6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyu Úol : Určete Youngův modul pružnosti drátu metodou přímou (z protažení drátu). Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Zálady fyziálních měření.. vyd. Praha: SPN, 983, st..3.., čl..3.., čl... Pomůcy: Zařízení měření Youngova modulu z protažení drátu, drát, závaží, stupnice, zdroj střídavého napětí. Postup měření:. Seznamte se s metodami měření modulu pružnosti v tahu (viz doporučená literatura). Seznamte se s činností zařízení měření Youngova modulu. 3. Drát zatěžujte závažími v rozsahu od 300g do 000 g postupně po 00 g (před započetím měření je nutno na drát zavěsit dvě závaží po 00 g, aby byl drát vypnutý a rovný). Po dosažení nejvyššího zatížení závaží postupně odebírejte. Prodloužení drátu změřte pomocí metody otočného zrcáta a stupnice. 4. Provedená měření zpracujte pomocí metody postupných měření (čl...4.g, čl..4...). Princip měření Z různých elasticých onstant vybíráme pro charateristiu materiálu nejčastěji modul pružnosti v tahu E (obvyle nazývaný Youngův modul pružnosti) a modul pružnosti ve smyu G (záceně nazývaný taé modul smyu (torze)), neboť ostatní elasticé onstanty lze z modulů E a G vypočítat. Jednotou obou modulů je Pa. V dalších úvahách se omezíme na nejjednodušší případ, dy deformace a napětí jsou přímo úměrné a jejich poměr není časově závislý; tedy na případ, terý je popisován lasicou teorií pružnosti. Dále budeme předpoládat, že deformovaná láta je izotropní. Modul pružnosti v tahu je onstanta úměrnosti mezi deformací (poměrným prodloužením) l /l 0 a napětím F / S tahem namáhaného vzoru (v našem případě drátu). Tato úměra je obsahem Hooova záona, terý obvyle píšeme ve tvaru l l 0. E F S, () de l značí prodloužení, tj změnu dély způsobenou silou F, l0 původní délu vzoru (drátu), F tahovou sílu a S průřez vzoru (drátu). Při měření modulu E můžeme vycházet přímo z rovnice () a zjišťovat poměr napětí F / S deformaci l /l0. Nejprve změříme původní délu vzoru l0 a původní průřez S0, potom sledujeme závislost prodloužení l na působící síle F. Malé změny průřezu S při protahování vzoru zpravidla zanedbáváme.
Z přímých metod určení Youngova modulu E popíšeme metodu, podle teré stanovíme modul E z protažení drátu. Tuto metodu budeme taé používat v laboratorním cvičení. Z rovnice () plyne že l0 F E.. () l S Chceme-li měřit v oblasti, de deformace je úměrná napětí, tj. pro deformace nejvýše až %, musíme měřit poměrně malá prodloužení l. K měření těchto malých délových rozdílů slouží speciální zařízení, de protažení vzoru (drátu) je převáděno na otáčení zrcáta (viz obr. ). Obr. Zařízení měření Youngova modulu z protažení drátu V tomto případě vedeme drát D na jednom onci upevněný přes ladu K o poloměru R misce M, na terou lademe závaží. Na ladce je připevněno zrcáto Z. Úhel pootočení zrcáta souvisí s prodloužením l drátu vztahem R. l. (3) Úhel registrujeme metodou zrcáta a stupnice. Tato metoda umožňuje měřit velmi malé úhly. Na zrcáto Z, teré je pevně spojeno s ladou (viz obr. 6.), vyšleme světelný svaze, terý po odražení zachytíme na stupnici (viz obr. ). Obr. Metoda zrcáta a stupnice Stočení zrcáta o úhel způsobí změnu směru paprsu odraženému od zrcáta o úhel. Stupnici postavíme olmo paprsu odraženému od rovnovážné polohy zrcáta ZR. Stopa dopadne na stupnici v místě n0. Stočí-li se zrcáto od rovnovážné polohy do polohy ZV o úhel, dopadne stopa na stupnici v místě n. Pro vzdálenost n - n0 platí vztah
