Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Transkript

1 Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky Antonín Libický Úvod do vektorové nlyse. [II.] Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky, Vol. 35 (1906), No. 4, Persistent URL: Terms of use: Union of Czech Mthemticins nd Physicists, 1906 Institute of Mthemtics of the Acdemy of Sciences of the Czech Republic provides ccess to digitized documents strictly for personl use. Ech copy of ny prt of this document must contin these Terms of use. This pper hs been digitized, optimized for electronic delivery nd stmped with digitl signture within the project DML-CZ: The Czech Digitl Mthemtics Librry

2 Úvod do vektorové nlyse. Npsl prof. Ant. Libický. (Pokrčování.) Od tkového vektoru liší se podsttně vektor c, kterým předstvujeme vektoriální součin dvou vektorů. Inversí souřdnic nemění se n prvé strně výrzu (11) znménk vektorů i, j, k; neboť stojí po řdě místo součinů jxk = (-j)x(-k), kxi = -(k)x(-i), i X j = (-i)x(-j). Tudíž znménk složek vektoru c zůstávjí nezměněn. Musíme tudíž rozeznávti dvojí druh vektorů: 1. vektory polární, jichž složky inversí souřdnic proměňují svá znménk v protivná; 2. vektory riální, jichž složky při přechodu od soustvy v právo točivé k soustvě v levo točivé svých znmének nemění. Příkldem polárních vektorů jest trnslce; k xiálním vektorům náleží n př. otáčecí rychlost libovolného bodu neproměnné soustvy optřené pevným bodem. III. Součin dydický*) dvou vektorů b jest určen, známe-li běhy obou činitelů součin b jejich velikostí. Oznčujeme jej, píšeme-li činitele prostě vedle sebe nekldouce mezi ně žádného znménk, tedy b. Dv dydické součiny b 'b' se sobě rovnjí, jsou-li rovnoběžnými jednk vektory ', jednk vektory bb' rovná-li se součin b z velikostí obou činitelů prvního součinu dydického součinu 'V z velikostí činitelů druhého součinu dydického. *) Gibbs nzÿvá jej neurčitým (viz Gibbs-Wilson: Vector nlysiś, pg. 271), Fischer geometrickým (Vectordifferentition und Vectorintegrtion, pg. 3). 20

3 Jk se sndno přesvědčíme, určuje součin dydický dvou vektorů čili krátce řečeno dydu pět částek určovcích. Dným součinem b stnoveny jsou tké součin sklární A týchž vektorů.b = bcosb jkož i jejich součin vektoriální A Xb = (^5Íwb)e 1 ; neboť je-li dán dydický součin, určeny A jsou dle výměru jeho i součin b i úhel b. Ob součiny. b X b jsou funkcemi dydy b. Nopk všk součiny. b X b není dyd b úplně určen; zstupuje totiž.b jednu, Xb tři určovcí částky, dohromdy ob součiny čtyři částky, jež nestčí k určení dydy b. Jest pk. b sklmi části dydického součinu X b jeho vektoriálni části. Je-li b='b', musí též. b = '. b' X b = ' X b'. O součinu dydickém nepltí obecně zákon kommuttivní, b nerovná se b. Součiny b b zoveme sdruženými znmenáme někdy b = (b)o. Budiž m libovolný sklár, i pltí (m) b = (mb) = mb, t. j. násobení dydické jest vzhledem k veličinám sklárním ssocitivní. Zákon distributivní, tento zákldní zákon kždého násobení, přisuzujeme ovšem tké násobení dydickému; kldeme tedy (+ b)c=c + bc, (b + c) = b + c, obecně { + b +...) (p + q +...) = p + q bp + bq , při čemž musíme dbáti náležitého pořádku činitelů. N prvé strně těchto rovnic vyskytují se součty několik dyd; výrzy toho tvru nzývejme mnohočleny dydvvými. *) *) Gibbs jmenuje je dydic.

