Obsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz.
|
|
- Zdenka Němečková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Obsah 1 Viskoelasticita Modely viskoelastického materiálu Maxwell v model Kelvin v model Maxwell v-kelvin v model Model standardní pevné látky Model s mocninným vztahem Model Pronyho ady Zobecn ný Kelvin v model Model s nelineárním mocninným vztahem Lineární viskoelastický materiál Princip korespondence T írozm rný problém Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz. 1
2 Kapitola 1 Viskoelasticita Model viskoelastického materiálu kombinuje vlastnosti model elastického a viskózního materiálu. P i zatíºení elastického materiálu se jako odezva okamºit objeví deformace. Pokud je zatíºení nem nné, deformace z stává také nem nná. Po úplném odleh ení deformace zcela vymizí. Elastická deformace je tedy vratnou deformací. P i jednoosém zatíºení m ºeme zapsat vztah mezi deformací a nap tím resp. mezi nap tím a deformací ε = Dσ (1.1) σ = Eε, (1.2) kde D p edstavuje poddajnost a E modul pruºnosti. Mezi t mito veli inami je z ejm vztah D = 1 E. (1.3) Viskózní materiál te e p i konstantním zatíºení konstantní rychlostí deformace ε V = σ η, (1.4) kde η je Newtonova viskozita, kterou m ºeme denovat η = τe. (1.5) τ p edstavuje asovou konstantu materiálu a E je po áte ní modul materiálu. Akumulovaná viskózní deformace ε V = ε V dt není p i odleh ení vratná. Jak jiº bylo e eno, viskoelastický materiál kombinuje chování elastického a viskózního materiálu. Odezva takového materiálu na zatíºení je v²ak komplexn j²í, neº jen p idání viskózní deformace k elastické deformaci. 1.1 Modely viskoelastického materiálu Níºe uvedené materiálové modely p edstavují p ijatelnou aproximaci experimentáln pozorovaného chování materiál vykazujících viskózní chování. B ºnými experimenty pro ur ení materiálových dat jsou 2
3 creepový test Je udrºováno konstantní nap tí σ a m ena zv t²ující se deformace. Pom r m ené deformace a aplikovaného nap tí je creepová poddajnost D(t) = ε(t) σ. (1.6) relaxa ní test Je udrºována konstantní deformace ε a m eno nap tí nutné k udrºení této deformace. Pom r m eného nap tí a aplikované deformace je relaxa ní modul E(t) = σ(t) ε. (1.7) P i skokovém zatíºení se objeví okamºit deformace odpovídající elastické deformaci. S rostoucím asem se deformace zv t²uje kombinací vratného a nevratného viskózního te ení. Pouze ideální krystalické materiály jsou elastické. V t²ina materiál vykazuje viskoelastické chování, pokud je pozorování uskute ováno po dostate n dlouhý asový úsek i p i dostate n vysoké teplot. Pro elastické materiály je poddajnost D konstantou a lze ji vyjád it inverzí modulu pruºnosti E dle rovnice (1.3). Platí proto vztah D E = 1. (1.8) Pro viskoelastické materiály je creepová poddajnost D(t) funkcí asu a je svázána s asov prom nným relaxa ním modulem E(t). Relaxa ní modul se zavádí namísto modulu pruºnosti E. Jak bude ukázáno v podsekci 1.1.1, platí obdoba vztahu (1.8) i pro creepovou poddajnost a relaxa ní modul D(t)E(t) = 1. (1.9) D(t) i E(t) jsou funkcí asu a proto nelze algebraicky operovat na vztahu (1.9), aby byla jedna veli ina vyjád ená explicitn pomocí druhé. K tomu, abychom toho dosáhly, vyuºijeme Laplaceovu transformaci. Obrazem rovnice (1.9) je s 2 D(s)E(s) = 1. (1.1) Protoºe D(s) i E(s) jsou algebraické funkce s, je moºné na vztahu (1.1) algebraicky operovat a získat 1 E(s) = s 2 D(s). (1.11) Relaxa ní modul E(t) v asové domén je inverzí Laplaceovy transformace vztahu (1.11) E(t) = L 1 [E(s)]. (1.12) Podobn lze získat creepovou poddajnost D(t) z relaxa ního modulu E(t) [ ] D(t) = L 1 1, s 2 (1.13) L [E(t)] kde L [ ] p edstavuje Laplaceovu transformaci a L 1 [ ] inverzní Laplaceovu transformaci. Materiály s nevratnou viskózní deformací se obvykle nazývají tekutinami, s vratnou viskózní deformací pak pevnými látkami. Ilustrují to na p íklady materiálových model kombinujících Hook v elastický a Newton v viskózní len. 3
