SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ V UČIVU ZŠ

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ V UČIVU ZŠ Diplomová práce VERONIKA HOLUBOVÁ IV. ročník - prezenční studium Obor: Učitelství matematiky a německého jazyka pro 2. st. ZŠ Vedoucí práce: RNDr. Jan Slouka OLOMOUC 2010

Prohlášení: Prohlašuji, že jsem celou diplomovou práci vypracovala samostatně za použití uvedené literatury. V Olomouci dne 7. 4. 2010.................

Ráda bych na tomto místě poděkovala RNDr. J. Sloukovi za odborné vedení a cenné rady při zpracovávání tématu diplomové práce. Zároveň chci poděkovat paní učitelce Mgr. J. Šiřické za pomoc při realizaci výzkumu k této práci.

OBSAH Úvod... 5 1. Shodná zobrazení v rovině... 7 1.1 Osová souměrnost... 10 1.2 Středová souměrnost... 12 1.3 Posunutí (translace)... 13 1.4 Otočení (rotace)... 15 2. Skládání dvou osových souměrností v rovině... 17 3. Shodná zobrazení v příkladech... 22 3.1 Zadání příkladů... 22 3.2 Řešení příkladů... 31 4. Výzkum... 39 4.1 Obsah výzkumu... 39 4.2 Podmínky výzkumu... 39 4.3 Sestavení prověrek... 40 4.4 Hodnocení prověrek... 43 5. Vyhodnocení... 45 5.1 Osová souměrnost... 45 5.2 Středová souměrnost... 51 5.3 Souměrnost kolem nás... 56 6. Závěr... 59 Použitá literatura a prameny... 61 Seznam příloh... 64 Anotace... 65

Úvod Ve své práci bych se ráda zabývala jedním z témat oboru geometrie, a sice shodnými zobrazeními v rovině. Toto téma jsem si vybrala, neboť si myslím, že geometrie u žáků není moc oblíbená, přestože má tak široké spektrum uplatnění. Ať jsme kdekoliv, obklopují nás věci, které mají geometrickou strukturu. Zaměřuji se na shodná zobrazení v rovině, neboť pro žáka už nemusí být tak lehké najít ve svém okolí předměty osově či středově souměrné ve srovnání s úhlem, trojúhelníkem či válcem. Jeden z cílů mé práce je zaměřen na skutečnost, zda žáci hledají a dovedou najít ve svém okolí věci, které jsou osově či středově souměrné. Hlavní cíl této práce ovšem spočívá v ověření, nakolik si žáci učivo o shodných zobrazeních pamatují, a zda nabyté vědomosti dovedou použít nejen po probrání učiva, ale i později, když to budou okolnosti vyžadovat. Vzhledem ke skutečnosti, že se na základních školách učí převážně pouze osová a středová souměrnost, nebyla témata posunutí a otočení zahrnuta do výzkumu. Na začátku své diplomové práce uvádím přehled shodných zobrazení v rovině. Jsou zde sepsány všechny poznatky o těchto zobrazeních, se kterými by se žáci na základních a středních školách mohli setkat. V další kapitole je popsáno skládání dvou osových souměrností v rovině pro různé polohy os souměrnosti. Tato látka je velice důležitá, neboť ukazuje nejen využití osové souměrnosti, ale i provázanost této látky. (Zvídavější žáky jistě nadchne myšlenka, že se nemusí učit vlastnosti dalších shodných zobrazení, když si zvládnou osvojit učivo osové souměrnosti.) Ve třetí kapitole nalezne čtenář inspirativní ukázky příkladů, které při řešení využívají shodných zobrazení. Lze je využít jak ve škole, tak i při jiných mimoškolních aktivitách. Tyto příklady názorně ukazují, kde všude se můžeme se shodnými zobrazeními setkat. Součástí této kapitoly jsou i výsledky příkladů s případným komentářem. Druhá část diplomové práce se věnuje již zmíněnému výzkumu. Výsledky výzkumu byly zpracovány do přehledných grafů a slovně vyhodnoceny. Celou tuto kapitolu doplňují ukázky prověrek žáků uvedených v příloze. Podle původního záměru jsem měla v této práci srovnat různé pohledy autorů učebnic na problematiku shodných zobrazení. Tomuto tématu jsem se nakonec 5

nevěnovala, neboť zavádění shodných zobrazení se v současných učebnicích výrazně neliší a vývoj této problematiky od konce 19. století do roku 1997 může čtenář nalézt v disertační práci RNDr. J. Pradlové. 6

