Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Transkript

1 Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky Krel Zhrdník O symbolech nlytické geometrie jejich upotřebení. [IV.] Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky, Vol. 3 (1874, No. 4, Persistent URL: Terms of use: Union of Czech Mthemticins nd Physicists, 1874 Institute of Mthemtics of the cdemy of Sciences of the Czech Republic provides ccess to digitized documents strictly for personl use. Ech copy of ny prt of this document must contin these Terms of use. This pper hs been digitized, optimized for electronic delivery nd stmped with digitl signture within the project DML-CZ: The Czech Digitl Mthemtics Librry

2 153 původní, nýbrž vypěstován předními v tom oboru mysliteli jeho doby, nikterk jemu dmsovi zásluhy neubírá, které si vydobyli dokázvše vítěznou moc mthemtické nlyse n poli lidského vědění.* 0 symbolech nlytické geometrie jejich upotřebení. (Píše K. Zhrdník. (Pokrčorání. 6. Rovnice dvou bodů b u buďtež U y K Ů 2 = 0, U^ K 2 = 0. Kždému bodu přísluší určitý poměr, jímž poloh jeho vzhledem k dvěm pevným bodům n přímce je stnoven; dvěm bodům příslušeti budou dv poměry podíl těchto poměrů nzýváme dvojpoměrem dvou bodů vzhledem k dvěm zákldním bodům.**. Jsouli tedy dány zákldní body lf, dále pk body b^ příslušné poměrům 1} 2, tu znčí dvojpoměr -± = q = -^ L : ---=---. = ( t b x \ (9 v x x 2/ v l 2 b 1 '. Rovná-li se L = 2, jest q = 1 tkové čtyři body n přímce, jejichž dvojpoměr rovná se 1, nzýváme hrmonickými body. Čtyři body, jejichž rovnice jsou Í7 1 = 0, ř7 i, Z7 2 =0, ř7 2 =0, Í , Í7 2 =0, jsou tudíž hrmonické. Dvojpoměr čtyř bodů řdy bodové můžeme všk i obecněji pojmouti tázti se po dvojpoměru libovolných čtyř bodů řdy bodové, dných rovnicemi Ui K u 2 = o, u x -i z u 2 =o, n m L\-X 2 = o, U x -l< =0. KlU * Obšírnější vylíčení důležité události této nlezne lskvý čtenář v: El. LoomiSy The re cent progress of stronomy. Newyork Schuhmcher 9 str. Nchrichten, různé svzky, zvlášť sv ** Porovnej dr. Em. dr. Ed. Weyr- Zákldové... Živ VIII. pg. 15.

3 154 Úlohu tuto převedeme n předcházející, položíme-li u,-i,u 2 = r t u x -l 2 V 2 = v 2. Řešením těchto rovnic dle U x obdržíme TJ K *2 K *1 TJ *2 'l 2 ± 2 vložíme-li hodnoty tyto z ř7i ř7 2 do rovnice (10, bude Y.--0, r.-^^-r^o, 2 3 dvojpoměr čtyř bodů jest tedy Л l Л 3. o " jt 7 7 л l 4 л = 2. (11 2 ~~~~ -3 ~~" * Body tyto jsou hrmonické, jestli g = 1, v kterémžto přípdě přejde rovnice (11 ve K K ~\(K + K (K + K n 0 (12 7. Involuce šesti bodů. Tři páry bodů téže řdy bodové tvoří involuci šesti bodů, existuje-li pár bodů, jenž by součsně všechny tři páry bodů hrmonicky dělil. Rovnice dných bodů budtež U t -K = 0, U,-K =0, U,-X 5 = 0, K U l l 2 = 0,U í ^ =0,U ^ =0 ' rovnice pk hledného páru bodů U 1 h = 0, U y -l 2 = 0. Vzhledem k rovnici (12 obdržíme tedy hh--j-(h + h(k + K + KK~o, h h - \ (h + h ( = 0, hh - \ (h + h(k + K = o. Vyloučíme-li h hi h + h jkožto neznámé z těchto rovnic, obdržíme hlednou podmínečnou rovnici pro involuci I* ^i + 2. K K i? K + 4i K K =0 K K.+ Ki K K

