Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky

Transkript

1 Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Statistická fyzika. Uvažujme dvouhladinový systém, např. atom s celkovým momentem hybnosti h v magnetickém ) ) poli. Bázové stavy označme = a =, první z nich označuje, že magnetický moment atomu je orientován v kladném směru osy z, druhý v záporném směru. Stavy ψ a ψ jsou superpozice stavů a dané jako ψ = +, ) ψ = + i. ) Ověřte, že níže uvedené matice hustoty ρ až ρ 4 popisují čistý stav a přiřaďte jim příslušné stavy mezi,, ψ a ψ : ) ) ρ =, ρ = ) ) ρ 3 =, ρ 4 = i i,. Řešení: ρ = ψ ψ, ρ =, ρ 3 =, ρ 4 = ψ ψ.. Rozhodněte, které z uvedených matic mohou být maticemi hustoty nějakého kvantového stavu: i ρ = i, ρ =, ρ 3 =, 4,,, 5, 3i, i, ρ 5 =, ρ 4 =, 5, 5i, 5i, 5 ), 3, i, 3.i, 4, ρ 6 =, 6, 7 Řešení: Matice ρ má na diagonále zápornou hodnotu, ρ 3 není hermitovská, u ρ 6 dává součet diagonálních prvků číslo větší než jedna tyto matice tedy nemohou být maticemi hustoty. U zbývajících, které prošly tímto sítem, musíme ještě ověřit, že všechny jejich vlastní hodnoty jsou v intervalu mezi nulou a jedničkou. Protože tyto požadavky splňují, mohou být maticemi hustoty. 3. Které z uvedených matic hustoty odpovídají čistým a které smíšeným stavům? ) ) ρ = 3, ρ =, 3 ) ), 5, 5, 5, ρ 3 =, ρ, 5, 5 4 =.,, 5 Řešení: Podle pravidla, že u čistého stavu musí platit ρ = ρ zjistíme, že čisté stavy popisují matice hustoty ρ a ρ 3., ). 3)

2 4. Uvažujme stavy ρ, ρ a ρ 3 z úlohy 3. Čemu se budou v těchto stavech rovnat střední hodnoty Pauliho operátorů σ x a σ z? Jsou to některé z hodnot, /3 a, přiřaďte správné hodnoty jednotlivým stavům a operátorům.) ) ) Řešení: Vyjdeme z definice Pauliho operátorů σ x =, σ z = a ze vztahu pro výpočet střední hodnoty operátoru A =TrAρ), takže dostaneme σ x =, σ x =, σ x 3 =, σ z = /3, σ z =, σ z 3 =. 5. Matice hustoty ρ a až ρ d popisují určité spinové stavy elektronu. Určete, které stavy jsou čisté a které smíšené a najděte střední hodnotu ) z-ové složky momentu hybnosti, pokud víte, že příslušný operátor je Ŝ = h ˆσ z = h. ) ρ a =, ρ b = ) 6, 5 9 ρ c = ) ) 3 i, ρ 4 i d = Řešení: Výpočtem zjistíme, že pouze pro ρ b platí, že ρ b = ρ b a je to tedy jediný čistý stav, ostatní jsou smíšené. Vyjdeme-li ze vztahu S =TrSρ, dostaneme S a =, S b = 7 h 5, S c = h a S d = h. 6. Nechť A, B, C označují matice a nechť a a b jsou komplexní čísla. Která z uvedených tvrzení jsou pravdivá? a) Tr AB) = Tr BA). b) Je-li A hermitovská, pak Tr A >. c) Tr CBA) = Tr ABC). d) Tr aa + bb) = a Tr A + btr B. Řešení: Pravdivá jsou tvrzení 6a a 6d, zbývající jsou nepravdivá. Hermitovská matice nemusí mít pozitivní stopu a stopa je invariantní pouze vůči cyklické záměně matic, ne vůči jakékoliv jejich permutaci. Příkladem mohou být Pauliho matice: Tr σ x σ y σ z ) = i, kdežto Tr σ z σ y σ x ) = i. 7. Který z následujících vztahů popisuje správně časový vývoj matice hustoty systému s hamiltoniánem H? a) i h dρ dt = Hρ b) dρ dt = ī h TrHρ) c) ī dρ h dt = H Trρ) d) i h dρ dt = Hρ ρh Řešení: Správná odpověď je 7d. 8. Najděte fázové trajektorie jednorozměrného pohybu tělesa o hmotnosti m v homogenním tíhovém poli. Ověřte pro element fázového objemu dxdp platnost Liovilleovy věty. Řešení: Z pohybových rovnic v homogenním tíhovém poli plyne, že počáteční stav s fázovými souřadnicemi x a p se za čas t vyvine do stavu x, p, kde x = x + p m t gt, 4) p = p mgt, 5)

