Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Transkript

1 Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky Krel Petr Několik poznámek o determinntech Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky, Vol. 35 (1906), No. 4, Persistent URL: Terms of use: Union of Czech Mthemticins nd Physicists, 1906 Institute of Mthemtics of the Acdemy of Sciences of the Czech Republic provides ccess to digitized documents strictly for personl use. Ech copy of ny prt of this document must contin these Terms of use. This pper hs been digitized, optimized for electronic delivery nd stmped with digitl signture within the project DML-CZ: The Czech Digitl Mthemtics Librry

2 311 t. j. differenciální poměr skláru v dle vektoru r ve směru s jest vektor téhož běhu s, jehož sklární částí jest -=-. (Pokrčování.) Několik poznámek o determinntech. Npsl K. Petr. I. Nejprve chci poukázti n zcel jednoduchý pokud mi známo dosud nepovšimnutý způsob, jk lze odvoditi vzthy mezi determinnty utvořenými z elementů mtice určité hodnosti fi. Říkáme, že mtice i = 1, 2,... n "'*' * = 1, 2,... m jest hodnosti ft, jsou-li všecky determinnty rs stupně vyššího nežli p-tého rovny nulle je-li spoň jeden determinnt rs \ stupně p od nully různý. Vyšetřujme, jké jsou vzthy mezi determinnty stupné fi-tého. Z tím účelem vezmeme v úvhu tento determinnt: t. nn> u nj2> %Í2J\> i2?2> * г Vџ) г Wџ> ^\ iikif %2 i\k2) %\i%k\y OCi^i^kci X fi h k fi X fi i 2*ft D = iph> hh> i fih> hj2> i fiift> X i iftk\) X 2 i fi*2> ' hjfi> y hh> yďi.h) y i\*» lqj\) 'l2j2> ' i23fi> y wi> y i<l*2> y Wf* ^lu vi> V2> l lu w y i fi k i> y i fih> y%v Tento determinnt n zákldě supposice, že mtice ik jest hodnosti /i, vzhledem ku Lplce-ově větě rozkldné jest rovný nulle, když y z=z x x. Ze stejných příčin jest rovný nulle i pro y = x k. Poněvdž pk jest to polynom ptého stupně, jest nutně D = A(y - x x ) (y x 2 )... {y xj, kde A jest n# ( rovněž n x l9 nouti) nezávislé. x, jk sndno nbléd-

3 312 Vypočteme-li tudíž součinitele, jimiž v dném determinntu jsou násobeny různé výrzy ( iy*~* y k x Vl x r^... x r, (r l; r 2}... různá čísl z řdy 1, 2,... /i), dostneme pro tyto součinitele výrzy vesměs sobě rovné obdržíme tk řdu vzthů mezi determinnty stupně ft z dné mtice. Nejjednodušší tké nejdůležitější vzth plyne ze srovnání koefficientů čísel y* ( Vf x x x 2... x/u. Dostáváme tk, zvedeme-li pro stručnost oznčení ( Һ> l2> ' * V Зм «/2) -Jju / *ni\> U/ nn> ' ťг^jn UІ2J 2, l ПJfi UІ Vfi tento známý vzth i fih> iftji> üi џif* lh> i*> V\/ i,, Z 2,... ^ \_ / ix, i 2, V \ h> h> y'i;í2?... jf,)\k X, K> hp) Ul7 &*> ^ l Íl7 Í 2 > Vzthy osttní z porovnání koefficientů čísel y u, y ta ~"' i x x x 2,... plynoucí lze psáti v tomto tvru /i i 2,... ia Il lt l 2,...^\ \^l? J2í 3/4.1 \\> ^2> ' %/ = 2; / h, H,... ir,... ia / l l} l q,... l^ \ \3l>3%> -,.*-...jj\jr,h>--h/ ' '' 2j / ťi, i 2,.. i.-,.. i,,... i w \ / Z-., Z, l 3,... *A ji, J2»...*!,... fe 2,...JJ \>, >, *37 &J" r, * = 1, 2,.. ' /*; * M U*) Лj *) Jestliže dná mtice jest symmetrickou, t. j. jestliže ik = tt, jnáme ihned specilisováním /*i. «t, V\ /'i, / ^\ /'i. 'i. V\ 2,. Ví. «'i.-. w\'i»' w"!^'.. w > w pro symmetrické mtice jest totiž, jk bezprostředně jsno, /'i. "2. V ^ / '-' Z 2» * * ^\ Vl» / 2'-' W V l 'l' f 2> W' 2 QO pk následuje pro formy kvdrtické důležitá vět, že hlvní subdeterminnty stupně n u mtice hodnosti f* jsou, pokud jsou od nully různý, vesměs stejného znménk (při reálních ik).

