Obsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz.
|
|
- Dušan Bláha
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Obsah 1 Viskoelasticita Modely viskoelastického materiálu Maxwell v model Kelvin v model Maxwell v-kelvin v model Model standardní pevné látky Model s mocninným vztahem Model Pronyho ady Zobecn ný Kelvin v model Model s nelineárním mocninným vztahem Lineární viskoelastický materiál Princip korespondence T írozm rný problém Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz. 1
2 Kapitola 1 Viskoelasticita Model viskoelastického materiálu kombinuje vlastnosti model elastického a viskózního materiálu. P i zatíºení elastického materiálu se jako odezva okamºit objeví deformace. Pokud je zatíºení nem nné, deformace z stává také nem nná. Po úplném odleh ení deformace zcela vymizí. Elastická deformace je tedy vratnou deformací. P i jednoosém zatíºení m ºeme zapsat vztah mezi deformací a nap tím " = D (1.1) resp. mezi nap tím a deformací = E" ; (1.2) kde D p edstavuje poddajnost a E modul pruºnosti. Mezi t mito veli inami je z ejm vztah D = 1 E : (1.3) Viskózní materiál te e p i konstantním zatíºení konstantní rychlostí deformace _" V = ; (1.4) kde je Newtonova viskozita, kterou m ºeme denovat = E : (1.5) p edstavuje asovou konstantu materiálu a E je po áte ní modul materiálu. Akumulovaná viskózní deformace " V = _" V dt není p i odleh ení vratná. Jak jiº bylo e eno, viskoelastický materiál kombinuje chování elastického a viskózního materiálu. Odezva takového materiálu na zatíºení je v²ak komplexn j²í, neº jen p idání viskózní deformace k elastické deformaci. 1.1 Modely viskoelastického materiálu Níºe uvedené materiálové modely p edstavují p ijatelnou aproximaci experimentáln pozorovaného chování materiál vykazujících viskózní chování. B ºnými experimenty pro ur ení materiálových dat jsou 2
3 creepový test. Je udrºováno konstantní nap tí a m ena zv t²ující se deformace. Pom r m ené deformace a aplikovaného nap tí je creepová poddajnost D(t) = "(t) : (1.6) relaxa ní test. Je udrºována konstantní deformace " a m eno nap tí nutné k udrºení této deformace. Pom r m eného nap tí a aplikované deformace je relaxa ní modul E(t) = (t) " : (1.7) P i skokovém zatíºení se objeví okamºit deformace odpovídající elastické deformaci. S rostoucím asem se deformace zv t²uje kombinací vratného a nevratného viskózního te ení. Pouze ideální krystalické materiály jsou elastické. V t²ina materiál vykazuje viskoelastické chování, pokud je pozorování uskute ováno po dostate n dlouhý asový úsek i p i dostate n vysoké teplot. Pro elastické materiály je poddajnost D konstantou a lze ji vyjád it inverzí modulu pruºnosti E dle rovnice (1.3). Platí proto vztah D E = 1 : (1.8) Pro viskoelastické materiály je creepová poddajnost D(t) funkcí asu stejn jako relaxa ní modul E(t). Relaxa ní modul se zavádí namísto modulu pruºnosti E. Jak bude ukázáno v podsekci 1.1.1, platí obdoba vztahu (1.8) i pro creepovou poddajnost a relaxa ní modul v Laplaceov oblasti. K tomu, abychom toho dosáhly, vyuºijeme Laplaceovu transformaci. Vztah mezi D a E je s 2 D(s)E(s) = 1 : (1.9) Protoºe D(s) i E(s) jsou algebraické funkce s, je moºné na vztahu (1.9) algebraicky operovat a získat 1 E(s) = s : (1.1) 2 D(s) Relaxa ní modul E(t) v asové domén je inverzí Laplaceovy transformace vztahu (1.1) E(t) = L 1 [E(s)] : (1.11) Podobn lze získat creepovou poddajnost D(t) z relaxa ního modulu E(t) " # D(t) = L 1 1 ; (1.12) s 2 L [E(t)] kde L [ ] p edstavuje Laplaceovu transformaci a L 1 [ ] inverzní Laplaceovu transformaci. Materiály s nevratnou viskózní deformací se obvykle nazývají tekutinami, s vratnou viskózní deformací pak pevnými látkami. Ilustrují to na p íklady materiálových model kombinujících Hook v elastický a Newton v viskózní len. 3