4 1.1.1 Maxwell v model Obrázek 1.1: Maxwell v model. Je tvo en sériovým spojením elastického a viskózního lenu (obr. 1.1). Rychlost deformace vyjad uje rovnice ε = ε V + ε E, (1.14) po dosazení ε = σ(t) τe + σ E. (1.15) D sledkem zatíºení je vratná elastická deformace a nevratná viskózní deformace. Creep. Je udrºováno nap tí σ = konst. Integrováním vztahu 1.15 vzhledem k asu obdrºíme ε(t) = 1 ˆ t σ dt + σ. (1.16) τe E Nap tí v pruºin i tlumi i je stejné, tudíº Z tohoto vztahu lze vyjád it creepovou poddajnost ε(t) = σ τe t + σ E. (1.17) D(t) = ε(t) σ = 1 E + 1 τe t. (1.18) Relaxace. K odvození relaxa ního modulu E(t) je vhodné vyuºít Laplaceovu transformaci vztahu (1.18) D(s) = = sτ + 1. se s 2 τe s 2 (1.19) τe Relaxa ní modul E(s) je dle vztahu (1.11) E(s) = 1 s 2 D(s) = τe sτ + 1. (1.2) 4
5 Relaxa ní modul v ase je dán inverzí Laplaceovy transformace E(t) = E e t τ. (1.21) Pro as t = je E() = E po áte ní elastický modul materiálu. Pro as t = τ je E(τ) =, 368E, proto je τ ozna ováno jako asová konstanta materiálu Kelvin v model Obrázek 1.2: Kelvin v model. Vznikne paralelní kombinací elastického a viskózního lenu (obr. 1.2). Nap tí získáme z rovnice σ(t) = σ V (t) + σ E (t), (1.22) po vyjád ení nap tí v jednotlivých v tvích modelu σ(t) = τe ε(t) + Eε(t). (1.23) Deformace Kelvinova modelu je vratnou deformací. K vymizení deformace p i odleh ení v²ak nedochází okamºit. Creep. rovnice jejímº e²ením je P i konstantním nap tí σ = σ se z rovnice (1.23) stává oby ejná diferenciální Creepová poddajnost je tedy σ = τe ε(t) + Eε(t), (1.24) ε(t) = σ E [ ] 1 e t τ. (1.25) D(t) = ε(t) σ = 1 E [ ] 1 e t τ. (1.26) 5
6 Relaxace. U Kelvinova modelu materiálu je moºný jen creepový test. Relaxa ní test by vyºadoval nekone n velké nap tí, aby byl tlumi ihned nataºen na hodnotu konstantní deformace. Relaxa ní modul lze odvodit pomocí Laplaceovy transformace z creepové poddajnosti, nikoliv p ímo. S vyuºitím vztahu (1.11) a jeho inverzní Laplaceovy transformace lze p i zavedení Heavisideovy funkce H a Diracovy funkce δ získat relaxa ní modul Heavisideova funkce je denována Diracova funkce je denována E(t) = EH(t) + Eτδ(t). (1.27) H (t t ) =... t < t, H (t t ) = 1... t t. (1.28) δ (t t ) =... t = t, δ (t t ) =... t t. (1.29) Maxwell v-kelvin v model Obrázek 1.3: Maxwell v-kelvin v model. Tento model je tvo en sériovým spojením Maxwellova a Kelvinova modelu (obr. 1.3). Creep. modelu Creepovou poddajnost získáme se tením poddajnosti Maxwellova a Kelvinova D(t) = t + 1 [ ] 1 e t τ 2 E τ 1 E E 2. (1.3) 6
7 Relaxace. Relaxa ní modul lze odvodit ve tvaru E(t) = ( [( ) P1 2 1 η 1 η 2 ) ( 2 E 4P 2 η 1 2 exp t ) ( η 1 T 1 T 1 η 1 η 2 E 2 T 2 ) ( exp t ) ], (1.31) T 2 kde η 1 = E τ 1, η 2 = E τ 2, T 1 = 1 [ ] P 1 + P1 2 4P 2, T 2 = 1 2P 2 2P 2 P 1 = η ] [P 1 + P 1 2 4P 2, T 2 = 1 E 2P 2 [ P 1 P 2 1 4P 2 ] [ ] P 1 P 1 2 4P 2., Model standardní pevné látky Obrázek 1.4: Model standardní pevné látky. Tento model je tvo en sériovým spojením Hookova a Kelvinova modelu (obr. 1.4). Creepovou poddajnost získáme se tením poddajnosti Hookova a Kelvinova mo- Creep. delu D(t) = 1 E + 1 E 2 [ 1 e t τ 2 ]. (1.32) Relaxace. Relaxa ní modul lze získat ve tvaru E(t) = E + (E E ) e t(e +E 2 ) τ 2 E 2, (1.33) kde E = ( ) E 1 + E2 1 1 je rovnováºný modul v ase jdoucím k nekone nu. 7
8 1.1.5 Model s mocninným vztahem Bývá uºíván k popisu relativn krátkodobých deformací polymer. Relaxace. Relaxa ní modul je zaveden ve tvaru E(t) = At n. (1.34) Creep. Creepová poddajnost je ur ena pomocí Laplaceovy transformace D(t) = 1 E + D C (t), (1.35) kde D C (t) = [AΓ(1 n)γ(1 + n)] 1 t n a Γ je Gamma funkce. Index C sloºku. zna í creepovou Model Pronyho ady Pro popis dlouhodob j²ího creepu a relaxace polymer je vhodn j²í následující model E(t) = E + i E i e t τ i, (1.36) kde τ i jsou asové konstanty, E i relaxa ní moduly a E je rovnováºný modul (pokud existuje). Tento model aproximuje dob e chování materiálu, pokud má ada dostate n velký po et len Zobecn ný Kelvin v model P edstavuje alternativu k Pronyho ad z hlediska po tu parametr. Creepová poddajnost je vyjád ena vztahem majícím ty i parametry D(t) = D + D 1 [1 e ( t τ ) m]. (1.37) Model s nelineárním mocninným vztahem Doposud uvedené modely p edstavují lineární viskoelastický materiálový model. To znamená, ºe parametry modelu D (t) a E (t) nejsou funkcí nap tí. Deformace ve zvoleném ase je lineárn závislá na nap tí. Pokud je jakýkoliv parametr funkcí nap tí, materiál je nelineárn viskoelastický. Takovým modelem je nap íklad nelineární mocninný vztah ve tvaru ε = AT B σ D. (1.38) 8
