1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

Transkript

1 Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme společný název řd, číslo i =,,, m nzýváme řádkový index, číslo j =,,, n je sloupcový index, prvek ij s řádkovým indexem i sloupcovým indexem j je umístěn v i-tém řádku j-tém sloupci, prvky,,, nn nzýváme digonální prvky mtice, tyto prvky tvoří hlvní digonálu mtice, prvky m, m-,, m-,, tvoří vedlejší digonálu mtice Mtice libovolného typu, jejíž všechny prvky jsou, se nzývá nulová mtice znčí se O, která vznikne z dné mtice výměnou řádků z sloupce se nzývá mtice trnsponovná k mtici znčí se T, je zřejmé, že pltí ( T ) T =, v níž pltí m = n, se nzývá čtvercová mtice řádu n Čtvercová mtice, která má nenulové prvky pouze pod hlvní digonálou nebo pouze nd hlvní digonálou se nzývá trojúhelníková mtice, která má nenulové prvky pouze n hlvní digonále, se nzývá digonální mtice, jejíž všechny prvky n hlvní digonále se rovnjí zbývjící prvky jsou nulové, se nzývá jednotková mtice znčí se E, npříkld E = je jednotková mtice řádu, která má pouze jeden řádek nebo pouze jeden sloupec se nzývá ritmetický vektor, buď řádkový u = (u, u, u,, u n ) nebo sloupcový v = v v v n = ( v, v,, ) v n T Jrmil Doležlová

2 Lineární lgebr Operce s mticemi Rovnost mtic = B Dvě mtice B jsou si rovny, jestliže jsou téhož typu vzájemně si odpovídjící prvky jsou si rovny: ij = b ij pro i, j Součet mtic + B téhož typu je mtice C stejného typu, pro jejíž prvky pltí: C = (c ij ) = ( ij + b ij ) pro i, j Součin mtice reálného čísl k je mtice D téhož typu jko, pro jejíž prvky pltí: D = (d ij ) = (k ij ) pro i, j Součin mtic B Součinem mtice typu m/n mtice B typu n/p (počet sloupců mtice musí být roven počtu řádků mtice B) v tomto pořdí je mtice C typu m/p, pro niž pltí: C = (c ij ) = ( i b j + i b j + + in b nj ) Prvek c ij vznikne vynásobením prvků i-tého řádku mtice odpovídjícími prvky j-tého sloupce mtice B (je to sklární součin i-tého řádku mtice j-tého sloupce mtice B) Součin mtic obecně není komuttivní: B B Příkld : Jsou dány mtice = B = Vypočítejte mtice +B, -B, B-,, B, +B Řešení: +B = + + =, -B =, B- 7 9 =, = ( ) =, 9 B =, +B = 8 5 Příkld : V utoslónech B se doprodávjí stré modely (SM) součsně zvádějí nové modely (NM) utomobilu Přehled tržeb (v tisících Kč po řádcích pro utoslóny, B) z prosinec je dán mticí P, přehled z leden mticí L SM NM SM NM 8 P = Vypočítejte: B 7 L = 9 8 B ) Jké byly celkové tržby z jednotlivé modely v obou utoslónech? b) O kolik vzrostl tržb v lednu? c) Provize z prodeje činí 5% Kolik činí provize pro jednotlivé prodejny podle modelů ut v lednu? Řešení: ) SM NM b) SM NM c) SM NM 9 8 P+L = 8 B 5 L-P= B 7,5L = 5 5 B Jrmil Doležlová

3 Lineární lgebr Příkld : Jsou dány mtice C = D = Vypočítejte mtice K = CD M = DC Řešení: Mtice C je typu / mtice D typu /, můžeme je tedy násobit v tomto pořdí, přičemž výsledná mtice K = C / D / bude typu / Uvedené mtice můžeme násobit tké v opčném pořdí, přičemž výsledná mtice M = D / C / bude typu / K = CD = 5 9, M = DC = 5 9 9, k = ++ = m = + = 9 m = + = 9 k = ++ = 9 m = + = 5 m = + = k = ++ = 5 m = + = m = + = k = ++ = m = + = m = + = m = + = Je zřejmé, že CD DC Cvičení Jsou dány mtice =, B = C = Vypočítejte mtice: ), b) -B, c) +B, d) -B, e) (+B)+C, f) +(B+C) [) 9, b), c), d) 8, e, f) 7 ] Z rovnice + X = 5B vypočítejte neznámou mtici X, jsou-li mtice B zdány v příkldu [ ] Jsou dány mtice = B = Vypočítejte mtice: ) B, b) B [), b) ] Jsou dány mtice C = D = Vypočítejte mtice: ) CD, b) DC [), b) ] Jrmil Doležlová

