FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 2: Měření modulu pružnosti v tahu a ve smyku. Abstrakt

Transkript

1 FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Úoha : Měření moduu pružnosti v tahu a ve smyku Datum měření: Jméno: Jiří Sabý Pracovní skupina: 1 Ročník a kroužek:. ročník, 1. kroužek, pátek 13:30 Spoupracovaa: Eiška Grepová Hodnocení: Abstrakt Stanovii jsme moduy pružnosti v tahu a ve smyku různých oceových drátů. Pro každou konstantu jsme použii dvě různé metody. Výsedky se shodují nebo vemi bíží současným tabeovaným hodnotám. 1 Úvod V mechanice se používají dvě zákadní materiáové konstanty udávající chování těesa při deformacích. Na jednu z nich přiše roku 1660 Robert Hook [1] a úměru mezi napětím a reativním prodoužením dnes známe jako zákon pod jeho jménem. Konstanta úměrnosti označovaná jako E však nese jméno fyzika z přeomu 18. a 19. stoetí Thomase Younga Youngův modu pružnosti neboi modu pružnosti v tahu. Druhou konstantou je modu pružnosti ve smyku G. 1.1 Pracovní úkoy [] 1. Změřte závisost reativního dékového prodoužení / oceového drátu na napětí při zatěžování a odehčování drátu a sestrojte graf této závisosti. Vypočítejte metodou nejmenších čtverců modu pružnosti v tahu oceového drátu.. Změřte závisost průhybu z na veikosti síy F při zatěžování i odehčování oceového nosníku a narýsujte graf této závisosti. Metodou nejmenších čtverců vypočítejte modu pružnosti v tahu. O způsobu zpracování výsedků metodou nejmenších čtverců se dočtete v příoze tohoto [], která je přejatá z knihy [3]. 3. V přípravě odvoďte vzorec pro pošný moment setrvačnosti obdéníkového průřezu šířky a a výšky b. 4. Změřte závisost úhu zkroucení ϕ oceového drátu na veikosti kroutícího momentu při postupném zvětšování a postupném zmenšování tohoto momentu. Výsedky měření vyneste do grafu. Metodou nejmenších čtverců vypočtěte modu pružnosti ve smyku G drátu. 5. Na torzním kyvade změřte moment setrvačnosti zákadního systému I 0 a modu pružnosti ve smyku G oceového drátu. Dobu torzních kmitů změřte postupnou metodou. 6. V přípravě odvoďte vzorce pro výpočet moduu pružnosti ve smyku G a momentu setrvačnosti zákadního systému torzního kyvada I 0. Zákadní teoretické poznatky Mějme homogenní izotropní těeso např. ve tvaru kvádru. Upevníme-i jednu stranu a na druhou budeme působit siou F, bude za určitých podmínek (maé síy a maé deformace, které po odehčení zmizí) patit Hookův zákon pro tah σ = E, kde σ je napětí, E je konstanta úměrnosti - tzv. Youngův modu, jinak také modu pružnosti v tahu, je déka těesa a je rozdí mezi dékou po deformaci a počáteční dékou. Napětí σ můžeme vyjádřit buď pomocí aktuáního průřezu S nebo, pokud předpokádáme zachování objemu při deformaci, pomocí počátečního průřezu S 0, takže dostáváme Hookův zákon ve tvaru σ = F S = F S 0 1 (1 ) = E. (1) 1