4 1.1.1 Maxwell v model Obrázek 1.1: Maxwell v model. Je tvo en sériovým spojením elastického a viskózního lenu (obr. 1.1). Rychlost deformace vyjad uje rovnice _" = _" V + _" E ; (1.13) po dosazení _" = (t) E + _ E : (1.14) D sledkem zatíºení je vratná elastická deformace a nevratná viskózní deformace. Creep. Je udrºováno nap tí = konst: Integrováním vztahu 1.14 vzhledem k asu obdrºíme ˆ "(t) = 1 t dt + : (1.15) E E Nap tí v pruºin i tlumi i je stejné, tudíº Z tohoto vztahu lze vyjád it creepovou poddajnost "(t) = E t + E : (1.16) D(t) = "(t) = 1 E + 1 E t : (1.17) Relaxace. K odvození relaxa ního modulu E(t) je vhodné vyuºít Laplaceovu transformaci vztahu (1.17) D(s) = s = + 1 : (1.18) se s 2 E s 2 E Relaxa ní modul E(s) je dle vztahu (1.1) E(s) = 1 s 2 D(s) = E s + 1 : (1.19) 4
5 Relaxa ní modul v ase je dán inverzí Laplaceovy transformace E(t) = E e t : (1.2) Pro as t = je E() = E po áte ní elastický modul materiálu. Pro as t = je E( ) = ; 368E, proto je ozna ováno jako asová konstanta materiálu Kelvin v model Obrázek 1.2: Kelvin v model. Vznikne paralelní kombinací elastického a viskózního lenu (obr. 1.2). Nap tí získáme z rovnice (t) = V (t) + E (t) ; (1.21) po vyjád ení nap tí v jednotlivých v tvích modelu (t) = E _"(t) + E"(t) : (1.22) Deformace Kelvinova modelu je vratnou deformací. K vymizení deformace p i odleh ení v²ak nedochází okamºit. Creep. rovnice P i konstantním nap tí = se z rovnice (1.22) stává oby ejná diferenciální = E _"(t) + E"(t) ; (1.23) jejímº e²ením je Creepová poddajnost je tedy "(t) = E D(t) = "(t) h i 1 e t = 1 E h i 1 e t : (1.24) : (1.25) 5
6 Relaxace. U Kelvinova modelu materiálu je moºný jen creepový test. Relaxa ní test by vyºadoval nekone n velké nap tí, aby byl tlumi ihned nataºen na hodnotu konstantní deformace. Relaxa ní modul lze odvodit pomocí Laplaceovy transformace z creepové poddajnosti, nikoliv p ímo. S vyuºitím vztahu (1.1) a jeho inverzní Laplaceovy transformace lze p i zavedení Heavisideovy funkce H a Diracovy funkce získat relaxa ní modul Heavisideova funkce je denována Diracova funkce je denována E(t) = EH(t) + E(t) : (1.26) H (t t ) = : : : t < t ; H (t t ) = 1 : : : t t : (1.27) (t t ) = 1 : : : t = t ; (t t ) = : : : t 6= t : (1.28) Maxwell v-kelvin v model Obrázek 1.3: Maxwell v-kelvin v model. Tento model je tvo en sériovým spojením Maxwellova a Kelvinova modelu (obr. 1.3). Creep. modelu Creepovou poddajnost získáme se tením poddajnosti Maxwellova a Kelvinova D(t) = 1 E E t + 1 E 2 1 e t 2 : (1.29) 6
7 Relaxace. E(t) = Relaxa ní modul lze odvodit ve tvaru " 1 2! E 2 t 1 exp T 1 T 1 P 2 1 4P ! E 2 exp T 2 t # T 2 ; (1.3) kde T 1 = 1 2P 2 P 1 + P 1 = P 1 + qp 21 4P 2 E 1 = E 1 ; 2 = E 2 ; qp 21 4P 2 ; T 2 = 1 P 1 2P 2 ; T 2 = 1 2P 2 P 1 qp 21 4P 2 ; qp 21 4P 2 : Model standardní pevné látky Obrázek 1.4: Model standardní pevné látky. Tento model je tvo en sériovým spojením Hookova a Kelvinova modelu (obr. 1.4). Creepovou poddajnost získáme se tením poddajnosti Hookova a Kelvinova mo- Creep. delu D(t) = 1 E + 1 E 2 1 e t 2 : (1.31) Relaxace. Relaxa ní modul lze získat ve tvaru kde E1 = E(t) = E1 + (E E1) e t(e +E 2 ) 2 E 2 ; (1.32) E 1 + E je rovnováºný modul v ase jdoucím k nekone nu. 7
8 1.1.5 Model s mocninným vztahem Bývá uºíván k popisu relativn krátkodobých deformací polymer. Relaxace. Relaxa ní modul je zaveden ve tvaru E(t) = At n : (1.33) Creep. Creepová poddajnost je ur ena pomocí Laplaceovy transformace D(t) = 1 E + D C (t) ; (1.34) kde D C (t) = [A (1 n) (1 + n)] sloºku. 1 t n a je Gamma funkce. Index C zna í creepovou Model Pronyho ady Pro popis dlouhodob j²ího creepu a relaxace polymer je vhodn j²í následující model E(t) = E1 + X i E i e t i ; (1.35) kde i jsou asové konstanty, E i relaxa ní moduly a E1 je rovnováºný modul (pokud existuje). Tento model aproximuje dob e chování materiálu, pokud má ada dostate n velký po et len Zobecn ný Kelvin v model P edstavuje alternativu k Pronyho ad z hlediska po tu parametr. Creepová poddajnost je vyjád ena vztahem majícím ty i parametry D(t) = D + D 1 1 e ( t ) m : (1.36) Model s nelineárním mocninným vztahem Doposud uvedené modely p edstavují lineární viskoelastický materiálový model. To znamená, ºe parametry modelu D (t) a E (t) nejsou funkcí nap tí. Deformace ve zvoleném ase je lineárn závislá na nap tí. Pokud je jakýkoliv parametr funkcí nap tí, materiál je nelineárn viskoelastický. Takovým modelem je nap íklad nelineární mocninný vztah ve tvaru _" = AT B D : (1.37) 8