4 299 Znmenáme je čsto jediným velkým písmenem řeckým; píšeme tedy n př. c^ = 1 b b b Vektory x, u, 3 td. jsou předními členy, b,, b 2, b 3 td. zdními členy dydového. mnohočlenu. Kždému mnohočlenu dydovému přísluší opět část sklární část vektoriální O s =,. b b b * = x X b X b X b Je-li 0 SI, jest 0 S = Sl s, O, = Sl v. Mnohočleny dydové O = jb, + 2 b b , *P = b b b šlovou sdruženými. Že jest 0 sdružen ku W, oznčujeme rovnicí 0=W C -, pk jest též W=0 C. Jsou-li dány vektory b výrzy jest jejich dydický součin nebo = x l i + y 1 ] + z 1 k, b = -r 2 i + # 2 j + ^2b, b = (x t i + y,j + *,k) (x i + y 2 j + * 2 k) b = x x x 2 \i + ^ij + #j0 2 ik + yi««ji + yxviu + *M 2 k (12) + ss x x tl kl + ^y.jkj +,# 2 kk. Tto form dydického součinu zove se nonion; devět dydických součinů zákldních vektorů jednotkových, jež se v / ní vyskytují, nzývejme zákldními dydmi. Pro součin b, sdružený k b, obdržíme podobným způsobem b = (b)o = (x 2 i + y 2 \ + * k) (x t i + y x \ + e x Y) = x x x 2 \i + y,3r ij + z x x 2 \k + ^i^ji + */imj + *iyjk (!2 ) + ^ki + #, 2 kj + *,* kk. 20*

5 300 N tvr nonionu lze sndno převésti kždý mnohočlen dydový; obdržíme pk proň obecně výrz f/> = n ii + 12 ij + l3 ik + 21 ]i + 22 jj + 23 jk (13 ) + 31 ki + 32 kj + 33 kk, místo čehož píšeme krtčeji 0 n, 12, l3 #21? #22? #23 (1" ) %1? #3Q? #33* Jest všk též, vytkneme-li v prvním řádku n prvé strně rovnice (13 ) i, ve druhém j, ve třetím k: tb = i ( n i + 12 j + 13 k) + j ( 21 i + 22 j + 23 k) + k( 3l i + 38 j + 33 k); kldouce n prvé strně 1 = n i + 12 j + l3 k, ni = 21 i + 22 j + 23 k, n = 3l i + 32 j + 33 k, nbudeme # = il + jm + kn, t. j. mnohočlen dydový o libovolném počtu sčítnců lze vždy vyjádřiti dydovým trojčlenem; přední členy jeho i, j, k lze voliti libovolně, při čemž může býti upuštěno i od podmínky, že mjí státi vzájemně n sobě kolmo (nesmí všk býti konplnární, t. j. k téže rovině rovnoběžné). Podobně lze ukázti, že můžeme zdní členy tkového trojčlenu voliti libovolně; nelze všk voliti zároveň i přední i zdní členy jeho. Ve zvláštních přípdech může se mnohočlen dydový vyjádřiti tké dvoj členem nebo jednočlenem; dle toho rozeznáváme [ úplné mnohočleny dydové }plnámé\, lze-li je totiž redukovti n j lineárně j Í trojčleny dvojčleny J. jednočleny j Úplný mnohočlen dydový jest dle toho určen třemi vektory nebo devíti skláry.

