DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

Transkript

1 DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická prvidl... 3 Zákldní vzorce derivce funkcí... 3 Příkld... 4 Lokální etrém... 4 Anlýz chování funkce... 4 Integrál... 5 Algebrická prvidl... 5 Tbulk integrčních vzorců... 5 Určitý integrál... 6 Řešení určitého integrálu pomocí neurčitého... 6 Příkld... 6 obr. K vsvětlení derivce integrálu Derivce Derivce funkce, jk ukzuje obr., vjdřuje strmost změn této funkce vzhledem k její nezávisle proměnné či proměnným. Opčným procesem k derivování je integrování. Pvel Schuer (6) - Derivce integrál ve fzice

2 DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ V přípdě dvourozměrného křivk funkce f(), je derivce funkce v libovolném bodě (ve kterém eistuje) rovn směrnici tečn této křivk v dném bodě. Definice derivce Pro změnu hodnot se používá smbol, tkže tento poměr lze smbolick zpst jko. Derivce je hodnot podílu pro jdoucí k 0 (zpíšeme 0 ). Nhrdíme-li konečně d mlý rozdíl nekonečně mlou změnou d, získáme definici derivce (říkáme, že d derivce je podílem diferenciálů závislé nezávislé proměnné). Tento zápis se čte d podle d. Tento výrz je povžován z smbol, nikoliv z zlomek. Nejběžnější definice derivce funkce je: f ( + h) f ( ) f '( ) = lim ( ) h 0 h Derivce se znčí více způsob: ) f '( ) (f s črou ), d b) f ( ) (d podle d z f ), d c) d f d (d f podle d ), d d) & = = '( t), ( s tečkou) ve fzice se používá pro derivování podle čsu (t). Derivovt lze opkovně, pk získáváme druhou derivci, třetí derivci, td. Derivce d všších řádů se ve fzice oznčují eponentem, npř. je druhá derivce. Derivce d všších řádu podle čsu se oznčují více tečkmi nd derivovnou veličinou, npříkld & & je druhá derivce podle čsu. Prciální derivce Při prciální derivci se u funkce více proměnných povžuje z proměnnou jenom t, podle které se derivuje, osttní jsou v tomto výpočtu povžován z konstnt. Prciální derivce se znčí obdobně jko občejné derivce, pouze místo smbolu d se používá smbol, npř. f znčí prciální derivci funkce f podle proměnné. Derivce vektorů Derivcí vektoru v r podle proměnné t rozumíme vektor, jehož složk získáme derivcí složek vektoru v r, tzn. r dv dv dv dv z = (,, ) Pvel Schuer (6) - Derivce integrál ve fzice

3 DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ Výpočt derivcí Derivce funkcí se počítjí ze známých derivcí několik zákldních funkcí (zákldní vzorce derivcí) jednoduchých lgebrických prvidel pro jejich dlší úprv. Algebrická prvidl Pro výpočet derivcí pltí: Derivce součtu: ( f + bg)' = f ' + bg' pro libovolné funkce f, g konstnt, b. Speciálně ( f )' = f ', ( f + g)' = f ' + g' Derivce součinu: ( fg )' = f ' g + fg' pro všechn funkce f, g. f f ' g fg' Derivce podílu: ( )' = pro všechn funkce f, g, kde g 0. g g Derivce složené funkce: Pokud f() = h(g()), pk f () = h (g()) g (). Derivce inverzní funkce: Pokud jsou f() i f () obě diferencovtelné, pk tehd, kd d d 0 pokud 0, pltí = ( ). d d Zákldní vzorce derivce funkcí Funkce f ( ) = Vzorec pro derivci Podmínk pltnosti vzorce = konst. ' = 0 n = n N n = n N r = r R = e = 0 < = ln ( ; + ) n ' = n ( ; + ). n ' = n ( ; 0) ( 0; ). r ' = r ( 0;+ ). ' ( ; + ) = e. ln = log 0 < ' ' = ( ; + ) = ' ( 0;+ ).ln = sin cos = cos ' sin = ( 0;+ ) ' = ( ; + ) = ( ; + ) = tn = cot '= R {( k + ). ; k Z } cos ' = R { k. ; k Z } sin Pvel Schuer (6) - Derivce integrál ve fzice

