Obsah 1 Creep 2 1.1 Úvod do problematiky............................. 2 1.2 Pevnostní charakteristiky p i creepu...................... 4 1.3 Fyzikální mechanismy creepu.......................... 5 1.4 Creep p i jednoosé napjatosti......................... 6 1.4.1 Návrhy funkcí nap tí, asu a teploty................. 7 1.4.2 Cyklické namáhání........................... 9 1.4.3 Creepová relaxace............................ 10 1.4.4 Ustálený a neustálený creep...................... 10 1.5 Creep p i víceosé napjatosti.......................... 11 Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz. 1
Kapitola 1 Creep 1.1 Úvod do problematiky Creep je typem asov závislé plastické deformace, stejn jako viskoplasticita. Nabývá na významu zvlá²t v p ípad dlouhodobého zat ºování za zvý²ených teplot. P i pokojové teplot jsou deformace v p ípad kov obvykle velmi malé, ale rostou se zvy²ující se teplotou. Významné deformace se objevují p i ( 1 4 ) násobku teploty tání. Creepová 3 7 deformace s asem roste aº do moºného lomu. Obrázek 1.1: Creepová k ivka deformace- as. Typická k ivka deformace- as pro p ípad jednoosého zatíºení zku²ebního vzorku konstantní silou p i konstantní teplot je na obrázku 1.1, odpovídající závislost rychlost deformace- as potom na obrázku 1.2. V okamºiku aplikace nap tí se okamºit objeví po áte ní deformace odpovídající elastické nebo elastoplastické deformaci podle velikosti zatíºení. S rostoucím asem rychlost deformace ε klesá. Potom se ustálí na konstantní hodnot. Po ur ité dob za ne rychlost deformace op t nar stat a dochází k nestabilnímu chování, jeº vede k lomu. Creepovou k ivku tedy m ºeme rozd lit na t i stádia: primární (tranzitní). Na po átku je rychlost deformace vysoká, s rostoucím asem v²ak dochází k jejímu poklesu. Tato fáze je relativn krátká. 2
Obrázek 1.2: Creepová k ivka rychlost deformace- as. sekundární (stacionární). Charakterizováno konstantní rychlostí deformace. Rozhodující z hlediska ºivotnosti konstrukce za podmínek creepu. terciální. Dochází k nár stu rychlosti deformace zap í in né po²kozováním materiálu a tedy oslabováním nosného pr ezu vzorku. Kon í lomem. Délka (doba) jednotlivých stádií závisí na materiálu. Creepové experimenty jsou obvykle provád ny za podmínek konstantní zat ºující síly. Pro primární a sekundární fázi je moºno zanedbat zm ny pr ezu vzorku a povaºovat nap tí za konstantní. Proto jsou creepové k ivky získané i ze zkou²ek p i konstantní síle ozna ovány jako charakteristiky p i konstantním nap tí. Obrázek 1.3: Creepové k ivky - závislost na velikosti nap tí a teploty. Creepové k ivky siln závisí na velikosti nap tí a teplot (obr 1.3). Creepová deformace se zv t²uje s nap tím a teplotou. Lze si pov²imnout, ºe v p ípad konstantní teploty existuje nap tí, p i kterém lze vliv creepu jiº zanedbat, deformace s asem neroste. Podobn p i konstantním nap tí existuje teplota, p i níº je efekt creepu jiº zanedbatelný. Podívejme se je²t blíºe na creepové k ivky p i konstantním nap tí pro rostoucí teploty. Podle charakteru lze k ivky rozd lit na: nízkoteplotní creep - probíhá p i (0, 2 0, 3) násobku teploty tání. Terciální stádium chybí. 3
