Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.
|
|
- Ivo Svoboda
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace je nejčastěji: polynom c 0 c 1 xc 2 x 2 c m x m zobecněný polynom c 0 g 0 xc 1 g 1 xc m g m x, kde g 1 x,, g m x je systém m1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí racionální lomenou funkci a 0 a 1 xa 2 x 2 a k x k b 0 b 1 xb 2 x 2 b l x l ( m=kl ) jiná Důvody aproximací jsou: přílišná složitost funkce nutnost počítání characteristik funkce (derivací, integrálů) neznalost funkce (resp. jejího analytického vyjádření) Typy aproximací: Interpolace, extrapolace hledáme funkci ( m x ), která má v zadaných bodech x 0,, x n stejné hodnoty (případně i jejich derivace), jako funkce, kterou chceme aproximovat, dělá se buď globálně nebo lokálně na každém intervalu x k, x k1. Čebyševova aproximace hledáme funkci ( m x ) tak, abychom na zadaném intervalu a,b minimalizovali funkcionál max x a, b m x f x, m x pak nazýváme nejlepší stejnoměrnou aproximací. Metoda nejmenších čtverců je založena na minimalizaci buď b a w x[ f x m x] 2 n dx nebo w [ f m ] 2 i=0 (podle toho, jestli se jedná o spojitý nebo diskrétní případ), v diskrétním případě je vždy nm a tak m neprochází všemi zadanými body, volí se často w x=1, pokud je wx const, mluví se o vážené metodě nejmenších čtverců a funkci wx se říká váha. Interpolace a extrapolace Lagrangeův interpolační polynom Jsou zadány body x 0,, x n a k nim funkční hodnoty y 0,, y n. Lagrangeův interpolační polynom L n je polynom stupně nejvýše n takový, že se jeho hodnota ve všech zadaných bodech x 0,, x n rovná zadaným funkčním hodnotám y 0,, y n.
2 Platí tedy L n x 0 =y 0, L n x 1 =y 1,, L n x n =y n a bodům x 0,, x n říkáme uzly interpolace. K sestrojení Lagrangeova polynomu se definují funkce F i x tak, že F i x j = 1 i= j 0 i j Tyto funkce mají tvar F i x= x x x x x x x x n 0 i 1 i1 n x x n = x x j j=0, j i x j a polynom L n x pak má tvar n L n x= y i F i x. i=0 Pokud jsou uzly rozmístněny ekvidistantně (rovnoměrně s krokem h ), lze Lagrangeův polynom zapsat jako n t t 1 t n L n x=l n x 0 th= y i. i=0 t ii!n i! 1 n i Lagrangeův vzorec se nehodí pro numerický výpočet interpolace. Koeficienty Lagrangeova polynomu lze spočítat řešením systému lineárních rovnic. Matice tohoto systému (Van der Mondova) je však (pro ekvidistantní uzly) často špatně podmíněná, vypočet koeficientů tedy není přesný. Pro implementaci Lagrangeovy interpolace se používá Nevillův algoritmus. Principem tohoto algoritmu je Lagrangeova interpolace na postupně se zvětšujícím počtu uzlů. L ik x=l i x,, 1,, k, y i, y i 1,, y i k je tedy interpolace Lagrangeovým polynomem stupně nejvýše i v k bodech,, k. L i0 x=y i, L i 1,0 x=y i 1, L i1 x=l i x,, 1, y i, y i 1 = x L i 1,0 x 1 x L i0 x 1 = = x y i 1 1 x y i 1, atd. Pro tyto postupné aproximace platí totiž rekurentní vztah L ik x= x L i 1, k 1 x 1 x L i, k 1 x k
3 Interpolace se tedy provádí podle následujícího schématu x y k=0 k=1 k=i 1 k=i k=n x 0 y 0 L 00 x 1 y 1 L 10 L 11 1 y i 1 L i 1,0 L i 1,1 L i 1,i 1 y i L i0 L i1 L i,i 1 L ii x n y n L n0 L n1 L n,i 1 L n i L n n Polynomy se počítají zleva doprava a zezhora dolu (ve směru tmavnoucí barvy). Lagrangeův interpolační polynom je pak L n x=l n n x. Odhad chyby aproximace je dán buď rozdílem L n n x L n 1, n 1 x nebo rozdílem L n n x L n,n 1 x. Příklad v PASCALU DEMPOL.PAS. Při implementaci Nevillova algoritmu se počítají koeficienty C m,i =L im, m L im 1, m 1, D m,i =L im, m L im, m 1 a C m1,i = xc m,i1 D m,i m1 Přitom v koeficientech C m,i a D m,i je odhad chyby., D m1,i = m1 xc m,i1 D m,i m1 Odhad chyby polynomiální interpolace je dán R x= f x L n x=x x 0 x x n f n1 n1! kde minx 0,, x n, max x 0,, x n., Interpolace je hledání hodnoty funkce v bodě x x 0, x n. Extrapolace je hledání hodnoty funkce v bodě xx 0 nebo xx n. Při extrapolaci při rostoucí vzdálenosti od krajních bodů intervalu chyba roste rychle. Pro ekvidistantní uzly a vysoké stupně polynomu, má polynom mezi uzly tendenci oscilovat. Proto se polynomiální interpolace s ekvidistantními uzly používá v praxi pro n 7.