3 kde g je tíhové zrychlení a m hmotnost částice. Vyjádřením času z rovnice 5) t = p p )/mg) a dosazením do 4) dostaneme rovnici fázové trajektorii x = x + p p m g, 6) což je parabola. Uvažujeme-li počáteční element fázového prostoru s krajními body x, p ), x, p + dp), x + dx, p ) a x + dx, p + dp), vyvine se po čase t do elementu s krajními body x + p m t gt, p mgt), x + p +dp m t gt, p + dp mgt), x + dx + p m t gt, p mgt)a x + dx + p +dp m t gt, p + dp mgt). Fázový objem tohoto elementu je opět dxdp je vhodné nakreslit si obrázek s takovýmto útvarem, pro možnou ilustraci viz obr. ), tedy stejný jako na počátku a Liouvilleova věta platí. Platnost Liouvilleovy věty můžeme ověřit také výpočtem jakobiánu transformace dané rovnicemi 4) a 5). Pro nový fázový objem totiž platí dx dp = J dxdp, kde jakobián je J = x, p) x, p ) x x p x x p p = p t m =. 7) Protože J =, je dx dp = dxdp. Ačkoliv element fázového prostoru během času mění svůj tvar, jeho objem se zachovává. 5 p m = g = t = Obrázek : Fázové trajektorie a vývoj elementu fázového objemu pro částici v homogenním tíhovém poli. Pro jednoduchost uvažujeme bezrozměrnou polohu x a hybnost p a pokládáme m = a g =. x t = 6 9. Najděte fázové trajektorie a určete časovou změnu fázového objemu dxdp pro jednorozměrný pohyb částice, na niž působí odporová síla úměrná rychlosti, F = γv. Řešení: Z pohybové rovnice pro hybnost plyne časová závislost pro p ve tvaru Pro časovou změnu polohy dostáváme rovnici ṗ = γ m p 8) p = p e γ m t. 9) jejíž řešení je ẋ = p m = p m e γ m t, ) x = x + p γ e γ m t). ) 3

4 Když z rovnice 9) vyjádříme e γ m t = p a dosadíme do ), máme vztah pro trajektorii ve fázovém prostoru x = x p p, ) γ což znamená, že fázové trajektorie jsou přímky. Jakobián pro transformace 9) a ) je J = x, p) x, p ) x x p x x p p = p γ e γ m t = γ e m t, 3) takže fázový objem se exponenciálně zmenšuje s časem dx dp = J dxdp = exp γ m t)dxdp. Tento vývoj je znázorněn na obrázku. p m = = γ t = t =,5 t =,5 4 6 t = x Obrázek : Fázové trajektorie a vývoj elementů fázového objemu pro částici ve viskózním odporovém prostředí. Pro jednoduchost opět uvažujeme bezrozměrnou polohu x a hybnost p a pokládáme m = a γ =. Protože se jedná o nekonzervativní systém, neplatí tvrzení Liouvilleovy věty a objem elementu fázového prostoru se nezachovává fázová kapalina s časem zvyšuje hustotu.. Najděte fázové trajektorie a určete časovou změnu fázového objemu dxdp pro lineární harmonický oscilátor a pro oscilátor v odporovém prostředí s třecí silou úměrnou rychlosti. Řešení: Pohybové rovnice pro harmonický oscilátor bez tření jsou jejichž řešení při počáteční podmínce pro t =, x = x, p = p je ẋ = p m, 4) ṗ = mω x, 5) x = x cos ωt + p sin ωt, mω 6) p = x mω sin ωt + p cos ωt. 7) Tyto rovnice popisují ve fázovém prostoru elipsu; při vyloučení času je můžeme zapsat ve tvaru x Jakobián transformací 6) a 7) je J = x x p x x p p = p x + p m ω + p m ω x + p =. 8) cos ωt mω sin ωt mω sin ωt cos ωt = cos ωt + sin ωt =, 9) 4