1. Shodná zobrazení v rovině V této kapitole si připomeneme některé základní informace o shodných zobrazeních v rovině. Shrneme nejdůležitější pojmy a budeme se věnovat jednotlivým druhům shodných zobrazení. Definice 1.1: Mějme dán euklidovský prostor E 2 = A, V2. Afinní zobrazení f nositelky A do sebe je shodné (izometrie) právě tehdy, je-li pro každé dva body X, Y A ( X ) f ( Y ) XY = f. 1 Bod X nazýváme vzor a bod f ( X ) je jeho obrazem. Bartoňová (2007) uvádí zobrazení nazýváme shodným, jestliže přiřazuje každé úsečce AB úsečku A B stejné délky. Z definice 1.1 vidíme, že shodné zobrazení zachovává vzdálenost bodů. Věta 1.1: Shodné zobrazení je prosté v E 2. Důkaz: Důkaz věty plyne z vlastnosti metriky. Máme-li dva různé body X, Y platí XY > 0. Z definice shodného zobrazení musí také platit ( X ) f ( Y ) Neboli f ( X ) a ( Y ) f jsou dva navzájem různé body., pak f > 0. Z věty 1.1 plyne, že každému bodu X (vzoru) odpovídá právě jeden bod f ( X ) (obraz). Můžeme se setkat i s případy, kdy vzor a obraz splynou v jeden bod. Body, pro něž platí X = f ( X ), se nazývají samodružné body zobrazení. Speciální shodné zobrazení, jehož každý bod (vzor) splývá se svým obrazem se nazývá identita. Definice 1.2: Dva geometrické útvary U, V v E 2 jsou shodné ( U = V ) právě tehdy, existuje-li izomerie (shodné zobrazení) f taková, že f ( U ) = V. 2 1 KOPECKÝ, M., DOFKOVÁ, R.: Geometrie 3, str. 4. 2 tamtéž, str. 6. 7

Názorně si tuto definici můžeme představit tak, že dva útvary jsou shodné, jestliže je můžeme na sebe položit tak, že se kryjí. Jak uvádí Kindl (1980) je třeba si uvědomit, že rovinné útvary, které mají stejnou velikost, nemusí být shodné. Např. pravoúhlý a obecný trojúhelník o stejném obsahu nejsou shodné útvary. Z tohoto důvodu se pro shodnost dvou útvarů používá místo rovnítka symbol. Pouze v případě, jedná-li se o shodné úsečky či shodné úhly můžeme použít rovnítko, protože mají stejnou velikost. Chceme-li zjistit, jsou-li dva útvary shodné, výborně nám k tomu poslouží průsvitka. Jeden z útvarů překreslíme na průsvitku a poté průsvitku posuneme, abychom zjistili, zda se útvary kryjí. Pokud se útvary nekryjí, máme ještě jednu možnost - můžeme průsvitku překlopit. Jestliže je třeba při přemisťování obracet průsvitku, jde o nepřímou shodnost. Neobracíme-li průsvitku, jde o shodnost přímou. 3 Jak vidíme lichoběžník ABCD by po přesunutí jistě pokryl lichoběžník A. Tyto útvary jsou proto přímo shodné. U lichoběžníku A B C D bychom 1B1C 1D1 museli průsvitku překlopit. Tyto lichoběžníky jsou nepřímo shodné. Obr. 0.1 Pomykalová (1993) i Bartoňová (2007) uvádějí tyto vlastnosti shodného zobrazení: obrazem polopřímky AB je polopřímka A B ; obrazy opačných polopřímek jsou opačné polopřímky; obrazem přímky AB je přímka A B ; obrazem rovnoběžných přímek jsou rovnoběžné přímky; obrazem poloroviny pa je polorovina p A ; obrazy opačných polorovin jsou opačné poloroviny; obrazem úhlu AVB je úhel A V B shodný s úhlem AVB ; obrazem útvaru U je útvar U shodný s útvarem U. Shodné zobrazení je speciálním případem podobného zobrazení s poměrem podobnosti k = 1. Stejně tak je shodné zobrazení zvláštním případem stejno- 3 POMYKALOVÁ, E.: Matematika pro gymnázia. Planimetrie, str. 122. 8

