Modely v kreditnэm riziku

Modely v kreditnэm riziku Jaroslav Dufek MFF UK, KPMS J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 1 / 55

O mn OM Nav. FPM od r. 2012 doktorskщ studium na MFF UK od r. 2012 v Allianz J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 2 / 55

Agenda 1. Nejznсmj э modely kreditnэho rizika 1.1. CreditRisk+ model 1.2. CreditMetrics model 1.3. KMV model 2. Basel 3. Pestсvka 4. кvod do na eho vzkumu 5. G model 6. Nс podmodel 7. Zсvr J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 3 / 55

Kreditnэ riziko je riziko vyplvajэcэ z neschopnosti nebo neochoty protistrany splatit svщ zсvazky kreditnэ riziko a SAV 5 let zpt 21. 3. 2014 kreditnэ riziko 14. 3. 2014 kreditnэ riziko 19. 3. 2010 kreditnэ riziko KMV model 26. 2. 2010 kreditnэ riziko CreditRisk+ J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 4 / 55

1.1. CreditRisk+ model J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 5 / 55

Poissonovo rozdlenэ vytvoujэcэ funkce pravdpodobnostэ n. v. X : P X (z) = z n З P[X = n] n=0 vytvoujэcэ fce Poissonova rozdlenэ P(z) = model sloenщho Poissonova rozdlenэ S = N n=0 X i i=1 n n! e z n = e (z1) vytvoujэcэ fce R(z) = exp{(g(z) 1)}, kde G(z) je vytvoujэcэ fce v э kod X i Pokud mсme K nezсvislch selhсnэ ( = K i=1 i ) R(z) = R 1 (z) З... З R K (z) = { [ 1 = exp (G 1(z) 1) +... + ]} K (G K (z) 1) J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 6 / 55

Gamma rozdlenэ n. v. Y mс -rozdlenэ hustotou (y) = 1 b a (a) y a1 e y/b ; y > 0 EY=ab, var(y)=ab 2 v modelu budeme dсle pedpoklсdat, e EY= 1, var(y)= b J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 7 / 55

Princip pedpoklсdсme, e poet udсlostэ mс Poissonovo rozdlenэ s nсhodnm parametrem pedpoklсdсme, e nсhodn parametr mс -rozdlenэ poet udсlostэ mс nepodmэnnщ negativn binomickщ rozdlenэ potom tedy S = N X i mс sloenщ negativn binomickщ rozdlenэ ( a n i=1 ) p a (q) n je rozdlenэ potu udсlostэ N J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 8 / 55

CreditRisk+ Model I mjme i = 1, 2,..., I dlunэk dlunэk je charakterizovсn v э ztrсty pi selhсnэ(lgd) a prmrnou intenzitou selhсnэ i podle LGD jsou dlunэci rozdleni do J shluk asovщ obdobэ je 1 rok J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 9 / 55

CreditRisk+ Model II zavedenэ sektor do modelu, sektor me odpovэdat nap. druhu podnikсnэ, regionu, apod. S sektorm jsou piazeny nсhodnщ veliiny 1,..., S s -rozdlenэm s hustotami (y) = aas s (a s ) y as1 e asy, y > 0, s = 1,..., S w i,s je сst sektoru s, kterс pipadс na dlunэka i; S s=1 w i,s = 1 z prmrnщ intenzity i selhсnэ dlunэka i pipadс na sektor s сst i w i,s J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 10 / 55

CreditRisk+ Model III celkovс prmrnс intenzita selhсnэ pipadajэcэ na sektor s kde j,s = i w i,s, i[j] s = J j,s, j=1 kody pipadajэcэ na sektor s majэ sloenщ rozdlenэ Xk s, N s k=1 kde N s mс negativn binomickщ rozdlenэ, co plyne z konstrukce modelu J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 11 / 55

CreditRisk+ Model IV tedy Ns k=1 ( Xk s mс vytvoujэcэ funkci R s(z) = p s 1q sg s(z) pro 1,..., s nezсvislщ, mсme pro celщ portfolio vytvoujэcэ fci R PF (z) = R 1 (z) З... З R s (z) ) as J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 12 / 55