9 1.1.9 Lineární viskoelastický materiál Viskoelastický materiál je lineární, pokud je moºná superpozice. Historie zatíºení je dána nap tím (t) = 1 (t) + 2 (t) : (1.38) Pokud deformace " 1 resp. " 1 odpovídá zatíºení 1 resp. 2, pak platí " (t) = " 1 (t) + " 2 (t) : (1.39) V p ípad lineární viskoelasticity jsou creepová poddajnost (1.6) a relaxa ní modul (1.7) nezávislé na nap tí. Pro nelineární materiály je creepová poddajnost funkcí nap tí D (t; ) a relaxa ní modul funkcí deformace E (t; "). Pokud je lineární materiál zatíºen v ase t = konstantním nap tím, pak deformace " (t) = D (t; ) pro t > : (1.4) Pokud bude nap tí postupn nar stat, pak podle Boltzmannova postulátu platí d " (t) = D (t; ) + D (t; ) d = D (t; ) + D (t; ) d : (1.41) d p edstavuje asovou historii, poddajnost D (t; ) je tedy funkcí aktuálního asu t a celé asové historie p edstavované. P edstavme si dv závislosti deformace na ase. První závislost je pro zatíºení v ase t = 1, druhá pro zatíºení v ase t = 2 ( 2 > 1 ). Pokud jsou ob závislosti stejné a jenom v i sob posunuté o asový úsek 2 1, pak lze konstatovat, ºe D (t; ) = D (t ) : (1.42) Tento vztah p edstavuje denici nestárnoucího materiálu. Vyjad uje nezávislost k ivky deformace- as na dob, která je spojitou funkcí < t zaznamenávající as kaºdého zatíºení. Nezáleºí tedy na tom, jak je materiál starý, ale na tom, jak dlouho trvá zatíºení ( asový úsek t ). Creepová poddajnost je odezva materiálu na zatíºení (nap tí) za ínající v okamºiku aplikace zatíºení. Pokud je zm na zatíºení postupná, pak platí ze vztahu (1.41) " (t) = Analogicky pro nap tí s vyuºitím relaxa ního modulu platí (t) = D (t ) _ () d : (1.43) E (t ) _" () d : (1.44) 9
10 1.1.1 Princip korespondence Laplaceova transformace funkce f (t) transformuje funkci z asové oblasti do Laplaceovy oblasti jako f (s). Je denována jako L [f (t)] = f (s) = Laplaceova transformace vztah (1.43) a (1.44) vede ke vztah m ˆ1 exp ( s t) f (t) dt : (1.45) L [" (t)] = " (s) = L [D (t)] L [ _ (t)] = s D (s) (s) ; (1.46) L [ (t)] = (s) = L [E (t)] L [ _" (t)] = s E (s) " (s) : (1.47) Vynásobením rovnice (1.46) rovnicí (1.47) obdrºíme s 2 D (s) E (s) = 1 (1.48) nebo po úprav s D (s) = [s E (s)] 1 : (1.49) s D (s) je tedy inverzí s E (s). Tento vztah je analogií rovnice platné v elasticit (1.3). Z toho vychází princip korespondence, který íká, ºe v²echny rovnice elasticity dostupné pro elastický materiál jsou platné i pro lineární viskoelastické materiály v Laplaceov oblasti po p enásobení pat i ných len s. 1.2 T írozm rný problém Pro e²ení t írozm rného problému lineární viskoelasticity lze vyuºít princip korespondence. Pro elastický isotropní materiál platí Hook v zákon kde = E (1+)(1 2), = G = E 2(1+). ij = 2" ij + " kk ij ; (1.5) Pro lineární viskoelastický isotropní materiál lze vyjád it konstitutivní vztah pomocí Lamého funkcí a ij (t) = 2(t ) _" ij d + (t ) _" kk ij d : (1.51) Pomocí konvolu ního teorému je Laplaceova transformace vztahu (1.51) ij (s) = s2(s)" ij (s) + s(s)" kk ij : (1.52) 1
11 Literatura [1] Barbero, E. J.: Finite Element Analysis of Composite Materials CRC Press, 28 [2] Dunne, F., Petrinic, N.: Introduction to Computational Plasticity, Oxford University Press, 25 [3] Koji, M., Bathe, K.-J.: Inelastic Analysis of Solids and Structures, Springer-Verlag, 25 [4] Lubliner, J.: Plasticity Theory, Dover Publications, 28 11
Obsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz.