9 1.1.9 Lineární viskoelastický materiál Viskoelastický materiál je lineární, pokud je moºná superpozice. Historie zatíºení je dána nap tím σ (t) = σ 1 (t) + σ 2 (t). (1.39) Pokud deformace ε 1 resp. ε 1 odpovídá zatíºení σ 1 resp. σ 2, pak platí ε (t) = ε 1 (t) + ε 2 (t). (1.4) V p ípad lineární viskoelasticity jsou creepová poddajnost (1.6) a relaxa ní modul (1.7) nezávislé na nap tí. Pro nelineární materiály je creepová poddajnost funkcí nap tí D (t, σ) a relaxa ní modul funkcí deformace E (t, ε). Pokud je lineární materiál zatíºen v ase t = θ konstantním nap tím σ, pak deformace ε (t) = σ D (t, θ ) pro t > θ. (1.41) Pokud bude nap tí postupn nar stat, pak podle Boltzmannova postulátu platí ε (t) = σ D (t, θ ) + θ D (t, θ) dσ = σ D (t, θ ) + θ D (t, θ) dσ dθ. (1.42) dθ θ p edstavuje asovou historii, poddajnost D (t, θ) je tedy funkcí aktuálního asu t a celé asové historie p edstavované θ. P edstavme si dv závislosti deformace na ase. První závislost je pro zatíºení v ase t = θ 1, druhá pro zatíºení v ase t = θ 2 (θ 2 > θ 1 ). Pokud jsou ob závislosti stejné a jenom v i sob posunuté o asový úsek θ 2 θ 1, pak lze konstatovat, ºe D (t, θ) = D (t θ). (1.43) Tento vztah p edstavuje denici nestárnoucího materiálu. Vyjad uje nezávislost k ivky deformace- as na dob θ, která je spojitou funkcí θ < t zaznamenávající as kaºdého zatíºení. Nezáleºí tedy na tom, jak je materiál starý, ale na tom, jak dlouho trvá zatíºení ( asový úsek t θ). Creepová poddajnost je odezva materiálu na zatíºení (nap tí) za ínající v okamºiku aplikace zatíºení. Pokud je zm na zatíºení postupná, pak platí ze vztahu (1.42) ε (t) = Analogicky pro nap tí s vyuºitím relaxa ního modulu platí σ (t) = D (t θ) σ (θ) dθ. (1.44) E (t θ) ε (θ) dθ. (1.45) 9
10 1.1.1 Princip korespondence Laplaceova transformace funkce f (t) transformuje funkci z asové oblasti do Laplaceovy oblasti jako f (s). Je denována jako L [f (t)] = f (s) = Laplaceova transformace vztah (1.44) a (1.45) vede ke vztah m ˆ exp ( s t) f (t) dt. (1.46) L [ε (t)] = ε (s) = L [D (t)] L [ σ (t)] = s D (s) σ (s), (1.47) L [σ (t)] = σ (s) = L [E (t)] L [ ε (t)] = s E (s) ε (s). (1.48) Vynásobením rovnice (1.47) rovnicí (1.48) obdrºíme nebo po úprav s 2 D (s) E (s) = 1 (1.49) s D (s) = [s E (s)] 1. (1.5) s D (s) je tedy inverzí s E (s). Inverzní transformací pak obdrºíme D (t) = [E (t)] 1. (1.51) Tento vztah je analogií rovnice platné v elasticit (1.3). Z toho vychází princip korespondence, který íká, ºe v²echny rovnice elasticity dostupné pro elastický materiál jsou platné i pro lineární viskoelastické materiály v Laplaceov oblasti. 1.2 T írozm rný problém Pro e²ení t írozm rného problému lineární viskoelasticity lze vyuºít princip korespondence. Pro elastický isotropní materiál platí Hook v zákon kde λ = νe (1+ν)(1 2ν), µ = G = E 2(1+ν). σ ij = 2µε ij + λε kk δ ij, (1.52) Pro lineární viskoelastický isotropní materiál lze vyjád it konstitutivní vztah pomocí Lamého funkcí λ a µ σ ij (t) = 2µ(t θ) ε ij dθ + λ(t θ) ε kk δ ij dθ. (1.53) Pomocí konvolu ního teorému je Laplaceova transformace vztahu (1.53) σ ij (s) = s2µ(s)ε ij (s) + sλ(s)ε kk δ ij. (1.54) 1
11 Literatura [1] Barbero, E. J.: Finite Element Analysis of Composite Materials CRC Press, 28 [2] Dunne, F., Petrinic, N.: Introduction to Computational Plasticity, Oxford University Press, 25 [3] Koji, M., Bathe, K.-J.: Inelastic Analysis of Solids and Structures, Springer-Verlag, 25 [4] Lubliner, J.: Plasticity Theory, Dover Publications, 28 11
Obsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz.