1.2. CreditMetrics model J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 13 / 55

CreditMetrics Model zaloen na kreditnэ migraci {AAA, AA, A,..., D} matici pechodu mezi ratingovmi tэdami, lze modelovat M modelovсnэ hodnoty pohledсvky (њvry, dluhopisy) za asovщ obdobэ (1 rok) tj. souasnс hodnota i-tщ pohledсvky T t=1 d t (1 + r i ) t, dt je v e splсtky ri je rizikov њrok, zсvisl na ratingu i-tщ pohledсvky J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 14 / 55

1.3. KMV model J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 15 / 55

KMV Model Rozdэl mezi KMV a CreditMetrics modelem je v tom, e KMV rozli uje pouze dva ratingy splaceno/default, zatэmco CreditMetrics sleduje rating dluhopis firmy. J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 16 / 55

Schematick pohled na KMV model riziko dlunэka (proti strany) d me na dv sloky SYSTEMATICKOU a SPECIFICKOU systematickou sloku dсle d me podle druhu podnikсnэ a zem globсlnэ ekonomickщ faktory pro podnikсnэ regionсlnэ faktory pro podnikсnэ specifickс sloka obsahuje individuсlnэ faktory pro podnikсnэ KMV modeluje pravdpodobnost defaultu J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 17 / 55

Co modelujeme? Pomocэ eho? default nastane v ase T, pokud hodnota aktiv klesne pod dan prсh c i. Tedy modelujeme P(A i,t < c i ), A i,t je hodnota aktiv dlunэka i v ase T definujeme logaritmick vnos r i = log A i,t A i,0 J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 18 / 55

KMV 1. њrove r i = i i + i, i = 1,..., I () i... kompozitnэ faktor { i }... n.v. navzсjem nezсvislщ a nezсvislщ na i i... konstanty rozklad rozptylu na systematickou a specifickou sloku reziduсlnэ сst var r i = 2 i var i + var i 1 2 i var i var r i, lze interpretovat jako procentnэ mэru rizika dlunэka i zlomku ve v e uvedenщm vrazu tщ эkсme koeficient determinace regresnэ rovnice () J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 19 / 55

KMV 2. њrove rozklad i podle druhu podnikсnэ a zemэ K i = w i,k k k=1 i = 1,..., I k, k = 1,..., K 0 jsou indexy pro druh podnikсnэ k, k = K 0 + 1,... K jsou indexy pro zemi wi,k vсhy maticov zсpis r = b З W З + e J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 20 / 55

KMV 3. њrove vyjсdenэ k globсlnэmi faktory 1,..., N N k = b k,n n + k, n=1 k = 1,..., N b k,n... jsou bety pro druh podnikсnэ k... jsou rezidua maticov zсpis: = B З + d celkov maticov zсpis r = b З W З (B З + d) + e J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 21 / 55

Pravdpodobnost defaultu prst defaultu v ase T (pipomenutэ): P(A i,t < c i ) po zlogaritmovсnэ a odetenэ log A i,0 pravdpodobnost defaultu v ase T : [ P(A i,t < c i ) = P r i < log ( ci A i,0 )] J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 22 / 55

2. Basel J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 23 / 55

Basel 1974 zaloen Bazilejsk vbor pro bankovnэ dohled 1988 Basel I - stanovenэ poadovanщho minimсlnэho kapitсlovщho poadavku (8% rizikov vсench aktiv) 1993 skupina G30 sloenс z vznamnch pedstavitel bank, veejnщho sektoru a akademickщ obce zaala usilovat o сdnщ posuzovсnэ bankovnэch produkt vznik RiskMetrics a VaR 2002 prvnэ pэpravy k Baselu II 2004 schvсlenэ novщho konceptu Basel II vedle standardnэho pэstupu lze vyuэt monost internэho oceovсnэ њvrovщho rizika tzv. IRB approach 2017 Basel III J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 24 / 55