Obsah 1 Viskoelasticita 2 1.1 Modely viskoelastického materiálu...................... 2 1.1.1 Maxwell v model............................ 4 1.1.2 Kelvin v model............................. 5 1.1.3 Maxwell
VíceObsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz.
Obsah 1 Creep 2 1.1 Úvod do problematiky............................. 2 1.2 Pevnostní charakteristiky p i creepu...................... 4 1.3 Fyzikální mechanismy creepu.......................... 5 1.4
VíceObsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz.
Obsah 1 lasticita 2 1.1 Základní pojmy................................. 2 1.1.1 K ivka plasticity............................ 3 1.1.2 Následná mez kluzu........................... 4 1.1.3 Bauschinger v
VíceLimity funkcí v nevlastních bodech. Obsah
Limity funkcí v nevlastních bodech V tomto letáku si vysv tlíme, co znamená, kdyº funkce mí í do nekone na, mínus nekone na nebo se blíºí ke konkrétnímu reálnému íslu, zatímco x jde do nekone na nebo mínus
VíceSkalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu
Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo
VíceErgodické Markovské et zce
1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme
Vícee²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody
e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody V praxi se asto setkávame s p ípady, kdy je pot eba e²it více rovnic, takzvaný systém rovnic, obvykle s více jak jednou neznámou.
VícePlasticita - ur ení parametr zpevn ní z tahové zkou²ky
Plasticita - ur ení parametr zpevn ní z tahové zkou²ky Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz 1 Postup p i ur ování parametr získání tahového diagramu p epo et na závislost nap tí - deformace (nebo plastická
VíceIntegrování jako opak derivování
Integrování jako opak derivování V tomto dokumentu budete seznámeni s derivováním b ºných funkcí a budete mít moºnost vyzkou²et mnoho zp sob derivace. Jedním z nich je proces derivování v opa ném po adí.
Více1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =
I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin
VíceVektory. Vektorové veli iny
Vektor je veli ina, která má jak velikost tak i sm r. Ob tyto vlastnosti musí být uvedeny, aby byl vektor stanoven úpln. V této ásti je návod, jak vektory zapsat, jak je s ítat a od ítat a jak je pouºívat
VíceObsah. Pouºité zna ení 1
Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního
Vícenazvu obecnou PDR pro neznámou funkci
Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R
VíceBinární operace. Úvod. Pomocný text
Pomocný text Binární operace Úvod Milí e²itelé, binární operace je pom rn abstraktní téma, a tak bude ob as pot eba odprostit se od konkrétních p íklad a podívat se na v c s ur itým nadhledem. Nicmén e²ení
VíceVYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými
VíceT i hlavní v ty pravd podobnosti
T i hlavní v ty pravd podobnosti 15. kv tna 2015 První p íklad P edstavme si, ºe máme atomy typu A, které se samovolným radioaktivním rozpadem rozpadají na atomy typu B. Pr m rná doba rozpadu je 3 hodiny.
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.
VíceVektor náhodných veli in - práce s více prom nnými
Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými 12. kv tna 2015 N kdy k popisu n jaké situace pot ebujeme více neº jednu náhodnou veli inu. Nap. v k, hmotnost, vý²ku. Mezi t mito veli inami mohou být
VícePr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce
Pr b h funkce I Maxima a minima funkce V této jednotce ukáºeme jak derivování m ºe být uºite né pro hledání minimálních a maximálních hodnot funkce. Po p e tení tohoto letáku nebo shlédnutí instruktáºního
VíceCo je to tensor... Vektorový prostor
Vektorový prostor Co je to tensor... Tato ást je tu jen pro p ipomenutí, pokud nevíte co je to vektorový prostor, tak tení tohoto textu ukon ete na konci této v ty, neb zbytek textu by pro Vás nebyl ni
VíceRovnice a nerovnice. Posloupnosti.
.. Veronika Sobotíková katedra matematiky, FEL ƒvut v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ 30. srpna 2018.. 1/75 (v reálném oboru) Rovnicí resp. nerovnicí v reálném oboru rozumíme zápis L(x) P(x), kde zna
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (3 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x))
Více1 Spojitý model. 1.1 Princip stochastického modelu
Spojitý model Veli iny v dopravním systému jsou náhodné posloupnosti indexované diskrétním asem t. V kaºdém asovém okamºiku to jsou náhodné veli iny, po zm ení dostaneme realizace náhodné veli iny. Tyto
VíceZákladní praktikum laserové techniky
Základní praktikum laserové techniky Fakulta jaderná a fyzikáln inºenýrská Úloha 4: Zna kování TEA CO 2 laserem a m ení jeho charakteristik Datum m ení: 1.4.2015 Skupina: G Zpracoval: David Roesel Kruh:
VíceI. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY
I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =
Více2. referát (Pruºnost a pevnost I.)