6 301 Pro mnohočlen dydový */', sdružený k mnohočlenu 3>, obdržíme, přihlížejíce ke vzorcům (12) (12 ), tvr 5 r = '/>c = n, 21, 3l Q>\2) 22) #13; #33* Jestliže ve zvláštním přípdu 21 = 12, 31 = l3, 32 = 23, jest &c=<& mnohočlen dydový zove se smosdruzeným nebo symmetrickým. Je-li všk 21 = 12, 3l = l3, 32 = 23, jest <bc = <1> mnohočlen zove se ntisymmetrlckým. Zvláštní důležitost má mnohočlen dydový tvru ii+jj + kk; znmenáme jej písmenem I jmenujeme idemfktorem čili jednotkovým mnohočlenem dydovým. Jeho sklární část i.i+j.j + k.k = 3 (dle (5)) jeho vektoriální část rovná se nulle (dle (10)). Součiny tří čtyř vektorů. Přihlížejíce nejprve jen k násobení sklárnímu vektoriálnímu, obdržíme pro součiny tří vektorů tyto tvry: 1. (. b). c, 5.. (b. c), 2. (.b)xo, 6. X(b.c), 3. [Xb].c, 7..[bX<], 4. [Xb]Xe, 8. X[bXc]. V těchto výrzech uzvíráme součiny sklární dvou činitelů do závorek tvru () součiny vektoriální do závorek tvru [ ]. Přípdy 2) 6) jsou nemožné, neboť nelze násobiti vektoriálně sklár (. b) vektorem c nopk. Přípdy 1) 5) neposkytují obtíží; (.b).c jest ptrně vektor téhož běhu jko c, jehož sklární část rovná se (.b)- násobné sklární části vektoru i\ A podobný význm má. (b. c). Poněvdž vektor (. b). c má tvr me, bude dovoleno psáti místo (. b). c jednodušeji (. b) c. Zbývjí tedy přípdy 3), 4), 7), 8); z těch probereme nejprve sklární součiny [ X b]. c. [b X «] V prvém součin Xb jest určen plochou rovnoběžník, jehož sousední strny jsou b (obr. 7.); příslušející jemu

7 302 vektor p stojí kolmo n rovinu E tohoto rovnoběžník. Vektory, b, c, z jednoho bodu vycházejícími, dány jsou osy souřdné soustvy kosoúhelné, jež může býti bud v právo nebo v levo točivá. V přípdě prvém směřuje vektor p n strnu prostoru, v níž se nlézá vektor c; v přípdě druhém jsou ob tyto vektory n strnách protivných. Abychom obdrželi hodnotu součinu [ X b]. e, násobíme plochu rovnoběžník X b délkou průmětu vektoru c n běh kolmice k rovině E; tudíž hledný součin dán jest obshem rovnoběžnostěnu, jehož tři hrny sousední jsou vektory, b, c. Obsh ten je J J,, J, nálcží-li činitelé součinu soustvě záporný? I v právo % I v levo točivé. Sklár vyjdřující tento součin má tedy vlstnost, že změní své znménko, provede-li se inverse souřdnic, čili přejdeme-li od soustvy v právo točivé k soustvě v levo točivé. Skláry toho druhu jmenujeme pseudoskláry. Násobíme-li {.,-. * \ vektor pseudosklárem, stává se yektorem ( x álním \. I polárním \ Sndno se přesvědčíme, že tké. [b X c] jest obshem rovnoběžnostěnu, sestrojeného z vektorů, b, c; tudíž [Xb].c =.[bxc]. (14)