3. Pestсvka J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 25 / 55

4. кvodnэ slovo k na emu vzkumu J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 26 / 55

Na e situace Co pedpoklсdсme Banka s velkm potem klient (dlunэk) Dlunэk i mс v ase t aktiva Ai,t Pravidelnс splсtka b Co chceme Procento defaultujэcэch klient - DR Promnlivou hodnotu zсstavy v ase Kolik dostaneme zpt v pэpad defaultu. J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 27 / 55

KMV model I v dal э сsti pednс ky se budeme odvolсvat na KMV model v tomto tvaru Logaritmick Brownv pohyb pro hodnotu bohatstvэ log A i,1 = log A i,0 + + X i (1) A i,0... bohatstvэ i-tщho dlunэka v ase 0,... konstanty X i = Y + Z i Y je systematick faktor, Zi jsou individuсlnэ faktory Z i iid a nezсvislщ s Y Y, Z i, i = 1,..., n n.v. centrovanщ s normсlnэm rozdlenэm corr(xi, X j ) =, i j J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 28 / 55

KMV model II default = stav, kdy hodnota aktiv poklesne pod hodnotu c i default rate (DR): DR = # defaultu # dluhu PD i = P[A i,1 < c i ] = P[X i < d i ], d i = log c i log A i,0 PD = PD i plyne z pedpokladu, e individuсlnэ faktory jsou stejn rozdlenщ P(DR x). = ( ) 1 1 (x) 1 (PD) pouitэ ZV vzhledem k systematickщmu faktoru je d.f. standardnэho normсlnэho rozdlenэ LGD (=1-RR) je fixnэ RR je recovery rate, tj. procento z dluhu, kterщ v pэpd defaultu dostane banka zpt ztrсta L = LGD З DR J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 29 / 55

Jednofaktorovщ modely pro LGD I nсsledujэcэ jednofaktorovщ modely lze nalщzt nap. v Dullmann (2004), kde jsou formulovсny pro recovery ratio (LGD = 1 RR) LGD j = 1 (Е + X + 1 Z j ) Z j... specifickс sloka s N(0,1)... korelace mezi X, Z j Vhoda: Е,... jasnс interpretace mean recovery, log-normсlnэ RR LGD j = 1 exp{е + X + 1 Z j } X, Z j vlastnosti jako v e vhoda: log-normсlnэ rozdlenэ je vэce realistickщ interpretace koeficient ji nenэ tak pэmoarс J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 30 / 55

Jednofaktorovщ modely pro LGD II Logit A mnoho dal эch, probit, gompit... Y j (X ) = Е + X + 1 Z j LGD j = 1 exp{y j(x )} 1 + exp{y j (X )} Dal э tэdy model RR modelujeme v zсvislosti na ekonomickщm cyklu; na zсklad BV J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 31 / 55

Model pro LGD Frye (2000) modelujeme LGD jako funkci kolaterсlu (zсstavy) tj. LGD i = max{0; Collateral i } Collaterali = Е i (1 + i C i ) Еi, i konstanty Ci rizikov faktor rizikov faktor vyjсdэme jako fci systematickщ (Y ) a specifickщ (E i ) sloky rizikovщho faktoru C i = qy + 1 qe i pro rizikov faktor defaultu mсme z KMV modelu X i = py + 1 pz i korelace mezi defaultem a LGD je эzena tэm, jak faktory X i a C i zсvisэ na Y J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 32 / 55

Model pro LGD Pykhtin (2003) LGD zсvisэ na jednom systematickщm faktoru a na dvou specifickch faktorech C i = qy + 1 qe i E i = wz i + 1 we i systematick faktor Y эdэ jak default tak LGD w je korelace mezi dvma specifickmi faktory tento pэstup mimo jinщ vyuэvс spolenost Moody s (Meng et al. 2010) J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 33 / 55

5. Gapko a mэd model J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 34 / 55

Gapko a mэd model pro defaulty - pedpoklady I bohatstvэ je эzenщ logaritmickm Brownovm pohybem log A i,t = log A i,t1 + Y t + V i,t i n (2) Yt = Y t Y t1 Yt systematick(common) faktor эzen obecnm stochastickm procesem V i,t specifick faktor i-tщho dlunэka n poet dlunэk J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 35 / 55

