Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Transkript

1 Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky Vilém Jung Příspěvěk ke theorii ploch druhého stupně Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky Vol. 10 (1881) No Persistent URL: Terms of use: Union of Czech Mthemticins nd Physicists 1881 Institute of Mthemtics of the Acdemy of Sciences of the Czech Republic provides ccess to digitized documents strictly for personl use. Ech copy of ny prt of this document must contin these Terms of use. This pper hs been digitized optimized for electronic delivery nd stmped with digitl signture within the project DML-CZ: The Czech Digitl Mthemtics Librry

2 24 dco cc l z=z s^n co cos co ; (13) dt r r ' v / zde znčí ' 0' r' opět derivce hodnot /? r* dle t. Položíme-li k vůli stručnosti: f = r ; r = ^ ( 14 > tu máme z (13): -^- Tsin co ~\~ U cos co. (15) Chtějíce převésti tuto rovnici n tvr známější*) připomeňme si že vyjádřivše sin co cos co co rcionálně funkce nové proměnné v i dco se objeví co rcionálny diferenciál. Známo že to vykoná substituce: tg ^00 = v] (16) tou (15) přejde n rovnici: ~-\-kuv^-tv-lu=0 (17) Jest všk známo že lze rovnici tvru: -j t + <P(t)v 2 + H>(t)v+%(t)=0 vždy integrovti jkmile je znám jeden prtikulárný integrál. Tím ptrně dokázán vyslovená vět. Příspěvek ke theorii ploch druhého stupně. Podl V. Jung v Prdubicích. Rovnice stupně druhého mezi třemi proměnnými znmená plochu druhého stupně má všeobecně tvr: n 2c y 2 -f n z xy -f 2 23 yz -f 2 13 xz -f 2 14 x + 2^24 V = 0 (1) Degeneruje-li ploch druhého stupně n plochu bud kuželovou buď válcovou neb n dvojinu rovin v konečnu se pronikjících neb n dvojinu rovin stejnosměrných pltí mezi *) Yiz článek pn Besge- v XI. svzku 1. série žurnálu Liouville-ov Str. 445.

3 součiniteli rovnice (1) jisté zákonité relce jež se djí n zákldě homogenních čili Hesse-ových souřdnic velmi sndno elegntně odvoditi jk to poprvé Dr. Otto Hesse učinil. V následujícím chci n zákldě obyčejných souřdnic Des Crtesových odvoditi spůsobem ovšem poněkud umělým všk ku pmtování velice výhodným podmínky jež pltí mezi součiniteli rovnice (1) má-li tto znmenti buď ) plochu kuželovou stupně druhého buď b) dvojinu rovin v konečnu se pronikjících buď c) dvojinu rovin stejnosměrných pri čemž užiju uěkterýck pojmů vyšší geometrie jkož i principu Dupin-ov prvidl o násobení dvou determinntů téhož stupně. Kuželovou plochu stupně druhého jkož i dvojinu rovin možno bráti z zvláštní přípd hyperboloidu jednoplochého pročež vyjdeme od definice této plochy druhého stupně. Ploch tto jest plochou mimosměrek (plochou sborcení) možno ji tedy pojímti jko nepřetržitý souhrn přímek zákonitým způsobem vytvořených: 2. Ploch H hyperboloidu jednoplochého jest výtvorem dvou projektivních svzků rovinných Š = (A B C... T) Š' = (A' B' C\... T') což lze symbolicky vyjádřiti vzorcem S : /SzH (SjtS*). 25 Osou svzku 8 jest přímk S osou svzku /S' jest přímk S\ Proniky združených rovin tvoří přímky povrchové hyperboloidu tk ku př. jest všeobecně 7 1 pronik to rovin T T' tkovou povrchovou přímkou. Ttáž ploch jest též výtvorem dvou projektivných řd bodových P=( 6 c... ť) P' = (\ b\ c\... ť) což lze symbolicky vyjádřiti vzorcem P:P'zH (PitP 1 ). Spojnicí řdy P jest přímk P spojnicí řdy i 3 ' jest přímk P\ Spojnice sdružených bodů jsou povrchovými přímkmi plochy H. Přidržme se v celém odvození definice prvé.*) *) Plochy vůbec roviny zvlášť oznčují symbolicky stojtými velkými křivky vůbec přímky zvlášt ležtými velkými body mlými písmeny becedy ltinské.