8 303 O součinu [ X b]. c dokážeme dále relci [ X b]. c = [h X c]. = [c X ]. b. uvážíce, že kždým z těchto tří součinů vyjádřen jest obsh téhož rovnoběžnostěnu o hrnách, b, c s týmž znménkem. Tudíž v součinu [ X b]. c lze provésti cyklickou záměnu všech činitelů, niž se změní hodnot jeho. Podobně pltí.[bxc] = b.[cx] = ^.[Xb]. Jest obvyklo znmenti součin [X b]. c nebo kždý ze šesti součinů jemu rovných krátce (bc) jmenovti jej sklárním součinem tří vektorů. Znménko toho součinu promění se v protivné, vyměníme-li kterékoli dv jeho činitele; n př. (bc) = (cb) = (cb) td. Jsou-li tři vektory konplnární (t. j. k téže rovině rovnoběžný), rovná se jejich sklární součin ptrně nulle; nopk. Podmínkou, by tři vektory byly konplnární, jest (bc) = 0. Z toho plyne, že součin sklární, jehož dv činitelé jsou rovnoběžný, roven jest nulle; neboť tři vektory, z nichž dv jsou rovnoběžný, jsou vždy konplnární. O sklárním součinu tří zákldních vektorů jednotkových pltí fljk) = l; též můžeme psáti (iij) = (ijj)...=0. Je-li x.i + yj + *-k, b = x 2 \ + y 2 \ + z 2 k, C = x 3 \ + yj + z 3 k, bude dle předcházejících vzthů (bc) = x x y 2 z 3 + x 2 y 3 z x + x 3 y x z 2 x t y 3 z 2 x 2 y x z 3 x 3 y 2 z x čili *i> Vu 0I (bc)= x 2J y 2, z 2. (15) #3? y*, 03

9 304 Dlším důležitým součinem jest [ X b] X c. zvný veletoriálním součinem tři vektorů. Součin X b jest opět předstven vektorem p, kolmým k rovině R vektorů b (obr. 8.); rovin S položená vektory p c jest tudíž kolmo ku R. Součin [ X b] X c vyjádřen jest tudíž vektorem kolmým k rovině S; dle známé věty stereometrické, že všechny kolmice, jež lze vztyčiti v jednom bodě ku přímce, leží v jediné rovině, jest vektor ten položený v R, to kolmo k průmětu vektoru c n tuto rovinu. Budiž opět i bude dle (11) Obr. 8. =?,i + y t j + *-k, b = x 2 \ + yj + * 2 lí, C = x 3 i + yj + z 3 k; X b = (y,z 2 0 x y 2 ) i + (z x x 2 x^2)} + (x A y 2 y x x 2 )k podobně [» X b] X c = (z^x q z 3 x x z 2 z 3 x^y 2 y 3 + y x x 2 y 3 ) i + (#102*3 01*2*3 01*2*3 + $102*3) j + (01*203 *10203 *l*2 r 3 + XJ 2 Z 3 )\. Přičteme-li odečteme-li v prvním členu n prvé strně této rovnice x 1 x 2 x 3 i, ve druhém členu y 1 y 2 y 3 j, ve třetím členu *i* 2 *3 k, nbudeme [ X b] X c = (x 2 (x x x 3 + y r y 3 + z^z 3 ) x 1 (x 2 x 3 + y 2 y 3 + z 2 z 3 )) i + Gí (*1* *i*s) ~ 01 (*2* *2* 3 )) j + G 2 (x ± x 3 + y^y 3 + ^ 3) z 1 (x 2 x. ó + y 2 y 3 + * 2 * 3 )) k.

10 Dle (6) jest všk 305 #1*3 + Vrt* + *\H =. c, #2*3 + VIVB + H** = b. c; tudíž [Xb]Xc = (. c) (x 2 i + # 2 j + g 2 h) (b. c) (,i + l/ij + *ik), čili [ X b] X c = (. c) b (b. c). (16 > Podobný význm jko [ X b] X c má součin X [b X c]; jest to vektor ležící v rovině vektorů bc kolmo k průmětu vektoru n touž rovinu. Obdobným způsobem vyvodíme proň vzorec X [b X c ] = (. c) b (. b) c. (16 b ) Sklární vektoriální součiny o čtyřech vektorech převádíme n právě probrné součiny tří vektorů. Prvním příkldem nám bud součin [Xb].[cXd]; položme [cxd]=-e, i jest dle (14) [Xb].e =.[bxe]. tudíž Pro bxe obdržíme všk dle (16 ) bxe = bx[cxd] = (b.d)c (b.c)d, [Xb].[cXd] = (.c)(b.d) (.d)(b.c). (17) Podobně určíme hodnotu součinu [Xb]X[cXd], položíme-li jko výše [cxd] = e, dostneme dle (16 ) [ X b] X e = (. e) b (b. e). Zvedouce v této rovnici opět [c X d] místo e, nbudeme [Xb]X[cXd] = (.[cxd])b-(b.[cxd]), čili [ X b] X [c X d] = (cd) b (bcd). (18 ) Kdybychom byli položili v součinu [ X b] X [c X d] místo [ X b] pomocný vektor f, obdrželi bychom podobným výpočtem vzorec [ X b] X [c X d] = (bd) c (bc) d. (18 b )

