Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky Augustin Pánek O ustnovení vzorce pro ploský obsh trojúhelníku, jsou-li dány strny jeho Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky, Vol. 9 (1880, No. 4, 152--156 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/109299 Terms of use: Union of zech Mthemticins nd Physicists, 1880 Institute of Mthemtics of the Acdemy of Sciences of the zech Republic provides ccess to digitized documents strictly for personl use. Ech copy of ny prt of this document must contin these Terms of use. This pper hs been digitized, optimized for electronic delivery nd stmped with digitl signture within the project DML-Z: The zech Digitl Mthemtics Librry http://project.dml.cz
152 Souřdnice středu jsou: BF 3F... x = 3 y = 3 (!8' bya l D hyau 1 Rovnice týkjící se osttních dvou šestibodových kuželo- 3 seček obdržíme, nhrdíme-li ll osttními dvěm hodnotmi této třetí odmocniny. O ustnovení vzorce pro ploský obsh trojúhelníku, jsou-li dány strny jeho. Npsl Augustin Pánek. Známý vzorec pro vyjádření obshu trojúhelníkového á 2 = s (s (s b s c lze též vyvoditi n zákldě poučky součtové sice tkto: Pltí-li podmínečná rovnice * + 0 + y = *» (1 jest sin -z: sin (/3 -f- y = sin (i cosy ~J- cos fi sin y, nebo vyjádříme-li sinus kosinusem, též sin cc sin /3\f 1 sin 2 y sin y \f 1 sin 2 /3 zzz 0. (2 Rovnici tuto lze uvésti n tvr V*T V^T ~ V^ž = i kteráž ve formě změrné čili rcionální zní j% r - Xn J Xm ÍJIJ* 3?2 -"~~~ &X% ^ -~-~* JuX^ X*i. v. J Položíme-li tedy? t "=: SÍTI 2, ct? 2 =: sm 2 /J (1 sin % y, x 3 z=. sin 2 y (1 sin 2 p, obdrží rovnin (2 dle posledního vzorce tvr * hceme-li rovnici tuto psáti ve tvru determinntu, uveďme ji nejprve n tvr (x % +x 2 x 9 ( x x +cc, + x 9 2x l ( re, + x 2 x 9 = 0, nčež bude žádný determinnt \x l +x 2 x 9, x l +x 2 x x 2x %, x x + oc, + Í, = 0.
153 sin* -f~ sin* fl -}- sin* y 2 sin 2 sin 2 fi 2 sin 2 sin 2 y 2 sin 2 p sin 2 y -f- 4 sin 1 sin 2 /3 sin 2 y = O, (3 X nebo po sndné redukci též Asin 2 sin 2 {l sin 2 y = (srn ~f- */» /? -f- «ÍTI ^ ( sin -(- sin /? - -MV&?> (sin sin l3 -f- srn?> (šín -f-.nrc /? sevz y* (3 2 Jk povědomo, možno tkový součin, jký se jeví n prvé strně této rovnice, psáti ve tvru souměrného determinntu čtvrtého stupně s příčkou prázdnou, tudíž jest O siná sin (i siny siná O siny sinfi 4 sгvг 2 sin 2 ß sin 2 y =- (3, sinfi siny O siná siny sin/i siná O Ale poněvdž bezprostředně z příslušného obrzce plyne Zvýšíme-li stupen determinntu tohoto o jednu, obdržíme 1, X 2 j x 2 0 Xl+x 2 x sy x t + x 2 + x s = 0. O 2x 2, x L + x 2 + x s i Přičetše první řádek ke druhému třetímu, budeme míti 1, x 2 0, I 1 x 2 x s nebo když determinnt tento v jiný stupně čtvrtého proměníme 1 0 0 0 X 2 A. ' X 2 Xm X 2 j X s 1 X t x s x 3 = 0, 0 1 x 2 x 9 nebo přičtením prvního sloupce ke třetímu čtvrtému 10 1 1 x* 1 0 Xx = 0, 0 tkže konečně výměnou čtvrtého sloupce z druhý sloupec nbudeme determinntu s příčkou prázdnou 1 1 1 0 x t x x 0 1 = 0: x s 0 ^ 1 0 x 3 x 2 1 vyčíslíme-li tento determinnt podlé známého prvidl, obdržíme výrz původní. * Vzorec tento viz: Bltzer Die Elemente der Mthemtik". II. 3. vydání, str. 306. -