Obsah 1 Viskoelasticita 2 1.1 Modely viskoelastického materiálu...................... 2 1.1.1 Maxwell v model............................ 4 1.1.2 Kelvin v model............................. 5 1.1.3 Maxwell
VíceObsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz.
Obsah 1 Creep 2 1.1 Úvod do problematiky............................. 2 1.2 Pevnostní charakteristiky p i creepu...................... 4 1.3 Fyzikální mechanismy creepu.......................... 5 1.4
VíceObsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz.
Obsah 1 lasticita 2 1.1 Základní pojmy................................. 2 1.1.1 K ivka plasticity............................ 3 1.1.2 Následná mez kluzu........................... 4 1.1.3 Bauschinger v
VíceSkalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu
Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo
VíceLimity funkcí v nevlastních bodech. Obsah
Limity funkcí v nevlastních bodech V tomto letáku si vysv tlíme, co znamená, kdyº funkce mí í do nekone na, mínus nekone na nebo se blíºí ke konkrétnímu reálnému íslu, zatímco x jde do nekone na nebo mínus
VíceZměny deformací a napjatosti materiálu v čase (dny, týdny, roky, desetiletí,...) Materiály: beton, dřevo
Časově závislé chování materiálu, díl I. Změny deformací a napjatosti materiálu v čase (dny, týdny, roky, desetiletí,...) Materiály: beton, dřevo Jevy: dotvarování, smršt ování apod. Teorie: viskoelasticita
VíceErgodické Markovské et zce
1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme
Více1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =
I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin
Vícee²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody
e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody V praxi se asto setkávame s p ípady, kdy je pot eba e²it více rovnic, takzvaný systém rovnic, obvykle s více jak jednou neznámou.
VíceVektor náhodných veli in - práce s více prom nnými
Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými 12. kv tna 2015 N kdy k popisu n jaké situace pot ebujeme více neº jednu náhodnou veli inu. Nap. v k, hmotnost, vý²ku. Mezi t mito veli inami mohou být
VíceCo je to tensor... Vektorový prostor
Vektorový prostor Co je to tensor... Tato ást je tu jen pro p ipomenutí, pokud nevíte co je to vektorový prostor, tak tení tohoto textu ukon ete na konci této v ty, neb zbytek textu by pro Vás nebyl ni
VíceVYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými
Vícenazvu obecnou PDR pro neznámou funkci
Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R
VíceTENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému
TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -
VícePlasticita - ur ení parametr zpevn ní z tahové zkou²ky
Plasticita - ur ení parametr zpevn ní z tahové zkou²ky Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz 1 Postup p i ur ování parametr získání tahového diagramu p epo et na závislost nap tí - deformace (nebo plastická
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (3 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x))
VíceReologické modely technických materiálů při prostém tahu a tlaku
. lekce Reologické modely technických materiálů při prostém tahu a tlaku Obsah. Základní pojmy Vnitřní síly napětí. Základní reologické modely technických materiálů 3.3 Elementární reologické modely creepu
VícePr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce
Pr b h funkce I Maxima a minima funkce V této jednotce ukáºeme jak derivování m ºe být uºite né pro hledání minimálních a maximálních hodnot funkce. Po p e tení tohoto letáku nebo shlédnutí instruktáºního
VíceT i hlavní v ty pravd podobnosti
T i hlavní v ty pravd podobnosti 15. kv tna 2015 První p íklad P edstavme si, ºe máme atomy typu A, které se samovolným radioaktivním rozpadem rozpadají na atomy typu B. Pr m rná doba rozpadu je 3 hodiny.
VíceIntegrování jako opak derivování
Integrování jako opak derivování V tomto dokumentu budete seznámeni s derivováním b ºných funkcí a budete mít moºnost vyzkou²et mnoho zp sob derivace. Jedním z nich je proces derivování v opa ném po adí.