4 Lineární lgebr 5 Jsou dány mtice F= G= Vypočítejte mtice: ) FG, b) GF [) F, b)nelze] b Určete neznámé, b, c, d z rovnice: + = c d [=-, b=, c=, d=-5] x 5 y 7 7 Vypočítejte neznámé x y, pltí-li: + = x y 7 [ x =, y = ] 8 kciová společnost vyrábí ve dvou závodech U V dv výrobky R S Výrobní cen kždého výrobku složená z ceny mteriálu M ceny práce P je dán mticemi: závod U závod V R S R S M P 5 8 M P Vypočítejte průměrnou cenu výrobků z obou závodů [ M Determinnty Zákldní pojmy P R 57 S ] 77 Determinntem řádu n čtvercové mtice, jejímiž prvky jsou reálná čísl, nzýváme číslo, které oznčujeme det nebo tké nebo pouze pro které pltí: Je-li n =, pk det =, pro n > je det = = n n n n + n + + ( ) n nn n n n n nn + n = D D + + ( ) n Dn nn = n n Toto vyjádření determinntu nzýváme Lplceovým rozvojem determinntu podle prvního řádku Obecně můžeme determinnt vypočítt Lplceovým rozvojem podle libovolného řádku, přípdně sloupce, n n, n Determinnt D, který přísluší mtici D n-tého řádu, obecně lze vyjádřit: Lplceovým rozvojem podle i-tého řádku n i+ j i+ i+ i+ n D = ( ) ij Dij = ( ) i Di + ( ) idi + + ( ) in D in, j= Jrmil Doležlová

5 Lineární lgebr 5 nebo Lplceovým rozvojem podle j-tého sloupce n i+ j + j + j n+ j D = ( ) ij Dij = ( ) j D j + ( ) j D j + + ( ) nj D nj i= Výrz (-) i+j nzýváme znmení prvku ij (nbývá pouze dvou hodnot + nebo -) Determinnt D ij, který vznikne z determinntu D, jestliže v něm vynecháme i-tý řádek j-tý sloupec, nzýváme subdeterminnt vzhledem k prvku ij Součin znmení prvku příslušného subdeterminntu (-) i+j D ij nzýváme lgebrický doplněk k prvku ij Determinnt je tedy součet součinů prvků některé řdy s jejich lgebrickými doplňky Protože výpočet determinntu Lplceovým rozvojem podle některé řdy bývá velmi prcný, uvedeme důležité vlstnosti determinntu, které nám výpočet usndní: Hodnot determinntu se nezmění, změníme-li v něm řádky z sloupce Determinnt, v němž některá řd obshuje pouze nuly, je roven nule Vyměníme-li v determinntu dvě rovnoběžné řdy, determinnt změní znménko Má-li determinnt dvě rovnoběžné řdy shodné, je roven nule Determinnt, v němž je některá řd násobkem jiné, s ní rovnoběžné řdy, je roven nule Násobíme-li některou řdu determinntu D reálným číslem c, dostneme determinnt, jehož hodnot je cd Přičteme-li k některé řdě determinntu nenulový násobek jiné, s ní rovnoběžné řdy, hodnot determinntu se nezmění Výpočet determinntu řádu Pro determinnt řádu existují speciální způsoby výpočtu Není tedy nutno počítt je Lplceovým rozvojem podle vhodné řdy (le smozřejmě to možné je) Determinnt řádu vypočteme, jestliže od součinu prvků n hlvní digonále odečteme součin prvků n vedlejší digonále: det = =, Příkld : Vypočtěte determinnt B = Řešení: B = 5 = 5 - = -7 Determinnt řádu počítáme pomocí Srrusov prvidl: det = = - + = ( + + ) 5 Výpočet si sndno zpmtujeme, jestliže mtici dného determinntu rozšíříme o čtvrtý pátý řádek, které jsou rovny prvnímu druhému řádku Nyní sečteme tři součiny tří prvků ve směru hlvní digonály od nich odečteme součet tří součinů tří prvků ve směru vedlejší digonály K témuž výsledku dojdeme rozšířením mtice determinntu o čtvrtý pátý sloupec, do nichž přepíšeme první druhý sloupec = Jrmil Doležlová