4 313 Jest jsno. že téže methody, jko bylo právě užito k odvození bilineárních vzthů mezi determinnty stupňů lí-tých, lze použíti k odvození bilineárních vzthů mezi determinnty stupně H t determinnty stupně /i 2, jestliže jenom «. +l* 2 :> /*. II. N druhém místě hodlám ukázti, jk lze zevšeobecniti jistou větu determinntní uveřejněnou od G. Rdose *). Zevšeobecnění toto jest všk zároveň jejím zjednodušením. Nejprve dokáži větu Rdosovu poněkud jiným způsobem. Budu se opírti při tom o některé známé zcel elementární věty o lineárních substitucích, jež ihned vyložím. Lineární trnsformci y k z=z k \ x x + k%x kn x n ; Jo = 1, n 11) budu znčiti zkrátk y = A (x). Při tom budu o této substituci předpokládti, že determinnt její I «t* I jest od nully různý tento předpokld nechť pltí o všech lineárních substitucích, jichž v následujícím budu užívti. Užiji-li n proměnné y k novou lineární substituci neb jink psáno : z = B {y\ (2) z k = 6*i #i bkn y n ; Je = 1, n dosdíme-li z y k z (1), vidíme, že jest mezi z k x k vzth z = C(x) 9 Zk = CM Xi c*»ff w, Jo = 1, n, (3) kde C H = bk X dli + b*2 «2Í + + &*» -*»í> &, ř = 1, 2,... W. (4) Při tom pltí pro determinnty z koefficientů c k i } hki, k i relce cu \ = 6w «; tento vzth s pomocí (4) ť tké stnoví způsob, jk dojdeme k součinu dvou determinntů; form *) G. Rdos, Zur Theorie der djungierten Substitutionen, Mth. Annlen 48. sv., str Srovnej te2: W. H. Metzler, Compound Determinnts, Amerie. Journl of Mth., Vol. XVI. str

5 314 součinu nechť v následujícím vždy jen rovnicemi (4) jest určen, při čemž ovšem jest form výsledku závislá též n pořádku činitelů. O substituci G říkáme rovněž, že jest součinem substitucí B A píšíce C = BA. Zvedením nových proměnných do (1) substitucí x = T(x') i x k = hi x\ t kn x' n 7 _ -, o fr\ y = T(y') \ y k = fo, */',+...+ **»*'«/C ' "> ' * ' n W dostneme sndným počtem vzth mezi y' x\ zákldě přijtého oznčení psáti ve tvru který lze n y' = T-'AT(x'). (6) A tu pltí, jsou-li kořeny «1? H 2,... /i M, rovnice x, й\n = 0, (7) nebo jink psáno, rovnice Ctní - ӣ n 2 dnn V I A *» =? P ro i ^ h \ ik - d ik x = 0, / r. / 1 ' <?,* = 1, pro ^ = Je, čísl vesměs různá, že substituci (6) lze dáti vždy tento tvr ý k = Li k xr k ; Jc = l, %...i?.*) (8) Větu tuto lze vysloviti též tk, že k determinntu A \ lze udti z uvedeného předpokldu dv determinnty T, T- 1 1 tkové, že součin T~ l \. \A\. \T\ utvořený podle přijtého předpisu má prvky, ncházející se mimo hlvní digonálu, vesměs rovny nulle. Mimo substituci tvru (1) vezměme v úvhu (s Edosem) ještě substituce k (1) přidružené. Tyto dostneme z (1), uvžujeme-li m řd čísel (m lí n): y { k\ $\... yf zároveň x%\ 4\... x^, Jc = l,2,...n; kde vesměs yl,я x\\ лo Je = l, 2,... m souvisí týmiž vzthy *) Důkz této věty jest zcel sndný, viz ku př. Jordán, Gours ďanlyse, 2. vyd. sv. III. str. 170 násl.