lehlosti s koeficientem k = -1 nebo k = 1, kdy se jedná o identitu. Tuto souvislost si žáci uvědomí až v 9. ročníku, kdy probírají podobnost. Mezi shodná zobrazení v rovině řadíme identitu, osovou a středovou souměrnost, posunutí a otočení. Na základních školách se převážně vyučuje pouze osová a středová souměrnost. Při identitě se každý bod roviny zobrazí sám na sebe, tudíž všechny body jsou samodružné a nedochází tak k žádné změně. Podívejme se nyní na další shodná zobrazení v rovině podrobněji. 9

1.1 Osová souměrnost Definice1.1: Nechť je v rovině dána osa o. Osová souměrnost O ( o) s osou o je shodné zobrazení v rovině, které: 1) každý bod X o zobrazí na bod X, přičemž přímka X X je kolmá na osu o a střed úsečky 2) jestliže X o, pak platí X = X. X X leží na ose o, Značení: ( o) O : X a X. Přímku o nazýváme osou souměrnosti. Každý bod, který leží na ose o je v osové souměrnosti silně samodružný. Odtud plyne, že množinu všech samodružných bodů tvoří právě osa souměrnosti. U osové souměrnosti se můžeme setkat i s pojmem samodružné přímky. Jde o přímky, které jsou kolmé k ose souměrnosti, v důsledku čehož se zobrazí samy na sebe. Označujeme je jako slabě samodružné. Útvar, který se v osové souměrnosti s osou o zobrazí sám na sebe, nazýváme útvar osově souměrný podle osy o. 4 Kromě již zmíněných samodružných přímek to jsou také např. čtverce, obdélníky, kruhy, kružnice, rovnostranné a rovnoramenné trojúhelníky nebo pravidelné n-úhelníky. Většina z uvedených útvarů má víc os souměrnosti jak můžete vidět na následujícím obrázku. Obr.1.1.1 Na základních školách se často při seznamování s osovou souměrností propichuje přeložený papír špendlíkem, kde místo přehybu představuje osu souměrnosti. Protože dochází k přeložení roviny je osová souměrnost nepřímou shodností. 4 KADLEČEK, J.: Geometrie v rovině a v prostoru pro střední školy. 10

Obrazem přímky, která je rovnoběžná s osou souměrnosti, je přímka, která je s přímkou i s osou rovnoběžná. Pro ostatní přímky, které osu souměrnosti protínají, ale nejsou k ní kolmé, platí, že se protínají se svým obrazem právě na ose souměrnosti a mají také stejnou odchylku od této osy ( α = α ). Jak uvádí Slouka (1993) osová souměrnost je v rovině určena: 1) osou souměrnosti o, 2) dvojicí odpovídajících si bodů (vzor a obraz). Obr.1.1.2 Při konstrukci osové souměrnosti dvojrozměrných útvarů můžeme využít kromě vlastností osové souměrnosti i osové afinity. Postup je znázorněn na obrázku 1.1.3. Stačí zobrazit v osové souměrnosti pouze jeden bod (např. bod A ). Při osové afinitě využíváme vlastnosti, že odpovídající si přímky se protínají na ose souměrnosti. Vedeme-li pak bodem A a dalším bodem (např. B ) přímku, protne nám osu souměrnosti v bodě, který označíme P. Tímto bodem vedeme přímku procházející obrazem bodu A. Nyní stačí narýsovat kolmici k ose souměrnosti, která prochází bodem B, a dostaneme tak obraz bodu B, který leží v průsečíku této kolmice s přímkou P A. Obr. 1.1.3 11