6 Lineární lgebr, Příkld 5: Vypočtěte determinnt C = Řešení: Příslušná uprvená mtice má tvr:, přípdně Výpočet podle Srrusov prvidl: C= + + (-) [ + (-) + ] = = ( - + ) = - = Poznámk: Pro determinnty vyššího řádu než třetího obdobné prvidlo nepltí!!! Příkld : Vypočtěte determinnt D = 5 Řešení: Determinnt vypočítáme Lplceovým rozvojem podle vhodné řdy Přitom z vhodnou řdu povžujeme tu řdu, ve které je nejvíce nul Dlší nuly můžeme v determinntu vytvořit n zákldě jeho vlstností: - V determinntu D nejprve z druhého sloupce vytkneme před determinnt - Dvojnásobek druhého řádku přičteme k řádku třetímu - Ke čtvrtému řádku přičteme řádek druhý - Lplceův rozvoj (b) provedeme podle druhého sloupce, ve kterém nyní jsou nuly D = = = (-)(-) + = 5 = - [ ( )] = 8 (výpočet podle Srrusov prvidl) nebo ještě dále uprvíme odečtením prvního řádku od řádku třetího pk provedeme Lplceův rozvoj () podle třetího řádku: D = - = - = -(-) + = 8 Poznámk: Uvedený postup řešení není jediný možný Způsobů, jk získt v některé řdě determinntu co nejvíce, je celá řd Jrmil Doležlová

7 Lineární lgebr 7 Hodnost mtice Čtvercová mtice se nzývá regulární, je-li její determinnt různý od nuly, singulární, je-li její determinnt roven nule Hodnost mtice je mximální řád regulární mtice, kterou lze z dné mtice vybrt Příkld 7: Rozhodněte, zd mtice D = 5 je regulární Řešení: Protože příslušný determinnt D = det D = 8 (viz příkld ) je nenulový, je mtice D regulární Hodnost mtice D je proto h(d)= Příkld 8: Určete hodnost mtice = 5 Řešení: Z mtice vybereme čtvercovou mtici řádu, kterou vytvoří její libovolný nenulový prvek, npříkld = ( ) = () Protože její determinnt je nenulový ( = ), je mtice regulární hodnost mtice je tedy spoň Nyní vytvoříme čtvercovou mtici řádu tkovou, by obshovl mtici : =, její determinnt je nenulový ( = ), proto je mtice regulární hodnost mtice je tedy spoň Vytvoříme čtvercovou mtici řádu tkovou, by obshovl mtici : =, její determinnt =, proto je mtice singulární 5 Musíme tedy vytvořit jinou čtvercovou mtici řádu, která obshuje mtici : =, rovněž její determinnt =, proto je tké mtice singulární Protože žádná dlší čtvercová mtice řádu, která obshuje mtici neexistuje, je hodnost mtice rovn h()= Poznámky: Postup určení hodnosti mtice použitý v příkldu 8 se nzývá vroubení Jiný způsob určení hodnosti mtice spočívá v převedení mtice n trojúhelníkový tvr pomocí následujících ekvivlentních úprv, které nemění hodnost mtice výměn dvou řádků, vynásobení řádku nenulovým číslem, vynechání řádku se smými nulmi, přičtení nenulového násobku jednoho řádku k řádku jinému Jrmil Doležlová

8 Lineární lgebr 8 Hodnost mtice je pk rovn počtu nenulových řádků mtice v trojúhelníkovém tvru Tuto metodu určení hodnosti mtice budeme používt při řešení soustv lineárních lgebrických rovnic Příkld 9: Určete hodnost mtice z příkldu 8 převedením n trojúhelníkový tvr Řešení: V mtici nejprve odečteme od třetího řádku řádek první pk v této uprvené mtici odečteme od třetího řádku řádek druhý = 5 V trojúhelníkové mtici zůstly nenulové řádky, proto je hodnost mtice rovn h() = Cvičení Vypočítejte determinnty: ) 5, b) 5, c), d) 5 7 9, e) Pomocí Srrusov prvidl vypočítejte determinnty: 5 ), b) 5, c), d) [), b) 9, c), d) 5, e) ] [), b) 9, c), d) ] Vyřešte rovnice: x ) =, b) x x x x x 9 =, c) x = [),, b), c), ] Pomocí Lplceov rozvoje podle vhodné řdy vypočítejte determinnty: ) , b), c) [) -8, b), c) 7] 5 Vypočítejte hodnost mtic: 7 ), b) 5, c), d) 5 9, e), 5 f) 5 5 7, g) 5 [), b), c), d), e), f), g) ] Jrmil Doležlová