vysokoteplotní creep - probíhá p i (0, 3 0, 5) násobku teploty tání. Vykazuje v²echny stádia creepu difúzní creep - probíhá p i (0, 5 0, 9) násobku teploty tání. Primární stádium p echází p ímo v terciální. Creepové mechanismy se uskute ují difúzí vakancí. Creepové zotavení. Pov²imn me si dále efektu, kdy je vzorek po ur itou dobu konstantn zat ºován, takºe se rozvine creep, a poté odleh en. Na obrázku 1.4 je zobrazena odezva materiálu. ƒasu t 1 odpovídá deformace ε (t 1 ). V tomto ase dojde k úplnému odleh ení. Deformace okamºit poklesne o velikost elastické deformace ε E. Posléze dochází k dal²ímu poklesu ε C R, jenº je funkcí asu. Tomuto jevu se íká creepové zotavení. Výsledná trvalá deformace ε F je dána vztahem ε F = ε ε E ε C R. (1.1) Obrázek 1.4: Creepové zotavení. Creepová relaxace. Dal²ím d leºitým jevem svázaným s creepem je creepová relaxace. Pokud je udrºována konstantní deformace, nap tí se s asem zmen²uje. P i po áte ním zatíºení vzorku σ 0 dojde k po áte ní deformaci ε 0. Pokud budeme tuto deformaci udrºovat konstantní, materiál bude mít odezvu znázorn nou na obrázku 1.5. Nap tí bude s asem klesat. Je moºné najít po áte ní nap tí, pro které je relaxace zanedbatelná. P íklad výpo tu poklesu nap tí p i relaxaci je uveden v sekci 1.4. Doposud bylo uvaºováno chování materiálu p i jednoosém tahovém zatíºení. Obvykle se p edpokládá, ºe creepová k ivka p i jednoosém tahu je stejná jako p i jednoosém tlaku. 1.2 Pevnostní charakteristiky p i creepu P i výb ru materiálu pro vysokoteplotní aplikace je nutné uvaºovat vliv creepu. Kovové konstruk ní materiály pouºívané pro za ízení pracující za zvý²ených teplot obecn obsahují legující prvky chrom, nikl, kobalt. Odolnost t chto materiál roste s obsahem t chto kov. S tím se pojí pojem ºárupevnost. Je to schopnost materiálu odolávat za daných vn j²ích podmínek dlouhodobému statickému namáhání p i zvý²ených i vysokých 4
Obrázek 1.5: Creepová relaxace. teplotách. Vliv zvý²ené teploty se projevuje i na jiné vlastnosti oxidace, korozní praskání. Dal²ím komplexn p sobícím faktorem je spolup sobení únavy a creepu. Creep zpravidla zp sobí urychlení únavového procesu. Dovolená nap tí v konstrukcích pracujících za vysokých teplot se neur ují z charakteristických hodnot daných mechanickými vlastnostmi za normálních teplot (mez kluzu, pevnosti), ale na základ dovolených deformací pro pot ebnou dobu. Hodnota nap tí, p i které dojde ke creepovému poru²ení nap. po 10 5 hodin (u kov ) se nazývá mez pevnosti p i creepu R mt 10 5 /T (T je teplota). Ze závislosti creepové deformace ε na p sobícím nap tí lze pro danou teplotu T a zvolený as (nap. 10 5 hodin) stanovit mez te ení p i creepu R mt 10 5 /ε/t. Nejobecn j²í zp sob zkou²ení creepových vlastností je jednoduché zav ²ení závaºí na zku²ební ty. Zkou²ky pro daný materiál se provád jí pro r zné teploty a nap tí. Doba trvání zkou²ek se m ºe m nit od minut aº po n kolik let. 1.3 Fyzikální mechanismy creepu Mechanismy zp sobující creep jsou pro r zné skupiny materiál velmi rozdílné. Dokonce i pro stejný materiál m ºe být mechanismus creepu r zný podle toho, jaké jsou podmínky zat ºování (teplota, nap tí). Základní p í inou