2 1 Při vemi maé deformaci můžeme v rovnici (1) zomek zvoit roven jedné. Jestiže tedy protahujeme (1 ) těeso v jednom směru o, ve směru komém se bude rozměr a zmenšovat o a a to v poměru kde µ je tzv. Poissonovo číso. Obr. 1: Deformace těesa smykem a a = µ, Pokud bychom těeso nedeformovai tahem nýbrž smykem, což si můžeme představit napříkad na krychi tak, že spodní podstavu o poše S upevníme a na horní podstavu vzdáenou od doní o působíme siou F rovnoběžnou s podstavou jako na obr. 1, pak se posune horní podstava o δ. Původně pravý úhe mezi stěnami se změní na γ. Hookův zákon pro smyk je potom F S = Gδ a konstanta úměrnosti G se nazývá modu pružnosti ve smyku. Pro maé smykové deformace, kdy patí tgγ = γ, ze dáe upravit na tvar F S = Gγ. () K popisu pružnosti homogenního izotropního těesa se tedy používají tři materiáové konstanty: modu pružnosti v tahu (tzv. Youngův modu) E, modu pružnosti ve smyku (taktéž modu pružnosti v torzi) G a Poissonovo číso µ. Ty však nejsou nezávisé, vztah udává rovnice G = E (1 + µ) Dáe se zabývejme sožitější úohou o deformaci a to ohybem nosníku. Uvažujme pro jednoduchost (i když výsedek na tom nezávisí) nosník kruhového průřezu, ohnutý do tvaru kruhového obouku určeného pooměrem R, který je daeko větší toušťka nosníku. Podívejme se na průřez, jak to vypadá uvnitř nosníku viz obr.. Na vnějším kraji nosníku je materiá roztažen a na vnitřním stačen, takže existuje pocha, kde není nosník ani stačení ani roztažený a nazývá se neutrání. Vyjádřeme deformaci krátké části nosníku déky. Patí, že deformace je úměrná vzdáenosti od neutrání pochy, prodoužení je tedy úměrné y přes konstantu úměrnosti rovnou déce nosníku vyděené R. Z toho vypývá, že podí veikosti působící síy F na pošku S je pode Hookova zákona (1) F S = E y (3) R Pokud se podíváme bíže na momenty si, zjistíme, že v průřezu S vzniká ohybový moment M M = ydf (4) Pode rovnice (3) je df = Ey ds R, takže dosazením do (4) dostáváme M = E y ds, R S S Obr. : Boční a příčný pohed na nosník

3 což si můžeme přeznačit jako kde M = EI R, (5) I = S y ds (6) je pošný moment setrvačnosti geometrického příčného průřezu vzhedem k vodorovné ose procházející jeho těžištěm. Rovnice (5) udává vztah mezi ohybovým momentem M a křivostí nosníku 1 R. Vyřešme případ nosníku déky L upevněného na jedné straně, na jehož konci působí sía F. Označme si z průhyb ve vzdáenosti x od upevněného konce. Hedáme tedy průhyb v závisosti na vzdáenosti od upevnění z(x). Křivost 1 R ze spočítat ze vzorce 1 R = [ 1 + d z dx ( dz dx ) ] 3. (7) V našem případě maých průhybů můžeme v (7) zanedbat čen ( dz dx ) ve srovnání s jedničkou a obdržíme 1 R = d z dx (8) Dáe potřebujeme ohybový moment působící na nosník. Neuvažujme vastní tíhu nosníku, pak působí na konec nosníku jen sía F. Ohybový moment je roven M(x) = F (L x) Dosadíme-i za M do rovnice (5) a poté dosazením za 1 R do rovnice (8), dostaneme po úpravě d z dx = F (L x) EI Integrací předchozí rovnice získáme z(x) = F ( Lx ) EI x3 6 Použijeme-i předpokadů x = 0, z = 0 a dz/dx = 0. Průhyb konce je pak dán z(l) = F EI L 3 3 Dáe vyřešíme obdobnou úohu: nosník je uožen na dvou břitech ve vzdáenosti L viz obr. 3, opět nás zajíma průhyb v závisosti na pooze z(x). Účinek síy, působící ve středu nosníku, je stejný, jaký by vyvoay síy opačného směru o veikosti F na obou koncích nosníku, kdyby by nosník upevněn uprostřed. Dosadíme tedy do rovnice (5) za M(x) M(x) = F ( L x ), poté opět vyjádříme 1 R a dosadíme ho do (8). Po úpravě dostáváme d z dx = F ( L ) EI x Integrací za použítí okrajových podmínek (x = 0, dz dx = 0 a x = L/, z = 0) získáváme Obr. 3: Úoha o průhybu nosníku z(x) = F ( Lx ) EI 4 x3 F L3 6 48EI Průhyb středu nosníku bod 0 viz obr. 3 je tedy z(0) = F L3 48EI (9) 3