6 315 jko yh s or k v (1). Sestvme všecky kombince m-té třídy % n čísel 1. 2,... n v řdu (libovolné) oznčme jednotlivé kombince řdovými číslovkmi 1., 2.,... N-tá = ( )-tá. Budiž e-tá z těchto kombincí r, r, 2... r, položme v( ш ) л ľ x?\ x?\., x (ш) x (, ) r \1 ľ 2 > '. x «*7.(-) (») x'; 0 podobně definujme Yí w). Pk plyne ihned z Binet-Cuchy-ovy věty o subdeterminntech determinntu utvořeného jko součin dvou determinntů v (/л! (,н > Y (m) I Jш) {ш > Y {ш v(ш) > l _1_ n {mì Y lm) 1 O V ï e e л, -f- t2 A 2 -f-... -f- Є N AІV, e 1,.5,... xv, při čemž jest (10) ґ//,) <% = Яr*!- /- 2 * 2, - «r2.«íw (П) ^' /«* i.» '' Иł *2? * Пr,нЯm je-li f-tá kombince s x s q.. s,. Substituci určenou rovnicemi (10) budeme psáti tkto Y*»> = A< m >(XW)i (12) znčí pk ovšem A (X) substituci A smu. Sestrojíme-li podobně substituci B (m) přidruženou ku (2). dostáváme bezprostředně jko důsledek Binet-Cuchy-ovy věty svrchu již užité tento pro nás fundmentální výsledek (BA) (m) = B (m) A (m \ (13) Nechť znčí nyní T substituci tk volenou, by vzth (6) byl tvru (8), pk dle vzthu (13) právě dokázného bude (j-i)(^, A (m). T (m) přidruženou substitucí k substituci (8) bude tudíž tto substituce míti tvr při čemž rr=iit ) x i r] fl) rrr (t Гi ц r e=i,2,...n, (14) (14') jkž doszením do výrzu pro TT přímo plyne; jest tedy sub 21*

7 316 stituce přidružená k (8) téhož tvru jko (8). Z význmu všk čísel ti k, f4 w) plyne všk ihned vět: Jsou-li hořeny rovnice dik. * i ri 7 i o > P ro i^]i ''> \ i k-^x\ = 0,, *=l,2,...n, ^ _ ^ ^ p r o = (15) různá čisl ji,, ^<2... /*, Jso^ hořeny rovnice K / - * ^ = 0 e,/=l, 2,...2T; ^ = 1, p r o, = / (16) v, 7 t>/*) (m) (m) cisl ii x, p\,... HN Tím jest vět Rdosov dokázán. Způsob všk, jímž jsme důkz provedli, umožňuje nám zcel sndně zevšeobecnění. Nejprve lze ji rozšířiti n rovnice tvru i -L i A 7 1 o fc* = 0, pro i ^ h; I» hkx =0, *, 7Č = 1, 2,... n,, A 0** V* ^ O. (17) Tuto rovnici přeměníme ihned n rovnici tvru (15), dělíme-li elementy k-tého sloupce v k = h kk. Tím obdržíme rovnici i / * i A 7 1 o <*Í* = 0 pro i ^ 4, «- ^ = 0, 1,4=1, 2,...n, f t = l p r o ť = i ; i J / to (18) kde #** =. v k Užijeme-li n tuto rovnici (z potřebných supposic pro ěísl 'ik) věty Rdosovy, známe ihned kořeny rovnice \' i 7 ) d f x\ 0 e f 1 2 N ^" P r0^/ \e f d ef x\-v, e,f l,z,...j\ fy- lvt0 e=f. (19) Násobíme-li všk /-tý sloupec v determinntu n levé strně této rovnice číslem v s. v s... v Sm = vf l), nezměníme kořeny rovnice, rovnice pk dostne tvr, (m) -HI»), r, /. 1 0 T» T ber' ~=- 0 pto Č 5^/ <4/ b,/ * = 0, c,/=l, 2,... JT ' _ (w) 0ee ^e > má-li tudíž rovnice (17), resp. (18) kořeny p u (20) /Í 2,... ft M, má