4 Konvergence L n x f x s rostoucím n je zaručena pro analytické funkce, které mají derivaci v celém komplexním oboru s vyjímkou. Newtonův interpolační polynom Obdoba Lagrangeova interpolačního polynomu. N n x=a 0 a 1 x x 0 a 2 x x 0 x x 1 a n x x 0 x x n Koeficienty a 0,, a n se počítají pomocí poměrných nebo obyčejných diferencí. Poměrná diference k tého řádu 1.řádu f, 1 = y i1 y i 1, f,, k = f 1,, k f,, k 1 k Potom a 0 = f x 0, a 1 = f x 0, x 1,, a n = f x 0,, x n Obyčejná diference 1. řádu 1 f i =y i1 y i k tého řádu k f i = k 1 f i1 k 1 f i Příklad v PASCALU ZKPOL.PAS, ZKPO1L.PAS, ZKPOL2.PAS. Racionální lomená funkce Pro některé funkce vhodnější než polynom. Je dáno m1 dobů, pak lze zadanou funkci aproximovat pomocí racionální lomené funkce R i, j x= p p x p x2 p i, kde i j=m a lze q q 0 q 1 xq 2 x 2 q j x j 0 =1. Algoritmus obdobný Nevillovu algoritmu Burlisch a Stoer.
5 RATINT: procedure expose A. B. parse arg N, V Tiny = 1E 25; Ns = 1; Hh = ABS(V A.1) do I = 1 to N H = ABS(V A.I) if H = 0 then do Y = B.I; Dy = 0 return Y Dy end else if H < Hh then do; Ns = I; Hh = H; end C.I = B.I; D.I = B.I + Tiny end Y = B.Ns; Ns = Ns 1 do M = 1 to N 1 do I = 1 to N M Ip1 = I + 1; W = C.Ip1 D.I IpM = I + M; H = A.IpM V T = (A.I V) * D.I / H Dd = T C.Ip1 if Dd = 0 then call ERROR "RATINT: Error ", "the interpolating function has", "a pole at the requested value V" Dd = W / Dd; D.I = C.Ip1 * Dd; C.I = T * Dd end if 2 * Ns < (N M) then do; Nsp1 = Ns + 1; Dy = C.Nsp1; end else do; Dy = D.Ns; Ns = Ns 1; end Y = Y + Dy end return Y Dy ERROR: say ARG(1); exit Hermiteova interpolace Kromě funkčních hodnot zadané i některé derivace, tedy x 0,, x n, y 0,, y n a a y ' 0, y '' 0,, y 0 a 0,, y ' n, y '' n,, y n n. n=ma 0 a n pak podmínky dané zadáním splňuje funkce H n x, který lze zapsat jako H n x=l n x x x 0 x x n H n m 1 x. Pro polynom H n m 1 x stupně n m 1 platí y ' i L ' n H n m 1 = a tak se dopočítají pomocí x x n zadaných prvních derivací některé koeficienty. Pro další derivace se postupuje podobně.