Více1 Spojitý model. 1.1 Princip stochastického modelu
Spojitý model Veli iny v dopravním systému jsou náhodné posloupnosti indexované diskrétním asem t. V kaºdém asovém okamºiku to jsou náhodné veli iny, po zm ení dostaneme realizace náhodné veli iny. Tyto
VíceVektory. Vektorové veli iny
Vektor je veli ina, která má jak velikost tak i sm r. Ob tyto vlastnosti musí být uvedeny, aby byl vektor stanoven úpln. V této ásti je návod, jak vektory zapsat, jak je s ítat a od ítat a jak je pouºívat
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.
VíceObsah. Pouºité zna ení 1
Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního
VíceJméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu.
Jméno: P íjmení: Datum: 7. ledna 28 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu. Rotující nádoba Otev ená válcová nádoba napln ná do poloviny vý²ky
VícePráce s dokumentem. 1. Úvod do konstruování. 2. Statistické zpracování dat. 4. Analýza zatíºení a nap tí. Aktuální íslo revize: REV_40
Aktuální íslo revize: REV_0 Práce s dokumentem Jednotlivé opravy (revize) jsou v dokumentu Errata ozna eny popiskem REV_a íslo revize ƒíslování revizí je provedeno chronologicky asov, tak jak p icházely
Více2. referát (Pruºnost a pevnost I.)
2. referát (Pruºnost a pevnost I.) 1 Zadání. 1 aº 16 Zadána je prutová konstrukce dle obrázku 1 sestávající se ze t í prut. Oba krajní pruty jsou vzhledem k symetrii ozna eny íslem 2, prost ední prut pak
VíceBinární operace. Úvod. Pomocný text
Pomocný text Binární operace Úvod Milí e²itelé, binární operace je pom rn abstraktní téma, a tak bude ob as pot eba odprostit se od konkrétních p íklad a podívat se na v c s ur itým nadhledem. Nicmén e²ení
VíceLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP pondělí 23. března
VíceI. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY
I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =
Více7. Základní formulace lineární PP
p07 1 7. Základní formulace lineární PP Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně napěťovými parametry tělesa dělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární. Lineární pružnost vyšetřuje
VíceZákladní praktikum laserové techniky
Základní praktikum laserové techniky Fakulta jaderná a fyzikáln inºenýrská Úloha 4: Zna kování TEA CO 2 laserem a m ení jeho charakteristik Datum m ení: 1.4.2015 Skupina: G Zpracoval: David Roesel Kruh:
VíceRovnice a nerovnice. Posloupnosti.
.. Veronika Sobotíková katedra matematiky, FEL ƒvut v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ 30. srpna 2018.. 1/75 (v reálném oboru) Rovnicí resp. nerovnicí v reálném oboru rozumíme zápis L(x) P(x), kde zna
VíceDolní odhad síly pro ztrátu stability obecného prutu
ƒeské vysoké u ení technické v Praze 9. února 216 Vedoucí seminární práce: doc. RNDr. Ivana Pultarová, Ph.D. prof. Ing. Milan Jirásek, DrSc. Osnova 1 2 Cíl práce Cíl práce Nalézt velikost síly, která zp
VíceStátnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny
Kapitola 1 Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny 1.1 Rekurzivn spo etné mnoºiny Denice (Rekurzivní a rekurzivn spo etná mnoºina) Charakteristická funkce mnoºiny M ozna uje charakteristickou
Více1 P ílohy. 1.1 Dopln ní na tverec
1 P ílohy 1.1 Dopln ní na tverec Pouºívá se pro minimalizaci kvadratického výrazu nebo pro integraci v konvoluci dvou normálních rozd lení (tady má význam rozkladu normální sdruºené hp na podmín nou a
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 1MF varianta A tvrtek 19. listopadu 215, 13:215:2 ➊ (5 bod ) Nech f (x), g(x) L 1 () a f (x) dx = A, x f (x) dx = µ, Vypo ítejte, emu se rovná z( f g)(z) dz. g(x)
Více6. Viskoelasticita materiálů
6. Viskoelasticita materiálů Viskoelasticita materiálů souvisí se schopností materiálů tlumit mechanické vibrace. Uvažujme harmonické dynamické namáhání (tzn. střídavě v tahu a tlaku) materiálu v oblasti
VíceVlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti
Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze
VíceTesty pro více veli in
Kapitola 8 Testy pro více veli in 8.1 Testy parametr s více výb ry s p edpokladem normality dat 8.1.1 Testy s dv ma výb ry. P edpoklady: Pro spojité rozd lení normalita nebo velký výb r. Pro diskrétní
VíceFrikce pracovního trhu
12. listopadu 2010 Literatura Mandelman, F. S. - Zanetti F.: Technical Handbook - No. 1.: Estimating general equilibrium models: an application with labour market frictions Centre for Central Banking Studies,
VíceNelineární problémy a MKP
Nelineární problémy a MKP Základní druhy nelinearit v mechanice tuhých těles: 1. materiálová (plasticita, viskoelasticita, viskoplasticita,...) 2. geometrická (velké posuvy a natočení, stabilita konstrukcí)
VíceZáludnosti velkých dimenzí
Jan Vybíral KM/FJFI/ƒVUT 6. listopadu 2017 1/28 Warm-up Dva problémy na zah átí Geometrie R d Kolik bod je t eba rozmístit v jednotkové krychli [0, 1] d v dimenzi d, aby v kaºdém kvádru o objemu 1/10 leºel
Více1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost
(8 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i nezávislých hodech mincí a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost P ( X EX < ) (9 bod ) b) Formulujte centrální limitní v tu a pomocí ní vypo
Více9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce. Únava a lomová mechanika Pavel Hutař, Luboš Náhlík
9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce Únava a lomová mechanika Faktor intenzity napětí Předpokládáme ostrou trhlinu namáhanou třemi základními módy zatížení Zredukujeme-li obecnou trojrozměrnou
VíceRovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w
Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,
Více1 Data. 2 Výsledky m ení velikostí. Statistika velikostí výtrus. Roman Ma ák
Statistika velikostí výtrus Roman Ma ák 6.2.216 1 Data Velikost výtrus (udávaná obvykle v µm) pat í u hub k významným ur ovacím znak m, mnohdy se dva druhy makromycet li²í dokonce pouze touto veli inou.