4 Pro náš případ nosníku s obdéníkovým průřezem o šířce a a výšce b potřebujeme odvodit pošný moment setrvačnosti I S. Spočítáme ho ze vzorce (6) a to a b/ I S = y ds = y dydx = 1 1 ab3. (10) S 0 b/ Pokud je sía F reaizována tíhovou siou nějakého těesa o hmotnosti m dostaneme z (9) a (10) výchyku nosníku s obdéníkovým průřezem z(0) = mgl3 4Eab 3 (11) Posední případ, který vyřešíme je torze váce. Váec o déce L a pooměru R je upevněn za spodní podstavu. Stočíme horní podstavu o úhe ϕ. Mírou torze je úhe stočení na jednotku déky α = ϕ L. Rozděíme váec na eementární hranoy o rozměrech rdψ, šířce dr a výšce d, tak jako na obr. 4. Každý eementární hrano je při torzi váce deformován smykem (zanedbáme-i otáčení koem osy váce). Pootočení spodní podstavy eementárního hranou vůči vrchní podstavě eementárního hranou je αd. Pro eementární hrano vzdáený o r od osy váce je posunutí spodní podstavy vůči horní δ = rαd a pro úhe smyku γ patí γ = δ = rα. Z Hookova zákona pro smyk () obdržíme vztah pro smykové napětí τ τ = Grα poté eement veikosti momentu síy vzhedem k ose váce dm vyvoaného eementárním hranoem Cekovou veikost momentu síy M získáme integrací M = π R 0 0 dm = rτds rτrdψdr = Gα πr4 = G πr4 L ϕ (1) Obr. 4: Smyk eementárního hranou v objemu váce 3 Experimentání uspořádání a metody 3.1 Pomůcky Stojan s indikátorovými hodinkami a oceovým drátem, zařízení na měření moduu pružnosti v tahu z průhybu nosníku, zařízení na měření moduu pružnosti ve smyku z torze drátu statickou a dynamickou metodou, mikrometr, měřítko, stopky, závaží, váhy. 3. Metodika měření 3..1 Měření moduu pružnosti v tahu E z prodoužení drátu Přímé měření E spočívá v měření prodoužení drátu déky. Drát je nejdříve vypnut tíhovou siou závaží o hmotnosti 0,5 kg a poté produžován tíhovou siou daších závažích. Produžování drátu se měří indikátorovými hodinkami, déka měřítkem, průměr drátu r mikrometrickým šroubem. Reativní prodoužení je v řádech tisícin, 1 takže ve vzorci (1) můžeme zomek poožit roven jedné. (1 ) 4

5 3.. Měření moduu pružnosti v tahu E z průhybu nosníku Nosník poožený na dvou břitech ve vzdáenosti L zatěžujeme postupně závažími a měříme průhyb okuárním mikrometrem. Průhyb o jeden díek odpovídá 0,053 mm. Rozměry nosníku a, b změříme mikrometrickým šroubem, případně posuvným měřítkem Měření moduu pružnosti ve smyku G torzí drátu statickou metodou Obr. 5: Experimentání úspořádání statické metody Modu pružnosti ve smyku G drátu déky L a pooměru R stanovíme ze vztahu (1) G = ML πr 4 ϕ, (13) kde ϕ je úhe stočení a M veikost momentu si. Úhe ϕ určíme ze stupnice na kotoučku o pooměru a, který je připevněn na spodním konci drátu pode obr. 5. Na kotoučku jsou připevněna vákna, na kterých jsou zavěšena závaží o hmotnosti m z, jejichž tíha m z g, kde g je tíhové zrychení, vytváří moment síy o veikosti M M = m z ga (14) Dosazením (14) do (13) získáváme výsedný vzorec G = m zgal πr 4 ϕ 3..4 Měření moduu pružnosti ve smyku G torzí drátu dynamickou metodou Na spodní konec drátu déky L a pooměru R je upevněna tyčka, na níž ze do různé vzdáenosti přidávat