6 Interpolační spline Lokální interpolace taková, že kromě průchodu všemi uzly požadujeme v uzlech ještě spojitost první derivace (alespoň první). Máme tedy na funkci, aproximující zadané hodnoty na intervalu, 1 4 podmínky y i, y i1, y' i =y ' i, y ' i1 =y ' i1. Proto funkce, použitá pro interpolaci musí mít nejméně 4 volitelné parametry. Velmi často se jako tato funkce používá kubický polynom kubický spline. Máme li tedy kubický polynom a 2 krát ho zderivujeme dostaneme lineární funkci. Pro tuto funkci máme zadány hodnoty v krajních bodech y '' i, y '' i1. Lagrangeovou interpolací pak můžeme vyjádřit y ''=Ay '' i By '' i1, kde A= 1 x 1 a B= x 1. Po dvojím integrování s podmínkami y =y i a y 1 =y i1 dostaneme y=a y i B y i1 C y'' i D y '' i1, kde C= 1 6 A3 A 1 2 a D= 1 6 B3 B1 2. (Integrují se koeficienty A x a Bx ) Okrajové podmínky platí zkuste si dosadit do A x a B x body a 1. Hodnoty y '' i můžeme vypočítat z podmínky spojitosti 1. derivace a ze znalosti 1. derivací v krajních bodech intervalu ( tedy y' 0 a y ' n ). Pokud derivace neznáme, zadává se y '' 0 =0 a y '' n =0 přirozený spline. Provedením derivace y x a z podmínky spojitosti 1. derivace v krajních bodech (tj. pokud dosadíme do y ' x na intervalu 1, bod, musí se to rovnat tomu, když se do y 'x na intervalu, 1 dosadí rovněž bod ). Z toho plyne následující soustava pro druhé derivace: 1 6 y '' i 1 x 1 i 1 y '' 3 i x 1 i y '' 6 i1 = y y i1 i y y i i To je soustava s tridiagonální maticí.
7 Příklady v PASCALU SPLINE.PAS, SPLPRA.PAS, SPLPRB.PAS, SPLRUN.PAS. Více dimenzí (2) lokální a globální Lineární Jsou zadány y 1 =y j, k, y 2 =y j1, k, y 3 =y j1, k1, y 4 =y j, k1 Definujeme t= x 1 x 1 j D 1 úseček ohraničujících interval). a u= x 2 x 2 k D 2 (tedy v podstatě relativní vzdálenosti od Lokální lineární interpolace je dána vztahem y x 1, x 2 =1 t 1 u y 1 t 1 u y 2 tuy 3 1 tuy 4. Bikubická Jde o lokální interpolaci Hermiteova typu. V každém bodě jsou zadány hodnoty fce. a jejích parciálních derivací. y y 2 y y x 1, x 2,,, x 1 x 2 x 1 x 2 V každém bodě jsou tedy dány 4 podmínky a ve dvourozměrném intervalu je jich tedy 16 Bikubická interpolace se hledá ve tvaru 4 y x 1, x 2 = i=1 4 c ij t i 1 u j 1. j=1
8 Bikubický spline Lokální interpolace se spojitými parciálními derivacemi v obou směrech na hranicích intervalu. Interpoluje se v jednom směru a pak ve druhém. Globální interpolace Vyšší řád přesnosti. Opět interpolace v jednom směru a pak ve druhém.
Čebyševovy aproximace
Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu
VíceAproximace funkcí. Polynom Φ m (x) = c 0 + c 1 x + c 2 x c m x m. Φ m (x) = c 0 g 0 (x) + c 1 g 1 (x) + c 2 g 2 (x) +...
Aproximace funkcí 1 Úvod Aproximace funkce - výpočet funkčních hodnot nejbližší (v nějakém smyslu) funkce v určité třídě funkcí (funkce s nějakými neznámými parametry) Příklady funkcí používaných pro aproximaci
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceAproximace funkcí. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Aproximace funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Dělení Interpolace 1D Více dimenzí Minimalizace Důvody 1 Dělení Dělení - Získané data zadané data 2 Dělení - Získané data Obecně
VíceKombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
VíceIntegrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze
Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál
VíceŘešení nelineárních rovnic
Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceInterpolace pomocí splajnu
Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Připomenutí U interpolace požadujeme, aby graf aproximující funkce procházel všemi uzlovými body. Interpolační polynom aproximující funkce je polynom
Více1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
VíceNumerická matematika Písemky
Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceLibovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0.