2. referát (Pruºnost a pevnost I.) 1 Zadání. 1 aº 16 Zadána je prutová konstrukce dle obrázku 1 sestávající se ze t í prut. Oba krajní pruty jsou vzhledem k symetrii ozna eny íslem 2, prost ední prut pak
Více1 Data. 2 Výsledky m ení velikostí. Statistika velikostí výtrus. Roman Ma ák
Statistika velikostí výtrus Roman Ma ák 6.2.216 1 Data Velikost výtrus (udávaná obvykle v µm) pat í u hub k významným ur ovacím znak m, mnohdy se dva druhy makromycet li²í dokonce pouze touto veli inou.
VíceJméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu.
Jméno: P íjmení: Datum: 7. ledna 28 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu. Rotující nádoba Otev ená válcová nádoba napln ná do poloviny vý²ky
VíceReologické modely technických materiálů při prostém tahu a tlaku
. lekce Reologické modely technických materiálů při prostém tahu a tlaku Obsah. Základní pojmy Vnitřní síly napětí. Základní reologické modely technických materiálů 3.3 Elementární reologické modely creepu
VíceStátnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny
Kapitola 1 Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny 1.1 Rekurzivn spo etné mnoºiny Denice (Rekurzivní a rekurzivn spo etná mnoºina) Charakteristická funkce mnoºiny M ozna uje charakteristickou
Více9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce. Únava a lomová mechanika Pavel Hutař, Luboš Náhlík
9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce Únava a lomová mechanika Faktor intenzity napětí Předpokládáme ostrou trhlinu namáhanou třemi základními módy zatížení Zredukujeme-li obecnou trojrozměrnou
VíceZměny deformací a napjatosti materiálu v čase (dny, týdny, roky, desetiletí,...) Materiály: beton, dřevo
Časově závislé chování materiálu, díl I. Změny deformací a napjatosti materiálu v čase (dny, týdny, roky, desetiletí,...) Materiály: beton, dřevo Jevy: dotvarování, smršt ování apod. Teorie: viskoelasticita
VíceUºivatelská p íru ka k programu SlaFoR verze 1.0
1 Uºivatelská p íru ka k programu SlaFoR verze 1.0 Toto je manuál k programu SlaFoR 1.0 (Slab Forces & Reinforcement), který byl vytvo en v rámci bakalá ské práce na kated e betonových a zd ných konstrukcí
Vícetuhost, elasticita, tvrdost, relaxace a creep, únava materiálu, reologické modely, zátěž a namáhání
tuhost, elasticita, tvrdost, relaxace a creep, únava materiálu, reologické modely, zátěž a namáhání Reologie obor mechaniky - zabývá obecnými mechanickými vlastnostmi látek vztahy mezi napětím, deformacemi
VíceDerivování sloºené funkce
Derivování sloºené funkce V tomto letáku si p edstavíme speciální pravidlo pro derivování sloºené funkce (te funkci obsahující dal²í funkci). Po p e tení tohoto tetu byste m li být schopni: vysv tlit pojem
VíceExponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
VíceDolní odhad síly pro ztrátu stability obecného prutu
ƒeské vysoké u ení technické v Praze 9. února 216 Vedoucí seminární práce: doc. RNDr. Ivana Pultarová, Ph.D. prof. Ing. Milan Jirásek, DrSc. Osnova 1 2 Cíl práce Cíl práce Nalézt velikost síly, která zp
VíceTesty pro více veli in
Kapitola 8 Testy pro více veli in 8.1 Testy parametr s více výb ry s p edpokladem normality dat 8.1.1 Testy s dv ma výb ry. P edpoklady: Pro spojité rozd lení normalita nebo velký výb r. Pro diskrétní
VíceTeorie her. Klasikace. Pomocný text
Pomocný text Teorie her Milí e²itelé, první ty i úlohy kaºdé série spojuje jisté téma a vám bude poskytnut text, který vás tímto tématem mírn provede a pom ºe vám p i e²ení t chto úloh. Teorie her, jiº
VíceAnalýza oběžného kola
Vysoká škola báňská Technická univerzita 2011/2012 Analýza oběžného kola Radomír Bělík, Pavel Maršálek, Gȕnther Theisz Obsah 1. Zadání... 3 2. Experimentální měření... 4 2.1. Popis měřené struktury...
Více2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4
Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P
Více1.7. Mechanické kmitání
1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického
VíceFyzikální praktikum 3
Ústav fyzikální elekotroniky P írodov decká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 3 Úloha 7. Opera ní zesilova Úvod Opera ní zesilova je elektronický obvod hojn vyuºívaný tém ve v²ech
VíceSemestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015:
Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015: 1. Vyzna te na globusu cestu z jihu Grónska na jih Afriky, viz Obrázek 1. V po áte ní a cílové destinaci bude zapíchnutý ²pendlík sm ující do st edu
VíceÚvod. Matematická ekonomie 1. Jan Zouhar. 20. zá í 2011
Úvod Matematická ekonomie 1 Jan Zouhar 20. zá í 2011 Obsah 1 Organizace kurzu 2 Nápl kurzu 3 Motiva ní p íklad na úvod 4 Úvod do matematického programování 5 Úvod do lineárního programování 6 Základní
VíceP íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost
P íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost 28. února 204 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VíceTeorie kategorií. Libor B hounek Verze ke dni 12. b ezna 2013.