8 317 rovnice (20) kořeny H t w?), /i'./ 0,... H ř^\ (při čemž se předpokládá, že n ly //, 2,... // jsou čísl různá). Mějmež nyní rovnici etik hk x\ = O, i, Je = 1, 2,... n; (21) kde pro čísl u-, bu- není žádného omezení, vyjm to, že kořeny této rovnice jsou mezi sebou různý rovněž kořeny rovnice,, V I A ' / 1 O ^ 0 P r '' < k & t t -*»* =0,,, A=l, 2,...n, ^ = l p r o í = Jb (22) jsou mezi sebou ( od nully) různý. Pk dle předcházejícího lze nlézti dv determinnty I T~~ l \, \T\ (ptřící k jisté substituci ~k substituci reciproké), jichž elementy jsou závislé pouze n hk, že součin determinntů T- 1. cuk - b ik x \.\T\, i, h = l, 2,... n (23) bude determinnt, jehož elementy budou rovněž lineární výrzy v x, všk koefficienty čísl x vyjm u elementů v hlvní digonále vesměs budou rovny nulle podobné výrz (T-i/-'. í/ - b^x.! T (w), e,f=l,2,...n (24) obdrží součsně tvr levé strny rovnice (20) vzhledem ku vzthům vytčeným rovnicí (14; (8). Poněvdž pk rovnice (21) rovnice i ( ef ] bifx 1 = 0, e,f= 1, 2,...V (25) mjí tytéž kořeny, jko rovnice, které dostneme, položíme-li výrz (23), resp. (24) rovný nulle poněvdž tyto rovnice mjí k sobě vzth rovnic (17) (20), jkož i jejich tvr, pltí pro kořeny rovnic (21) «25) totéž, co pltí pro kořeny rovnic (17) (20, totiž: Má-li rovnice (22) hořeny vesměs různé /*,, //,,,... //, má rovnice (25) hořeny \i \ k u( m),... ^N \ Vět tto jest omezen ještě poždvkem, že kořeny rovnice (22) mjí býti mezi sebou od nully různý. Avšk toto omezení i druhé, jež podobně týká se různosti kořenů rovnice (21), jest zbytečné lze je odstrnit, jk ihned seznáme, vyslovíme větu odvozenou v tomto definitivním tvru:

9 318 Jestliže ik x + b ik y = U{ix + /%); i, k, l = 1, 2,... «, (26) jest í7 > «+ 6^,y ==JT(r > «+ /<<" ) y); e,f, ff = 1, 2,...N. (27) i? Při tom nechť ustnovují ukztelé e, f, g tyto tři kombince m-té třídy z čísel 1, 2,... n : r, n>... r,,,. 5, s 2... s,,, t x h...,,,. Číslo íif/' určeno pk jest rovnicí (11) zcel podobnou číslo b!/'\ Pro «J", /4'^ pk jest < l) = ««, 2... «,, /4 W) =. /*,... fr M. (28) Vět právo vyslovená jest zcel jednoduchá přeměn zevšeobecněné věty Rdosovy, i domnívám se, že není třeb touto přeměnou obšírněji so zbývt. Levé strny rovnic (26) (27) jsou formy stupně n, rosp. N. Aby mezi těmito formmi byly vzthy vyjádřené prvými strnmi rovnic (26) (27) při obecných hodnotách čísel,*- &,* (t. j. při hodnotách,*, b lk, pro něž nenstávjí jisté svrchu vyjmuté přípdy rovnosti kořenů td.) ; k tomu jest nutno, by mezi koefficienty těch forem stupně n, resp. X byly splněny jisté vzthy. Tyto vzthy jsou nutně vzthy identické *), zůstávjí tudíž správnými, i když nbudou koefficienty,*, b,-k dosud nepřipouštěných hodnot vet výsledná zůstává pro kždý systém hodnot u-, bik správnou Vět předcházejícího odstvce lze různým způsobem použíti k odvození četných vět o determinntech. Podám některé příkldy. 1. Budtež dány dvě formy dikx + biky = II(ix -f [i t?/) i, Je, l = 1, %... n (29) j cv^x x -f- tf,-,*'! y! = ll(y lx x+ di x y) i\, Jc\, l\ =1\ 2\... n\ '" (29') *) To jest, dosdíme-li do těchto vzthů z J ( { \ b {^] provedeme-li potřebné operce, dostneme identitu.

10 319 utvořme cleterminnt Mt. ( ik x + Ъikìl) Nully Nully Mt. (cvxh'xx +- d,-i lťl y) (30) Tento determinnt rovná se součinu levých strn v (29) (29'j. LTžijme n determinnt onen věty předcházejícího odstvce pro w = 2. Kombince druhé třídy z čísel 1, 2,... n, \\ 2'... n'- sestvme v toto pořdí ) všecky kombince druhé třídy čísel 1, 2,... n, h) všecky kombince druhé třídy čísel 1', 2',... n\, c) všecky kombince druhé třídy tkové, že první prvek jest jedno z čísel 1, 2,... n, druhý pk prvek jedno z čísel 1', 2',... n\. Pk, jk sndno seznti, determinnt přidružený ku (30) pro JH = 2 nbývá tohoto tvru : Í! Mt. ($x + ti?y). Nully mt^x+d^yi Nully Mt. («.*&., j..^"^^'..!'..?) sloupců W (»'.)«Determinnt tento všk rovný jest součinů tří determinntů opětným použitím věty odstvce předcházejícího nbýváme věty, že ikď^ x -f bikdwt y \ = n(iy Vl x + fto>i«/) ; z, ť Z, *, l = 1, 2,... n; i'-., *' Z', = 1', 2',... n',. (32) (31) Při sestvování determinntu n levé strně jest o to pečovti, by všecky elementy téhož řádku ptřily k téže dvojici (i, i\) elementy téhož sloupce ktéže dvojici (Je, k\)\ pk by pořdí dvojic (i, i\) přiřděných k řádkům 1., 2.,... n.n\-témvi