A 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! sin x + x 2 2 = 0. Rovnici lze upravit na sin
VícePolynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
Více5. Interpolace a aproximace funkcí
5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x
VíceINTERPOLAČNÍ POLYNOM. F (x)... hledaná funkce (polynom nebo funkce vytvořená z polynomů), pro kterou platí
8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace Kateřina Konečná/1 INTERPOLAČNÍ POLYNOM aproximace zadaných hodnot nebo hledané funkce f funkcí F (x) (polynomem) F musí být k f co nejblíže značení:
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 21 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 2 / 21 Řešíme následující úlohu: differencovatelnou funkci f : R R známe jen v konečném počtu bodů x 0,
VíceBézierovy křivky Bohumír Bastl KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26
Bézierovy křivky Bohumír Bastl (bastl@kma.zcu.cz) KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26 Opakování Spline křivky opakování Bézierovy křivky GPM 2 / 26 Opakování Interpolace
VíceNUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí.
NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. RNDr. Radovan Potůček, Ph.D., K-15, FVT UO, KŠ 5B/11, Radovan.Potucek@unob.cz, tel. 443056 -----
VíceINTERPOLAČNÍ POLYNOM.... hledaná funkce (polynom nebo funkce vytvořená z polynomů), pro kterou platí
8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace 1 INTERPOLAČNÍ POLYNOM aproximace zadaných hodnot nebo hledané funkce f funkcí F (x) (polynomem) F musí být k f co nejblíže značení: P (n) množina všech
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VíceHledání extrémů funkcí
Hledání extrémů funkcí Budeme se zabývat téměř výhradně hledáním minima. Přes nost nalezeného extrému Obecně není hledání extrému tak přesné jako řešení rovnic. Demonstrovat to můžeme na příkladu hledání
Víceem do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda
Zápočtové problémy Na následujících stránkách naleznete druhou sérii zápočtových problémů věnovanou nosníkům. Ti, co ještě nemají žádný problém přidělený, si mohou vybrat libovolný z nich. Řešení můžete
VíceNumerické metody a programování. Lekce 7
Numerické metody a programování Lekce 7 Řešení nelineárních rovnic hledáme řešení x problému f x = 0 strategie: odhad řešení iterační proces postupného zpřesňování řešení výpočet skončen pokud je splněno
VícePseudospektrální metody
Pseudospektrální metody Obecně: založeny na rozvoji do bázových funkcí s globálním nosičem řešení diferenciální rovnice aproximuje sumou kde jsou např. Čebyševovy polynomy nebo trigonometrické funkce tyto
VíceInterpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012
Interpolace Lagrangeovy polynomy Michal Čihák 29. října 2012 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceInterpolace, aproximace
11 Interpolace, aproximace Metoda nejmenších čtverců 11.1 Interpolace Mějme body [x i,y i ], i =0, 1,...,n 1. Cílem interpolace je najít funkci f(x), jejíž graf prochází všemi těmito body, tj. f(x i )=y
Víceúloh pro ODR jednokrokové metody
Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat
VíceLineární a polynomická regrese, interpolace, hledání v tabulce
co byste měli umět po dnešní lekci: proložit body přímku, parabolu,... a určit chyby parametrů (u přímky) interpolovat mezi hodnotami v tabulce hledat v tabulce (1D) prokládání (fitování) křivek metoda
VíceJana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU
Počítačová grafika Křivky Jana Dannhoferová (jana.dannhoferova@mendelu.cz) Ústav informatiky, PEF MZLU Základní vlastnosti křivek křivka soustava parametrů nějaké rovnice, která je posléze generativně
VíceTypy příkladů na písemnou část zkoušky 2NU a vzorová řešení (doc. Martišek 2017)
Typy příkladů na písemnou část zkoušky NU a vzorová řešení (doc. Martišek 07). Vhodnou iterační metodou (tj. metodou se zaručenou konvergencí) řešte soustavu: x +x +4x 3 = 3.5 x 3x +x 3 =.5 x +x +x 3 =.5
VíceAPROXIMACE FUNKCÍ. Jedním ze základních úkolů numerických metod matematické analýzy je studium aproximací
APROXIMACE FUNKCÍ Jedním ze základních úkolů numerických metod matematické analýz je studium aproimací funkcí. Při numerickém řešení úloh matematické analýz totiž často nahrazujeme danou funkci f, vstupující
VíceGlobální matice konstrukce
Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{
VíceNumerická integrace a derivace