1.2 Středová souměrnost Definice 1.2: Nechť je v rovině dán bod S. Středová souměrnost se stře- dem S je shodné zobrazení S( S ), které každý bod přičemž bod S je středem úsečky X X, a pro bod S platí: S = S. X S zobrazí na bod X, Značení: S( S ): X a X. Bod S nazýváme středem souměrnosti a je to jediný samodružný bod tohoto zobrazení. Přímku, která prochází středem souměrnosti a která se zobrazí sama na sebe, označujeme jako slabě samodružnou. Přímka, na které neleží střed souměrnosti, je rovnoběžná se svým obrazem. Obr.1.2.1 Z definice vychází základní vlastnost vzoru a obrazu středové souměrnosti: SA = SA. Podíváme-li se na obrázek 1.2.2, trojúhelník ABC po přesunutí pokrývá svůj obraz trojúhelník A B C. Tak se nám potvrzuje skutečnost, že středová souměrnost je přímá shodnost. Obr. 1.2.2 Trojúhelníky ABC a A B C jsou útvary středově souměrné podle středu S. V případě, kdy by se útvar ve středové souměrnosti zobrazil sám na sebe, říkáme, že tento útvar je středově souměrný podle středu S. Jako příklad můžeme uvést pravidelný šestiúhelník, přičemž středem souměrnosti je střed kružnice opsané tomuto šestiúhelníku. Středová souměrnost je jednoznačně určena středem souměrnosti nebo opět dvojicí odpovídajících si bodů (vzor obraz). 12

1.3 Posunutí (translace) Dříve než si popíšeme další shodné zobrazení v rovině, vysvětlíme si několik důležitých pojmů. Chceme-li provést posunutí, musíme znát orientovanou úsečku. Co si pod tímto pojmem ale představit? Orientovaná úsečka UV je úsečka, u níž víme, který z jejich krajních bodů je počáteční a který koncový. Tato úsečka pak má určitý směr. Graficky je tento směr znázorněn šipkou u koncového bodu. Velikost orientované úsečky nám udává vzdálenost jejího počátečního a koncového bodu. Speciálním případem orientované úsečky je i nulová orientovaná úsečka, u níž je počáteční bod totožný s koncovým bodem a její velikost je nula. Dvě orientované úsečky XY, UV mají tentýž směr, jestliže: a) obě leží v jedné z polorovin vyťaté přímkou, která je určena počátečními body X, U, b) jedna z polopřímek XY, UV je podmnožinou druhé z těchto polopřímek. Říkáme pak o těchto orientovaných úsečkách, že jsou souhlasně orientované. Názorně tyto případy vidíme na následujících obrázcích. Obr. 1.3.1 Obr. 1.3.2 Definice 1.3: Mějme dánu v rovině orientovanou úsečku UV. Shodné zobrazení v rovině P ( U, V ), které každý bod X zobrazí na bod X, přičemž orientované úsečky XX a UV mají stejnou velikost a jsou souhlasně orientované, se nazývá posunutí neboli translace. Značení: P( V ) U, : X a X. Bod U je počáteční bod posunutí a bod V je koncový bod tohoto zobrazení. Jelikož orientovaných úseček dané velikosti a směru je nekonečně mnoho, mluvíme většinou o množině těchto orientovaných úseček, kterou označujeme (volný) vektor. Jednoho zástupce z této množiny nazýváme vázaný vektor. Žáci při 13

práci s tímto zobrazením většinou využívají zástupce, který je uveden v zadání příkladu, i když by mohli použít i jinou orientovanou úsečku z dané množiny. Při tomto zobrazení dochází k posunutí celé roviny. Délku posunutí nám určuje velikost vektoru, tedy délka orientované úsečky UV. Stejně tak směr vektoru je určující pro směr posunutí. Vzhledem k tomu, že všechny body jsou v tomto zobrazení posunuty o velikost vektoru, nemá toto shodné zobrazení samodružné body. Při posunutí dochází k posunutí roviny, proto je toto zobrazení přímou shodností. Přímky rovnoběžné s vektorem posunutí se nazývají samodružné přímky posunutí, neboť se zobrazí samy na sebe, jak můžeme vidět na obrázku 1.3.3. Ostatní přímky jsou v posunutí rovnoběžné se svými obrazy. Obr. 1.3.3 Toto shodné zobrazení je jednoznačně určeno vektorem posunutí nebo jednou z dvojic vzor obraz ( X - X ). 14