11 320 bylo totožno s pořdím dvojic (Je, k\) L, 2.,... n. n\ -tému. přiřděných ke sloupcům Z rovnice (32) ku př. plyne srovnáním koefficientu mocniny x nn 'i n obou strnách, se zřetelem ku koeficientům x% resp. x n - v rovnicích (29) (29') vzth i i i i«< i i» fy Ze l«lí..,. n. I ikciw I = I «n -. I ^k*! \ n ;., \, _ /, 9, vět to Kroneckrov. *) 2. Srovnáním koefficientu různých mocnin x n obou strnách rovnic (26) (27) plynou podobně různě věty determinntní. Zvolme si ku př. h ik = O, jestliže ř *> q\ (q < n, q^ m). Uspořádejme pk kombince m-té třídy z čísel 1, 2...??, že nejprve seřdíme všecky kombince z čísel 1. 2,... q potom všecky kombince osttní. Pk blf = O, jestliže f >* (q) m. Součinitel výrzu x N ~ {q)m y [q)m n levé strně rovnice (27) jest tedy determinnt i X/, e, / = 1, 2,... N, kde Aef = bty, když / <. (q) M, A e f = '/\ když / ^ (q) m. Uvážíme-li ještě, že form (26) obshuje jko činitel x n ~ q že tudíž můžeme klásti /i, = /i 2 =... = jí n -. q = 0,, = «2 =.. = n _ q = 1, dostneme po sndném počtu vzth Ьц òiy,.,у + 1 <«- 1). Љf I =.(w-n^^! - Oř* (2-1)^-1 Owl Onq, ^n^-f-l» &m e,f=l,2,...җ i,h = l,2, *) Citát dle Encyklopedie der mtli. WTss. I. A 2, 22, sir. 40,- frnc. vydání str. 99. Důležitost, jká se n tomto místě větě Kroneckrově přikládá, zdá se mi osttně neoprávněnou; vskutku není Kroneckrov vět než zcel zvláštní přípd věty Frnkeovy. Tto jest, užijeme-li oznčení textu, t, n A t\ i, k = 1, %... n ; tv) K/ l = l*/*l '> <S /=1. '2,... A'. Z této věty (kterou sndno dostáváme z (26) (27) porovnáním koefficientu u.v» x& n obou strnách) obdržíme Kroneckrovu týmž. postupem jko jsme dostli (32) z (26) (27).

12 321 Z této věty specilisováním bychom dostli sndno různé známé věty o determinntech z determinntů. i). Použijeme-li konečně věty odstvce předcházejícího pro m = n 1, dostáváme, oznčíme-li minory v determinntu ik I příslušné ku * dělené determinntem,* \ znčkou ik minory v determinntu b ik \ dělené I b- \ podobně ii fkf téměř bezprostředně I $dik + y bik = ik I. ) hk. \xfiik + yccik ; i, h ~ 1, 2,... n y což jest známá relce Sicciov*), který jí použil n odvození věty pro determinnty orthogonální (zevšeobecniv známou větu Brioschiovu). 0 thermodynmiee dějů nepřevrtných. Npsl Dr. Jos. Theurer, professor montnistické vysoké školy v Příbrmi. (Dokončení.) 9. Pojem entropie vůbec. Pojem entropie, jejž zvedl ve vědě R. Clusius n zákldě studi dějů převrtných, zveden byl jko pojem čistě mthemtický. V thermodynmiee dějů převrtných ukázlo se. že veličin dq není úplným differenciálem, nýbrž že jdq závisí i n cestě, kterou prcující hmot se z počátečného stvu w l" do konečného stvu 2" dostne. Úplným differenciálem jest všk veličin -~, kdež T znčí bsolutní teplotu, při níž prcující hmot přijl (neb odevzdl) množství tepl dq; proto / -jj; pokud se týče děje neuzvřeného, závisí pouze n stvu počátečném konečném, nikoli všk n cestě, kterou děj se konl. Z téže příčiny týž integrál, vzt pro převrtný děj uzvřený (kruhový), rovná se nulle. Veličinu, jejíž differenciálem jest výrz *) Atti Accd. Torino 7. p. 772, Annli mt. pur ppl. (2), 5 (1871/3); cit. dle frnc, vyd. Encyclop. I. 1 str. 117.