylky do rovnovážné olohy). Grafy kitavého ohybu s ostuně se zvětšující tluení. Fáze kitavého ohybu je taková, aby ohyb začínal v největší kladné výchylce (je tedy osán rovnicí y = y cos( ωt) ). 4

5 Př. 8: Odhadni, kterou funkcí by bylo třeba dolnit rovnici ro výchylku haronického y = y cos ωt, aby se alituda kitů ostuně zvěšovala. kitání ( ) Z grafů je vidět, že výchylka se snižuje k nule. Čí je aktuální hodnota výchylky větší, tí rychlejší je okles takto se chová exonenciální funkce se základe enší než jedna bt y = e y cos ωt, kde b je araetr, který (nebo se záorný exonente) rovnice ( ) udává velikost tluení. Dodatek: Srávná rovnice ještě usí osat rodloužení eriody ohybu bt y = e y cos( ωt), kde ω = ω 0 b ( ω 0 - úhlová frekvence bez tluení, ω - úhlová frekvence s tluení. 5

6 Mezní (kritické) tluení:oscilátor neřekitne a za nejkratší ožný čas se vrátí do rovnovážné olohy technicky důležité, řesně toho chcee dosáhnout v situacích, kde nestojíe o rozkitání (érování autoobilů, saozavírání dveří, ohyb ěřících ručiček, atd.). Při další zvětšování tluení se oscilátor vrací do rovnovážné olohy oaleji. Pedagogická oznáka: Zde za norálních odínek končí hodinu. Ověření zákona zachování energie ro závaží na svislé ružině. ůvodní délka ružiny y=0 y y rovnovážná oloha h nulová hladina E Po zavěšení závaží se ružina rodlouží o l a zění se výška (a tí i otenciální energie) závaží klidová energie oscilátoru E ( ) 0 = gh + k l. V libovolné okažiku ři okažité výchylce y a okažité rychlosti v á oscilátor tyto druhy energie: kinetickou Ek = v, 6

7 otenciální E g ( h y) = + : ři záorné výchylce je výška závaží enší, otenciální ružiny E ( ) = k l y : záorná výchylka znaená enší rodloužení. Uravujee výraz: = v + g ( h+ y) + k ( l y) = v + gh+ gy+ k ( l) ly+ y = = v + gh + gy + k ( l) k ly + ky = = v + gh + gy + k ( l) k ly + ky Platí: F = g = k l (síla, kterou závaží naíná ružinu v rovnovážné oloze) gy k ly = 0. = v + gh + k ( l) + ky = gh + k ( l) + v + ky = E0 + v + ky energie kitání: Ek = v + ky (stejný výsledek jako u ružiny kitající vodorovně). Př. 9: Pružina se o zavěšení závaží o hotnosti 300 g rodloužila o 4 c. Urči celkovou energii tohoto oscilátoru ři axiální výchylce 5 c. = 300g = 0,3kg, l = 4c = 0,04, y = 5c = 0,05, E =? Vzorec ro celkovou energii: ( ) = gh + k l + ky (oslední člen se rovná hodnotě otenciální energie ružiny v bodě axiální výchylky, kdy je kinetická energie nulová). F g F = k l k = = l l. g g l y = gh + k ( l) + ky = gh + ( l) + y = g h + + l l l Za hladinu nulové otenciální energie zvolíe rovnovážnou olohu h = 0. l y 0,04 0,05 = g h + + = 0, J = 0,5 J l 0,04 Celková energie kyvadla je 0,5 J. Pedagogická oznáka: Určitě stojí za to uozornit studenty, že všechny členy v závorce ají význa délky (bez ohledu na to, jak vznikly). Jinak to saozřejě být neůže, ale ro studenty je to určitě řekvaivé. Shrnutí: Zákon zachování echanické energie latí i ro netluené kitání. c 7