4 26 Budiž dán rovinový svzek Š trojinou rovin A B C svzek Š' združenou trojinou rovin A' B' C\ S rovinou T svzku S budiž združen rovin T' svzku S. Podmínk projektivnosti rovinových svzků S ' jest rovnost dvojpoměrů sdružených čtveřin rovinových t. j. obdobně (ABCT) = (A'B'CT) při čemž (ABCT) = _ sm(ac) m sin (A/T) "~~ sin (B^G) ' sin(b^t) ffijffi (A.D1; f A>BT»n - ( A g C ) - J^(A^i. ^(A^T) V ; -(A'BT) - *m(b\c') ' m (fi\f) * Znmenejtež dále ^ 2 3 směrové cosinusy pk délku kolmice spuštěné s počátku souřdnicové soustvy n rovinu A; 0n budtež směrové cosinusy b pk délk kolmice spuštěné s počátku n rovinu B. Anlogický význm mějtež veličiny 'u \> \-> *\ 0i'i 02'i 03'- &' vzhledem k rovinám A' B' Nčež bude míti normlná rovnice roviny A formu k = Y x + 2 y + 3 z =.0. (2) B B = l x + f + f-b = 0. (3) Rovin C prochází pronikem rovin A B t. j. osou S svzku # pltí-li (ABC) = A dá se její normlná rovnice dle známé zásdy Dupin-ovy psáti ve tvru C = A AB = 0... (4) Z podobné příčiny dá se normlná rovnice roviny T psáti ve tvru T = A rb = 0... (5) pltí-li (ABT) = r. Anlogicky má rovin A' normlnou rovnici A' = \x + \y + 2 z * = O (6). B' W = p\x + (i< 2 y + l}\z-b< = 0(l) C G' = k'-w = 0. (8) T' T' = A'-r'B' = 0. (9) pltí-li (A'B'C) = A' (A'BT)=r'. Tu jsou A A' určité veličiny jichž poměr podmiňuje z části tvr polohu velikost plochy H; veličiny r ť jsou pk veličiny měnlivé určující polohu povrchové přímky T? plochy H Z předeslného ptrno že

5 27 jelikož (ABCT) =: (A'B'CT) = ~ X X (ABCT) = (A^CT) musí JL = ^_ (10) T X' Abychom obdrželi rovnici plochy íí elliminujme z rovnic (5) (9) (10) proměnné veličiny r r'. Dle (10) pltí x' = *L t tkže A A rb = 0 W ra'b'=0 z čehož jednoduchou elimincí veličiny r se podává: 4 XB\ = 0 t. j. Я4'Б K&B 0 (11) XA\ XB? což jest rovnicí plochy H kteráž udává vzth mezi prvoúhelnými souřdnicemi x y z bodů této plochy. Seřdíme-li levou strnu rovnice (11) dle mocností proměnných veličin x y z provedše především úkony tm nznčené dospějeme k rovnici druhého stupně mezi x y z tvru (1) to jest w x * + 2*y 2 + «33 * \2 x y + 2( *23 y z + 2«3 xz # + 2«24y z -f 44 = O při čemž o 11 = -l' 1 /J 1 -A / 1^1 22 = k' 2 (l 2 A' 2 js' 2 «33 = X \h *'«30's 44 = l'b Vh' 2 X2 = X\$ 2 V x p' 2 + A^ft V 2 fi\ (12) 2 23 = A' l' 2 fi\ + A' 3 fi 2 A' 3 fi' = V $\ + l\ (% V^\ X'^l 2 l4 = (A'/3 l Á'/3'^ (l\ b V t b') 2 24 = (A'/J 2 A'/3' 2 ) (A«' 2 b A' 2 b') 2 34 = (A'03 A'/3 3 ) (A' 3 & A' 3 &') Tím jest nlyticky dokázáno že výtvor dvou projektivných svzků rovinných (t. j. hyperboloid jednoplochý) jest plochou druhého stupně! 3. Osy S S' rovinných svzků Š Š J jsou všeobecně mimosměrné. Může le nstti že se tyto osy pronikjí jsouce