4 155 neb ve tvru rozvinutém (h-h (h-h (h-h + (h-h (h-h (h-h = 0. (14 Z podmínečné rovnice (14 vysvítá, že pět bodů n přímce libovolně voliti můžeme, šestý pk že již polohou pěti určen jest. Jiný tvr involuce šesti bodů obdržíme, vyjádříme-li si třetí pár bodů rov. (13 pomocí U L -l b =V L, U L 6 ~ '21 nčež přejdou ony rovnice v následující: V L =0, V L 1 L F 2 = 0, V L l 2 V 2 = 0 V 2 = O, V L 1 2 F 2 =0, V L k V 2 = O rovnice involuce bude pk l L l 2 í 3 l 4 zr O, již též z (14 obdržíme, položíme-li 5 = O, tí = oo změníme-li součsně s l. Přihlížíme-li k význmu geometrickému veličiny l (či. 5, obdržíme, oznčíce zákldní body, příslušné rovnicím V L = O F 2. O písmeny u, body prvého páru b L,, druhého c \i c 2 b L c L ^c^ 0 b L ' c L c 2 Změníme-li vždy dv páry bodové v této rovnici, obdržíme dvě nové rovnice * sice h c L 6, c 2 b x x b L ^ c L Ъ 2 c 2 Ъ 2 Ъ 2 c L c L c x Ъ L c L Ъ 2 c 2 c 2 c 2 Ъ L c 2 Ъ 2 :0 * Prvíme-li, že % jest sdružený bodu bi, můžeme podti následující význm rovnic uvedených: Tři páry bodů ^b^, \ 9,b 3 tvoří involucí, rovná-li se dvojpomér libovolných čtyř těchto bodu dvojpoměru bodů sdružených. Rovnice (11 plynou tedy z rovnosti následujících dvojpoměrů («!&! = (b 1 l b 3, ( x -=z (6 2 b 3 6 t, ( b 3 t = (b 3 b t. Tuto vlstnost dvojpoměrů uvádí Chsles ve svém percu historique" pg (překld Sohnke z výměr involuce šesti bodů. Porovnej dr. Em. dr. Ed. Weyr Zákldové vyšší geometrie" díl I, pg.*87. Hesse-ho Vorlesungen..." pg. 65.

5 156 Kždá z těchto rovnic podmiňuje obě osttní. 8. Prvé než podáme osttní rovnice involuce šesti bodů, vyložíme jednu větu, jíž k odvození oněch rovnic třeb. V článku (4 ukázli jsme, že L U^ + o Í7 2 = O znčí nám rovnici bodu ležícího n přímce spojující body U x Í7 2 [ r 2 jsou koěfficienty číselné, třebť tu jen veličinou x děliti po- ložiti -y = ', bychom převedli tvr tento n onen ve článku (4], neb souřdnice této přímky vyhovují jk rovnici U v = O tk = O tudíž vyhovují též rovnici bodu, jenž n přímce U x leží. Máme-li tedy rovnice tří bodů U t = O, Í7 2 =: O, TJ 3 = O, leží tyto n přímce, stává-li totožně - U x +l 2 ř u 3 =o..rovnice tto nám totiž vyjdřuje, že KU. + h =-hu 3, z čehož ptrno, že souřdnice přímky spojující body U Y i jelikož vyhovují rovnicím těchto bodů o sobě, i rovnici bodu U 3 vyhověti musí, to jest bod U 3 leží n přímce U t, z čehož plyne vět: Máme-li tři hody U x = O, ř7 2 = 0, ř7 3 = O, ležící n téže přímce^ tu vždy můžeme tři činitele 1? 2, 3 určiti tjc, že identicky jest K U v U 3 ŽŽŽ 0. (15 9. Dné-li jsou tři body JTi, Í7 2, U 3, jež neleží n téže přímce, můžeme vždy rovnici jiné přímky U vyjádřiti pomocí symbolů dných tří bodů to tvrem t ř Z U 3 =Q neb je-li obecně V k = uxk + v ijk + 1 = O (16 tu přejde rovnice (13 ve u (h%i-\- h%2+m+v (^1+^2+ hy*+(+^2+ rf 3 =o, kterážto rovnice předstvuje nám rovnici bodu U= ux-\-vy-\-l=o y položíme-li (J X -., X»j I ť X«y I o Xr» p.v= h vi+ *»y--f*3t 3 (17