asové závislosti deformace je pohyb atom, vakancí nebo molekul v pevné fázi vyvolaný tepelnou aktivací. Creepové chování materiálu je podmín no procesy, které pat í do kategorie difúze. Creep kovových materiál se realizuje dv ma základními mechanismy. Podle toho rozeznáváme: difúzní creep. Je aktivován p i vy²²ích teplotách a niº²ích nap tích. Dochází k pohybu v t²ího mnoºství atom difúznímu toku z oblastí namáhaných na tlak do tahových oblastí. disloka ní creep. Defekty (dislokace) krystalické m íºky kovové struktury p ekonávají p irozenou tuhost m íºky a odpor r zných p ím sí zabra ujících creepu a pohybují se po m íºce. P i nízkých nap tích se pohyb dislokací zastavuje nebo zpomaluje. 5
Difúze atom m ºe vyvolat uvoln ní dislokací a tak usnadnit trvalou deformaci. Disloka ní creep je tedy také ovládán difúzními procesy. Nejvýznamn j²ím mechanismem u v t²iny inºenýrských struktur je disloka ní creep. Obrázek 1.6: Mapa deforma ních mechanism. Dominance t chto mechanism v nap ové a teplotní oblasti m ºe být shrnuta do map deforma ních mechanism viz obrázek 1.6. Kaºdé z polí deforma ní mapy representuje obor podmínek namáhání, nap tí a teploty, za nichº p ispívá k rychlosti creepu rozhodující m rou jediný deforma ní mechanismus. 1.4 Creep p i jednoosé napjatosti Dále uvaºujme jednoosý creep v tahu. Hlavní úlohou matematické teorie creepu je sestavit vztahy, které popisují creep p i libovoln m nících se zát ºných podmínkách. Nejuºívan j²í p ístup je zaloºen na p edpokladu, ºe creepová odezva materiálu v jistém ase t závisí výhradn na velikosti asových prom nných. Creepovou k ivku lze zapsat ve tvaru ε C = n f i (σ) g i (t) h i (T ), (1.2) i=1 kde ε C je creepová deformace, f i je funkce nap tí σ, g i funkce asu t, h i funkce teploty T. Dále uvaºujme zjednodu²ený tvar ε C = f 1 (σ) f 2 (t) f 3 (T ), (1.3) kde f 1 p edstavuje funkci nap tí, f 2 funkci asu a f 3 funkci teploty. Tomuto vztahu se íká zákon creepu. Analogicky v p ípad plasticity je jako základní charakteristika k dispozici plastické k ivka. Pro moºnost aplikovat creepový zákon p i prom nném zat ºování a prom nných teplotních podmínkách je t eba ur it rychlost creepové deformace v daném ase ε C = εc t = f (σ, t, T ). (1.4) 6
Tato charakteristika se obvykle ur uje následujícím zp sobem ε C = εc t = f 1 (σ) df 2 (t) f 3 (T ), (1.5) dt Zanedbává se derivace nap tí a teploty vzhledem k asu, coº striktn platí pouze pro konstantní nap tí a teplotu. V praxi jsou konstrukce, u nichº je významný efekt creepu, obvykle dlouhodob zat ºovány na konstantní hladin nap tí p i konstantní teplot. Zm na t chto hodnot bývá náhlá. Za t chto podmínek je rovnice (1.5) p ijatelná. Tato rovnice representuje jeden ze základních vztah pouºívaných k modelování creepového efektu. Creep p i prom nném zatíºení. Uvaºujme p ípad, kdy je vzorek jednoose namáhán v ase t 0 = 0 aº t 1 konstantním nap tím σ 1, které se skokov zm ní na konstantní nap tí σ 2 (viz obr. 1.7). Teplotu zde uvaºujme za nem nnou. Konstantnímu zatíºení σ 1 odpovídá k ivka 1, konstantnímu zatíºení σ 2 k ivka 2. Po áte nímu zatíºení tedy odpovídá úsek OA k ivky 1. Pro modelování odezvy p i zm n nap tí