n n0 tg, (4) l v němž l je vzdálenost stupnice od zrcáta. Pro stanovení úhlu se často užívá přibližný vzorec n n0, (5) l vhodný pro malé hodnoty. Metodou zrcáta a stupnice lze běžně dosáhnout přesnosti jedné úhlové minuty. Použitím přibližného vzorce (5) místo vzorce (4) vzniá pro úhel rovný 5 chyba %. Poyny e zpracování měření Výsledy zísané při měření modulu pružnosti E v tahu zpracujeme metodou postupných měření. Tuto metodu je vhodné použít tehdy, jestliže máme dispozici soubor měření, terá na sebe těsně navazují a vyznačují se tím, že oncový bod jednoho měření je současně výchozím bodem měření dalšího. V našem případě je tato podmína splněna, neboť měření je uspořádáno ta, že postupně zvyšujeme zatížení F a odečítáme příslušné hodnoty prodloužení l vzoru. Tím zísáme řadu hodnot l, l, l3,, ln, teré odpovídají hodnotám F, F, F3,, Fn. Volíme-li přitom hodnoty zatížení ta, aby vytvořily aritmeticou posloupnost, jde o měření s evidistantními hodnotami argumentu F. To znamená, že intervaly po sobě jdoucími hodnotami (Fi, Fi-) jsou onstantní a rozdíly F - F = F3 - F = = Fn - Fn- stejné. Kdyby měření probíhala bez chyb, byly by i rozdíly l - l, l3 - l,, ln - ln- stejné. Ve sutečnosti si tyto rozdíly nejsou rovny a úolem výpočtů je právě nalézt jejich nejpravděpodobnější hodnotu. Provedená měření rozdělíme do dvou početně stejných supin, taže aždá supina obsahuje n/ = měření. Je-li celový počet měření n číslo liché, jedno měření (zpravidla první) vynecháme. Rozdíly měřených hodnot l bereme mezi hodnotami téhož pořadí obou supin, tj. mezi první hodnotou první supiny a první hodnotou druhé supiny, mezi druhou hodnotou první supiny a druhou hodnotou druhé supiny atd. Celový počet tato vytvořených rozdílů l+ - l, l+ - l, l+3 - l3,, ln - l je a aždý z nich představuje -násobnou hodnotu rozdílu dvou po sobě jdoucích hodnot. Nejpravděpodobnější hodnota rozdílu bude
l l l l l l 3 l3 l... l n, což lze psát l n l l l... l l l l... l l l 3 nebo l n n 3 i i i l i li. (5) i i i Po výpočtu nejpravděpodobnější hodnoty l, známe-li F a je-li změřeno l0 a S, snadno ze vztahu () stanovíme hodnotu modulu E pružnosti v tahu. vztah Pro pravděpodobnou chybu onečného výsledu měření modulu pružnosti v tahu platí ( l0) ( d) ( l 4 ) l 0 d l ( E) E. (6) Přílad zpracování onrétního měření podle výše uvedeného postupu naleznete v doporučené literatuře BROŽ, J. Zálady fyziálních měření.. vyd. Praha: SPN, 983, čl..4... Zde taé naleznete postup výpočtu pravděpodobné chyby onečného výsledu. Do celové chyby je vša třeba romě chyby pravděpodobné ještě započítat chybu metody. Dále tedy rozebereme, s jaou přesností je třeba měřit jednotlivé veličiny, použijeme-li měření dély drátu metody zrcáta a stupnice a chceme-li dosáhnout v určení modulu E přesnosti asi 3 %. Délu drátu l a vzdálenost stupnice od zrcáta, tj. dély přibližně m, stačí změřit s přesností asi 0,5 %, tj. pásovým měřítem. Poloměr lady R, terý bývá až cm, stačí stanovit rovněž s přesností 0,5 %; v tomto případě vša vzhledem menší celové měřené délce je nutné změřit průměr (R) lady posuvným měřítem (pozor je nutné měřit vnitřní poloměr lady!). Při odečítání dílů na stupnici musí být dosaženo větší přesnosti než %, což znamená, že posun značy, je-li stupnice dělená po mm, musí být nejméně 5 cm. Nejobtížnější je dosáhnout dostatečně malé chyby odečítání průměru drátu. Potřebná přesnost stanovení průměru asi % znamená při průměru drátu 0, mm měřit s přesností.0-3 mm. V tomto případě již plně nevyhovuje ani měření mirometricým šroubem a průměr by bylo třeba proměřit indiátorovými hodinami (viz podrobněji Brož, čl....). Nepřesnosti závaží a chybu vznilou náhradou za tg v metodě zrcáta a stupnice lze zanedbat.