závažíčka vácového tvaru. Nechť I je moment setrvačnosti tyčky a přídavných závaží vzhedem k ose komé na tyčku a procházející jejím středem. Stočíme-i drát v rovině komé k ose drátu, bude na tyč působit moment síy o veikosti M = G πr4 ϕ = Kϕ, (15) L K se nazývá direkční moment. Tento moment M bude stáčet tyč zpět do rovnovážné poohy. Uvoníme-i tyč, bude vykonávat kmity koem rovnovážné poohy. Napíšeme pohybovou rovnici a její řešení ( ) I d ϕ K dt = Kϕ, ϕ(t) = Φ 0 sin I t + ϕ 0, kde Φ 0, ϕ 0 jsou integrační konstanty, t čas. Perioda kmitů T je potom určena I T = π K Ze znaosti doby kyvu torzního kyvada T, momentu setrvačnosti tyče a přídavných závaží I a rozměrů drátu L a R tedy můžeme vypočítat modu pružnosti ve smyku G materiáu, ze kterého je drát vyroben. Neznáme-i moment setrvačnosti I 0 samotné tyče, můžeme změřit doby kmitu T 1, T pro dvě různé poohy přídavných závaží, jejichž momenty setrvačnosti I 1, I známe. Získáme tak dvě rovnice pro výpočet moduu pružnosti ve smyku G a momentu setrvačnosti zákadního systému I 0. Modu pružnosti ve smyku určíme jednoduše vyjádřením K z rovnice (15) a taktéž z rovnice (16). Po úpravě dostaneme G = 8πL T R 4 I (17) Moment setrvačnosti I v dutého váce o pooměrech r 1, r, hmotnosti m a výšce v vzhedem k ose komé k ose rotace váce, která prochází hmotným středem váce je I v = m 4 ) (r1 + r + v 3 Odvodíme vzorec pro cekový moment setrvačnosti I našeho torzního kyvada sestávajícího se z tyčky o momentu setrvačnosti I 0 a dvou dvojic symetricky uožených váečkovitých závažíček o cekových momentech setrvačnosti I 1 (při druhém nastavení I ) a to pomocí Steinerovy věty. Parametry menších závaží označíme (16) 5

6 pooměr vnitřní r 1, pooměr vnější r, výška v, hmotnost m. Parametry větších závaží označíme pooměr vnitřní R 1, pooměr vnější R, výška V, hmotnost M. Při našem uspořádání by vnitřním váečkem ten těžší a větší a vzdáenost vnitřního kraje vnitřního závažíčka od úchytu anka jsme označii x 1 pro první nastavení závaží, resp. x pro druhé nastavení. Cekový moment setrvačnosti I vzhedem k ose jdoucí osou úchytného anka je I = I 0 + I 1() = I 0 + M (R 1 + R + V 3 ) + m ) ( (r1 + r + v + M x 1() + V ) ( + m x 1() + V + v ) (18) 3 Pokud změříme pro dvě různá nastavení závažíček, tj. dvě různá x 1 a x periody T 1 a T můžeme z úměrnosti ze vzorce (17) určit vztah a pak vyjádřit I 0 jako G I 1 + I 0 T 1 = I + I 0 T I 0 = I 1T I T1 T1 T (19) Poté už můžeme určit modu pružnosti ve smyku G. Dosazením hodnoty I 0 z rovnice (19) do rovnice (18) získáme I, pomocí kterého potom dosazením do rovnice (17) získáme kýžené G. Periody naměříme tzv. postupnou metodou. Postupná metoda se používá pro zpřesnění výpočtů periodických dějů, chceme-i určit periodu T. Pokud bychom počítai kasicky, tak ve výsedku použijeme pouze čas t 10, kdy dokmitne řekněme např. desátý kmit a vyděíme ho deseti, abychom dostai periodu T = t10 10 a úpně stejně odchyku. Použijeme-i postupnou metodu můžeme určit T s daeko větší přesností za využití hodnot změřených po každé dokončené periodě. Více se o této metodě dočtete v [4], zde uvedu pouze vzorec pro výsedek. Čas po každé dokončené i periodě označíme t i, mějme n = k měření, pak výsedek můžeme zapsat ve tvaru