6 28 různosměrny; v tomto přípdě budou míti veškeré povrchové přímky pouze jediný bod t. j. pronik os S & S' společný. Ploch H přejde v kuželovou plochu stupně druhého*) jejímž středem jest pronik os S S'. Aby přímky S S' se pronikly musí míti roviny A B A' B' pouze jediný bod společný tkže mezi součiniteli jejich rovnic musí pltiti jistá souvislost kterouž obdržíme vyloučíme-li z rovnic (2) (3) (6) (7) proměnné # y. z. Musí tedy pro tento přípd: cc ßl ï ß 2 î ßз 1 b = 0 (13) t L j " 2 ) " 3) ' Px 0'* P' 3 -< Jednoduchou trnsformcí této podmínky vyplývá: -X'ß\ _Я'/S' 2 -Я'/3' 3 -Я'Ò' X 1 1 î 2 ł Я«' Яя' Яб = o. (14) *A ľ^ Я'«2 X' г X' Násobíme-li pk rovnice (13) (14) dle známé zásdy máme: я«'л *'«A'l г Я«//5 2 - Я'«l( 9 2 '- A^/З.-ЯV./З/J' L Я«2 '/3 - Я'«2 /?.'J ' X\ß г - -A'V2 [ г Я«' 2 /3 2 Я'«2 /3' Ы\ß x - -A'«2 A'J' [ Я«' 2 /3 2 Я'«2 /3'J' [ A«' A ~ 3 ~V«ъß'{\ г Я«' 2 /3 3 - Я'«2 /3' 3 т X\ß 3 --A'«i^'зJ' [ A«' 3 /3 2 -Я'«3 /3'J' Г- ßďßi - A'/3'J-J Г--(Я'/3 2 X'ß\)-л - (X\Ъ --Я.бOJ' L-- (X' г Ъ Я'«2 6')J ' г Я«' 3^ - X' г ß'ą г- (X% - X'ß\)-л L AЙ'J/33-ЯЧ/З'ЗJ' L~ (A«'!б - Я'«г 6')J Г Я«' 2 ft-я'«2 /3' 3 - г- (X'ß г - Я'/3' 2 )-l L Я«' 3 /3 Д 2 Я'«3 /3'J ' L (A«' 2 6-Я'«2 6')J Г A«'зA Я«' 3 /3 3 - A'«Я'«з/3' 3 0'з 3 T Г- (X'ß 3 - X'ß\)-ì L Я«' 3 /З л - ЯЧ/3'J ' L-(A«' 3 6-A'«3 6')J Г (Я'/3 3 Я'/3' 3 )- Г Я'6 Я'6' "j L (X' 3 Ъ Я'«3 6')J' [ Я'6 Я'6' J * '*) V přípdě kde by S 8' jest výtvorem rovinových svzků 5S' ploch válcová o čemž se tuto šířiti nebudu z příčin v dodtku udných.

7 t. j. Srovnáme-li se vzorci (12) obdržíme ^ l l l -^121..tøjз л^ 121 -^221 --tø-n -"231 ^' t* 23 *w 33 _^u/ ą \\ч ř l2l = 2 4 *14l 121 «!!. ^14 ^ ^2 4 д 12î 2 22î П31 "14 ï 23 d 24 *33l "34 w 24ł "341 = 0 = 0 (15) ззi «34 ^241 34î 44 což se obyčejně vyjdřuje slovy: Má-li rovnice druhého stupně mezi třemi proměnnými #?/ z znmenti kuželovou plochu druhého stupně musí její Hesse-ův symetrický determinnt zmizeti I. 4. Aby rovnice (1) znmenl dvojinu rovin musí se dáti levá její strn rozložiti ve dv linerné činitele. Nutno tedy vyzkoumti podmínky z kterých se tomuto poždvku vyhoví. Abychom toho sndno docílili uvžujme rovnici (11) která jest s rovnicí (1) identickou. Levá strn rovnice A_á'jB A'_áB' = 0... (11) dá se rozložiti ve dv linerné činitele pk-li buď ) _á' = pa bud b) B = pa. Poněvdž v obou přípdech přijdeme k těmže výsledkům probereme pouze přípd prvý jelikož jest geometricky zjímvější. Nčež možno rovnici (11) psáti formou A (IpB VB 1 ) = O (16). Tomu se vyhoví pk-li A = O... (17) P=Afi-B A'.B' = 0... (18) což znmená dvojinu rovin sice rovinu A = A' rovinu P jež prochází dle (18) pronikem rovin B B\ Poněvdž le C= A IB O = A' A'B' = pa k'b\ dá se rovnice (18) psáti ve tvru P=^(.á C) ([ia O) = O tic=0... (19) t. j. rovin P prochází pronikem rovin C C\ Obdobně lze ukázti že rovin P obshuje tktéž pronik sdružených rovin T T\ 29