co byste měli umět po dnešní lekci: integrovat funkce různými metodami (lichoběžníkové pravidlo, Simpson,..) počítat vícenásobné integrály počítat integrály podél křivky a integrály komplexních funkcí
Více4 Numerické derivování a integrace
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0548 Název školy: Gymnázium, Trutnov, Jiráskovo náměstí 325 Název materiálu: VY_32_INOVACE_158_IVT Autor: Ing. Pavel Bezděk Tematický okruh:
VíceSemestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
Více5. Plochy v počítačové grafice. (Bézier, Coons)
5. PLOCHY V POČÍAČOVÉ GRAFICE Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět popsat plochy používané v počítačové grafice řešit příklady z praxe, kdy jsou použity plochy Výklad Interpolační plochy - plochy,
VíceAproximace a interpolace
Aproximace a interpolace Aproximace dat = náhrada nearitmetické veličiny (resp. složité funkce) pomocí aritmetických veličin. Nejčastěji jde o náhradu hodnot složité funkce g(x) nebo funkce zadané pouze
Více1 Diference a diferenční rovnice
1 Diference a diferenční rovnice Nechť je dána ekvidistantní síť uzlů x 0, x 1,..., x n tj. h R, h > 0 takové, že x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n. Číslo h se nazývá krok. Někdy můžeme uvažovat i nekonečnou
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VíceFP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
VíceČeské vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM
OKRUHY ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM Obor: Studijní program: Aplikace přírodních věd 1. Vektorový prostor R n 2. Podprostory 3. Lineární zobrazení 4. Matice 5. Soustavy lineárních rovnic
VíceObyčejné diferenciální rovnice (ODE)
Obyčejné diferenciální rovnice (ODE) Obyčejné diferenciální rovnice N tého řádu převádíme na soustavy N diferenciálních rovnic prvního řádu. V rovnici f x, y, y ', y '',, y N =gx se substituují y '=z 1,
VíceAPROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL
APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL Jiří Kulička 1 Anotace: Článek se zabývá odvozením, algoritmizací a popisem konstrukce
Více- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady
Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.
VíceTéma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceAproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy
Aproimace posuvů Pro každý prvek se musí nalézt vztahy kde jsou prozatím neznámé transformační matice. Neznámé funkce posuvů se obvykle aproimují ve formě mnohočlenů kartézských souřadnic. Například 1.
Více5. Aproximace funkcí. Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita. Hana Hladíková
5 Aproximace funkcí Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Hana Hladíková V praxi je často potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší, která v nějakém vhodném
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VíceGeometrické transformace
1/15 Předzpracování v prostoru obrazů Geometrické transformace Václav Hlaváč, Jan Kybic Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz http://cmp.felk.cvut.cz/
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
VíceLiteratura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceNumerické metody a statistika
Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 016-017 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 / Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 / Geometrický význam integrálu
VíceLiteratura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys:
VíceUNIVERZITA PARDUBICE. 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek
UNIVERZITA PARDUBICE Licenční Studium Archimedes Statistické zpracování dat a informatika 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek Mgr. Jana Kubátová Endokrinologický ústav V Praze, leden 2012 Obsah
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
Více1. Chyby vstupních dat metody převedení úlohy na numerickou (řád použité metody) zaokrouhlovací reprezentace čísel v počítači
1. Chyby vstupních dat metody převedení úlohy na numerickou (řád použité metody) zaokrouhlovací reprezentace čísel v počítači 2. Reprezentace čísel v Pascalu celá čísla Typ Rozsah Formát shortint 128..127
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceAproximace a interpolace
Aproximace a interpolace Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl 12. přednáška 11MAG pondělí 15. prosince 2014 verze:2014-12-15 11:10 Obsah 1 Úlohy 2 1.1 Aproximace funkcí...................................