kde pod i rozumíme k T = t i+k t i ± 1 k k i = k k (t j+k t j ) (t i+k t i ). j=1 i k(k 1), (0) 3.3 Metoda nejmenších čtverců Data prvních tří měřících sestav máme zpracovávat metodou nejmenších čtverců (dáe MNČ). MNČ se používá k hedání koeficientů předpokádané závisosti y = funkce(x). Je zaožena na podmínce že n y i je minimání, y i je odchyka funkce(x i ) od naměřených hodnot y i. Pro ineární závisost y = ax s koeficientem úměrnosti a dostaneme z našich dat i rovnic typu y i = ax i y i. Uděáme kvadráty těchto rovnic a sečteme je, pak obdržíme n yi = a ( n ) n ) n a( x i y i + yi (1) Pravou stranu (1) si zadefinujeme jakožto A, z podmínky pro minimum v závisosti na a x i 0 = A ( n a = a x i ) ( n ) x i y i dostaneme n a = x iy i n x i Pokud se zajímáme o směrodatnou odchyku s a koeficientu a, uvedu bez důkazu výraz převzatý z [5] n (yi axi) () s a = n n x i ( n xi) n V případě měření moduu pružnosti přímou metodou můžeme použít vzorec () na Hookův zákon ve tvaru = 1 F E S, kde y i = i a x i = F S dostáváme E = (3) 4g n m i πd n m i i (4) 6

7 Druhá úoha měření moduu pružnosti v tahu z průhybu nosníku, výsedek získáme stejnou metodou jako v předešém případě a to z rovnice (11), kde bereme z tentokrát jako funkci s proměnnou hmotností m tedy z(m) = gl3 4Eab 3 m, po apikaci MNČ dostaneme E = gl3 n m i 4ab 3 n m iz i (5) I třetí úoha se řeší MNČ. Vezmeme rovnici (1), torzní moment M je pode ni roven M(ϕ) = GπR4 L ϕ. Po použití MNČ získáváme G = 4gaL n m i πr 4 n m (6) iϕ i 4 Výsedky Ve všech úohách je počítáno s tíhovým zrychením v Praze g = 9, 81 m s [6]. 4.1 Měření moduu pružnosti v tahu E z prodoužení drátu Nejdříve jsme určii průměr drátu d = (1, 95 ± 0, 10) 10 1 mm a déku drátu = (1, 09 ± 0, 001) m. Násedně jsme změřii pro každou hodnotu zatížení siou F prodoužení, data jsou uvedena v tab. 1. Graf závisosti reativního dékového prodoužení drátu na napětí τ naeznete na obr. 6. Poté ze vzorce (4) určíme pro zatěžování E = (197 ± 1) GPa a pro odehčování E = (196 ± ) GPa. Chybu jsme určii pomocí vzorce (3) [ ] zatěžování odehčování τ [MPa] Obr. 6: Závisost reativního dékového prodoužení drátu na napětí τ 4. Měření moduu pružnosti v tahu E z průhybu nosníku Nejdříve jsme změřii rozměry nosníku a = (1, 00 ± 0, 01) cm a b = (3, 95 ± 0, 01) mm a vzdáenost břitů L = (0, 500 ± 0, 001) m. Dáe jsme změřii průběh průhybu nosníku při zatěžování a odtěžování, data naeznete v tab. a sestrojii graf na obr. 7 závisosti průhybu z na veikosti tíhy zavěšených závaží F. Ze vzorce (5) určíme pro zatěžování E = (06 ± 4) GPa a pro odehčování E = (05 ± 9) GPa. 7

8 m [g] 10 4 [m] τ [MPa] 10 4 [ ] 100,9 1,7 33 1,7 01,3 3,5 66 3,4 301,9 5, 99 5,1 40,3 7,0 13 6,8 503,0 8, ,5 603,9 10, ,0 704,7 1,0 3 11,7 805,5 13, ,4 906,4 15, ,1 1007, 17, ,8 1107,5 18, ,4 m [g] 10 4 [m] τ [MPa] 10 4 [ ] 1107,5 18, ,4 1007, 17, ,9 906,4 15, ,3 805,5 13, ,5 704,7 1, 3 11,9 603,9 10, ,1 503,0 8, ,6 40,3 7,1 13 6,9 301,9 5,5 99 5,3 01,3 3,5 66 3,4 100,9 1,8 33 1,7 a) b) Tab. 1: Experimentáně získané hodnoty reativního prodoužení drátu a) při zatěžování b) při odehčování m [g] z 10 4 [m] F [N] 100,9 -, 0,99 01,3-4,6 1,97 301,9-7,0,96 40,3-9,6 3,95 503,0-1,1 4,93 603,9-14,7 5,9 704,7-17,1 6,91 805,5-19,7 7,90 m [g] z 10 4 [m] F [N] 805,5-19,7 7,90 704,7-17,5 6,91 603,9-14,8 5,9 503,0-1,3 4,93 40,3-9,6 3,95 301,9-7,0,96 01,3-4,0 1,97 100,9-1,3 0,99 a) b) Tab. : Experimentáně získané hodnoty průhybu nosníku a) při zatěžování b) při odehčování z 10 1 [mm] zatěžování odehčování Obr. 7: Závisost průhybu z oceového nosníku na tíze zavěšených závaží F F [N] 8