6 157 Souřdnice rovnoběžné tohoto bodu jsou K + K +^3 /j \ _ ^yi+^y 2 +^ž/3 ^1 + ^2 + ^3 V rovnicích těchto zhrnutý jest zákon všeobecnějšího pojímání souřdnic, což pouze zde podotýkáme, neb rozbor jejich ponecháváme si pro příští dobu, kde o geometrické příbuznosti šíře pojednáme. Násobíme-li prvou z rovnic (17 u, druhou v, třetí sčítáme-li pk tyto rovnice, obdržíme vzhledem k rovnici (16 U r + 1 ř c Z7 3 =0, což nám podává následující větu: Známe-li čtyři body U = 0, n k (&=:0, 2, 3, 4 neležící n teze přímce, tu vždy můžeme nlézti čtyři činitele, že bude identicky 27 * ř7"*eeeř7+ i U; + 2? řl3:- 0. Kdy znčí rovnice (18 souřdnice těžisk trojúhelníku U x Í7 3? 10. Porovnáme-li toto vyvinování s oným. jež jsme provedli při souřdnicích bodových,* tu shledáváme, že kždý vzorec uvedený dvojnásob čísti můžeme dle toho pojímáme-li proměnné co souřdnice bodové neb přímkové. Tto poznámk mohl nhrditi celé toto vyšetřování, jeví nám tkto úplně zákon reciprocity bodu přímky v rovině, jejž v plné jeho všeobecnosti dokážeme později. Tk n příkld jsou následující věty reciproké : Dv body stnovují přímku; Dvě přímky stnovují bod; bod se pohybuje n přímce ; tři přímk se otáčí kolem bodu; body leží n přímce, td. tři přímky protínjí se v bodě jediném, td. 11. Doneseme ještě několik slov o involuci šesti bodů, č vyvinutí bude totožné jko při involuci šesti přímek. Dle výměrů involuce (či. 7. tvoří následující tři páry bodů U ^ =0 U l LTL=0 U, l,u=0 U.+ ^^O, Ui-\-LU* = 0, ř ř/ 2 z = :0 * Čsopis českých mthemtiků díl II. pg. 172, 266.

7 158 involuci, neb body U t = O, Z7 2 = O oddělují kždý z těchto párů hrmonicky. Rovnice těchto šesti bodů jsou lineárně složené ze symbolů bodů tt_ Í7 2. Místo dvou symbolů upotřebiti můžeme tří, totiž F_, F 2, F 3, kldouce 7,=^-^ (17,-4,0; V 2 = {X-K{U-l 2 (19 V 3 = {X^X 2 {U-l 3 Jelikož součet identicky jest roven nulle, leží body F_, Fo, V 3 n přímce. Stánovíme-li si z rovnic pro P_ V 2 výrzy U x R, vyjádřené pomocí V Y F 2 vložíme-li tyto do rovnice U x +X 3 =0 obdržíme 6Í + 3 lt = -----_ j \ - = 0. (20 3 \ ^3+^1 L L_ ^2+^3 Podobně vložíme-li Z7_ Í7 2 stnovené z rovnic F 2 V 3 do rovnice Z7_ +_ Z7 2 = O z rovnic 7 3 F_ stnovené ř7_ Í7 2 do rovnice JJ.-f 2 ř7 2 =0, obdržíme výsledky, jež z rovnice (20 cyklickou záměnou přípon při V plynou. Zvedeme-li místo л 2 Л 2~"Г Л 3 Л 3 7 Я 3 Я_.. Л 3~T Л 1 л i Л l Г л. '2 >л 2 7 přejdou rovnice dných tří párů bodů vzhledem ku (19 (20 v následující F 1 = 0, F 2 = 0, F 3 =0 J_3 Q J_l Jj_ Q Jj2 _ Jj_ Q *3 * *J kde veličiny l právě tk jk jsou libovolné. Oznčíme-li bod V V vyjádřený rovni cí~ p = Ozkrátk 6, podobně osttní, ^3 ^2 bod pk příslušící rovnici F* = 0 písmenem *, obdržíme vzhledem k rovnici (8 h ^1^2 h h h z W h ~~ h % h ~~ i h ' h ~~ h ' Znásobíme li rovnice tyto, obdržíme b b 3^ x (21 o 3. x b 3. ř_ ' rovnici to vyjdřující nám involuci šesti bodů, z níž záměnou