5 6 a) t = 6 b) t = p 4 t = 5,5 ω = m = p 4 ω = m = γ =, t =, x x Obrázek 3: Fázové trajektorie a vývoj elementů fázového objemu pro harmonický oscilátor a) a oscilátor s odporovou silou úměrnou rychlosti b). Pro jednoduchost opět uvažujeme bezrozměrnou polohu x a hybnost p a pokládáme m = a ω =, u tlumeného oscilátoru je zvoleno γ =,. V netlumeném systému se element fázového objemu zachovává, v systému s tlumením se zmenšuje. takže fázový objem zůstává neměnný, dx dp = J dxdp = dxdp. Jak takový vývoj vypadá je znázorněno na obrázku 3a. Pro oscilátor s odporovou silou úměrnou rychlosti F = γv platí pohybové rovnice ẋ = p m, ) ṗ = mω x γ p, ) m jejichž řešení při počáteční podmínce pro t =, x = x, p = p je x = x e γ m t cos ωt + γ ) m ω sin ωt + p γ m ω e m t sin ωt, ) ) ) p = x e γ m t m ω + γ sin ωt + p e γ m cos t γ ωt 4m ω m ω sin ωt, 3) kde ω = ω γ 4m 4) a předpokládáme podkritické tlumení, γ < mω. Z těchto rovnic již nelze vyloučit parametr t, rovnice popisují logaritmickou spirálu, která se ovíjí kolem počátku a pro rostoucí t se k němu stále těsněji přimyká. Změnu objemového elementu zjistíme z jakobiánu, který je cos ωt + γ J = γ e m t m ω sin ωt ) m ω sin ωt ) m ω + γ 4m ω sin ωt cos ωt γ m ω sin ωt = γ e m t. 5) Element fázového prostoru se tedy s časem exponenciálně zmenšuje, dx dp = J dxdp = exp γ m t) dxdp, jak je vidět na obrázku 3b.. Uvažujme systém A, skládající se ze dvou spinových podsystémů A a A, umístěných v magnetickém poli B. Systém A se skládá ze tří rozlišitelných částic, každá s magnetickým momentem o velikosti µ, které se mohou nacházet v jednom ze dvou kvantových stavů: s magnetickým momentem +µ, v kladném směru osy z) a s magnetickým momentem µ, v záporném směru osy z). Systém A je složen ze dvou částic s magnetickým momentem o velikosti µ a dvěma možnými kvantovými stavy: s magnetickým momentem +µ ) a s magnetickým momentem µ ). Když byly tyto dva systémy navzájem izolované, měření ukázala, 5

6 že celkový magnetický moment systému A byl M = 3µ a magnetický moment systému A byl M = +4µ. Celková energie E je pak dána vztahem E = M + M )B. Podsystémy se pak umístily do vzájemného tepelného kontaktu s možností výměny energie, až je dosaženo konečného rovnovážného stavu kombinovaný systém A je izolován od vnějšího okolí). Za těchto podmínek: a) Sestavte tabulku se systematickým výčtem všech přípustných kvantových stavů kombinovaného systému A. Tabulka by měla udávat spinový stav každé individuální částice, celkový magnetický moment M podsystému A, celkový moment M podsystému A a celkový moment M kombinovaného systému A. b) Spočítejte pravděpodobnosti P M) toho, že celkový magnetický moment podsystému A nabývá hodnot M. c) Vypočtěte střední hodnotu M celkového magnetického momentu podsystému A. Řešení: Protože celkový systém je izolovaný, musí být jeho celková energie konstantní a tím pádem se může nacházet pouze ve stavech s celkovým magnetickým momentem M = M +M = µ. Tabulka přípustných stavů je tedy Stav A M Stav A M M 3µ 4µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ a podsystém A tedy může nabývat dvou možných hodnot M a to 3µ a µ. Jejich pravděpodobnosti jsou P M = 3µ ) = 7, P M = µ ) = 6 7 a střední hodnota magnetického momentu podsystému A je M = 3µ P M = 3µ ) + µ P M = µ ) = 3µ 7 + 6µ 7 = 3µ 7.. Uvažujte libovolný systém A, což může být jak jediný atom tak i makroskopický systém. Tento systém nyní umístíme do tepelného kontaktu se systémem A, s nímž si může volně vyměňovat energii. Systém A se nachází ve vnějším magnetickém poli B a je složen z N částic se spinem. Každá částice má magnetický moment o velikosti µ a může být v jednom ze dvou kvantových stavů: a. Počet N je mnohem větší než je počet stupňů volnosti relativně malého systému A. Když je systém A ve svém základním kvantovém stavu s energií E, n momentů systému A míří vzhůru a zbytek n = N n směřuje dolů, přitom n a n. a) Když je systém A ve svém základním stavu, najděte celkový počet přípustných stavů kombinovaného systému A + A. b) Nyní předpokládejme, že systém A je v nějakém vzbuzeném stavu ψ r s energií E r > E. Aby zůstala zachována celková energie kombinovaného systému A + A, musí n + n magnetických momentů systému A mířit vzhůru a n n momentů mířit dolů. Vyjádřete n pomocí rozdílu energií E r E. c) Pokud je systém A ve stavu ψ r s energií E r, najděte celkový počet přípustných stavů pro kombinovaný systém A + A. 6