9 Lineární lgebr 9 Inverzní mtice Zákldní pojmy Ke kždé regulární mtici řádu n existuje inverzní mtice řádu n, kterou znčíme kterou pltí = = E pro det = je singulární det je regulární Je-li dán regulární mtice neexistuje, existuje = n n n n nn = dj det, kde dj je mtice djungovná k mtici + n D D ( ) D n + n D D ( ) Dn dj =, n+ n+ ( ) Dn ( ) Dn D nn, pk její inverzní mtice má tvr T kde D ij je subdeterminnt k prvku ij v mtici trnsponovné k mtici Poznámk: Jiný postup určení inverzní mtice spočívá v převedení mtice pomocí ekvivlentních úprv n jednotkovou mtici E Provedeme-li tytéž ekvivlentní úprvy s jednotkovou mticí E téhož řádu, převedeme ji n mtici inverzní : E stejné ekvivlentní úprvy E Výpočet inverzní mtice Prktický výpočet provádíme podle následujícího lgoritmu: Vypočítáme determinnt dné mtice det Pokud pltí det =, je mtice singulární inverzní mtice NEPOČÍTÁME!!!) Pokud pltí det, je mtice regulární inverzní mtice dále) Utvoříme trnsponovnou mtici T ( výměnou řádků z sloupce) k ní neexistuje (tedy ji k ní existuje (pokrčujeme Vytvoříme djungovnou mtici dj tk, že všechny prvky ij trnsponovné mtice nhrdíme jejich lgebrickými doplňky ( ) i + j Dij T Jrmil Doležlová

10 Lineární lgebr 5 Inverzní mtici získáme doszením do vzorce Kontrolu správnosti provedeme zkouškou: = dj det = = E Příkld : Určete k mtici = Řešení: det = ( ) 5 = = mtici inverzní Pltí det, tedy mtice je regulární inverzní mtice k ní existuje T T Vypočítáme výměnou řádků z sloupce trnsponovnou mtici : = Nejprve určíme subdeterminnty D ij příslušné k jednotlivým prvkům ij v trnsponovné T mtici : D = = D = = D = = - D = = Doplněním znmének jednotlivých prvků ij k příslušným subdeterminntům D ij získáme lgebrické doplňky ( ) i + j Dij, které vytvářejí djungovnou mtici dj= ( ) 5 Dosdíme do vzorce = dj = 5 det ( ) = 5 Provedeme zkoušku: = 5 5 = 5 5 = = E Příkld : Určete k mtici B = 5 mtici inverzní Řešení: det B = 5 = (- + ) = - Pltí det B, tedy mtice B je regulární inverzní mtice B k ní existuje T T Vypočítáme výměnou řádků z sloupce trnsponovnou mtici B : B = 5 Nejprve určíme subdeterminnty D ij příslušné k jednotlivým prvkům b ij v trnsponovné T mtici B : D = = 8 D = = D = 5 5 = - D = = D = 5 = D = 5 = - Jrmil Doležlová

11 Lineární lgebr D = = - D = = -8 D = = Doplněním znmének jednotlivých prvků b ij k příslušným subdeterminntům D ij získáme lgebrické doplňky ( ) i + j Dij, které vytvářejí 8 djungovnou mtici djb = ( ) ( 8) 8 5 Dosdíme do vzorce B = djb = det B 8 Provedeme zkoušku: 5 BB = ( ) 8 = 8 = Cvičení K dné mtici určete inverzní mtici: 5 ) ; b) ; c) ; d) 8 ; e) ; f) 5 ; g) 5 ; h) [ ) 9 8, b), c) 5, d), e) neexistuje, f), g) 5, h) ] = E Soustvy lineárních lgebrických rovnic Definice soustvy Soustvou m lineárních lgebrických rovnic o n neznámých nzýváme systém rovnic tvru: x + x + + n xn = b x + x + + n xn = b x + x + + x = b m m V soustvě nzýváme: x, x,, x n neznámé, mn n m Jrmil Doležlová