154. Ъ л sin zz. j-, sin /í = j-, sin y - c mimo to pk dále bg 24 = d ' kdež d průměr kruhu trojúhelníku opsného /l ploský obsh jeho znčí, obdržíme konečně, dosdivše tyto hodnoty do (3 2, 16z/ 2 zz(-f b-f c ( -f-b-fc ( l -f c (-f b c, (4 X nebo dle vzorce (3 3 též 0 b c 16zf 2 = 0 c b 3 (4 2 b c 0 c b 0 Poznámk redkce. Jedná se tedy jen o to, jk převésti determinnt (4 2 n tvr součinu s počátku postveného. A tu nevypdá věc tk sndně, jk by se n první pohled zdálo, o čemž se nejlépe přesvědčíme, obrátíme-li se ku příslušným spisům pro poučení. Nejlépe si tu vede Guntherf uváděje nepřímý spůsob Móbiusův, jk se determinnt tento uvede v poměr ke zmíněnému součinu, z čehož ptrno, že tu vyskytuje se mezer v nuce o determinntech čili že tu užíti dlužno neznámé jkési vlstnosti determinntu, která se zkládá ve zvláštním jeho trnsformování. Poněvdž jsem ve svých přednáškách O determinntech" n tuto nesrovnlost nrzil, snžil jsem se zvláštní tu záhdu řešiti, př; čemž jsem objevil příslušnou vlstnost determinntů n zvláštním jich trnsformování zloženou, o níž zde jen v jednoduchých přípdech budiž učiněn zmínk, jelikož deduktivní odůvodnění jinde bylo podáno. 5 Jk známo, nemění se hodnot determinntu, připojí-li se lgebricky ku prvkům některé řdy multipl jiné řdy rovno- 8 Srovnej: Studničk, Geometrické upotřebení některých pouček o determinntech". Čsopis pro pěst. mthem. fys. Ročník II., p. 194. * Lehrbuch der Determinnten-Theorie" II. Aufl. pg. 148. h Studničk ííber eine neue Determinnteneigenschft" Sitzungsb. d. k, b. Ges, d. Wiss. vom 5. Mrz 1880,
165 běžné; z čehož plyne, že se nezmění i tehdáž, když se ku prvkům jednoho řádku připočítjí prvky všech osttních řádků. Jink se má všk věc, opkujeme-li tento postup vícekráte, při čemž rci nutno lgebrický součet prvků všech řádků co pltí o řádcích, pltí i o sloupcích pokždé jink sestvovti, t. j. bráti hodnoty jistých to vždy jiných prvků se znmením negtivním. Při determinntu stupně druhého. z./ =, bi 2 \ obdržíme tu sndno, připočteme-li ku prvkům řádku prvního prvky řádku druhého odečteme-li součsně od prvků řádku druhého prvky řádku prvního, h + ъ h-ъ 2 J: _ 1 l+«2, ~ 2 в 2 ll 1 že n př. pltí 2 3 _ 1 5 8 3! 5 2 1 2 Při determinntu stupně třetího \ L J z = * b n c 0 obdržíme, sestvuj eme-li prvky podlé vzorce i + 2 + 3 i + 2 jkož sndno se přesvědčiti možná, i + i + % l K + h + h i -*=т í + 2 3 > 6 1 + & 2 6 3 Z i 2 + tt 3 6.+I \ Ь з> l + 2 + 3 i + 2 i ~ 2 + 3 1 b í 6 2 h Ь 3 i i 2 + 2 + Ьз, i tkže n př. pltí 4, 2, 3 9, 10, 1 3, 5, " 4 з, o, 2, 3, 5, 4, Podobně se obdrží při determinntu stupně čtvrtého -4 = *i Ì *4 ł h, v i, 2, ««,
156 sečítjí-li se tu prvky všech řádků lgebricky podlé vzorce i+ 2+ 3+ 4l i + 2+ 3 4, ~ i+ 2~«3+ 4i «1, -f 3 -j- t, hodnot jeho původní bsolutně šestnáctekráte větší, tkže n př. pltí 1, 1, 1, 1 4 0 0 0 1, -1, -1, 1 _ 1 0 4 0 0 _/ = =16, 1, -1, 1, 1 ~~ 16 0 0 4 0 1, 1, -1, 1 0 0 0 4 o čemž se tuto sndno přesvědčíme, vyčíslíme-li dný determinnt jiným spůsobem, dejme tomu podlé vzorce (2 pg. 99, podlé něhož se obdrží 2 2 0 1 1 0 _/ = 2 0 2 8 1 0 1 = 16. 0 2 2 0 1 1 Vrátíme-li se tedy ke vzorci (4 2 přeměníme-li determinnt v něm obsžený podlé vzorce předcházejícího, obdržíme ~\-b-\- -\-b-\-c, -\-b-{-c -\-b-\~c 7 + t c^ (-\-b c, ( + b c, b + c, -( fr + c, & + c, ( b + c + & + c, ( + 6 + c, _( + & + c -..fr_^í vyloučím e-li tu společné činitele, bude dále 1, 1, 1, 16*-í- = (+Ь+c (+Ь c( ò+c (-+Ъ+c + b c = 16 2 z/ 2 1,-1,~1, 1,-1, 1,- 1, 1,-1.- tkže vyčíslíme-li tento determinnt zvedeme-li známé oznčen + fc + c = 2s, + 6 c = 2(s c, 6 + c = 2(s b, + 6 + c = 2 (s, konečně se doděláme vzorce s počátku uvedeného _/- =_ «(s (s b (s c. N příkldě tomto, provede-li se od počátku, velmi dobře lze viděti plstičnost tvru determinntního, jenž co Próteus stále se měně ku konci hledné podoby nbývá.