7 d) Nechť P označuje pravděpodobnost toho, že systém A je v základním stavu s energií E ) a P r je pravděpodobnost stavu ψ r. Ukažte, že pokud n n, n, pak P r n ) n. P n e) S využitím odvozených výsledků ukažte, že pravděpodobnost nalezení systému A ve stavu ψ r s energií E r má tvar P r = Ce βer, kde C je normovací konstanta. Vyjádřete β pomocí µ B a poměru n/n. Řešení: Počet přípustných stavů je roven počtu kombinací n z N, tedy způsobů, jakými lze vybrat n momentů mířících vzhůru z celkového počtu N magnetických momentů. Ten je roven N ) n = N! n!n!. Pokud n momentů změní svou orientaci tak, že přejde do energeticky nižšího stavu, poklesne energie systému A o nµ B. Tento pokles energie systému A kompenzuje nárůst energie systému A o E r E, takže n = E r E µb. 6) Když je nyní systém A ve stavu ψ r, bude celkový počet přípustných stavů kombinovaného systému roven počtu kombinací s n + n magnetickými momenty systému A mířícími vzhůru, tedy N ) n+ n = N! n+ n)!n n)!. Podíl pravděpodobností nalezení systému A ve stavu s energií E r ku stavu s energií E je pak roven podílu počtů příznivých kombinací, tedy N ) P r n+ n n!n! = P N = n + n)!n n) n)!. 7) V tomto podílu využijeme toho, že n n a tedy můžeme přibližně nahradit n + ) n, n + ) n,... n + n) n, takže a podobně takže n! n + n)! = n + )n + )... n + n) n n... n = n n 8) n! n n)! n n, 9) P r P n ) n. 3) Když podíl n /n vyjádříme jako exp[lnn /n)] a využijeme vztahu 6), máme což odpovídá úměrnosti kde n P r Er E exp P µb ln n n ), 3) P r e βer, 3) β = µ B ln n n, 33) což je hledaný vztah. Všimněme si, že pokud by převažoval počet částic s vyšší energií, n > n, odpovídalo by to záporné hodnotě β a tedy záporné teplotě. 7

8 3. Jaké je rozdělení hustoty pravděpodobnosti polohy a hybnosti harmonického oscilátoru při teplotě T? Při odvození využijeme součtového vztahu pro Hermiteovy polynomy k= Řešení: Protože vlastní funkce hamiltoniánu t k k! H kx)h k y) = 4t ) / 4txy 4t x +y ) e 4t. 34) jsou kde a Ĥ = ˆp m + mωˆx 35) ) x ψ n x) = C n H n e x 4σ, 36) σ h σ = mω 37) C n = n n!σ, 38) π je hustota pravděpodobnosti polohy částice v n-tém stavu ) x ρ n x) = CnH n e x σ. 39) σ n= Px) = x/σ n= n=... n=5... k BT = 6 hω Obrázek 4: Sečtením rozdělení polohy harmonického oscilátoru v kvantových stavech n s vahami odpovídajícími termálním pravděpodobnostem dostáváme gaussovské rozdělení polohy s pološířkou danou vztahem 46). Při teplotě T se n-tý stav realizuje s pravděpodobností ) P n = e hω hω n k B T k e B T 4) 8

9 a hustota pravděpodobnosti polohy je tedy P x) = = P n ρ n x) 4) n= ) e hω ) k B T e n hω k B T x CnH n e x σ 4) σ hω k B T = e σ π n= x e σ n= n! hω k e B T n S využitím součtového vztahu 34) tento výraz přechází do tvaru P x) = σ π e hω k B T e x e hω k B T σ exp H n ) x. 43) σ x ) σ e hω 44) k B T + = ) e σ πcotgh hω k B T σ cotgh x hω k B T ). 45) Průběh hustoty pravděpodobnosti je tedy gaussovský viz obr. 4) s pološířkou σt ) = σ cotgh ) hω. 46) k B T Tvar této funkce je na obr. 5. S využitím limitních vztahů pro hyperbolický cotangens cotghx pro x a cotghx /x pro x dostáváme pro nízké teploty σt ) σ pro k B T hω 47) a pro vysoké teploty σt ) σ k B T hω = k B T mω pro k B T hω. 48) Poslední výraz odpovídá našemu očekávání, protože z něho plyne pro střední hodnotu potenciální energie U = mω σ T ) = k BT, 49) tedy klasická hodnota pro potenciální energii harmonického oscilátoru. Podobným způsobem najdeme i rozdělení hybnosti. Vlnové funkce v hybnostní reprezentaci mají tvar ) ψ n p) = C σp n H n e σ p h h, 5) kde C n = σ n n! h. 5) π 9

