MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým zpracováním dat a rozborem získaných výsledků. Data chápeme jako realizace náhodných veličin. Statistický soubor je množina všech sledovaných objektů, jednotlivé objekty nazýváme statistické jednotky. Počet všech prvků souboru se nazývá rozsah souboru. Rozlišujeme statistický soubor základní - množina všech objektů se sledovanou vlastností výběrový - je podmnožinou základního souboru, obsahuje objekty, ke kterým známe hodnoty sledovaných vlastností Sledovanou vlastnost nazýváme statistický znak. Rozlišujeme statistický znak kvantitativní - je vyjádřen číslem kvalitativní - není vyjádřen číslem
(Absolutní) četnost znaku je definována jako počet statistických jednotek se stejnou hodnotou znaku. Označme absolutní četnost hodnoty ξ i symbolem n i, platí m n i = n, kde n je rozsah souboru a m je počet všech hodnot. Relativní četnost hodnoty ξ i je definována vztahem v i = n i n. Platí m v i = 1. Pokud statistický znak nabývá příliš mnoha hodnot, rozděĺıme hodnoty do intervalů a potom používáme intervalové rozdělení četnosti. Intervaly mají zpravidla stejnou délku. Jejich počet určíme pomocí Sturgesova vzorce k = 1 + 3, 3log 10 n, kde k značí počet intervalů a n označuje rozsah souboru. Daný interval potom zpravidla reprezentuje jeho střed.
Charakteristiky statistického souboru Budeme rozlišovat charakteristiky polohy, charakteristiky variability, charakteristiky statistické závislosti. Značení: Data budeme označovat x 1, x 2,..., x n. Hodnoty znaku x budeme značit ξ 1, ξ 2,..., ξ m a jejich četnosti označíme n 1, n 2,..., n m. Vzestupně uspořádaná data označíme x (1), x (2),..., x (n).
Charakteristiky polohy 1. Aritmetický průměr x = 1 n x i nebo x = 1 n n i ξ i. 2. Harmonický průměr x H = n n 1 x i nebo x H = n n n i ξ i. Například průměrná rychlost je harmonickým průměrem rychlostí na jednotlivých úsecích. 3. Geometrický průměr x G = n x 1 x 2... x n = n ξ n 1 1 ξn 2 2... ξnm m. Používá se k výpočtu průměrné inflace, průměrného úroku, průměrného růstu výroby, HDP apod.
4. Medián je prostřední hodnota mezi uspořádanými daty. Med = x ( n+1 2 ), pokud n je liché. x ( n Med = 2) + x ( n 2 +1), pokud n je sudé. 2 5. Modus je hodnota s největší četností. 6. Dolní kvartil x ([ n x 0,25 = 4]) + x ([ n 4]+1), kde [ ] označuje celou část. 2 7. Horní kvartil x ([ 3n 4 ]) + x ([ 3n 4 ]+1) x 0,75 = 2
Charakteristiky variability 1. Rozsah souboru R = x (n) x (1). 2. Mezikvartilové rozpětí Q = x 0,75 x 0,25. 3. Výběrový rozptyl s 2 1 = = 1 n 1 1 n 1 (x i x) 2 = 1 n 1 n i (ξ i x) 2 = 1 n 1 xi 2 n n 1 x 2 n i ξi 2 n n 1 x 2
s 2 2 = 1 n = 1 n (x i x) 2 = 1 n xi 2 x 2 n i (ξ i x) 2 = 1 n 4. Výběrová směrodatná odchylka 5. Variační koeficient s 1 = s 2 1, nebo s 2 = n i ξi 2 x 2 v = s 1 x, nebo v = s 2 x s 2 2
Charakteristky statistické závislosti U každého objektu budeme sledovat znak x a znak y. Potom jsou data dána ve dvojicích, dvojice (x i, y i ) určuje zjištěné hodnoty pro i-tý objekt, nebo jsou data zadána pomocí hodnot (ξ i, η i ) a jejich četností n i. Výběrová kovariance cov (x, y) = 1 n = 1 n (x i x) (y i ȳ) = 1 n x i y i xȳ n i (ξ i x) (η i ȳ) = 1 n n i ξ i η i xȳ
Výběrový korelační koeficient ρ (x, y) = cov (x, y) s x s y, kde s x = s y = 1 n 1 n (x i x) 2 = 1 n (y i ȳ) 2 = 1 n n i (ξ i x) 2, n i (η i ȳ) 2
O znacích x a y řekneme, že jsou nezávislé, jestliže náhodné veličiny reprezentující tyto znaky jsou nezávislé. Jestliže jsou znaky nezávislé, potom ρ (x, y) 0. Jestliže ρ (x, y) není přibližně nulový, potom znaky x a y nejsou nezávislé. Jestliže ρ (x, y) 1, potom y závisí lineárně na x, tj. existují konstanty a a b takové, že y = ax + b.
Bodový odhad Jestliže X 1, X 2,... X n jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny, řekneme, že X 1, X 2,... X n je náhodný výběr. Realizace těchto náhodných veličin x 1, x 2,... x n nazýváme realizovaný náhodný výběr. Předpokládejme, že X 1, X 2,... X n je náhodný výběr z rozdělení, které závisí na parametru θ M. Libovolné ˆθ M se nazývá bodový odhad parametru θ. ˆθ M se nestranný odhad parametru θ, jestliže E ˆθ = θ.
VĚTA: Jestliže X 1, X 2,... X n je náhodný výběr a EX i = µ R, potom X = 1 n n X i je nestranný odhad parametru µ. Důkaz: E X = E 1 n n X i = 1 n n EX i = 1 n n µ = µ. VĚTA: Jestliže X 1, X 2,... X n je náhodný výběr a var X i = σ 2 R, potom s 2 = 1 n ( n 1 Xi X ) 2 je nestranný odhad parametru σ 2.
Maximálně věrohodný odhad Předpokládejme, že X = (X 1, X 2,... X n ) je náhodný výběr z rozdělení, které závisí na parametru θ M, x = (x 1, x 2,... x n ) je realizace tohoto náhodného výběru. Definujme věrohodnostní funkci předpisem L θ (x) = P θ (X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X n = x n ), pokud X i mají diskrétní rozdělení pravděpodobnosti P θ, a předpisem L θ (x) = Π n f θ (x i ), kde f θ je hustota X i, pokud X i mají spojité rozdělení pravděpodobnosti s parametrem θ. Maximálně věrohodný odhad parametru θ je definován: ˆθ = argmax θ M L θ (x) = argmax θ M ln L θ (x).