4 DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ Příkld f ( ) = 3 ; f '( ) = 0, f ( ) = ; f '( ) =, f ( ) = ; f '( ) =. =, f() = 5³; f () = 5²; f () = 30 f() = e ; f () = e. f() = ln ; f () = -. f() = ³ + ² 5 + 7; f () = 3² f() = sin cos ; f () = cos² sin² = cos. f ( ) = ; f '( ) =., rcsin (rcsin) ln ln f ( ) = = e ; f '( ) = e.(.ln + ) = (ln + ). Lokální etrém Pokud má dná diferencovtelná funkce nějký lokální etrém (mimum či minimum), je zřejmé, že její tečn v tomto bodě musí být vodorovná, tzn. derivce této funkce musí být v tomto bodě nulová. Pokud v tomto bodě lze spočítt i druhou derivci, prozrdí její znménko, o jký etrém se jedná: V bodech, kde je první derivce nul druhá derivce je kldná, se nchází lokální minimum. V bodech, kde je první derivce nul druhá derivce je záporná, se nchází lokální mimum. V bodech, kde je jk první, tk druhá derivce nulová, se nchází tzv. stcionární bod, který může nemusí být etrémem. Alterntivou k rozlišení pomocí druhé derivce je znménko první derivce: v bodě, kde má funkce lokální etrém, mění první derivce znménko: pokud je nějký bod lokálním minimem, pk v jeho levém okolí je první derivce záporná v prvém okolí kldná, nopk v levém okolí lokálního mim je první derivce kldná v prvém záporná. Anlýz chování funkce Předchozí odstvec popisuje způsob, jk pro dnou funkci nlézt její lokální etrém. To může sloužit k získání přehledu o chování funkce, npř. při ručním náčrtu jejího grfu. Kromě nlýz etrémů lze vužít derivcí k následujícím pozorováním: V bodech, kde je první derivce kldná, je funkce rostoucí. V bodech, kde je první derivce záporná, je funkce klesjící. V bodech, kde je druhá derivce kldná, je funkce konvení. V bodech, kde je druhá derivce záporná, je funkce konkávní. V bodech, kde je druhá derivce nulová, se mohou vsktovt inflení bod. Pvel Schuer (6) - Derivce integrál ve fzice

5 DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ Integrál Jednoduše řečeno je určitý integrál nezáporné funkce f() mezi dvěm bod, b roven ploše obrzce omezeného přímkmi =, =b, osou křivkou definovnou grfem funkce f. Integrál se znčí stlizovným protženým písmenem S (z ltinského summ). Integrál z předchozího odstvce b se znčil jko b f ( ) d, kde znménko znčí integrování, b jsou integrční meze (jen u určitého integrálu), d oznčuje proměnnou, podle které se integruje. Algebrická prvidl Pro výpočet integrálů pltí zejmén: f = ( ) d f ( ) d ± [ f ( ) g( )] d = f ( ) d g( ) ± d Tbulk integrčních vzorců U neurčitého integrálu je třeb k řešení přičíst integrční konstntu. Integrční konstntu zpíšeme ž z konečný tvr výsledku. Funkce = f ( ) Vzorec pro neurčitý integrál ( ) d F( ) f = + c = 0 d = c ( c R) = = + c n+ n n =, n N d = + c n + = d = ln + c = e + ( > 0, ) = Podmínk pltnosti vzorce ( D( f )) 0 ( ; + ) d ( ; + ) ( ; + ) ( ;0) ( 0 ) ; e d = e c ( ; + ) d = + c ln = sin d = cos + c = cos d = sin + c ( ; + ) sin ( ; + ) cos ( ; + ) Pvel Schuer (6) - Derivce integrál ve fzice

6 DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ = tn tn d = ln cos + c cos 0, + k, k celé = cot cot d = ln sin + c sin 0, k, k celé = cos d = tn + c cos = sin d = cot + c sin = d = rcsin + c ( ) ( ) U k ; k + k Z U( k, ( k + ) ) k Z (, ) = d = rccos + c = + d = rctn + c + = d = + c + rccot + Určitý integrál (, ) ( ; + ) ( ; + ) Určitý integrál vzthujeme (n rozdíl od integrálu neurčitého) k intervlu, přičemž rozsh intervlu ovlivňuje hodnotu integrálu. Výsledkem určitého integrálu je obvkle nějké číslo. Určitý integrál znčíme podobně jko integrál neurčitý, nvíc všk vznčujeme intervl, n kterém integrujeme. Npř. integrál funkce f() n intervlu Řešení určitého integrálu pomocí neurčitého I =, b znčíme f ( ) d Určitý integrál vřešíme tk, že nejdříve vřešíme neurčitý integrál. Potom do řešení dosdíme horní mez. Následně do téhož řešení dosdíme spodní mez tento člen odečteme. Ted b ( f ( ) d ) ( f ( d ) b = f ( ) d = ). = Je zřejmé, že v přípdě určitého integrálu se integrční konstnt vruší proto ji nemusíme používt. b Příkld Vpočítejte hodnotu určitého integrálu funkce = n intervlu I = 3, 7. Řešení: 7 d = = 7 3 = ( ) 3 = 7 = 3 40 = 0 Pvel Schuer (6) - Derivce integrál ve fzice