Více3 D leºitá rozd lení náhodné veli iny
3 D leºitá rozd lení náhodné veli iny Co to znamená, kdyº prohlásíme, ºe jsou n jaká d leºitá rozd lení? Rozd lení náhodné veli iny je její popis. A náhodná veli ina p edstavuje ur itý náhodný pokus (kde
Vícetuhost, elasticita, tvrdost, relaxace a creep, únava materiálu, reologické modely, zátěž a namáhání
tuhost, elasticita, tvrdost, relaxace a creep, únava materiálu, reologické modely, zátěž a namáhání Reologie obor mechaniky - zabývá obecnými mechanickými vlastnostmi látek vztahy mezi napětím, deformacemi
VíceReálná ísla a posloupnosti Jan Malý
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Obsah 1. Reálná ísla 1 2. Posloupnosti 2 3. Hlub²í v ty o itách 4 1. Reálná ísla 1.1. Úmluva (T leso). Pod pojmem t leso budeme v tomto textu rozum t pouze komutativní
Více1.7. Mechanické kmitání
1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického
VíceZtráta stability prost podep eného Timo²enkova prutu
Ztráta stability prost podep eného Timo²enkova prutu ƒeské vysoké u ení technické v Praze 12. zá í 2016 Vedoucí seminární práce: prof. Ing. Milan Jirásek, DrSc. Osnova 1 2 3 4 Cíl práce Cíl práce Nalézt
VíceKONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška
1. Tahová zkouška Tahová zkouška se provádí dle ČSN EN ISO 6892-1 (aktualizována v roce 2010) Je nejčastější mechanickou zkouškou kovových materiálů. Zkoušky se realizují na trhacích strojích, kde se zkušební
Více3. AMPLITUDOVĚ MODULOVANÉ SIGNÁLY
3. AMPLITUDOVĚ MODULOVANÉ SIGNÁLY Modulací nazýváme proces při kterém je jedním signálem přetvář en jiný signál za účelem př enosu informace. Př i amplitudové modulaci dochází k ovlivňování amplitudy nosného
VíceNauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti
Nauka o materiálu Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze kluzu R e, odpovídající
VíceExponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
VíceDVA ZÁKLADNÍ PROBLÉMY PLASTICITY KOVŮ
Úvod PLASTICITA DVA ZÁKLADNÍ PROBLÉMY PLASTICITY KOVŮ I. Návrh konstrukce z "mezního stavu Zahrnuje relativně malá plastická přetvoření často stejného řádu jako jsou souběžná elastická přetvoření. Analýza
VíceDerivování sloºené funkce
Derivování sloºené funkce V tomto letáku si p edstavíme speciální pravidlo pro derivování sloºené funkce (te funkci obsahující dal²í funkci). Po p e tení tohoto tetu byste m li být schopni: vysv tlit pojem
VíceFyzikální praktikum 3
Ústav fyzikální elekotroniky P írodov decká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 3 Úloha 7. Opera ní zesilova Úvod Opera ní zesilova je elektronický obvod hojn vyuºívaný tém ve v²ech
VíceModelování v elektrotechnice
Katedra teoretické elektrotechniky Elektrotechnická fakulta ZÁPADOƒESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Modelování v elektrotechnice Pánek David, K s Pavel, Korous Luká², Karban Pavel 28. listopadu 2012 Obsah 1 Úvod
VíceZjednodušený 3D model materiálu pro maltu
Problémy lomové mechaniky IV. Brno, červen 2004 Zjednodušený 3D model materiálu pro maltu Jiří Brožovský, Lenka Lausová 2, Vladimíra Michalcová 3 Abstrakt : V článku je diskutován návrh jednoduchého materiálového
VíceÚloha. 2 - Difrakce sv telného zá ení
Úloha. - Difrakce sv telného zá ení Difrakci sv tla lze charakterizovat jako chování vlnových polí, které není moºné popsat pomocí zákon geometrické optiky. Lze ji p iblíºit jako ohyb nebo odchylku sv
Více5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32
5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi Tomá² Sala MÚ UK, MFF UK ZS 2017/18 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32 5.1 Funkce spojité
VíceSIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)