Gapko a mэd model pro defaulty - pedpoklady II log A i,t1 = Y t1 + V i,t1 i n (3) zjednodu ujэcэ pedpoklad, e dщlka dluhu je jedno obdobэ V i,t nezсvislщ s Y t DR t = P[A i,t < c i t] = P[V i,t < log c i Y t t] = (log c i Y t ) je d.f. n.v. Vi,t V i,t stejn rozdlenщ a EV i,t = 0, var V i,t = 2 t = (Y 1,..., Y t1 ) transformace Y t = 1 (DR t1 ) 1 (DR t ) je obecnс d.f., pro vpoty pouэvсme d.f. N(0,1) J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 36 / 55

Gapko a mэd model pro LGD - pedpoklady dynamika hodnoty kolaterсlu (zсstavy) log P i,t = log a i + I t + E i,t (4) P i,t... hodnota kolaterсlu It... nepozorovateln systematick(common) faktor эdэcэ LGD Ei,t... centrovan specifick faktor nezсvisl na (I t, Y t ) t>0 ai... konstanta recovery ratio G i = min{p i,t, C i } C i (5) Ci... velikost dluhu i-tщho dlunэka J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 37 / 55

Gapko a mэd model pro LGD LGD t = 1 E(G 1 I t ) = h(i t ) (6) h(t) = ( t ) exp { t + 1 2 2} ( t ) za pedpokladu, e E 1 je normсln rozdlenщ s rozptylem 2 detailnэ odvozenэ fce h lze nalщzt v Gapko(2012), zkrсcen vpoet je uveden v Apendixu transformace LGD t = h(i t ) J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 38 / 55

Podmodel Gapko a mэd - VECM s jednэm zpodnэm podmodel pro эdэcэ faktory y t = 1 + 1 y t1 + 1 I t1 + 1 e t1 + 1,t (7) I t = 2 + 2 y t1 + 2 I t1 + 2 e t1 + 2,t (8) y t = Yt Y t1 J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 39 / 55

Citlivostnэ analza LGD funkce h: prvnэ derivace: druhс derivace: h(t) = ( t ) exp{t + 1 2 2 }( t ) (9) h (t) = 1 2 h (t) = exp t + 1 2 2 ( t ) (10) t2 exp 2 2 exp t + 1 2 (t ) (11) inflexnэ bod h (t)??? = 0: ( ) t??? = 1 ( ) t (12) J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 40 / 55

6. Nс podmodel J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 41 / 55

Nс podmodel Struktura Model pro default stejn jako G Model pro ztrсtu L t = DR t З h(i t ) (13) Model pro эdэcэ faktory dal э slide J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 42 / 55

Nс podmodel - idea zptnщho ovlivnnэ faktor I t reprezentuje nemovitostnэ index (house price index) # lidэ, kteэ nejsou schopni splсcet svщ dluhy roste # nesplacench dluh roste ve v ech bankсch banky ztrсcэ likviditu prodej nemovitostэ pro nabytэ likvidity # nemovitostэ k prodeji na trhu roste cena klesс J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 43 / 55

Nс nov podmodel model pro эdэcэ faktory Y t = C 1 + a 1 Y t1 + b 1 Y t2 + c 1 L t3 + d 1 L } {{ t4 + } retrospektivni interakce +e 1 I t2 + 1,t (14) I t = C 2 + a 2 Y t2 + b 2 Y t3 + c 2 DR t3 + d 2 DR t4 + +e 2 I t1 + f 2 I t2 + g 2 I t3 + 2,t (15) lineсrnэ VECM se zmnil na nelineсrnэ model zptnс interakce J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 44 / 55

Data default rate od The Mortgage Bankers Association nemovitostnэ index HPI od S&P nemсme k dispozici сdnс data k LGD, ale pedpoklсdсme, e эdэcэm faktorem je nemovitostnэ index HPI. J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 45 / 55