existují dva základní p ístupy pro ur ení deformace ε C : asové zpev ování. P edpokládá se, ºe rychlost creepové deformace je funkcí nap tí, asu a teploty - rovnice (1.5). Tvar creepové k ivky tedy závisí na dosaºeném ase v okamºiku zm ny zatíºení. Creepová k ivka po zm n nap tí na σ 2 (úsek AB) tedy odpovídá posunuté k ivce A 2t B 2t (obr. 1.8). deforma ní zpev ování. P edpokladem je, ºe rychlost creepové deformace závisí na nap tí, akumulované creepové deformaci a teplot. Ve vztahu (1.5) se eliminuje as ε pomocí rovnice (1.3). Funkce asu se z této rovnice je f 2 = C f 1 (σ)f 3. Její inverzní (T ) podoba f2 1 se dosadí do funkce asu v (1.5) a získá se ε C = f 1 (σ) df [ 2 f 1 2 (ε C, σ, T ) ] f 3 (T ) = f ( σ, ε C, T ). (1.6) dt Tvar creepové k ivky tedy závisí na akumulované creepové deformaci v okamºiku zm ny zatíºení. Creepová k ivka po zm n nap tí na σ 2 (úsek AB) tedy odpovídá posunuté k ivce A 2s B 2s (obr. 1.9). Oba p ístupy jsou zaloºeny na stejných základních rovnicích. Favorizován bývá p ístup deforma ního zpev ování, protoºe podává výsledky bliº²í experiment m. Tento p ístup je zvlá²t vhodný pro modelování cyklického zat ºování. Je vhodný pro primární stádium creepu a krátkodobé zkou²ky. ƒasové zpev ování m ºe být korektní, pokud se uvaºuje pouze sekundární stádium creepu. V p ípad konstantního zatíºení jsou výsledky obou teorií shodné. 1.4.1 Návrhy funkcí nap tí, asu a teploty Návrhy funkce nap tí vystupující ve vztahu (1.3) jsou uvedeny v tabulce 1.1. Mocninný vztah dle Nortona dob e aproximuje creepová data p i niº²ích nap tích, pro vy²²í nap tí bývá p esn j²í exponenciální vztah dle Dorna. P ehled asových funkcí je v tabulce 1.2. Pro 7
nap tí 2 1 0 t 1 as Obrázek 1.7: Skoková zm n nap tí. primární stádium creepu v t²inou posta uje mocninný vztah dle Bayleyho. Jako funkce nap tí se pouºívá Arrheni v vztah vhodný pro men²í rozmezí teplot ( f 3 = exp Q ), (1.7) R T kde Q je aktiva ní energie, R Boltzmannova konstanta a T absolutní teplota. Aktiva ní energie je fyzikální konstanta. Vyjad uje míru potenciálové bariéry, kterou musí p ekonat atom i molekula, aby byly zm n na jejich poloha. Velikost aktiva ní energie se m ºe m nit vlivem mechanismu creepového te ení. Teplota má ale také vliv na konstanty ve funkcích nap tí a asu. Tabulka 1.1: Funkce nap tí f 1. m, m 1, m 2, A, B, D 1, D 2, K, σ 0 jsou materiálové konstanty. autor funkce f 1 autor funkce f ( 1 ) Norton K σ m σ Dorn C exp σ [ ( ) ] ( 0 ) σ σ Soderberg B exp σ 0 1 Johnson A sinh σ [ ( )] 0 m σ McVetty A sinh σ 0 Garofalo D 1 σ m 1 + D 2 σ m 2 Tabulka 1.2: Funkce asu f 2. a i, b, k, n, n i, q, G, H, Θ 1, Θ 2 jsou materiálové konstanty. autor funkce f 2 autor funkce f ( ) 2 Andrade 1 + b t 1 3 exp (k t) 1 Graham i a i t n i Bailey F t n Garofalo Θ 1 [1 exp ( Θ 2 t)] + ε S t McVetty G [1 exp ( q t)] + H t 8