8 30 Geometrický význm tohoto přípdu jest nd míru jsný. Rovin A stotožní se s rovinou A\ proto mjí rovinové svzky 8 Š smodružný prvek z čehož především vysvítá že musí býti osy S&& různosměrny nlézjíce se v jediné rovině. Svzky 8 8' jsou v poloze prvoprojektivné proto jsou proniky združených rovin v jediné rovině. Výtvorem svzků 8 & jest tedy dvojin rovin skládjící se ze smodružného jich prvku t. j. roviny A = A* roviny P jež obshuje přímky J3^ C% %... Tr proniky to sdružených dvojin rovinových. Aby -á' = fi-4 musí \ = p^ ' 2 = fi 2 \ = {icc 3 ' = p. Doszením těchto podmínek do vzorců (12) obdržíme vzorce: «n = «i(wi- A'0iO 22 = cc 2 (Afi/5 2 k'fi\) zl = 3 (A/ti/3 3 A'/3' 3 ) I 2 12 = (k^2 - A'/3' 2 ) - 2 (Apft - k'fi\) tom / 2»» = "* (A^3 _ k '^ ~ "* ^2 - *W ^ ) \ 2 13 =z «3 (A^t - A'/3' x ) - «(A^3 - A'/3' 3 ) j 2 14 = (A/i/3. A'/3\) L (kpb k'b* ) ' 2 24 = (Afi/? 2 A'/3' 2 ) 2 (k\ib k é b' ) 2 34 = - (kfip 3 k'p\) - 3 (kpb k'b' ) u = (kpb k'b é ). Píšeme-li krátce = 4 k^tfi t k'(i\ = 5 kp(l 2 A'/3' 2 = s k[ip 3 A'0' 3 = 7 kpb A'b' = % promění se vzorce (20) n velmi symetrické výrzy: (21) n = «1«5 22 = 2 6 <*зз = г = <*i "в + «2 « = <*2 "7 + «3 * = «3 5 + "l «7 2*i4 = -~ «4 «6 2 « = c/ 4 «6 cc 2 cc = cc Ą 7 cc г tt g 44 = «4 «8.

9 31 jkož i Ptrno že *4 i л 8 z čehož násobením vyplyne: i 5 + i 5 i i «5 0 0 «6 0 0 «o 0 «8 0 0 «i o 0 «2 0 0 «3 0 0 «4 o 0 = З 5» 1 8 " i i З б> 2 8 ~ З 7 З c* 4 «5 t 4 6 cc 2 cc g cc B + «4 8 Q4 11 "12 "13 "14 ^11 - ^19. 1 ^19 - #1 l2 22 í (15) *24 w 34 což se dlo předzvídti jelikož dvojin rovin je nejblíže zvláštním přípdem plochy kuželové druhého stupně! '. «*. 0 «5 «1 0 ч 5 Poněvdž «2 «6 0 = O jkož i *6 "2 0 = 0 *3 "7 0 0 obdržíme násobením obou výrzů: i 5 + i 5 i i i i = 2 3 I í*1 *111 * "12 «1 o - *13 ^ ^23 = 0. (22) X 33 Obdobně ] ze odvoditi násobením: 0: «i «s 0 «2 «6 0 «4 «в 0 l 5 + l 5 1 Л 6 «i 0 «0 «4 0 i б l l б 2 б + 2 б б Ч б