10 ~ σ / σ T / h ω /k ) Obrázek 5: Závislost pološířky σ rozdělení polohy harmonického oscilátoru na teplotě T ; σ je tu udáno v jednotkách pološířky vakuového stavu σ = h/mω). Čárkovaná čára odpovídá klasickému vztahu 48). B Sečtením hustot pravděpodobnosti přes všechny vlastní stavy hamiltoniánu podobně jako v předchozím případě dostaneme pro termální stav P p) = σ ) e h πcotgh hω k B T h cotgh σ p hω k B T ). 5) Opět se tedy jedná o gaussovské rozdělení, tentokrát s pološířkou p = h ) hω cotgh σ k B T ) m hω = cotgh hω k B T 53) ). 54) Pro nízké teploty, k B T hω dostáváme p hmω/, tedy pološířku vakuového stavu, kdežto pro vysoké teploty máme p mk B T. 55) U posledního vztahu je důležité, že nezávisí na frekvenci harmonického oscilátoru. Je to také výsledek, který očekáváme: střední hodnota kinetické energie je m p k BT, což je výsledek klasické fyziky. 4. Umístíme-li částici se spinem / do magnetického pole B, rozštěpí se její energetická hladina na dvě: µb a +µb, kde µ je velikost magnetického momentu částice. Předpokládejme systém tvořený N takovýmito rozlišitelnými částicemi v poli B při teplotě T. Určete pro takový systém a) Statistickou sumu, b) střední energii, c) celkový magnetický moment, d) tepelnou kapacitu, e) entropii. U jednotlivých veličin načrtněte jejich závislost na β= /k B T ) a na teplotě T.

11 Řešení: Z = [ coshβµb)] N, 56) E = N µb tghβµb), 57) M = Nµ tghβµb), 58) C V = Nk B βµb) cosh βµb, 59) S = Nk B [ln coshβµb)) βµb tghβµb)]. 6) 5. Uvažujme kvantový lineární harmonický oscilátor s frekvencí ω, který je v tepelném kontaktu s tepelným rezervoárem o teplotě T. Určete pro tento systém a) Statistickou sumu, b) střední hodnotu energie, c) tepelnou kapacitu, d) entropii. U jednotlivých veličin načrtněte jejich závislost na β a na teplotě T. Pro tepelnou kapacitu najděte asymptotický průběh pro vysoké a velmi nízké teploty, tedy T hω/k B a T hω/k B. ) Řešení: Pro E n = hω n + : Z = sinh β hω ), 6) E = hω cotghβ hω, 6) ) β hω β hω C V = k B sinh 63) S = k ln sinh β hω ) β hω k cotghβ hω B, 64) pro E n = n hω: Z = E = e β hω), 65) hω e β hω. 66) 6. Vypočtěte střední hodnotu energie a tepelnou kapacitu klasického lineárního harmonického oscilátoru uvažujme tedy spojité energetické spektrum). Řešení: E = k B T 67) C V = k B. 68) 7. Najděte střední energii částice o hmotnosti m v třírozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě o hraně délky L. Soustava je v tepelném kontaktu s rezervoáremo teplotě T. Protože by bylo velice obtížné řešit tuto úlohu obecně, uvažujte pouze extrémní případ vysokou teplotu, kdy se energetické spektrum jeví jako spojité. Co zde znamená pojem vysoká teplota?