Teorie kategorií Studijní materiál pro kurs ALGV00051 na FF UK v LS 2012/13 Dal²í informace: www.cs.cas.cz/behounek/teaching/cat12 Libor B hounek behounek@cs.cas.cz Verze ke dni 12. b ezna 2013. Organiza
VícePrezentace. Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009
Prezentace Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009 1 OBSAH OBSAH Obsah 1 Úvodní slovo 3 2 P íprava prezentace 4 2.1 Jak prezentace ned lat........................ 4 2.1.1 Kontrast písma a pozadí...................
VíceLineární algebra pro fyziky. Zápisky z p edná²ek. Dalibor míd
Lineární algebra pro fyziky Zápisky z p edná²ek Dalibor míd ƒást 1 První semestr KAPITOLA 1 Soustavy lineárních rovnic Nejjednodu²²í lineární rovnicí je Popisuje p ímku v rovin Podobn 1 Úvod 2x y = 3
VíceModelování v elektrotechnice
Katedra teoretické elektrotechniky Elektrotechnická fakulta ZÁPADOƒESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Modelování v elektrotechnice Pánek David, K s Pavel, Korous Luká², Karban Pavel 28. listopadu 2012 Obsah 1 Úvod
VíceBlízké a vzdálené pole intenzivn vyza ujících akustických zdroj nultého ádu
10. 12. íjna 2017 Blízké a vzdálené pole intenzivn vyza ujících akustických zdroj nultého ádu Karel Vokurka a a Jaroslav Plocek b a Technická univerzita v Liberci, katedra fyziky, Studentská 2, 461 17
VíceZáludnosti velkých dimenzí
Jan Vybíral KM/FJFI/ƒVUT 6. listopadu 2017 1/28 Warm-up Dva problémy na zah átí Geometrie R d Kolik bod je t eba rozmístit v jednotkové krychli [0, 1] d v dimenzi d, aby v kaºdém kvádru o objemu 1/10 leºel
Více6. Viskoelasticita materiálů
6. Viskoelasticita materiálů Viskoelasticita materiálů souvisí se schopností materiálů tlumit mechanické vibrace. Uvažujme harmonické dynamické namáhání (tzn. střídavě v tahu a tlaku) materiálu v oblasti
VíceReálná ísla a posloupnosti Jan Malý
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Obsah 1. Reálná ísla 1 2. Posloupnosti 2 3. Hlub²í v ty o itách 4 1. Reálná ísla 1.1. Úmluva (T leso). Pod pojmem t leso budeme v tomto textu rozum t pouze komutativní
VíceJevy, nezávislost, Bayesova v ta
Jevy, nezávislost, Bayesova v ta 17. b ezna 2015 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu rozumíte.
VíceKelvin v kapkový generátor
Kelvin v kapkový generátor Kry²tof Kadlec 1, Luká² Kune² 2, Luká² N me ek 3 1 Gymnázium Franti²ka Palackého, Vala²ské Mezi í í, krystoof.2@seznam.cz 2 Gymnázium, Zlatá stezka 137, Prachatice, kunamars@seznam.cz
Více11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
VíceFyzikální praktikum 3
Ústav fyzikální elektroniky P írodov decká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 3 Úloha 2. Studium termoelektronové emise Úkoly. Zm te za pokojové teploty odpor katody a odhadn te pom
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy paprskové a vlnové optiky, optická vlákna, Učební text Ing. Bc. Jiří Primas Liberec 2011 Materiál vznikl
VíceDYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT
DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT Doc. Ing. Daniel Makovička, DrSc.*, Ing. Daniel Makovička** *ČVUT v Praze, Kloknerův ústav, Praha 6, **Statika a dynamika konstrukcí, Kutná Hora 1 ÚVOD Obecně se dynamickým
Vícee²ení testu 1 P íklad 1 v 1 u 1 u 2 v 2 Mechanika a kontinuum NAFY listopadu 2016
e²ení testu Mechania a ontinuu NAFY00 8. listopadu 06 P ílad Zadání: Eletron o ineticé energii E se srazí s valen ní eletrone argonu a ionizuje jej. P i ionizaci se ást energie nalétávajícího eletronu
Vícec sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
VíceDigitální modely terénu.
Digitální modely terénu. Polyedrický model. Rastrový model. Plátový model. Plátování. Tomá² Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartograe. P írodov decká fakulta UK. Tomá²
VícePost ehy a materiály k výuce celku Funkce
Post ehy a materiály k výuce celku Funkce 1) Grafy funkcí Je p edloºeno mnoºství výukových materiál v programu Graph - tvary graf základních i posunutých funkcí, jejich vzájemné polohy, Precizní zápis
VíceZákladní pojmy teorie mnoºin.