8 159 b 1 s y neb s neb 6 3 s nové rovnice obdržíme pro tutéž podmínku. Tk celkem sedm rovnic obdržíme, jež prvý Désrgues* udl. 12. Bovnice páru přímek. Rovněž, jko pár přímek, tk i pár bodů součinem rovnic se vyjdřuje, z nichž zmíněný pár se skládá. Jsou-li V 1 = O, V 2 = O rovnice dvou bodů, bude U, =0 (22 rovnice páru bodů; neboť souřdnice přímky, kteráž bud jedním neb druhým bodem probíhá, rovnici (22 vyhovuje nopk všechny přímky, jejichž souřdnice rovnici (22 vyhovují, jedním neb druhým bodem procházejí. Provedeme-li v (22 nznčený výkon, obdržíme rovnici tvru ll u l -\-2 l2 uv~\-2 v u-\-23 v-\-z :i r=:0. (23 Vysfítá smo sebou, že všeobecná rovnice stupně druhého mezi souřdnicemi w, v znčí pár bodů jen pod tou podmínkou, možno-li ji rozložiti ve dv lineárné činitele** tedy ve l(ux 1 + vy x + 1 (ux 2 + vy = O, (24 v kteréžto rovnici jest k koefíicient číselný. Rovná-li se (24 identicky (23, což musí býti, možno-li rovnici (23 ve dv lineárné fktory rozložiti, rovnjí se koefficienty příslušných proměnných tk obdržíme mezi neznámými, x yi x 2 y x y 2 šest * Désrgues ( zvedl pojem involuce do geometrie, jk se toho z listu Beugrnd, v němž kritisuje spisy Desrgues-ovy, ndepsném: Brouillon projet ďune tteinte ux événemens des rencontres du cóne vec un pln dovídáme: Chsles, percu historlque.. pg. 72. Rovnice (21 plyne z rovnosti dvojpoměru ( l o 2 & 1 =:(6 1 & podobně osttní. Úplně sestvené nlézjí se v uvedeném spisu Chslesově percu historique u pg Splynou-li dv příslušné body v jeden, tedy = & 3 zz c, obdržíme involuci pěti bodů td. Totéž vyvinuto velmi jsně ve spisu uvedeném (Živ VIII. od dr. Em. dr. Jfid.Weyr, kde též konstrukce pro jednotlivé přípdy udány jsou. ** Vyvození zde podávám pro rovnici páru bodů dle Hesse-ho, jenž je ve svém spisu Vorlesungen us der nlytischen Geometrie der gerden Linie, des Punktes und des Kreises". Teubner pg. 88. pro rovnici páru přímek podl; zcel obdobné. Slmon podává ve své nlytische Geometrie der Kegelschnitte" překl. W. Fiedler, tři jiná vyvození pg. 115.

9 160 rovnic, z nichž vyloučením proměnných obdržíme podmínečnou rovnici hlednou. Zmíněné rovnice jsou 1L = Xx x x 2 l2 =-^ (tfi^ + ^ž/i, l3 =-^-(x x -\-x 2 X 2 =X yi y 2 3 = (y l + y 2 3 = X (25; Pišme k vůli souměrnosti n = -y (*i#2+ff2#i. 2 = -g- fž/iž/+2/ž/i 3 = "2"( 1+1 seřdíme si rovnice tyto ve tři skupeniny sice ll =- 2 -(x l x 2 + x 2 x x \ 12 =-^-(y 1 x 2 +x x y 2 \ 13 = ^-(^+ÍT 2 i=-2-(^y2 + Ž/i^ 1 =-2-(yiŽ/+Ž/32/i í 33= -^iy^+vi X X X i3 = - 2-0*T + ^2 23="y(ž/l + ž/ 2 33= ~2-(l+l- Bucřtež u v v x souřdnice přímky, kteráž ob body vyjádřené rovnicemi %^i + t>iž/i + i = o (21 %^2 + v ivi + 1 = O, spojuje. Znásobíme-likždou skupeninu ve (26 posloupněu l} v v 1 sečteme-li pk, obdržíme vzhledem k rovnicím (27 ly u Y + 12 v L + 13 = O i2 W l + 2^1 + 3 = O i3 W l+ 3 V l + 3 = 0 Vyloučením w- v x z těchto rovnic obdržíme hlednou podmínečnou rovnici neb ve tvru rozvinutém ii i2 i3 i2 2 3 = O, i3 3 3 H i3!2 3 ~ ii 2 23 ~ 2 2 J3 ~ 3 2 l2 = O. (28 že ttáž rovnice pltí pro podmínku, by rovnice stupně druhého 11? ^ + 2 y rz; + 2»23Ž/ + 3=0 (29 znčil pár přímek, rozumí se smo sebou, chod je docel týž jko při přípdu předcházejícím. 13. Vzdálenost dvou bodů. Vzdálenost dvou bodů vyjádřených rovnicí (23 obdržíme pomocí rovnic (25, utvoříme-li si rozdíly x x x 2, y L y 2. Máme tkto