1.4 Otočení (rotace) I zde si musíme zavést důležitý pojem, díky kterému budeme moci později definovat toto shodné zobrazení v rovině. Orientovaný úhel AVB je úhel, u kterého je podobně jako u orientované úsečky určeno, které jeho rameno je počáteční (např. polopřímka VA ) a které je jeho koncové rameno (polopřímka VB ). Takto si jistě představíte úhly dva: konvexní α a nekonvexní β. Rozhodující v tomto případě je, ve kterém směru se od počátečního ramene ke koncovému rameni pohybujeme. Pohybujeme-li se proti směru hodinových ručiček, mluvíme o otočení v kladném smyslu, zatímco při pohybu ve směru hodinových ručiček se jedná o otočení v záporném smyslu. Obr.1.4.1 Velikost orientovaného úhlu lze vyjádřit ve tvaru α + k 360, kde k je celé číslo. Úhel α nazýváme základní velikostí orientovaného úhlu a platí: α 0, 360 ). V případě, že α = 0, mluvíme o nulovém orientovaném úhlu. Jeho počáteční rameno splývá s jeho koncovým ramenem. Definice 1.4: Nechť je v rovině dán bod S a orientovaný úhel ASB = α. Shodné zobrazení v rovině R ( S, α ) se nazývá otočení neboli rotace, jestliže S = S a zároveň bod X S se zobrazí na bod X za těchto podmínek: 1. X S = XS, 2. velikost orientovaného úhlu XS X je α. Značení: R ( S, α ): X a X. Bod S se nazývá střed otočení. Orientovaný úhel α, který nám udává velikost a směr otočení, nazýváme úhel otočení. Toto zobrazení má jediný (silně) samodružný bod, kterým je právě střed otočení. Přímky, které prochází středem otočení, se v případě, že α =180, zobrazí samy na sebe. Tyto přímky jsou pak slabě samodružné. 15

V případě, kdy α = 360, se jedná o identitu. Další specifický případ nastává, když α =180. V tomto případě můžeme nazvat střed otočení středem souměrnosti, neboť toto zobrazení splňuje podmínky středové souměrnosti. Jelikož otáčíme útvar pouze po rovině, je otočení přímou shodností. Obr.1.4.2 Na závěr se pojďme podívat na to, čím je otočení jednoznačně určeno. Opět máme dvě možnosti. V prvním případě nám otočení jednoznačně určuje střed a úhel otočení, u něhož známe jeho velikost a orientaci. Druhou možností je, že známe střed otočení a dva odpovídající si body (vzor a obraz). 16

2. Skládání dvou osových souměrností v rovině V této kapitole si ukážeme, jak důležitá je osová souměrnost vzhledem k ostatním shodným zobrazením. Mým záměrem je zde předvést, že pokud žák perfektně ovládá učivo o osové souměrnosti, pak by s jeho využitím mohl odvodit další shodná zobrazení i s jejich základními vlastnostmi. I když na rozšiřující učivo ve školní praxi nezbývá moc času, měli by být žáci, kteří mají zájem o matematiku, s touto látkou obeznámeni, neboť se jedná o pěkný příklad aplikace a vzájemného propojení učiva. Z didaktického hlediska by bylo nejlepší, kdyby byl žákům postup skládání osových souměrností a vyvození výsledných vlastností předveden na jednom příkladu (např. pro kolmé osy). Při druhém příkladu (př. různoběžných os) by už žáci pomáhali s postupem i vyvozením učiteli a poslední příklad (rovnoběžné osy) by už řešili žáci sami, přičemž závěrečné výsledky by si společně s učitelem či ostatními žáky porovnali. Jak už bylo naznačeno, při skládání dvou osových souměrností má zásadní význam vzájemná poloha obou os. V rovině mohou mít osy následující polohy: osy rovnoběžné, osy různoběžné. V případě různoběžných os se navíc zaměříme na speciální polohu os, kdy tyto osy svírají pravý úhel. Jelikož osová souměrnost je shodné zobrazení, které zachovává vzdálenost bodů, bude i výsledné složené zobrazení (nezávisle na poloze os) shodné. Podívejme se nyní na jednotlivé situace. 1. Osy souměrnosti jsou rovnoběžné. V této situaci budeme při skládání osových souměrností zobrazovat např. obecný trojúhelník. Názorně je tento případ zachycen na obrázku 2.1. Již na první pohled vidíme, že trojúhelník ABC by po přesunutí přesně pokryl trojúhelník A B C. Nedochází k přeložení roviny jako u prvního zobrazení, a tak výsledné zobrazení je přímá shodnost. 17