12 Řešení: E = 3 k BT 69) C V = 3 k B, 7) T h π k B ml. 7) 8. Najděte střední hodnotu energie a volné energie pro kvantový rotátor s volnou osou rotace a s momentem setrvačnosti I. Uvažujte situaci za vysokých teplot. Výslednou energii srovnejte s hodnotou podle klasické mechaniky. Pozn.: energie rotujícího tělíska s momentem hybnosti o velikosti L je E = L /I), moment hybnosti je kvantován podle vztahu L = h ll + ) a příslušný stupeň degenerace počet možných průmětů momentu hybnosti do osy z) je g l = l+. V klasické mechanice je rotační energie dána vztahem E = p θ I + p φ I sin θ. 7) Řešení: Z = Ik BT h 73) E = k B T 74) F = k B T ln Ik BT h. 75) Termodynamika. Pomocí hustilky na kolo lze dosáhnout tlaku 3 5 Pa, pokud jsme začali vzduch stlačovat při teplotě C a atmosférickém tlaku 5 Pa. Jakou teplotu má vzduch vytlačovaný z hustilky, uvažujeme-li Poissonovu konstantu pro vzduch κ =, 4? Ztráty tepla přes stěny hustilky zanedbejme. ) Řešení: Z rovnice adiabáty pv κ = p V κ můžeme vyjádřit podíl objemů V V = p /κ p a dosadit do stavové rovnice pv T = p V ) T, čímž dostaneme vztah pro teplotu T = p /κ p T. Protože C odpovídá T = 83 K a p/p = 3, máme T 387 K, což je 4 C.. Válec s pístem obsahuje jeden litr vzduchu o tlaku 5 Pa za teploty 5 C. Plyn pomalu stlačujeme při konstantní teplotě na konečný objem,3 l. Jaká práce se při tom vykoná? Řešení: Při izotermickém ději je p = p V /V, takže vykonaná práce je,3 V W = pdv = p V V dv V = p V ln, 3 = J. 76) Záporné znaménko odpovídá tomu, že byla vykonaná práce na systému. 3. Dvě nádoby o objemech jednoho litru a půl litru jsou spojeny hadičkou s izolující pórovitou přepážkou. Ta může zajistit rovnost tlaků v obou nádobách, ne však rovnost teplot. V nádobách je vzduch a pokud mají obě nádoby stejnou teplotu 5 C, je tlak vzduchu 5 Pa. Jak se změní tlak, pokud větší nádobu vložíme do vodní lázně o teplotě 6 C a menší nádobu do ledové lázně

13 T, V T, V Obrázek 6: Spojené lahve se vzduchem o různých teplotách o teplotě C viz obr. 6)? Jaký bude tlak v soustavě, pokud větší nádoba bude v chladné lázni a menší nádoba v teplejší? Řešení: Při počátečních podmínkách s tlakem p a teplotou T musí platit stavová rovnice pro celou soustavu s objemem V + V p V + V ) = nrt. 77) Když nádoby umístíme do lázní s rozdílnými teplotami T a T, dostáváme požadavek rovnosti tlaků p = n RT V = n RT V 78) a zároveň musí být zachováno množství vzduchu v soustavě, tedy n + n = n. 79) Tuto soustavu rovnic můžeme vyřešit a pro neznámou p dostaneme p = V + V )p. 8) T V T + V T Dosadíme-li T = 78 K, dostaneme v prvním případě, kdy T = 333 K a T = 73 K tlak p =, 6 5 Pa a ve druhém případě s T = 73 K a T = 333 K tlak p =, 45 5 Pa. 4. Proužek z elastického materiálu má známou souvislost mezi prodloužením x, napínací silou f a teplotou T danou vztahem x = af + bt T ) + gt T ), 8) kde a, b a g jsou kladné konstanty a T je referenční teplota. Tepelná kapacita proužku při konstantním prodloužení je C x = g x ) a + A T, 8) kde A je kladná konstanta. Přírůstek vnitřní energie lze zapsat formou kombinované věty termodynamiky jako de = T ds + fdx. 83) 3

14 ) a) Vyjádřete diferenciál volné energie df a odvoďte z něj Maxwellovu relaci pro S x. T b) S využitím předchozího vztahu a vztahu pro tepelnou kapacitu najděte vyjádření pro entropii jako funkci x a T, Sx, T ). Entropie při teplotě T a nulovém prodloužení je S. c) Uvažujme, že na počátku měl proužek teplotu T a prodloužení bylo nulové, x =. Pak jsme adiabaticky proužek prodloužili o délku x. Najděte změnu teploty T. Řešení: odkud plyne df = de SdT T ds = SdT + fdx, 84) ) S x T ) f =. 85) T x Explicitní výraz pro poslední derivaci získáme, pokud vyjádříme sílu v závislosti na teplotě a prodloužení z rovnice 8): tedy fx, T ) = x a b a T T ) g a T T ), 86) ) f = b T x a g a T T ). 87) Entropii můžeme určit, pokud známe její derivace podle dvou nezávislých proměnných. Kromě derivace podle x potřebujeme ještě derivaci podle teploty. Tu můžeme určit ze vztahu pro tepelnou kapacitu. Protože platí C x = T ) S, 88) T x ) S = C x T x T = g x + A. 89) a Pokud tento vztah integrujeme podle teploty, dostaneme entropii až na nějakou funkci x, tedy Sx, T ) = g x ) a + A T + λx). 9) Abychom určili, čemu se rovná λx), derivujeme poslední rovnici podle x, tedy ) S x T = gt a + λ x). 9) Tento výraz můžeme porovnat se vztahem plynoucím z Maxwellovy relace 85): Odtud dostáváme ) S x T = b a + g a T T ). 9) λ x) = b a g a T, 93) 4