9 4.3 Měření moduu pružnosti ve smyku G torzí drátu statickou metodou Nejdříve jsme změřii pooměr kotoučku a = (, 00 ± 0, 01) cm, déku drátu L = (0, 66 ± 0, 001) m a průměr drátu R = (1, 99 ± 0, 01) mm. Změřii jsme hodnoty úhu zkroucení ϕ v závisosti na hmotnosti zavěšených závažíček m, data jsou uvedena v tab. 3, graf závisosti úhu zkroucení ϕ na veikosti kroutícího momentu M naeznete na obr. 8. Pro násedný výpočet hodnoty G jsme použii vzorec (6). Obdržei jsme hodnoty pro zatěžování G = (91 ± 6) GPa a pro odehčování G = (83 ± 15) GPa. m [g] ϕ [ ] M [Nm] 100,6 13 0, ,1 1 0, ,9 3 0, ,8 43 0,15804 m [g] ϕ [ ] M [Nm] 40,8 43 0, ,9 39 0, ,1 7 0, ,6 14 0,03949 a) b) Tab. 3: Závisost úhu zkroucení ϕ na veikosti kroutícího momentu M a) při zatěžování b) při odehčování zvětšování momentu snižování momentu ϕ [ ] M 10 3 [Nm] Obr. 8: Závisost zkroucení ϕ oceového drátu na veikosti kroutícího momentu M 4.4 Měření moduu pružnosti ve smyku G torzí drátu dynamickou metodou V této úoze jsme musei změřit rozměry a hmotnosti zavážíček váečků. Parametry většího váečeku jsou R 1 = (3, 5 ± 0, 005) mm, R = (, 49 ± 0, 01) cm, V = (0, 8 ± 0, 1) mm, M = (175, 5 ± 0, 0) g; menší váeček r 1 = (3, 5±0, 005) mm, r = (1, 50±0, 01) cm, v = (0, 8±0, 1) mm, m = (43, 97±0, 0) g. Dáe jsme změřii déku závěsu kyvada L = (69, 7 ± 0, 1) cm a průměr drátu R = (0, 50 ± 0, 01) mm. Pro vzdáenost vnitřního závaží od středu tyčky x 1 = (8, 66 ± 0, 01) cm jsme vypočítai moment setrvačností soustavy vácových závaží a tyčky de vzorce (18). Periodu kmitů jsme změřii postupnou metodou. Periodu jsme tedy určii ze vzorce (0) T 1 = (13, 70 ± 0, 06) s. Stejným způsobem jsme pro nastavení vzdáenosti x = (6, 46 ± 0, 01) cm zjistii periodu T = (10, 91 ± 0, 05) s. Hodnoty časů po každé dokončené periodě pro první nastavení t (1) i a pro druhé nastavení t () i jsou uvedeny v tab. 4. Z rovnice (19) získáme hodnotu momentu setrvačnosti tyčky I 0 = (3, 7 ± 0, 7) 10 4 kg m, dosazením hodnoty I 0 do rovnice (18) získáme I, pomocí kterého potom dosazením do rovnice (17) získáme kýžený moment setrvačnosti ve smyku G. Číseně získáme G = (80 ± 7) GPa (7) 9

10 i [ ] t (1) i [s] t () i [s] 1 1,9 10,4 6,0 1,1 3 39,4 3, 4 53,1 4,9 5 66,8 53,9 6 80,4 64,6 7 94,6 75, ,8 86,3 9 11,8 97, , 109,3 Tab. 4: Hodnoty časů po dokončené periodě torzního kyvada v postupné metodě 5 Diskuze 5.1 Měření moduu pružnosti v tahu E z prodoužení drátu První a to přímou metodou jsme dostai vemi podobné hodnoty moduů pružnosti v tahu E jak při natahování E = (197 ± 1) GPa, tak při zkracování drátu E = (196 ± ) GPa. Intervay se překrývají. Reativní odchyky jsou 0,5 %, či v případě druhém 1 %. Srovnáme-i obvyke uváděnou hodnotu E tab = 10 GPa [6] s naší hodnotou, změřii jsme hodnotu o něco máo nižší. Reativní rozdí je 6 % ae vzhedem k tomu, že oceí je mnoho druhů s různými vastostmi, můžeme výsedek považovat za uspokojivý. 