VíceBiomechanika a lékařské přístroje
Biomechanika a lékařské přístroje Projekt II Lukáš Horný lukas.horny@fs.cvut.cz Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky, ČVUT FS 2018 Projekt II: O co nám půjde? Otázky odpovědi Konstrukce model konstrukce
VíceProstorové konstrukce. neznámé parametry: u, v w. (prvky se středostranovými uzly)
Konečné prvk pro řešení 3D úloh Prostorové konstrukce neznámé parametr: u, v w volba různého počtu uzlů a neznámých v uzlech možnost zakřivených hran prvků (prvk se středostranovými uzl) Opakování: Geometrické
Více1 P edb ºné výsledky PIV m ení budoucí kalibra ní
1 P edb ºné výsledky PIV m ení budoucí kalibra ní trat 1.1 Úvod Váºení kolegové, jak jist víte, dne 13. února k nám byl doru en ventilátor pro kalibra ní tra pro tlakové sondy. Po dokon ení díla by za
Vícepokud A Rat(M), pak také A Rat(M).
Kone né automaty Pojem automat je historicky spojen s n jakou konstruktivní, algoritmickou procedurou rozhodující n jaký problém, i abstraktn ji e eno, rozhodující o tom, zda n jaký prvek pat í do dané
VíceKapitola 1. Teorie portfolia. 1.1 Výnos a riziko akcie
Kapitola 1 Teorie portfolia 1.1 Výnos a riziko akcie Výnosem akcie rozumíme míru zisku, která plyne z investice do akcie. Tento zisk se v t²inou skládá ze dvou sloºek kapitálového výnosu a výnosu z dividend.
Více2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4
Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P
Více11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
VíceUºivatelská p íru ka k programu SlaFoR verze 1.0
1 Uºivatelská p íru ka k programu SlaFoR verze 1.0 Toto je manuál k programu SlaFoR 1.0 (Slab Forces & Reinforcement), který byl vytvo en v rámci bakalá ské práce na kated e betonových a zd ných konstrukcí
Více7 Lineární elasticita
7 Lineární elasticita Elasticita je schopnost materiálu pružně se deformovat. Deformace ideálně elastických látek je okamžitá (časově nezávislá) a dokonale vratná. Působí-li na infinitezimální objemový
VíceÚvod. Matematická ekonomie 1. Jan Zouhar. 20. zá í 2011
Úvod Matematická ekonomie 1 Jan Zouhar 20. zá í 2011 Obsah 1 Organizace kurzu 2 Nápl kurzu 3 Motiva ní p íklad na úvod 4 Úvod do matematického programování 5 Úvod do lineárního programování 6 Základní
VíceTeorie her. Klasikace. Pomocný text
Pomocný text Teorie her Milí e²itelé, první ty i úlohy kaºdé série spojuje jisté téma a vám bude poskytnut text, který vás tímto tématem mírn provede a pom ºe vám p i e²ení t chto úloh. Teorie her, jiº
Vícee²ení testu 1 P íklad 1 v 1 u 1 u 2 v 2 Mechanika a kontinuum NAFY listopadu 2016
e²ení testu Mechania a ontinuu NAFY00 8. listopadu 06 P ílad Zadání: Eletron o ineticé energii E se srazí s valen ní eletrone argonu a ionizuje jej. P i ionizaci se ást energie nalétávajícího eletronu
VíceMatice a e²ení soustav lineárních rovnic
Úvod Tato sbírka úloh z lineární algebry je ur ena student m Fakulty elektrotechniky a informatiky V B - Technické univerzity Ostrava T mto student m je p edev²ím ur eno skriptum profesora Zde ka Dostála
VíceFAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ ZÁKLADY METODY KONEČNÝCH PRVKŮ Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/
VíceAnalýza oběžného kola
Vysoká škola báňská Technická univerzita 2011/2012 Analýza oběžného kola Radomír Bělík, Pavel Maršálek, Gȕnther Theisz Obsah 1. Zadání... 3 2. Experimentální měření... 4 2.1. Popis měřené struktury...
VíceP íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost
P íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost 28. února 204 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu
VíceTeorie kategorií. Libor B hounek Verze ke dni 12. b ezna 2013.