15 tedy b λx) = a g ) a T x + const. 94) a pro entropii pak máme Sx, T ) = g x ) b a + A T + a g ) a T x + const. 95) Konstantu pak určíme z požadavku, že pro x = a T = T je S = S, takže nakonec máme Sx, T ) = g x ) a + A T T ) + bx a + S. 96) Změnu teploty při adiabatickém protažení dostaneme, když položíme sobě rovné entropie před natažením x = a T = T ) a po natažení x = x a T = T + T ), tedy z čehož plyne g x a + A ) T = T + b x =, 97) a b x a g x a Pro malá prodloužení pak dostáváme linearizovaný výraz + A. 98) T b x aa. 99) Protože konstanty b, a a A jsou kladné, bude se při prodlužování proužek ochlazovat. 5. Objem pece je m 3, její vnitřní teplota je 9 K. a) Jak velkou energii má elektromagnetické záření uvnitř pece, předpokládáme-li, že se jedná o rovnovážný stav? b) Jaký výkon bude pec vyzařovat do prostoru otvorem o plošném obsahu m? c) Jak se změní frekvence s největší intenzitou, pokud by pec měla teplotu 7 K, tedy trojnásobnou? d) Jak by se při ztrojnásobení teploty změnil celkový vyzařovaný výkon? Řešení: Energie záření v objemu V je Výkon záření z plochy S je E = 4σ c V T 4 W 4 5, 7 8 m = K m m K 4 ) s = 4, 94 4 J. ) P = σst 4 = 5, 7 8 W m K 4 m 9 4 K 4 ) = 37, 5W. 3) Pro frekvenci ω, na níž má záření nejvyšší výkon platí hω k B T =, 8, 4) 5

16 tedy ω =, 8 k BT h = 3, 48 4 rad/s. 5) Frekvence s maximálním výkonem závisí na teplotě lineárně, tedy při ztrojnásobení frekvence se též ztrojnásobí. Výkon záření je úměrný čtvrté mocnině teploty, tedy při ztrojnásobení teploty se výkon zvýší 3 4 = 8krát. 6. Na obrázku 7 je v pv diagramu znázorněn cyklus, provedený s jedním molem ideálního jednoatomového plynu. Plyn nejprve izotermicky expanduje, až zdvojnásobí svůj objem na V, pak plyn izobaricky stlačujeme a nakonec ho adiabaticky stlačíme na původní objem. a) Určete hodnoty termodynamických veličin p, V a T ve stavech A, B a C. b) Vyjádřete hodnoty tepelných kapacit C V a C p pomocí plynové konstanty R. c) Pro každý z dějů AB, BC, CA vypočtěte celkové teplo, které si soustava vymění s okolím znaménkem se musí lišit teplo, které soustava přijímá od tepla, které odevzdává). d) Pro každý z dějů AB, BC, CA vypočtěte celkovou práci, kterou soustava vykoná opět zde hraje roli znaménko). e) Určete celkovou práci, kterou během jednoho cyklu získáme. f) Vypočtěte účinnost tohoto cyklu vyjádřete ji pouze pomocí veličin p, V a Poissonovy konstanty). g) Porovnejte výslednou účinnost s účinností Carnotova stroje, který pracuje mezi stejnou maximální a minimální teplotou, jako tento cyklus. p p A p / C B V V V Obrázek 7: Cyklus s jedním molem ideálního jednoatomového plynu. Řešení: Hodnoty termodynamických veličin jsou v tabulce, p V T A p V T B p / V T C p / /κ V /κ T 6