Úol : a) určete modul pružnosti v torzi pro tyče z různých materiálů (ocel, mosaz, hliní) metodou staticou, b) zjistěte, ja závisí modul pružnosti v torzi na materiálu, délce a průřezu tyče, c) proměřte hysterezní řivu pro měděnou tyč. Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Zálady fyziálních měření.. vyd. Praha: SPN, 983,..,.3.,.3.. HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fyzia, část Mechania - Termodynamia.. vyd. Praha: Prometheus, 000, s. 34-344. Pomůcy Stativový materiál, přístroj pro měření modulu pružnosti v torzi, pásové měříto, posuvné měříto, mirometr, sada ovových tyčí, siloměr. Princip měření Při vyšetřování vztahu mezi deformací těles a působícím napětím se v dalším výladu omezíme na případ, dy deformace a napětí jsou přímo úměrné a jejich poměr není časově závislý (lasicá teorie pružnosti). Dále předpoládáme, že deformovaná láta je izotropní. Uvedené předpolady bývají splněny u polyrystalicých ovových materiálů, nejsou-li napětí na ně působící příliš velá. Vlastnosti láty při deformaci jsou potom popsány dvěma nezávislými materiálovými onstantami, nejčastěji je to modul pružnosti v tahu (Youngův modul) E a modul pružnosti ve smyu G. Modul pružnosti ve smyu G udává vztah mezi smyovým napětím a smyovou deformací ve tvaru F, () G S de je úhel smyu, F je smyová síla a S plocha, ve teré působí smyová síla. Modul pružnosti ve smyu G se nejčastěji určuje z torze tyčí. Při torzi je aždá část tyče namáhána pouze smyem a přitom, i dyž je smy v aždé části tyče poměrně malý (tedy leží hluboo pod mezí úměrnosti deformace a napětí, výsledný úhel stočení tyče může být značný, a tedy dobře měřitelný. Vztah () přejde při torzi tyče ve vztah mezi úhlem stočení tyče a momentem síly M vyvolávajícím torzi, terý má tvar M M, () G D v němž jedinou materiálovou onstantou je modul pružnosti ve smyu G. Konstanta v rovnici () závisí pouze na tvaru tyče podrobené torzi. Veličina D se nazývá direční moment tyče. Modul pružnost ve smyu měříme buď staticy, tj. ta že měříme úhly stočení příslušné daným torzním momentům M a z rovnice () vypočítáme modul G, nebo dynamicy ta, že necháme tyč vyonávat torzní mity.
K měření modulu pružnosti ve smyu G staticou metodou použijeme tyč, terá má ruhový průřez o poloměru r a délu l a je na jednom onci upevněna. Působíme-li na druhý onec silovou dvojicí o momentu M, jehož směr je rovnoběžný s osou tyče, pootočí se tento onec vzhledem upevněnému onci o úhel, pro terý platí lm. (3) 4 Gr Tato rovnice vyplývá z rovnice (), dosadíme-li za direční moment D hodnotu 4 Gr D, (4) l jež platí pro tyč ruhového průřezu o poloměru r, délce l a materiálu s modulem pružnosti ve smyu G. Z rovnice (3) dostaneme pa pro modul pružnosti ve smyu Postup měření: ) Sestavíme experimentální zařízení podle obr.. lm G. (5) r 4 Obr. Měření provedeme pro různé tyče (volíme různé materiály, dély a průřezy tyčí). Pro aždou tyč změříme pomocí siloměru moment síly pro různé vzdálenosti od osy a pro různé veliosti úhlů. Z naměřených hodnot vypočteme pro aždou tyč hodnotu modulu pružnosti v torzi G. ) Graficy znázorníme závislost modul pružnosti v torzi na materiálu, délce a průřezu tyče. 3) Proměřte a graficy znázorněte hysterezní řivu pro tyč z mědi (viz obr. pro průměr tyče d = mm a délu tyče l = 0,5 m).
Obr.