B 2t 2 creepová deformace A 2t B 1 A 0 as Obrázek 1.8: Crepová k ivka dle teorie asového zpev ování p i skokové zm n nap tí. 1.4.2 Cyklické namáhání Pouºijme pro e²ení problému cyklického zat ºování v podmínkách creepu teorii deforma ního zpev ování. Uvaºujme, ºe creepová k ivka v tlaku je ozrcadlením creepové k ivky v tahu. Pro modelování pouºijeme modikované pravidlo zpev ování vyvinuté na Oak Ridge National Laboratory. Proto bývá toto kritérium také ozna ováno jako pravidlo O.R.N.L. P íklad pouºití tohoto kritéria je uveden dále pro p ípad prom nného nap tí dle obrázku 1.10. Výsledný pr b h deformace na obrázku 1.11b OA odpovídá k ivce p i zatíºení nap tím σ OA 1 (obr. 1.11a). Tlakovému zatíºení σ (výsledný pr b h AB) odpovídá k ivka p i zatíºení nap tím σ OB 2. Dosaºené zpevn ní ε C (A 1 ) v tahu není na k ivce 2 uvaºováno, protoºe se jedná o tlakové zatíºení. P i zm n na tahové nap tí σ je uvaºována akumulovaná kladná creepová deformace (ε C (A 1 ) ε C (B 2 )). Tímto rozdílem je denován bod B 3, takºe p íslu²ným posunutím obdrºíme výslednou k ivku. V p ípad, ºe by rozdíl(ε C (A 1 ) ε C (B 2 )) byl záporný, bod B 3 by odpovídal O. To znamená, ºe zpevn ní v tahu by bylo ztraceno. Pro praktické pouºití je vhodné zavést jako míru deforma ního zpev ování tzv. modikovanou creepovou deformaci ε H. Vztah (1.6) pak p ejde do podoby ε C = ε C ( σ, ε H, T ). (1.8) Pokud je materiál podroben v asovém intervalu t n, t n+1 tahu, pak ε H = ε C ε +, (1.9) kde ε + p edstavuje minimální creepovou deformaci dosaºenou v tlaku aº do asu t n. Pokud do té doby nebylo tlakové zatíºení, pak ε + = 0. ε H tedy p edstavuje na po átku intervalu akumulovanou creepovou deformaci v tahu korigovanou tlakem. Podobn, pokud je materiál v asovém intervalu t n, t n+1 namáhán tlakov, pak ε H = ε C ε, (1.10) kde ε p edstavuje maximální creepovou deformaci dosaºenou v tahu aº do asu t n. Pokud do té doby nebylo tahové zatíºení, pak ε = 0. ε H zde p edstavuje na po átku intervalu akumulovanou creepovou deformaci v tlaku korigovanou tahem. 9
2 creepová deformace A 2s A B 2s B 1 0 as Obrázek 1.9: Crepová k ivka dle teorie deforma ního zpev ování p i skokové zm n nap tí. 1.4.3 Creepová relaxace Uvaºujme vzorek podrobený podmínce konstantní deformace ε 0. Ur eme asový pr b h nap tí ve vzorku. Jedná se o p ípad creepové relaxace uvedený v sekci 1.1. Pro deformaci platí relaxa ní rovnice ε 0 = konst = ε E + ε C. (1.11) Do této rovnice dosadíme Hook v zákon Uvaºujme creepový zákon v mocninném tvaru potom dle teorie asového zpev ování σ 0 E = σ (t) E + εc. (1.12) ε C = C σ m t n, (1.13) ε C = C n σ m t n 1. (1.14) Pro dosazení tohoto vztahu provedeme asovou derivaci rovnice (1.12) 0 = 1 E dσ dt + dεc dt. (1.15) Po dosazení a vy e²ení diferenciální rovnice s uvaºováním po áte ní podmínky t = 0... σ = σ 0 obdrºíme vztah pro nap tí ve vzorku jako funkci asu 1 σ (t) = [σ 0 (1 m) E C t n ] 1 m. (1.16) 1.4.4 Ustálený a neustálený creep V p ípad, kdy je nap tí v sou ásti nem nné, hovo íme o ustáleném creepu. Pokud creep probíhá p i asov prom nném nap tí, pak se jedná o neustálený creep. 10