17 kde T = p V /R. Tepelné kapacity jsou C V = 3 R a C p = 5 R a tepla v jednotlivých procesech jsou V dv Q AB = W AB = p V V V = p V ln, 6) Q BC = C p T C T B ) = 5 RT /κ ) = 5 p V /κ ), 7) Q CA =. 8) Práce vykonané v jednotlivých procesech pak jsou celková práce pak je Účinnost cyklu je potom V dv W AB = p V V V = p V ln, 9) W BC = p V C V B ) = p V /κ ), ) W CA = p V κ V /κ V V κ dv = /κ p V, ) κ W = W AB + W BC + W CA = p V ln κ /κ ). ) κ η = W = κ /κ ) Q AB κ ) ln = 5 /5) 3) ln, 7%. 4) U Carnotova cyklu pracujícího ve stejném teplotním rozpětí, tedy mezi T a /κ T, je účinnost η C = /κ T T = /5 4, %. 5) 7. Na obrázku 8 je v pv diagramu znázorněn cyklus, provedený s jedním molem ideálního jednoatomového plynu. Plyn nejprve izochoricky zahříváme, až zdvojnásobí svůj tlak na p, pak se plyn adiabaticky rozpíná a zmenšuje svůj tlak až na p a nakonec plyn izobaricky stlačíme na původní objem. a) Určete hodnoty termodynamických veličin p, V a T ve stavech A, B a C. b) Vyjádřete hodnoty tepelných kapacit C V a C p pomocí plynové konstanty R. c) Pro každý z dějů AB, BC, CA vypočtěte celkové teplo, které si soustava vymění s okolím znaménkem se musí lišit teplo, které soustava přijímá od tepla, které odevzdává). d) Pro každý z dějů AB, BC, CA vypočtěte celkovou práci, kterou soustava vykoná opět zde hraje roli znaménko). e) Určete celkovou práci, kterou během jednoho cyklu získáme. 7

18 p p B p A C V V Obrázek 8: Cyklus s jedním molem ideálního jednoatomového plynu. f) Vypočtěte účinnost tohoto cyklu vyjádřete ji pouze pomocí veličin p, V a Poissonovy konstanty). g) Porovnejte výslednou účinnost s účinností Carnotova stroje, který pracuje mezi stejnou maximální a minimální teplotou, jako tento cyklus. Řešení: Hodnoty termodynamických veličin jsou v tabulce, p V T A p V T B p V T C p /κ V /κ T kde T = p V /R. Tepelné kapacity jsou C V = 3 R a C p = 5 R a tepla v jednotlivých procesech jsou Práce vykonané v jednotlivých procesech pak jsou celková práce pak je Q AB = C V T = 3 p V, 6) Q BC =, 7) Q CA = C p T = 5 ) /κ p V. 8) W AB =, 9) /κ V W BC = pdv = p V κ [V κ] /κ V V κ V [ ] κ = p V, ) κ )κ ) W CA = p V = /κ p V, ) W = W BC + W CA = p V [ κ 8 ) κ ) ] )κ /κ

19 Účinnost cyklu je potom + κ /κ) = p V. ) κ η = W = + κ /κ) Q AB 3 κ 4%. 3) U Carnotova cyklu pracujícího ve stejném teplotním rozpětí, tedy mezi T a T, je účinnost η C = T T = 5%. 4) 8. Tlak syté vodní páry při 373 K je 5 Pa, latentní teplo vypařování je 4,7 kj/mol. Odhadněte tlak syté vodní páry při 383 K a při 363 K. Řešení: Z Clausiovy - Clapeyronovy rovnice p = p e q kt = p e L RT, 5) kde L = N A q je molární latentní teplo vypařování dostaneme pro poměr tlaků p /p syté páry při teplotách T a T [ p L = exp )] 6) p R T T a tedy [ L p = p exp )], 7) R T T takže dosazením dostaneme tlak syté páry při 383 K p =, 4 5 Pa a při 363 K p =, 7 5 Pa. 9. Tlak syté vodní páry nad ledem při 68 K je,965 5 Pa a při 73 K je to 4,56 5 Pa. Odhadněte latentní teplo sublimace ledu. Řešení: Z Clausiovy - Clapeyronovy rovnice ve tvaru 6) lze vyjádřit molární latentní teplo ve tvaru odkud plyne L = 5, 37kJ/mol. L = RT T ln p p T T, 8). Odhadněte teplotu varu vody při tlaku 3 5 Pa, je-li latentní teplo vypařování 4,7 kj/mol. Řešení: Při tlaku 5 Pa vře voda při teplotě 373 K, atmosférický tlak při varu přitom odpovídá tlaku syté páry za teploty varu. Tuto teplotu můžeme vyjádřit z Clausiovy - Clapeyronovy rovnice ve tvaru 6) jako T = T R L ln p p, 9) z čehož dosazením dostaneme T = 47 K.. Smíšením vody H O, amoniaku NH 3 a chlorovodíku HCl vznikne směs těchto látek a navíc chlorid amonný NH 4 Cl. Jaký je počet parametrů, kterými můžeme jednoznačně specifikovat termodynamický stav takového systému, jsou-li v něm zastoupeny plynná, kapalná i pevná fáze? Řešení: Dosazením do Gibbsova fázového pravidla f = n+ r, kde f je počet stupňů volnosti, n = 4 je počet látek a r = 3 je počet fází, dostáváme f = 3. 9