11 306 Srovnáme-li ob výsledky, obdržíme rovnici se sklárními součiniteli: (bcd) (cd) b + (bd) c (bc) d = O, čili, poněvdž (cd) = (cd), též (bc) d = (bcd) + (cd) b + (bd) c, (19) kteréž rovnici musí vyhovovti kterékoli čtyři vektory, b, c, d. Přejdeme-li nyní k dydickým součinům, shledáváme, že má zvláštní důležitost sklární součin z dydického součinu b z vektoru r. Sluší tu rozeznávti dv přípdy: bud jest v tkovém sklárním součinu činitel b n prvém místě (pk sluje prefktorem), nebo jest n druhém místě (pk sluje postfktorem). Význm těchto součinů jest tento: (b). r znčí vektor téhož běhu, jký má přední člen dydy; sklární část tohoto vektoru jest součin b. r. Tudíž můžeme psáti, zchovávjíce becední pořádek: (b). r = (b. r). (20 ) Součin r. (b) znčí všk vektor téhož běhu, jký má zdní člen b dydy; sklární část tohoto vektoru jest součin r.. Tudíž jest r.(b) = (r,)b. (20 b ) Z rovnic (b). r = (b. r) = (b. r) = (r. b) = r. (b) = r. (b)cj plyne vět: Obdržíme týž výsledek, násobíme-li dydu (jko prefktor) vektorem nebo násobíme-li vektor sdruženou dydou (jko postfktorem). Z toho, co bylo pověděno o význmu součinu (b). r <dle 20 ), jest zřejmo, že jest možno pokládti b z jkýsi operátor, kterým lze převésti vektor r do polohy vektoru {předního členu dydy), při čemž tké velikost jeho určitým způsobem měníme. Podobně (dle 20 b ) postfktor b převádí vektor v do polohy vektoru b (zdního členu dydy). Nový vektor rovná se nulle, jestliže v i ^,, i i přípdě vektor r stojí kolmo n i; neboť sklární součin dvou vektorů, jež stojí n sobě kolmo, rovná se nulle.

12 307 Kdežto dyd (lineární) jko prefktor proměňuje různé vektory c ve vektory o témž běhu, redukuje plnární mnohočlen dydový či plnární dyd (je-li prefktorem), n př. ip+jq všechny vektory r v prostoru n vektory rovnoběžné k rovině vektorů i j. Neboť (ip + jq) r = (ip). r + (jq). r = i (p. r) + j (q. r), což jest vektor tvru x\ + #j, tedy položený v rovině vektorů i j. A podobně, je-li plnární dyd postfktorem, dostneme r.(ip+jq) = (r.i)p + (r.j)q, tedy vektor v rovině vektorů p q. Konečně úplný mnohočlen dydový či dyd úplná proměňuje vektor r v jiný vektor s v prostoru; obdržímeť pk (il + jm + kn). r = i (1. r) + j (ni. r) + k (n. r), (21 ) tedy vektor tvru xi + y) + k. Nebo r. (il + jm + kn) = (r. i) 1 + (r. j) m + (r. k) n. (21*) Sluší podotknouti, že uvedená vět o rovnosti dvou sklárních součinů dydy vektoru, z nichž v prvém dyd jest prefktorem, ve druhém sdružená dyd postfktorem, pltí i tenkráte, nhrdíme-li lineární dydu úplným mnohočlenem dydovým. Anlogicky ke sklárnímu součinu dydy vektoru nebo vektoru dydy (vzorce (20 ) (20 b )) definujeme vektoriální součiny těchto útvrů, kldouce totiž v obou přípdech výsledkem jest dyd. (b)xc = (bxc), (22-) X(bc) = (Xb)c; (22) Podíly dvou vektorfi. Někteří pěstitelé vektorové nlyse (n př. Gibbs, Foppl td.) vyhýbjí se podílům dvou vektorů některým jiným pojmům n nich zloženým, zvádějíce místo nich jiné operátory, jež níže poznáme; V. Fischer ukázl ve zmíněném již spise:,,vektordifferentition und Vektorintegrtion", že lze s výhodou použíti pojmu podílu dvou vektorů, by byl zákldem počtu differenciálního, vzthujícího se k vektorům.