Teorie kategorií Studijní materiál pro kurs ALGV00051 na FF UK v LS 2012/13 Dal²í informace: www.cs.cas.cz/behounek/teaching/cat12 Libor B hounek behounek@cs.cas.cz Verze ke dni 12. b ezna 2013. Organiza
VícePrezentace. Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009
Prezentace Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009 1 OBSAH OBSAH Obsah 1 Úvodní slovo 3 2 P íprava prezentace 4 2.1 Jak prezentace ned lat........................ 4 2.1.1 Kontrast písma a pozadí...................
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 28. listopadu 2017, 9:2011:20 ➊ (8 bod ) Lze nebo nelze k rozhodnutí o stejnom rné konvergence ady ( 1) n+1 x ln(n) n 6 + n 2 x 4 na intervalu
VíceFyzikální praktikum 3
Ústav fyzikální elektroniky P írodov decká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 3 Úloha 2. Studium termoelektronové emise Úkoly. Zm te za pokojové teploty odpor katody a odhadn te pom
VíceStochastické Systémy. Ivan Nagy 1. Obsah
Stochastické Systémy Ivan Nagy 1 Obsah 1 Úvod 7 1.1 Opakování pravd podobnosti............................. 7 1.1.1 P íklad [náhodná veli ina]........................... 7 1.1.2 P íklad [pravd podobnostní
VícePost ehy a materiály k výuce celku Funkce
Post ehy a materiály k výuce celku Funkce 1) Grafy funkcí Je p edloºeno mnoºství výukových materiál v programu Graph - tvary graf základních i posunutých funkcí, jejich vzájemné polohy, Precizní zápis
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 6. prosince 2016, 13:2015:20 ➊ (8 bod ) Vy²et ete stejnom rnou konvergenci ady na mnoºin R +. n=2 x n 1 1 4n 2 + x 2 ln 2 (n) ➋ (5 bod ) Detailn
Více1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic
1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic Denice. Funkci x : I R n, I otev ený interval, nazveme e²ením (DR), jestliºe 1. t I : (x(t), t) Ω 2. t I : x (t) vlastní 3. t I : x (t) = f(x(t), t) Lemma
VíceZáznam o ústní zkou²ce z p edm tu 01RMF (akademický ²kolní rok 2015/2016) P íjmení a jméno Datum Hodnocení Písemka Celkové hodnocení Podpis studenta
báze v Hilbertov prostoru obory excentricity parciální diferenciální rovnice (a metoda jejich detekce pro PDR druhého ádu pro funkci dvou prom nných) fundamentální e²ení operátoru 1. ➋ Dokaºte: f( x),
VíceTermodynamicky kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu
Termodynamicky kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu Karel Tůma Jednoocí slepým 14. května 2012 podpora GAUK-152010, GACR 201/09/0917 Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního
VíceVYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky. Matematika 2. pro technické obory. Petr Gurka, Stanislava Dvořáková
VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky Matematika 2 pro technické obory Petr Gurka, Stanislava Dvořáková 2019 Petr Gurka, Stanislava Dvořáková Matematika 2 pro technické obory 1. vydání
Více8 Elasticita kaučukových sítí
8 Elasticita kaučukových sítí Elastomerní polymerní látky (např. kaučuky) tvoří ze / chemické příčné vazby a / fyzikální uzly. Vyznačují se schopností deformovat se již malou silou nejméně o 00 % své původní
VíceJevy, nezávislost, Bayesova v ta
Jevy, nezávislost, Bayesova v ta 17. b ezna 2015 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu rozumíte.
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy paprskové a vlnové optiky, optická vlákna, Učební text Ing. Bc. Jiří Primas Liberec 2011 Materiál vznikl
VíceKelvin v kapkový generátor
Kelvin v kapkový generátor Kry²tof Kadlec 1, Luká² Kune² 2, Luká² N me ek 3 1 Gymnázium Franti²ka Palackého, Vala²ské Mezi í í, krystoof.2@seznam.cz 2 Gymnázium, Zlatá stezka 137, Prachatice, kunamars@seznam.cz
VíceDYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT
DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT Doc. Ing. Daniel Makovička, DrSc.*, Ing. Daniel Makovička** *ČVUT v Praze, Kloknerův ústav, Praha 6, **Statika a dynamika konstrukcí, Kutná Hora 1 ÚVOD Obecně se dynamickým
VíceStátní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady
Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha.
VíceMS měření teploty 1. METODY MĚŘENÍ TEPLOTY: Nepřímá Přímá - Termoelektrické snímače - Odporové kovové snímače - Odporové polovodičové
1. METODY MĚŘENÍ TEPLOTY: Nepřímá Přímá - Termoelektrické snímače - Odporové kovové snímače - Odporové polovodičové 1.1. Nepřímá metoda měření teploty Pro nepřímé měření oteplení z přírůstků elektrických
VíceStochastické procesy ve nan ní matematice. Doc. RNDr. Martin Kolá, Ph.D.
Stochastické procesy ve nan ní matematice Doc. RNDr. Martin Kolá, Ph.D. 1 Tento u ební text vznikl za p isp ní Evropského sociálního fondu a státního rozpo tu ƒr prost ednictvím Opera ního programu Vzd
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
Více