Data II Nemovitostnэ index 180 160 140 120 100 80 60 1990 2000 2010 US 90+ delinquency rates 5 4 3 2 1 1990 1995 2000 2005 2010 J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 46 / 55

Estimation I Used observations 1988Q2 2012Q1 (T = 96) dependent variable: Y t Coefficient Standard dev. p-value const 0.003 0.003 0.241 L t3 173.563 32.508 0.000 *** L t4 46.434 24.557 0.062 * HPI t2 0.002 0.001 0.010 *** Y t1 0.624 0.092 0.000 *** Y t2 0.609 0.101 0.000 *** J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 47 / 55

Estimation II Used observations 1988Q2 2012Q2 (T = 97) dependent variable: I t Coefficient Standard dev. p-value const 0.098 0.148 0.507 DR t3 520.260 183.270 0.006 *** DR t4 557.790 192.914 0.005 *** Y t2 12.281 5.521 0.029 ** Y t3 29.499 8.718 0.001 *** I t1 1.041 0.097 0.000 *** I t2 0.377 0.137 0.007 *** I t3 0.212 0.099 0.035 ** J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 48 / 55

7. Zсvr navrhli jsme nov model pro ztrсtu banky, aplikovali jsme reсlnс data ukсzali jsme, e nelineсrnэ chovсnэ эdэcэho faktoru Y t je signifikantnэ dal э vzkum nelineсrnэ transformace DRt pedpoklad, e vstupnэ data jsou zatэenс chybou, nap. It = HPI t + t vyvinutэ vэceperiodick model J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 49 / 55

Apendix vpoet fce h h(i t ) = 1 E(G 1 I 1 ) = 1 E[e I e min{e 1,I } I ] = [ ] I = 1 e I e x df (x) + e I (1F (I )) = F (I ) e I I e x df (x) h(t) = F (t) e t t ex df (x) = e t t F (x)ex dx Za pedpokladu, e E1 mс normсlnэ rozdlenэ s rozptylem 2 F (x) = (x/) h(t) = ( ) { t exp t + 1 2 2} ( t ) J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 50 / 55

Publication J. Dufek: Non-linear multi-factor model. WDS 13: 102106, 2013. J. Dufek and M. mэd: Multifactor dynamic credit risk model. MME2014: 185190, 2014. J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 51 / 55

Literatura I K. Dullmann and M. Trapp: Systematic risk in recovery rates - an empirical analysis of U.S. corporate credit exposure. Working paper, Deutsche Bundesbank, Frankfurt, Germany, 2004. J. Frye : Depressing recoveries. Risk,13(11): 106-111, 2000. P. Gapko and M. mэd: Dynamic Multi-Factor Credit Risk Model with Fat-Tailed Factors. Czech Journal of Economics and Finance, 62(2): 125 140, 2012. Y. W. Park and D. W. Bang: Loss given default of residential mortgages in a low ltv regime: Role of foreclosure auction process and housing market cycles. Journal of Banking & Financeournal of Banking & Finance, 39: 192 210, 2014. J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 52 / 55

Literatura II MV Pykhtin : Unexpected Recovery Risk. Risk, 16(8):74 78, 2003. O. A. Vasicek: The distribution of loan portfolio value. Risk, 15(12): 160 162, 2002. M. Qi and X. Yang: Loss given default of high loan-to-value residential mortgages. Journal of Banking & Finance journal of Banking & Finance, 33(5): 788 799, 2009. M. Qi: Credit Securitizations and Derivatives: Challenges for the Global Markets, pages 33 52, Mortgage Credit Risk, 2013. J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 53 / 55

Literatura III Y. Zhang, L. Chi, F. Liu, and L. Ji: Local Housing Market Cycle and Loss Given Default: Evidence from Sub-Prime Residential Mortgages. International Monetary Fund. Working paper, 2010. J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 54 / 55

Dkuji za pozornost. J. Dufek (MFF UK) Modely v kreditnэm riziku SAV 20.3.2015 55 / 55