Základní pojmy teorie mnoºin. Mnoºina je základní stavební kámen moderní matematiky, i kdyº se v matematice tento pojem uºívá velmi dlouho. Uº anti tí e tí geomet i denovali kruºnici jako mnoºinu bod mající
Více4 Viskoelasticita polymerů II - creep
4 Viskoelasticita polymerů II - creep Teorie Ke zkoumání mechanických vlastností viskoelastických polymerních látek používáme dvě nestacionární metody: relaxační test (podrobně popsaný v úloze Viskoelasticita
VícePráce s dokumentem. 1. Úvod do konstruování. 2. Statistické zpracování dat. 4. Analýza zatíºení a nap tí. Aktuální íslo revize: REV_40
Aktuální íslo revize: REV_0 Práce s dokumentem Jednotlivé opravy (revize) jsou v dokumentu Errata ozna eny popiskem REV_a íslo revize ƒíslování revizí je provedeno chronologicky asov, tak jak p icházely
VíceNauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti
Nauka o materiálu Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze kluzu R e, odpovídající
Více3 D leºitá rozd lení náhodné veli iny
3 D leºitá rozd lení náhodné veli iny Co to znamená, kdyº prohlásíme, ºe jsou n jaká d leºitá rozd lení? Rozd lení náhodné veli iny je její popis. A náhodná veli ina p edstavuje ur itý náhodný pokus (kde
VícePoptávka, Slutského rovnice, P ebytek spot ebitele, Rovnováha
Poptávka, Slutského rovnice, P ebytek spot ebitele, Rovnováha October 25, 2012 Individuální poptávka Poptávková funkce je vztah mezi optimálním mnoºstvím a cenami a p íjmem: x 1 = x 1 (p 1, p 2, m) x 2
VíceDVA ZÁKLADNÍ PROBLÉMY PLASTICITY KOVŮ
Úvod PLASTICITA DVA ZÁKLADNÍ PROBLÉMY PLASTICITY KOVŮ I. Návrh konstrukce z "mezního stavu Zahrnuje relativně malá plastická přetvoření často stejného řádu jako jsou souběžná elastická přetvoření. Analýza
VíceStátní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady
Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha.
VíceÚloha. 2 - Difrakce sv telného zá ení
Úloha. - Difrakce sv telného zá ení Difrakci sv tla lze charakterizovat jako chování vlnových polí, které není moºné popsat pomocí zákon geometrické optiky. Lze ji p iblíºit jako ohyb nebo odchylku sv
VíceMS měření teploty 1. METODY MĚŘENÍ TEPLOTY: Nepřímá Přímá - Termoelektrické snímače - Odporové kovové snímače - Odporové polovodičové
1. METODY MĚŘENÍ TEPLOTY: Nepřímá Přímá - Termoelektrické snímače - Odporové kovové snímače - Odporové polovodičové 1.1. Nepřímá metoda měření teploty Pro nepřímé měření oteplení z přírůstků elektrických
VíceMatice a e²ení soustav lineárních rovnic
Úvod Tato sbírka úloh z lineární algebry je ur ena student m Fakulty elektrotechniky a informatiky V B - Technické univerzity Ostrava T mto student m je p edev²ím ur eno skriptum profesora Zde ka Dostála
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 1MF varianta A tvrtek 19. listopadu 215, 13:215:2 ➊ (5 bod ) Nech f (x), g(x) L 1 () a f (x) dx = A, x f (x) dx = µ, Vypo ítejte, emu se rovná z( f g)(z) dz. g(x)
VíceOsvětlovací modely v počítačové grafice
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Semestrální práce z předmětu Matematické modelování Osvětlovací modely v počítačové grafice 27. ledna 2008 Martin Dohnal A07060 mdohnal@students.zcu.cz
Vícepokud A Rat(M), pak také A Rat(M).
Kone né automaty Pojem automat je historicky spojen s n jakou konstruktivní, algoritmickou procedurou rozhodující n jaký problém, i abstraktn ji e eno, rozhodující o tom, zda n jaký prvek pat í do dané
VíceKapitola 1. Teorie portfolia. 1.1 Výnos a riziko akcie
Kapitola 1 Teorie portfolia 1.1 Výnos a riziko akcie Výnosem akcie rozumíme míru zisku, která plyne z investice do akcie. Tento zisk se v t²inou skládá ze dvou sloºek kapitálového výnosu a výnosu z dividend.