13 308 Definujme: Zvrtná hodnot vektoru jest vektor téhož běhu, jehož velikost rovná se zvrtné hodnotě velikosti dného vektoru. Je-li tudíž = i; bude = -. (23») x Pro jednotkový vektor pltí 1 (23") Dále zveďme výměr: Kždé dělení (sklární nebo vektoriální nebo dydické) jest násobením dělence z vrtnou hodnotou dělitele. Tedy podíl sklární jest podíl vektoriální podíl dydický._ 1 т _ т ІLX_. X J_ ь _ x т~ т - * b' Dle rovnic (2) (7) můžeme psáti. ~ = j-cos b, (24 > ^=({ S»b)c i; (24"). podíl -ř- jest pk dán. známe-li směry obou vektorů b podíl jejich velikostí -y-. Sdruženou hodnotu tohoto podílu D oznčujeme j -=-1.

14 309 Pole sklární. Bod M v prostoru stnovíme průvodičem r, vedeným k tomu bodu z libovolného pevného počátku O; průvodič ten lze psáti bud ve tvru r = rr x neb, zvedeine-li prvoúhlou soustvu souřdnic v právo točivou, ve tvru r = si + yj + *k = x + y + z. Předstvme si nyní, že kždému bodu M v prostoru přísluší jediná určitá hodnot sklární veličiny, která se méní nepřetržitě, přejdeme-li od bodu M k bodům neskonle blízkým. Z tohoto ustnovení mohou býti vyjmuty jednotlivé body. čáry nebo plochy, v nichž objevuje se přetržitost těchto sklárních hodnot. Část prostoru (rozprostírjící se v konečnu nebo do nekonečn), v níž jkási sklární veličin se mění nepřetržitě, mění-li se spojitě poloh bodu v tom prostoru, nzývá se polem sklárním. Příkldy tkových polí jsou: prostor vyplněný hmotou nestejnorodou, v jehož kždém bodě jest jiná hustot; pole tepelné, v němž kždému bodu přísluší jiná teplot td. Veličinu sklární, proměnlivou od bodu k bodu, oznčujeme písmenem v\ i závisí v n poloze bodu v prostoru, jest funkcí průvodiče r, kterým tuto polohu stnovíme. Vyznčujeme tuto závislost rovnicí v=f(v). Jestliže ve zvláštním přípdě rozdělení sklární veličiny v v poli jest tkové, že rozdíl hodnot v 1 v 2, jichž tto veličin nbývá v počátečním v koncovém bodě libovolné úsečky, nezávisí n poloze jejího počátku, nýbrž jenom n délce n běhu úsečky, slově pole stejnorodým. Pro geometrii pole sklárního mjí zvláštní důležitost: differenciální poměr skláru v dle jiného skláru, jehož funkcí v jest, & differenciální poměr skláru v dle jkéhosi vektoru. V prvním z těchto poměrů bývá proměnnou čsto sklární část r průvodiče, která jest opět funkcí souřdnic x, y } #; pk jest differenciální poměr skláru v dle této proměnné dán vzorcem dv dv dx dv dy, dv d^, 9 - dr dx dr dy dr dz dr'