10 32 0 = = 2 3 Ц «12 l4 12 Я 2 2 І = 0. (23) 44 1 «5 0 «5 «i 0 з «r 0 «T «з 0 - ^ -«g 0 «8 ' «4» 0 «l«5+««s «.«r +«3 «5 «з «s + «!«з r + «3 «r «4 «5 - «i ft 8 ««r «3 «8 «l «8 «4 «5 «3 «8 «4 «T «4 «8 + «4 «8 jkož i 0 = = 2 S Ц «13 ^IЗ «33 i4 «І4 « = 0... (24) 2 cc б ъ : 0. 7 г 0 tt 4 ) cc 8 0 s «4 0 cc « «в 1 "" "2 fô s fó 4 «6 ъ «3 «7 -j- 3 7 *22 ) "23 ) "24 = 2 г 23 ) 3 3 ) 34 «o = (25) «2 «8 + «4 «8 /24 ) "3í ) 44 I Má-li tedy rovnice (1) znmenti dvojinu rovin v konečnu se pronikjících musí pltiti: *11 ) "12 ' ^12 ) 22 ) П4 ) "24 ) "34 1 *24 *34 г 44 = 0 *!!) "12) "13 Ł 12) "22) Q/Cfl = 0 f ш i2) 12) '141 22) 24) i = 0 *13 ) в зз 1 ; ^34 ) ^44 = 0 22 ) "23 ) "24 23 ) l 24 ) 33 ) 34 ) = Má-li rovnice (1) znmenti dvojinu rovin stejnosměrných t. j. má-li 41 P musí dle známé zásdy poněvdž 4 = 0. P = kub VB* = 0 jsou rovnicemi těchto rovin pltiti srovnlost:

11 33 «1 _ «2 _ A f../? J.-A'V~A W 3 2 -A'/y tedy dle nšeho zkrácení t. j. «1 «2 «2 «3 «ii «3 _0 _0 «5 «6 «6 «т «5 «T «5 «в = 0 «6 «r = o Џß 3-2.%< (26) «5 «т «1 «2 = 0 «2 «3 «1 «3 Z toho plyne násobením: «1 1 «2 «5 «6 0_ «5. «6 «1 «2 «2 «6 «3 «r = 2* ll «12 «12 22 «6 «2 _ й 2 «r «3 22 «23 «23 «33 «1 «3 «5 «T _ «5 «r «1 «3 _ 2 2 «11 «13 3 iз 33 _0; 0. «1 «5 + «1 «5 1 fö l «6 + «2 «6 «2 «5 + ß l ß 6 5 «2 «6 + «2 б r_0... (27) <*2 «6 + 2 <*6 «2 «7 + <*3 «в 3 я б -j- «2 т i --o.(28) з <*7 + з "г «1 «5 + «1 «5 «1 «T + «3 «5 «3 «5 + «1 «7 «3 «T + «3 «Г = 0.(29) V tomto přípdě pltí mimo předešlých pěti podmínek ještě: 41? "12 ř 12» 22 :0 *33 0 nз. w 33 _=0. 6. Nebude zjisté od míst niž n škodu sestvím-li dodtečně přehledný celek výsledků v tomto příspěvku vyvinutých. Je-li dán rovnice druhého stupně mezi třemi proměnnými : u x* + 22 y z 1 -f 2 12 xy yz -f 2 13 xz cc y -f j + 44 _= O... (1) utvořme si následujících osm symmetrických determinntů:

12 34 *11 ł "12 ł "13 1 W І4 l 12 i ^13 ł 23 ł ^14 ł "24 ł 22 ł 23 ł *зз ł г 34 ł 11 ł "12 ł "14 2* (i) 12 ł 22 î л 24 (Ш) "ll i 12 ł "13 i2 ł 22 ł 23 iз ł 23 ł ł iз ł i4 ^34 (IV) (П) ^22 ł "23 ł *24 *2 3 ł "33 ł "34 ř 24 ł 34 ł 44 (V) *11 ł д 22 (VI) ^зз (VU) *11 ł "13 l iз ł зз (VШ). Rovnice (1) pk znmená ) plochu kuželovou druhého stupně zmízí-li symmetrický determinnt (I) b) dvojinu rovin vj;konečnu se pronikjících zmizí-li symmetrické determinnty: (I) (II) (III) (IV) (V). c) dvojinu stejnoměrných rovin zmizí-li veškeré symmetrické determinnty: (I) (II) (III) (IV) (V) (VI) (VII) (VIII). 7. Dodtek. Podmínky jež by pltily mezi součiniteli rovnice (1) pro přípd že by tto znmenl plochu válcovou již nemjí veskrze tkovou nápdnou souměrnost jko podmínky právě odvozené. A poněvdž jejich odvození jk se obyčejně v nlytických geometriích prostoru vyskytuje (viz ku př. Slmon-Fiedler Análytische Geometrie des Rumes" pg Zweite Auflge) jest velmi jednoduché sndné* je- *) Potřeb jen trnsformovti soustvu souřdnicovou do středu plochy niž by Změnily osy souřdnicové svůj směr nové koefficienty v trnsformovné rovnici při členech x y z prvého stupně položiti rovny nule neboť vyhoví-li íovnici trnsformovné vztžené n střed plochy veličiny x y z musí jí vyhověti i veličiny x y z. Z toho vyplývjí tři linerné rovnice k určení souřdnicí g 77. středu plochy. Tyto tři linerné rovnice předstvují tři roviny tk že jest střed plochy určen pronikem tří rovin. Procházejí-li tyto roviny jedinou přímkou obdržíme nesčíslné množství středů jež jsou n přímce kterouž vlstnost má právě ploch válcová druhého stupně; tto přímk společná rovinám střed plochy určujícím nzývá se osou plochy válcové. Nutno tedy vyjádřiti podmínky z kterých ony tři roviny obshují jedinou přímku společnou. '- ''

13 likož by způsob odvození ve směru svrchu nznčeném*) byl přes příliš umělý poněkud nesndný bylo by od míst tuto jej vyvinovti. 35 Drobné zprávy.**) Podává Dr. A. Seydler. Dr. V. Strouhl und Dr. C. Brus: Uber Anlssen des Sthls und Messung seines Hártezustndes. (Verh. d. phys. med. Ges. zu Wiirzburg N. F. XV. Bd. 1880). Při studium fysiklních vlstností určitých látek náleží k největším obtížím že nelze obdržeti látky tkové které by se vyjm určité vlstnosti jež právě skoumti chceme ničím jiným mezi sebou nelišily že se tudíž porovnání obdržených výsledků stává velmi nesndným. Zejmén kovy vyskytují se v tk četných odrůdách že se někdy výsledky zjednné pozorováním n dvou kusech téhož kovu nprosto od sebe liší. Z tou příčinou jest velice důležito by se podřilo určitým přesným spůsobem chrkterisovti stv v němž se jistá látk nlézá by se tím spůsobem vyhledly pevné zručené vzthy mezi jistými vlstnostmi vyznčujícími určité stvy téže látky. Vzhledem k oceli klené k oceli npouštěním n různé stupně změknuvší poznli pp. Strouhl Brus že jest thermoelektrické chovní se glvnický odpor ocele dobrou mírou pro stupeň její tvrdosti. Kdežto jest ocel klená (tvrdá co sklo) vůči stříbru v ohledu thermoelektrickém zápornou stává se ocel npuštěná kldnou v tím větší míře čím menší její tvrdost. V stejném poměru ubývá odporu glvnického který jest m- *) Tu by se vyjádřili podmínky z kterých by osy S S' svzků S S 1 byly stejnoměrné nebot pk jest výtvorem těcnto svzků rovinových ploch válcová jelikož proniky združených rovin t. j. povrchové přímky plochy jsou vesměs stejnosměrný. * *) Jsouce přesvědčeni že drobnými zprávmi těmito se zvděčíme i čtenářstvu i spisovtelům jichž se týkjí žádáme by se nám podobné zprávy co možná hojně zsílly. Red. 3*