Více1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost
(8 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i nezávislých hodech mincí a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost P ( X EX < ) (9 bod ) b) Formulujte centrální limitní v tu a pomocí ní vypo
Vícepracovní list studenta
Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Rovnice a jejich soustavy Petra Směšná žák měří dané veličiny, analyzuje a zpracovává naměřená data, rozumí pojmu řešení soustavy dvou lineárních rovnic,
VíceZákladní zapojení operačních zesilovačů
ákladní zapojení operačních zesilovačů ) Navrhněte a zapojte stejnosměrný zesilovač s operačním zesilovačem v invertjícím zapojení se zadanými parametry. ) Navrhněte a zapojte stejnosměrný zesilovač s
VíceZákladní praktikum laserové techniky
Základní praktikum laserové techniky Fakulta jaderná a fyzikáln inºenýrská Úloha 6: Nelineární transmise saturovatelných absorbér Datum m ení: 18.3.2015 Skupina: G Zpracoval: David Roesel Kruh: FE Spolupracovala:
Více1 Spo jité náhodné veli iny
Spo jité náhodné veli in. Základní pojm a e²ené p íklad Hustota pravd podobnosti U spojité náhodné veli in se pravd podobnost, ºe náhodná veli ina X padne do ur itého intervalu (a, b), po ítá jako P (X
VíceZATÍŽENÍ SNĚHEM A VĚTREM
II. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Cesta k pravděpodobnostnímu posudku bezpečnosti, provozuschopnosti a trvanlivosti konstrukcí 21.3.2001 Dům techniky Ostrava ISBN 80-02-01410-3
VíceZápado eská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných v d. Katedra kybernetiky. Datová analýza ve ejn dostupných meteorologických dat.
Západo eská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných v d Katedra kybernetiky Diplomová práce Datová analýza ve ejn dostupných meteorologických dat Plze, 2015 Michal Kubát Prohlá²ení P edkládám tímto k posouzení
VíceLineární harmonický oscilátor
FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM I FJFI ƒvut v Praze Úloha #1 Harmonické oscilace, Pohlovo torzní kyvadlo Datum m ení: 25.1.213 Skupina: 7 Jméno: David Roesel Krouºek: ZS 5 Spolupracovala: Tereza Schönfeldová Klasikace:
Více( ) Úloha č. 9. Měření rychlosti zvuku a Poissonovy konstanty
Fyzikální praktikum IV. Měření ryhlosti zvuku a Poissonovy konstanty - verze Úloha č. 9 Měření ryhlosti zvuku a Poissonovy konstanty 1) Pomůky: Kundtova trubie, mikrofon se sondou, milivoltmetr, měřítko,
VíceKatedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 16. ZÁKLADY LOGICKÉHO ŘÍZENÍ
Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 16. ZÁKLADY LOGICKÉHO ŘÍZENÍ Obsah 1. Úvod 2. Kontaktní logické řízení 3. Logické řízení bezkontaktní Leden 2006 Ing.
Víceízení Tvorba kritéria 2. prosince 2014
ízení. prosince 014 Spousta lidí má pocit, ºe by m la n co ídit. A n kdy to bývá pravda. Kdyº uº nás my²lenky na ízení napadají, m li bychom si poloºit následující t i otázky: ídit? Obrovskou zku²eností
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 6. prosince 2016, 13:2015:20 ➊ (8 bod ) Vy²et ete stejnom rnou konvergenci ady na mnoºin R +. n=2 x n 1 1 4n 2 + x 2 ln 2 (n) ➋ (5 bod ) Detailn
Více1 P edb ºné výsledky PIV m ení budoucí kalibra ní
1 P edb ºné výsledky PIV m ení budoucí kalibra ní trat 1.1 Úvod Váºení kolegové, jak jist víte, dne 13. února k nám byl doru en ventilátor pro kalibra ní tra pro tlakové sondy. Po dokon ení díla by za
VíceTROJFÁZOVÝ OBVOD SE SPOT EBI EM ZAPOJENÝM DO HV ZDY A DO TROJÚHELNÍKU
TROJFÁZOVÝ OBVOD E POT EBI EM ZAPOJENÝM DO HV ZDY A DO TROJÚHELNÍKU Návod do m ení Ing. Vít zslav týskala, Ing. Václav Kolá Únor 2000 poslední úprava leden 2014 1 M ení v trojázových obvodech Cíl m ení:
Vícee²ení 4. série Binární operace
e²ení 4. série Binární operace Úloha 4.1. V Hloup tínské jaderné elektrárn do²lo jednoho dne k úniku radioaktivního zá ení. Obyvatelé byli pro tento p ípad kvalitn vy²koleni v obran proti záke ným ásticím,
VíceVYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky. Matematika 2. pro technické obory. Petr Gurka, Stanislava Dvořáková
VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky Matematika 2 pro technické obory Petr Gurka, Stanislava Dvořáková 2019 Petr Gurka, Stanislava Dvořáková Matematika 2 pro technické obory 1. vydání
VíceMěření základních vlastností OZ
Měření základních vlastností OZ. Zadání: A. Na operačním zesilovači typu MAA 74 a MAC 55 změřte: a) Vstupní zbytkové napětí U D0 b) Amplitudovou frekvenční charakteristiku napěťového přenosu OZ v invertujícím
VíceStatistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY
Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického
VíceČíslicová technika 3 učební texty (SPŠ Zlín) str.: - 1 -
Číslicová technika učební texty (SPŠ Zlín) str.: - -.. ČÍTAČE Mnohá logická rozhodnutí jsou založena na vyhodnocení počtu opakujících se jevů. Takovými jevy jsou např. rychlost otáčení nebo cykly stroje,
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
Více