15 310 Differenciálními poměry -=, -- -, -f- stnoveny jsou cosiny úhlů, jež tvoří průvodič po řdě s osmi souřdnými; pro tyto cosiny pltí dle (4) hodnoty dx. dy. dz. ď7-1, r i ' ~ďr~ J " ri ' 1F K ' Tl ' tudíž substitucí do vzorce (25) obdržíme čili dv ^ r _ dv., dv., dv, - ^ 1 - r i + ^J- ri + -^ k dv / dv i. dv dr \dx dy - r i + ^ľi+-ã7 k )- i v ( 26 > Ke druhému z vytčených differenciálních poměrů, totiž k differenciálnímu poměru skláru dle vektoru, dospějeme tkto: Od bodu M y jehož poloh jest ustnoven průvodičem r, přejděme k velmi blízkému bodu M', ležícímu ve směru, který jest dán jiným vektorem g. I můžeme pokládti MM z jkýsi přírůstek průvodiče r ve směru vektoru s; oznčíme jej z/ s r. Tímto přechodem od M ku M ř změnil se sklární veličin v o velmi mlou hodnotu Av. Utvořme poměr - čili Av ; poněvdž dle (23 ) A S T A S T 1 _ 1 A s r ~ As 8l > kde As znčí sklární část velmi mlého vektoru A s r } jest <Av /Iv A r ""As *" J -A ri r *' x 4 v f(r + A u t) f(r} Přejdeme-li k limitám, promění se -- =! v differenciální poměr skláru v dle vektoru r ve směru 8 T který z příčin, jež poznáme níže, vhodně oznčujeme jko částečný dv A v differenciální poměr ; podíl změní se přechodem k mezím v -=-. Tudíž obdržíme ds dr^-ds* 1 ' z/^r 4J S V ( 2 7 >

16 311 t. j. differenciální poměr skláru v dle vektoru r ve směru s jest vektor téhož běhu s, jehož sklární částí jest -=-. (Pokrčování.) Několik poznámek o determinntech. Npsl K. Petr. I. Nejprve chci poukázti n zcel jednoduchý pokud mi známo dosud nepovšimnutý způsob, jk lze odvoditi vzthy mezi determinnty utvořenými z elementů mtice určité hodnosti fi. Říkáme, že mtice i = 1, 2,... n "'*' * = 1, 2,... m jest hodnosti ft, jsou-li všecky determinnty rs stupně vyššího nežli p-tého rovny nulle je-li spoň jeden determinnt rs \ stupně p od nully různý. Vyšetřujme, jké jsou vzthy mezi determinnty stupné fi-tého. Z tím účelem vezmeme v úvhu tento determinnt: t. nn> u nj2> %Í2J\> i2?2> * г Vџ) г Wџ> ^\ iikif %2 i\k2) %\i%k\y OCi^i^kci X fi h k fi X fi i 2*ft D = iph> hh> i fih> hj2> i fiift> X i iftk\) X 2 i fi*2> ' hjfi> y hh> yďi.h) y i\*» lqj\) 'l2j2> ' i23fi> y wi> y i<l*2> y Wf* ^lu vi> V2> l lu w y i fi k i> y i fih> y%v Tento determinnt n zákldě supposice, že mtice ik jest hodnosti /i, vzhledem ku Lplce-ově větě rozkldné jest rovný nulle, když y z=z x x. Ze stejných příčin jest rovný nulle i pro y = x k. Poněvdž pk jest to polynom ptého stupně, jest nutně D = A(y - x x ) (y x 2 )... {y xj, kde A jest n# ( rovněž n x l9 nouti) nezávislé. x, jk sndno nbléd-