nap tí 0 t 1 t 2 as - Obrázek 1.10: P íklad cyklického zat ºování tah-tlak-tah. Obecn je v zatíºeném t les nap tí rozd leno s jistým gradientem. Proto dochází v podmínkách creepu i p i asov neprom nném vn j²ím zatíºení k asové zm n deformace a tedy k op tovnému p erozd lování nap tí po objemu t lesa. Postupn se proces p erozd lování nap tí ustaluje. Od jistého asového okamºiku je moºno rozd lení nap tí po objemu povaºovat za nem nné. Nastalo stádium ustáleného creepu. Tedy prvotní stádium neustáleného creepu p echází v kvaziustálený creep. 1.5 Creep p i víceosé napjatosti Zde bude zaveden creepový model pro obecnou napjatost isotropického kovu. P edstavuje zobecn ní podmínek jednoosého creepu. Toto zobecn ní je zaloºeno na experimentálních pozorováních. Jsou formulovány následující fakta a poºadavky, které musí vícerozm rný model spl ovat: 1. Creepová deformace je nestla itelná. 2. St ední nap tí nemá vliv na creepové deformace. 3. Hlavní sm ry rychlosti creepové deformace a nap tí jsou shodné. 4. Obecné vztahy se v podmínkách jednoosé napjatosti musí zredukovat na vztahy platné p i jednoosé napjatosti. Tyto poºadavky jsou analogické s poºadavky u plasticity, kde jsou jednoosé vztahy také zobecn ny pro víceosou napjatost. Navrhn me vztah vyjad ující úm rnost rychlosti creepové deformace a deviátorického nap tí ε C ij = γ S ij. (1.17) Tato konstitutivní rovnice spl uje poºadavky 1. aº 3. 11
creepová deformace A 1 pro ε C (A 1 ) B 3 ε C (A 1 ) - ε C (B 2 ) ε C (B 2 ) 0 = A 2 t 2 - t 1 t 1 as B 2 pro - creepová deformace A B 0 t 1 t 2 as Obrázek 1.11: Creepová k ivka p i cyklickém zat ºování tah-tlak-tah. P edpoklad 1. vyºaduje, aby ε C 11 + ε C 11 + ε C 11 = 0. Z toho vyplývá podmínka ε C 11 + ε C 11 + ε C 11 = 0. (1.18) Pokud do tohoto vztahu dosadíme (1.17), bude tato podmínka spln na. V rovnici (1.17) vystupuje deviátor nap tí, st ední nap tí tedy nemá na creepové deformace vliv a podmínka 2. je také spln na. Z denice (1.17) taktéº vyplývá, ºe sm ry ε C ij a S ij (a tedy i σ ij ) jsou shodné. Podmínka 3. je také spln na. Ur ení creepového multiplikátoru. efektivní rychlost creepové deformace Analogicky jako v teorii plasticity je zavedena ε C e = ( ) 1 2 3 εc ij ε C 2 ij. (1.19) Takºe p i jednoosé napjatosti platí ε C 11 0, ε C 22 = ε C 33 = 1 2 εc 11 a tedy εc e = ε C 11. 12
Vynásobme vztah (1.17) tak, aby jeho levé stran bylo moºno zavést ε C e potom je moºné tuto rovnici upravit do vztahu 2 3 εc ij ε C ij = 2 3 γ2 S ij S ij, (1.20) ( ε C e ) 2 = ( 2 3 γ ) 2 (σ e ) 2 (1.21) a po odmocn ní ε C e = 2 3 γ σ e. (1.22) Multiplikátor γ lze vyjád it jako γ = 3 2 ε C e σ e. (1.23) Ur uje se z jednoosé creepové k ivky γ = γ ( σ e, ε C e, T ). Vychází se ze závislosti (1.6), kde je ε C nahrazeno ε C e a σ nahrazeno σ e. Je tak spln na podmínka 4. Nap. pro creepový zákon v mocninném tvaru ε C e = C σe m t n (1.24) platí v p ípad teorie asového zpev ování nebo dle teorie deforma ního zpev ování ε C e = C n σ m e t n 1 (1.25) ε C e = C 1 n n σ m n e ( ε C e ) n 1 n. (1.26) Potom je γ = 3 2 C n σm 1 e t n 1 (1.27) nebo γ = 3 2 C 1 m n n n σ n e ( ε C e ) n 1 n. (1.28) 13
Literatura [1] Bathe, K.-J.: Finite Element Procedures, Prentice-Hall, 1996 [2] Boyle, J. T., Spence, J.: Stress Analysis for Creep, Butterworths, 1983 [3] Dunne, F., Petrinic, N.: Introduction to Computational Plasticity, Oxford University Press, 2005 [4] Koji, M., Bathe, K.-J.: Inelastic Analysis of Solids and Structures, Springer-Verlag, 2005 [5] Penny, R. K., Marriott, D. L.: Design for Creep, Chapman & Hall, 1995 14