Co můžeme říci o trojúhelnících ABC a do polohy výsledného trojúhelníku osám. Co platí o A A, B B a C C? A B C? Trojúhelník ABC se dostane A B C přemístěním v kolmém směru k oběma Obr. 2.1 Vezměme si nejprve např. body C, C. Z vlastnosti osové souměrnosti platí: CC 1 = C 1 C a C C = C C 2 2. Označíme-li vzdálenost obou os n, pak i C C2 = n Odtud počítáme: CC = CC + C C + C C = CC + C C + n = C C + C C + n = C C + n 2n. 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 = 1. U vzdálenosti bodů B, B by byl postup stejný. U bodů A, A je situace trochu jiná, neboť bod A leží v opačné polorovině určené osou o 2 než body B, C. Opět platí rovnosti AA 1 = A 1 A, A A = A A 2 2 a A 1 A2 = n. Počítejme: A = AA + A A = A A + A A = A A + A A + A A A A = A 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 = A A + A A A A 2n. 2 1 2 2 2 = Z provedených výpočtů vyplývá, že všechny vrcholy trojúhelníku ABC se posunuly o stejnou vzdálenost 2 n, tedy o dvojnásobek vzdálenosti obou os. Jak již bylo zmíněno, směr přemístění je u všech těchto bodů kolmý k oběma osám. Docházíme tak k závěru, že složené zobrazení je posunutí určené vektorem posunutí n r 2, neboť libovolný bod trojúhelníku ABC bude mít svůj obraz v bodě vzdáleném 2 n v kolmém směru k oběma osám souměrnosti. Směr posunutí je navíc závislý na tom, v jakém pořadí osové souměrnosti skládáme. V našem případě jsme zobrazili trojúhelník ABC podle osy o 1 a poté jeho obraz podle 18

osy o 2. Pokud bychom nejprve zobrazovali podle osy o 2 a následně podle osy o 1, byl by směr posunutí opačný. 2. Osy souměrnosti jsou různoběžné. Nejprve se soustředíme na případ, kdy různoběžné osy souměrnosti svírají pravý úhel. Zde zobrazíme nekonvexní čtyřúhelník ABCD. Na obrázku 2.2 vidíme, že nekonvexní čtyřúhelník A B C D je nepřímo shodný s čtyřúhelníkem ABCD, neboť vydáme-li se z bodu A ve směru hodinových ručiček, je následující bod B, zatímco od bodu A se ve stejném směru dostaneme do bodu D. Tentýž vztah platí i pro čtyřúhelníky A B C D a A B C D. O čtyřúhelnících ABCD a výsledném A B C D však můžeme říci, že jsou přímo shodné. Pro ověření můžeme použít průsvitku nebo prozkoumat orientaci obou čtyřúhelníků. Stejně jako u čtyř- úhelníku ABCD se i ve čtyřúhelníku A B C D dostaneme z bodu A po směru hodinových ručiček do bodu D. Obr. 2.2 Spojíme-li vrcholy čtyřúhelníku ABCD s odpovídajícími vrcholy čtyřúhelníku A B C D, protínají se nám všechny spojnice v jednom bodu. Co můžeme o tomto bodu S říci? Zkoumejme polohu bodu S např. na úsečce B B. Zaměřme se na trojúhelníky BSB 1 a S B B2. Oba jsou pravoúhlé a zároveň pro ně platí: BB 1 = B1B = SB2 B S B B = B B 1 = 2 2. Tyto trojúhelníky mají tedy dvě strany stejné délky, které svírají úhel 90. Podle věty sus jsou tyto trojúhelníky shodné, a proto BS = SB. Bod S je tak středem úsečky B B a nepochybně i dalších spojnic odpovídajících si vrcholů. 19