10 2 (x x x 2 y i = 4 ( 13 n 3 V (Ví ^ 2 = 4 ( Sečteme-li rovnice tyto, obdržíme vzhledem k = 3 pro vzdálenost d páru bodů dných rovnicí (23 4 d 2 = -r- -K13 «u ( ft2 23 «22 033]- (30 3 Úloze této odpovídá stnovení úhlu páru přímek vyjádřeného rovnicí (20, kterouž též ve tvru 1 ( + v iif+ 1 (u 2 x-\-v 2 y-\-l = 0 psáti můžeme. Připomeneme-li, že u x x + v, y = 0 jest rovnice přímky rovnoběžné, vedené počátkem souřdnic ku přímce u 1 x-\-v l y+lmo tu třeb pouze stnoviti úhel rovnoběžek vedených počátkem, jichž rovnici obdržíme, položíme-li členy stupně druhého rovny nulle, tedy u x* + 2 l2 xy + 2 y* = O, (31 z kteréžto rovnice plyne ihned tngent úhlu uzvřenéhog> tgm= Y% "^l**l. (32 ÍL -\-2 Přímky páru stojí k sobě kolmo, když n = 2, jsou všk rovnoběžné, jestli 12 = n. 14. Záměn souřdnic přímkových. Budiž bod O' novým počátkem souřdnic rovnice jeho tt!+t>-7 + l = 0- (33 kdež, rj jsou jeho souřdnice rovnoběžné (bodové. Oznčmež písmeny, /3 úhly, jež nové osy 0'X', 0'Y é uzvírjí s dřívější osou úseček. Budiž dále m určitý bod, jehož souřdnice vzhledem k strým osám jsou #, y, vzhledem k novým YŠk x\ y 4, úhel strých souřdnic (XY=0, nových (X'Y' = p cc 4 i tu jsou známé vzorce převodně pro souřdnice rovnoběžné: _ t, x é sin( u-\-y 4 sin( -ft + S 5 ~ " (34. x 4 sincc-\-y' sinft y J = n-\ ~~. ' ' sm 11

11 162 Přejdeme-li od nových ku strým osám, tu pltí nopk, (% isinp (y rj sin( P sгn ' (x isin-\-(y rjsin( (35 t ^ Buďtež nyní w, v souřdnice přímky vzhledem k strým osám, u\ v* souřdnice téže přímky vzhledem k novým osám, tudíž rovnice její v I. soustvě: ux-\-vy-\-l=q (36 v II. soustvě: u'x' -\-v'y'-\-1 = 0. (37 Vložíme-li do rovnice (36 hodnoty z (34, porovnáme-li výsledek s (37, obdržíme usin ( -\- v siná t U _ t (^1 + vrj-\-lsin. ( usin( (l-\-vsin(i * ' (u^-\-vrj-\-l sin ' podobně zveďme hodnoty (35 do rovnice (37, porovnejme výsledek s (36, ozričíce souřdnice strého počátku vzhledem k novým osám ', rj'. Ze vzorce (35 plyne: ' sin ' = sinf}-\-rj sin ( fi y' sin- ' = 1-sin rj sin (. Vzhledem k těmto hodnotám z ', rj' plyne z nznčeného porovnání u'sin ß v' sin U ~ (u' # + v'n' -p 1 sin ' (39 u'sin( ß -\-v'sin ( V ~ (u'š'-\-v'r]'-\-lsin ' Rovnice (38 (39 jsou hledné vzorce * pro záměnu os v souřdnicích přímkových, přecházíme-li od soutvy kosoúhlé k jiné soustvě kosoúhlé. Vzorce pro prvoúhlé osy sndno si odvodíme z uvedených, položíme-li = 90, é = Vět Pppus-ov. Dříve než se obrátíme k upotřebení vět uvedenýchj připojíme ještě jednu větu dňležitoupomocí ní řešení mnohých úloh konstrukcí odvoditi můžeme. Budiž bod v vrchol svzku pprskového P L P 2 =:0; mimo něj přímk = 0. Svzek tento zkrátk znkem (v * Vzorce tyto uvádí L. Pinvin ve svém spise: Principes de l Geometrie nlytique. pg. 229; Pris, Guthier Villrs.

