Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Transkript

1 Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz

2 Kovariance, momenty

3 Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:, cov, cov, cov D, cov D D D, cov D D D

4 Pro nezávislé veličiny, platí: Tvrzení o nezávislých veličinách 0, cov D D D D D D

5 Momenty náhodné veličiny: Definice momentů náhodné veličiny Centrované momenty náhodné veličiny: Normované momenty náhodné veličiny: k k M k k CM k k NM

6 Tvrzení o momentech Střední hodnota je prvním momentem. První centrální moment je vždy roven nule. Druhým centrálním momentem je rozptyl. První normovaný moment je roven nule a druhý normovaný moment je roven jedné. Třetí normovaný moment se nazývá koeficient šikmosti. Čtvrtý normovaný moment zmenšený o číslo 3 se nazývá koeficient špičatosti.

7 Momentová vytvořující funkce Definice: m z e z Platí: m z 0 1 z Pomocí derivací momentové vytvořující funkce v bodě 0 můžeme získat momenty náhodné veličiny. k m z M z0 k

8 Vlastnosti momentové vytvořující funkce Věta: Nechť a b, a 0. Pak platí: m bz z e m az Věta: Nechť náhodné veličiny i jsou nezávislé a Pak platí: m n i1 i z m z i

9 Diskrétní rozdělení

10 Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení A p Bi n; p Po Množina hodnot náhodných veličin s těmito rozděleními je nejvýše spočetná, hodnoty jsou izolované body na ose reálných čísel. Veličiny jsou definovány pomocí pravděpodobnostní funkce.

11 Definice alternativního rozdělení Definice: Nechť p je reálné číslo, 0 p 1. Budeme říkat, že náhodná veličina má alternativní rozdělení, a symbolicky zapisovat A p, právě tehdy, když nabývá hodnot x 0;1, a její pravděpodobnostní funkce má tvar: x 1 x P x p 1 p

12 Věta: Nechť. Pak platí, že Vlastnosti alternativního rozdělení A p p 1 1 z e p z m z k e p z m p M k 1 p p D

13 Definice binomického rozdělení Definice: Nechť p je reálné číslo, 0 p 1, n N. Budeme říkat, že náhodná veličina má binomické rozdělení, a symbolicky zapisovat Bi n; p, právě tehdy, když nabývá hodnot x 0 ; 1; ; ; n, a její pravděpodobnostní funkce má tvar: P x n x x nx p 1 p

14 Vlastnosti binomického rozdělení Věta: Nechť Bi n; p. Pak platí, že x P x 1 z n m z pe 1 p np n p np D n p 1 p np

15 Definice Poissonova rozdělení Definice: Nechť 0. Budeme říkat, že náhodná veličina má Poissonovo rozdělení, a symbolicky zapisovat Po, právě tehdy, když nabývá všech přirozených hodnot x 0;1; ;, a její pravděpodobnostní funkce má tvar: P x e x x!

16 Vlastnosti Poissonova rozdělení Věta: Nechť Po x m. Pak platí, že P x 1 z e D e z 1

17 Souvislosti diskrétních rozdělení Veličina s binomickým rozdělením je součtem nezávislých náhodných veličin s alternativním rozdělením. Pravděpodobnostní funkce Poissonovské veličiny je limitou pravděpodobnostní funkce binomické veličiny.

18 Spojitá rozdělení

19 Důležitá spojitá rozdělení pravděpodobnosti Rovnoměrné rozdělení xponenciální rozdělení Normální rozdělení Ro a; b x A; No ; Množina hodnot náhodných veličin s těmito rozděleními je interval na ose reálných čísel. Veličiny jsou definovány pomocí hustoty pravděpodobnosti.

20 Definice rovnoměrného rozdělení Definice: Nechť a, b jsou reálná čísla, a b. Budeme říkat, že náhodná veličina má rovnoměrné rozdělení, a symbolicky zapisovat Ro a; b, právě tehdy, když její hustota pravděpodobnosti má tvar: f x 1 pro x a; b b a f x 0 pro x a; b

21 Vlastnosti rovnoměrného rozdělení Věta: Nechť jestliže Ro a; b f x dx x a; b. Pak platí, že: 1, pak a b b a D 1 F x x b a a

22 Definice eponenciálního rozdělení Definice: Nechť jsou reálná čísla, 0. Budeme říkat, že náhodná veličina má exponenciální rozdělení, a symbolicky zapisovat x A;, právě tehdy, když její hustota pravděpodobnosti má tvar: A, f x 1 e xa pro x A; pro f x 0 x A;

23 Vlastnosti exponenciálního rozdělení Věta: Nechť x A;. Pak platí, že jestliže x f x dx A; 1, pak F x 1 e xa m z Az e 1 z A D

24 Definice normálního rozdělení Definice: Nechť jsou reálná čísla, 0. Budeme říkat, že náhodná veličina má normální rozdělení, a symbolicky zapisovat No ;, právě tehdy, když její hustota pravděpodobnosti má tvar:, 1 f x e pro x ; x

25 Vlastnosti normálního rozdělení Věta: Nechť No ;. Pak platí, že m f x dx z D e 1 z z

26 Další vlastnosti normálního rozdělení Nechť No ;,. a b, a 0 Pak platí, že No a b; a. No ; U No0;1 x No ; F x Nechť i No i ; nechť. jsou nezávislé, Pak platí, že No k i i ; ki i. i k i i

27 Děkuji za pozornost