5. Měření moduu pružnosti v tahu E z průhybu nosníku Metodou průhybu nosníku jsme obdržei hodnoty moduu pružnosti v tahu E = (06 ± 4) GPa pro zatěžování a pro odehčování E = (05 ± 9) GPa. Opět se intervay překrývají, zajímavý je ae zváště průběh v druhém případě, kdy se nosník po zatížení vypruži a nakonec bez závaží jeho střed zůsta výše než by na začátku. Měření jsme kvůi tomuto jevu někoikrát zopakovai a vždy se stejným pozitivním výsedkem. Vzhedem k tomu, že bychom očekávai spíše opačný probém, kdy by se nosník nevráti po uvonění jednotivých závaží do původní poohy ae zůsta níže, je tento průběh vemi neočekávaný. Vysvětit zvýšení původní poohy ae uspokojivě nedokážeme. Srovnáme-i tabukovou hodnotu E tab s našimi hodnotami zjistíme, že zapadá do obou námi určených intervaů. 5.3 Měření moduu pružnosti ve smyku G torzí drátu statickou metodou Třetí metoda tentokrát pro měření moduu pružnosti ve smyku G. Protože pod kotoučkem byo vemi máo místa, mohy se uděat pouze čtyři měření pro zatěžování a čtyři pro odehčování. To se podepsao i na výsedných hodnotách a odchykách. Pro zatěžování jsme dostai G = (91 ± 6) GPa a pro odehčování G = (83 ± 15) GPa. Navíc drát by vemi tustý, což moho zapříčinit neideání závisost úhu zkroucení ϕ na momentu síy M. Daším probémem se nám zdáo uchycení závažíček přes reativně tustý provázek. Když se podíváme do [6] na tabukovou hodnotu zjistíme, že je udávána G tab = 80 GPa. To znamená, že při zatěžování tato hodnota neeží v našem intervau, zatímco při odtěžování ano. Ovšem i zde je na místě poznámka, že existují ocei s různými vastnostmi a moduy pružnosti ve smyku G. 5.4 Měření moduu pružnosti ve smyku G torzí drátu dynamickou metodou Při měření moduu pružnosti ve smyku G dynamickou metodou jsme nejdříve určii I 0 = (3, 7±0, 7) 10 4 kg m. Z této hodnoty jsme spočítai G = (80 ± 7) GPa. Reativní chyba měření je 8 %. Tabuková hodnota G tab je shodná s námi určenou hodnotou. 10

11 6 Závěr Různými metodami jsme určii moduy pružnosti v tahu E ocei. Metodou přímou jsme určii při natahování hodnotu E = (197 ± 1) GPa, při zkracování drátu E = (196 ± ) GPa, metodou průhybu nosníku jsme změřii E = (06 ± 4) GPa pro zatěžování a pro odehčování E = (05 ± 9) GPa. Různými metodami jsme určovai i moduy pružnosti ve smyku G ocei. Metodou statickou pro zatěžování jsme určii G = (91 ± 6) GPa a pro odehčování G = (83 ± 15) GPa, metodou dynamickou G = (80 ± 7) GPa. Neznai jsme však přesný typ ocei v jednotivých případech, a tak jsme nemohi určit, jak více či méně se bížíme opravdové hodnotě daného vzorku. Určii jsme pouze vztah k obvyke udávaným hodnotám. 7 Literatura [1] ŠTOLL, I., Dějiny fyziky, 1.vyd., Praha, 584 s, Prometheus, 009 [] FJFI ČVUT, Měření moduu pružnosti v tahu a moduu pružnosti ve smyku [onine], [cit. 13. října 009], [3] BROŽ, J., Zákady fyzikáních měření I, Praha, SPN, 1983 [4] KFY ZČU, Měření postupnou metodou [onine], [cit. 13. října 009], I/UF104/1/Postupna metoda.pdf [5] Katedra ACH PřfUPa Oomouc, Lineární regrese kaibrační přímky [onine], [cit. 13. října 009], [6] MIKULČÁK, J., Matematické, fyzikání a chemické tabuky & vzorce pro střední škoy, 1. vyd., Praha, 78 s, Prometheus,