12 Lineární lgebr reálná čísl ik (i =,,, m, k =,,, n) koeficienty, reálná čísl b i (i =,,, m) prvé strny soustvy, mtici m/n = m m n n mn x mtici X n/ = x mticí neznámých, x n b b mtici B m/ = b m mticí prvých strn, mticí soustvy, n b n b mtici B m/n+ =, která vznikne připojením mtice B m m mn bm k mtici, rozšířenou mticí soustvy Soustvu nyní můžeme jednoduše zpst ve tvru m/n X n/ = B m/ Pltí-li v soustvě pro všechny prvé strny b = b = = b m =, nzývá se soustv homogenní: m/n X n/ = O Řešením soustvy nzýváme kždý sloupcový vektor k = ( k, k,, kn ) T tkový, že po doszení čísel k, k,, kn do rovnic soustvy z neznámé x, x,, xn jsou všechny tyto rovnice součsně splněny O existenci řešení soustvy rozhodujeme n zákldě Frobeniovy věty: Soustv m lineárních lgebrických rovnic o n neznámých má řešení právě tehdy, když hodnost mtice soustvy je rovn hodnosti rozšířené mtice soustvy Oznčíme-li tuto společnou hodnost h, pk pltí: je-li h = n, má soustv jediné řešení, je-li h < n, má soustv nekonečně mnoho řešení, která můžeme vyjádřit pomocí n-h prmetrů Homogenní soustv má vždy nulové (triviální) řešení (,,, ) T Gussov eliminční metod Universální metod, pomocí které můžeme vyřešit kždou soustvu lineárních lgebrických rovnic, se nzývá Gussov eliminční metod Její princip spočívá v převedení rozšířené mtice soustvy B n trojúhelníkový tvr pomocí ekvivlentních úprv, které nemění hodnost mtice: Postup řešení si předvedeme n příkldech Jrmil Doležlová

13 Lineární lgebr Příkld : Vyřešte soustvu rovnic x + x x x x x + 5x + x x = 9 Řešení: V zdné soustvě je počet rovnic shodný s počtem neznámých: m = n = Rozšířenou mtici soustvy uprvíme pomocí tbulky, pro jejíž poslední (kontrolní) sloupec, oznčený v záhlví, vždy pltí: součet prvků v příslušném řádku rozšířené mtice soustvy se po provedení příslušné řádkové ekvivlentní úprvy v celém řádku musí rovnt prvku v sloupci kontrolním x x x b Σ úprvy r -r r -r r -r Uprvená rozšířená mtice soustvy v trojúhelníkovém tvru má stejnou hodnost jko původní rozšířená mtice soustvy Pro hodnosti pltí: h() = h( B) = = n Podle Frobeniovy věty má soustv jediné řešení, které sndno vypočítáme řešením nové soustvy: x + x + 5x = -9 x = -9 x 5x = = - x - x = x = -( + x )/ = -(-)/ =- 8x = 8 x =- V závěrečném výpočtu jsme postupovli směrem zdol nhoru, tedy od třetí rovnice k rovnici první Příkld : Vyřešte soustvu rovnic: x + x + x = x + x - x = - x + x - x = x + x - x = Řešení: V zdné soustvě je počet rovnic m = počet neznámých n = Úprvy rozšířené mtice soustvy opět zpíšeme do tbulky: x x x b Σ úprvy r -r - r -r - r -r r r r +r = = 5 Jrmil Doležlová