12 163 oznčíme, pprsek příslušný hodnotě K = l k písmenem B k rovnici jeho B k =z 0. Kždý pprsek svzku (v protíná přímku v jednom bodě nopk kždým bodem přímky, pojímáme-ii ji z řdu bodovou, probíhá jediný jen pprsek dného svzku. Svzek (v řd bodová jsou tudíž ve vzthu jednoznčném ihned dokážeme, že dvojpoměr libovolných čtyř pprsků svzku (v rovná se dvojpoměru příslušných čtyř bodů přímky. Neb bucřtež B u i? 2, 2? 3, J5 4 čtyři pprsky tohoto svzku, jimž odpovídjí body 1?,, 4 co jejich průseky s přímkou pojímejmež B L B 2 z pprsky zákldné, tudíž cr n z zákldné body, tu poměr vzdálenosti J bodu od přímek B x B 2 jest: B\ sin (B x B z x sin (B L B\ sin (B 2 B 3 4 sin (B 2 ' podobně pro poměr vzdálenosti bodu 6 4 od přímek B x B 2 B" v sin (B x 2? 4 x 4 sin (B x B\ sin (B 2 2? 4 4 sin (B 2 " Podíl těchto poměrů dává nám: sin (B x 2? 3 ^ sin (B L J9 4 x x 4 sin (B 2 JB 4 * sin (B 2 J5 4 4 neb (J5 L J5 2 B z J5 4 = ( t 4 čímž uvedená vět stvrzen. 2 Tto vět jest pro geometrii pro- J Předpokládáme rovnici přímky B ve tvru normálním; kdyby rovnice přímky B= x-\- by + c = 0, tu vzdálenost bodu b 3 (ÍC 3, y 3, od této přímky bude, kde B' znčí výsledek substituce souřdnic bodu & 3 do rovnice přímky J5, všk hodnot dvojpoměru nezávisí n těchto koeficientech - -, neb tyto dělením odpdávjí. V -\- 2 Větu tuto uvádí Pppus (žil ve čtvrtém století po Kr. ve svém spisu (Pppi lexndrini mthemtice collectiones Fr. Comndino in ltinům converse et commentriis ilhistrte. Pisnii 1588 VII. 129; prvit: ProcházMi bodem čtyři přímky, tvoří tyto n příčce v rovině oněch přímek vedené čtyři úseky, jež jsou v určitém stálém poměru, t již je veden příčk jkkoliv." Viz Chsles: percu... překl. Sohnke pg. 31., kdež p. Chsles- rozbor důležitost této věty udává, jkož i upotřebení, jkého u pozdějších geometrů v theorii křivek nbyl. 11*

13 164 jektivní velmi důležitá; vrátíme se k ní později, neb chceme uvésti dříve upotřebení některá souřdnic přímkových tudíž poukážeme jen k bezprostřednímu výsledku, jenž z této věty plyne. TJbovolná přímk protíná svzek hrmonický čtyř přímek v bodech hrmonických. Libovolná přímk protíná involuci pprskovou v involuci bodové. (Pokrčování. Spojime-li s libovolným bodem, čtyři hrmonické body, obdržíme svzek hrmonický čtyř přímek. Involuce bodová promítá se z libovolného bodu v involuci pprskové. Zčátky mthemtické krystllogrfie. (Píše prof. Jn (Dokouření. Krejčí. 67. Výpočet koefficientů vzthuje Numnn n tu výminku, že polární firny H, D tvru mpn odtínjí hlvní osu t ve vzdálenosti ť = mt, pobočné hrny jednu vedlejší osu r ve vzdálenosti r = l, druhou ve vzdálenosti nr } kdežto mezios n \f3 p = 1, při čemž v hrně H končí se mezios p v hrně D vedlejší os r = 1. Z dvou hrn dá se třetí hrn vypočísti pk jest n př. pro známé hrny D, S mt = tng\ S.sin(r,s,, x cos\d cos (r, v s = 7-~~? ' ' s^n\s ' n V2 = tng (r,s 30 Y"%. Pro známé hrny H, S jest m t = tng \ S. sin (150 jp, 8,, ' cos\h cos(p s=. * Q, s^n\s ' n % = tng (120 p,s Y\.