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování
KATEDRA ANALYTICKÉ CHEMIE FAKULTY CHEMICKO TECHNOLOGICKÉ UNIVERSITA PARDUBICE - Licenční studium chemometrie LS96/1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování Praha, leden 1999 0 Úloha
Více15. listopadu Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta. Hermitovská interpolace
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta Hermitovská interpolace 15. listopadu 2017 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 15. listopadu 2017 1 / 23 Hermiteovská
VíceSbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VíceStrukturální regresní modely. určitý nadhled nad rozličnými typy modelů
Strukturální regresní modely určitý nadhled nad rozličnými typy modelů Jde zlepšit odhad k-nn? Odhad k-nn konverguje pro slušné k očekávané hodnotě. ALE POMALU! Jiné přístupy přidají předpoklad o funkci
VíceZákladní vlastnosti křivek
křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky
VíceDEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib
INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student
VíceKřivky a plochy technické praxe
Kapitola 7 Křivky a plochy technické praxe V technické praxi se setkáváme s tím, že potřebujeme křivky a plochy, které se dají libovolně upravovat a zároveň je jejich matematické vyjádření jednoduché.
VíceMetoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)
Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.
VíceNumerické metody: aproximace funkcí
Numerické metody: aproximace funkcí Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceNumerická matematika Banka řešených příkladů
Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Více4. Diferenciál a Taylorova věta
4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceNumerické metody optimalizace - úvod
Numerické metody optimalizace - úvod Petr Tichý 16. února 2015 1 Organizace přednášek a cvičení 13 přednášek a cvičení. Zápočet: úloha programování a testování úloh v Matlabu. Další informace na blogu
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
VíceNumerické metody: aproximace funkcí
Numerické metody: aproximace funkcí Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceZákladní vlastnosti ploch
plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie
VíceNUMERICKÁ MATEMATIKA
NUMERICKÁ MATEMATIKA Miroslav Vicher 7. ledna 2003 miroslav.vicher@mff.cuni.cz http://mbox.troja.mff.cuni.cz/~vicher Obsah 1 Numerická matematika 5 1.1 Reprezentace čísel............................ 5
Víceekologie Pavel Fibich rovnice rovnice Pavel Fibich Shrnutí Literatura
a diferenční - nalévárna pavel.fibich@prf.jcu.cz 27. září 2012 Obsah 1 2 3 4 5 6 7 Proč povídat o diferenciálních (δr) a diferenčních rovnicích ( R) v kurzu? δr a R jsou vhodné pro popisy vztahů a vývoje
VíceOdhad stavu matematického modelu křižovatek
Odhad stavu matematického modelu křižovatek Miroslav Šimandl, Miroslav Flídr a Jindřich Duník Katedra kybernetiky & Výzkumné centrum Data-Algoritmy-Rozhodování Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita
Vícena magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy
Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd
VíceNumerické metody a programování. Lekce 8
Numerické metody a programování Lekce 8 Optimalizace hledáme bod x, ve kterém funkce jedné nebo více proměnných f x má minimum (maximum) maximalizace f x je totéž jako minimalizace f x Minimum funkce lokální:
VíceDiferenciál a Taylorův polynom
Diferenciál a Taylorův polynom Základy vyšší matematiky lesnictví LDF MENDELU c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 1 / 11 Aproximace funkce v okoĺı bodu Danou funkci
VíceMatematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta 5. října 2016 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 5. října 2016 1 / 14 Obsah dnešní přednášky Co je to geometrické
VíceMatematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta 2. října 2018 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 2. října 2018 1 / 15 Obsah dnešní přednášky Co je to geometrické
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceNumerická matematika. Zadání 25. Řešení diferenciální rovnice Rungovou Kuttovou metodou
Numerická matematika Zadání 25. Řešení diferenciální rovnice Rungovou Kuttovou metodou Václav Bubník, xbubni01, sk. 60 FIT VUT v Brně, 2004 Obsah Numerická matematika...1 1. Teorie... 3 1.1 Diferenciální
VíceTest M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.
Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceA 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!
A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00
VíceGlobální extrémy. c ÚM FSI VUT v Brně. 10. ledna 2008
10. ledna 2008 Příklad. Určete globální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + 2xy + 2y 2 3x 5y na množině M. Množina M je trojúhelník určený body A[0, 2], B[3, 0], C[0, 1]. Protože množina M je kompaktní (uzavřená,
Více