14 Lineární lgebr r -r V tomto přípdě je hodnost h() =, kdežto hodnost h( B) =, proto podle Frobeniovy věty soustv nemá řešení N první pohled to je zřejmé rovněž ze sporu v posledním řádku uprvené mtice soustvy x + x + x =, v němž n levé strně je, kdežto n prvé strně Příkld : Vyřešte soustvu rovnic: x + x - x - x = x + + x - 5x = x - x - x + x = Řešení: Jde o homogenní soustvu, v níž m = n = Pro sndnější úprvy vyměníme v rozšířené mtici soustvy první třetí řádek, by n hlvní digonále prvního řádku byl koeficient x x x x b Σ úprvy r -r - - r -r r r (-7) r : r +r Z poslední úprvy je zřejmé, že pro hodnosti pltí h() = h( B) =, kdežto n = Proto podle Frobeniovy věty má soustv nekonečně mnoho řešení, která závisí n n h = = prmetru Zvolme jko prmetr neznámou x : x = p Pk uprvená soustv má tvr: x - x - x + p = x = -p + x + x = -p + 8p/5 + = 8p/5 7x + 5x - 9p = x = (9p 5x )/7 = (9p 9p)/7 = x -8p = x = 9p/5 Volíme-li z prmetr p libovolná reálná čísl, získáme příslušná řešení soustvy: npříkld pro p = : x =, x =, x =, x = (triviální řešení), pro p = 5: x = 8, x =, x = 9, x = 5, pro p = -5: x = -8, x =, x = -9, x = -5, td Crmerovo prvidlo Pomocí Gussovy eliminční metody můžeme řešit libovolnou soustvu lineárních lgebrických rovnic Ve speciálních přípdech, kdy počet rovnic je roven počtu neznámých (m = n: řešíme tedy soustvu n lgebrických rovnic o n neznámých) mtice soustvy je regulární, můžeme k řešení použít Crmerovo prvidlo: Jrmil Doležlová

15 Lineární lgebr 5 Je-li mtice typu n/n determinnt mtice soustvy det = D s, pk soustv X = B má právě jedno řešení X = (D, D,, D n ) T, D s kde determinnt D i (i =,,, n) vznikne z determinntu D s, nhrdíme-li v něm i-tý sloupec sloupcem prvých strn Poznámk: Podmínk regulárnosti mtice soustvy je zřejmá z tvru řešení (ve jmenovteli zlomku nesmí být ) Příkld 5: Vyřešte soustvu rovnic: x + x + x = 5 x - 5x + x = 7 7x + x = -7 Řešení: V zdné soustvě je počet rovnic shodný s počtem neznámých: m = n = Ověříme ještě, zd mtice soustvy je regulární: D s = 5 = - 7 ( ) 7 Vypočítáme determinnty 5 D = 7 5 = - 5, D = 7 D s D s = 7, D = 5 7 = pomocí Crmerov prvidl určíme jednotlivé neznámé: D 5 D 7 D x = = =, x = = =, x = = = Cvičení Vyřešte vhodnou metodou zdné soustvy rovnic: ) x + y =, x + 7y = [x =, y = -] b) 5x y + =, x + y +7 = [x = -, y = -] c) x y =, x 9y = [nemá řešení] d) x + y = 5, x y = -5, x + y = [x = -, y = ] e) x + y z =, y =, x y = - [x =, y =, z = ] f) x y z = -7, x + z =, x y + z = - [x =, y = 5, z = -] g) x y + z =, x y + z =, x z = [x = p+, y = p, z = p] h) x y z + t =, x y + z t =, x + y z = [x = p, y = p, z = p, t = p] i) x + y z + t =, x y + z t =, x + y z + t =, x + y + t = [nemá řešení] j) x + y + z + t =, x + y + z + t = 8, x + y + z t =, x + y + z t = [x =, y =, z = -, t = ] V závodě se vyrábějí tři druhy výrobků, B, C postupně n třech výrobních linkách B C P, Q, R v následujícím čsovém limitu:,5, R,,,5 Týdenní kpcit linek, B, C je postupně 8,, hodin P Q,,,9 D s Jrmil Doležlová

16 Lineární lgebr Kolik kusů jednotlivých druhů výrobků je nutno vyrobit, by byl využit plná kpcit závodu? [: 5 ks, B: ks, C: ks] Vyřešte příkld pro týdenní kpcitu výrobních linek postupně,, 8 hodin [: ks, B: ks, C: ks] Zlté šperky se vyrábějí ze slitiny: krátové zlto je čisté, krátové zlto obshuje zlt, 8 8 krátové zlto obshuje zlt, td Kolik krátového 8 krátového zlt musí klenotník smícht, by získl g krátového zlt? [ 8 krátového krátového zlt] 5 Vyřešte příkld v přípdě, kdy má klenotník k dispozici pouze krátové čisté 5 zlto [ 7 krátového 7 čistého krátového zlt] Jrmil Doležlová