Na základě dosažených zjištění můžeme říci, že výsledné složené zobrazení v tomto případě představuje středovou souměrnost se středem S. Nyní se už pojďme podívat na obecný případ, kdy osy souměrnosti svírají určitý úhel, který není pravý. Označme tento úhel α. Jak vidíme z obrázku 2.3 zobrazili jsme v této situaci nekonvexní šestiúhelník ABCDEF, který má tvar písmene L. Výsledný útvar je s původním útvarem přímo shodný, neboť opět dvakrát dochází k přeložení roviny. Jaké zobrazení vznikne složením těchto dvou osových souměrností? Zaměříme-li se např. na zobrazení bodu A, pak jistě platí: Trojúhelníky SA 1 A a S A A1 mají společnou stranu SA 1, a protože AA 1 = A 1 A (z osové souměrnosti), odpovídají si i tyto strany. Jelikož strana SA 1 svírá pravý úhel se stranou AA 1 i A A 1, pak podle věty sus Obr. 2.3 o shodnosti trojúhelníků musí platit SA A 2 a 2 AS = SA. Stejným postupem u trojúhelníků S A A dostáváme S A = SA, z čehož plyne SA = SA. Vyvozená vlastnost platí i pro ostatní body šestiúhelníku ABCDEF. Jelikož polopřímky SA a S A nejsou opačnými polopřímkami, nejedná se o středovou souměrnost, ale o otočení kolem bodu S o určitý úhel. Jistě nás bude zajímat velikost tohoto orientovaného úhlu Víme, že trojúhelníky a 2 AS A, který toto otočení také určuje. SA 1 A a S A A1 jsou shodné, stejně jako trojúhelníky SA A 2 S A A. Odtud platí: ASA = A SA 1 1 a A SA = A SA 2 2. Z obrázku 2.3 je zřejmé, že α = A 1SA + A SA2. Nyní už můžeme počítat ASA = ASA A SA A SA + A SA = A SA + α + A SA 2α. 1 + 1 + 2 2 1 2 = Velikost orientovaného úhlu je tedy rovna dvojnásobku úhlu, který svírají osy souměrnosti. Otočení má v tomto případě zápornou orientaci, neboť se útvar otáčí ve směru hodinových ručiček. Je to dáno tím, že jsme útvar nejprve zobrazili podle 20

osy o 1 a poté podle osy o 2. Pokud bychom provedli zobrazení v opačném pořadí (nejprve podle osy o 2), pak by otočení mělo kladnou orientaci. Příklady, které procvičují toto učivo na konkrétní situaci může čtenář najít např. v knize J. Petákové Matematika příprava k maturitě a přijímacím zkouškám na vysoké školy. 21

3. Shodná zobrazení v příkladech Tato kapitola je věnovaná ukázkám příkladů, které by mohly u žáků vzbudit pozornost a zájem o probírané učivo. Jsou vhodné jak do vyučovacích hodin, tak do matematických kroužků. Některé podněty nebo příklady jsou vybrány z knih, které jsou uvedeny v seznamu literatury na konci práce. 3.1 Zadání příkladů Osová souměrnost. 1. Dokresli barevné čtverečky tak, aby byl výsledný obrázek osově souměrný podle růžové osy. Složitější variantou je případ, kdy máme osy dvě a jeden bod tak musíme zobrazit třikrát. Vyzkoušejte si to na následujícím obrázku. 2. Dovedeš najít určitou souvislost mezi těmito písmeny abecedy a rozdělit je tak do čtyř skupin? A, B, C, D, E, F, G, H, S, T, U, V, X, Y. Tato úloha může být zjednodušena tak, že písmena budou barevně rozlišena (barva příslušná skupině) a žáci musí najít důvod, proč byla tato písmena takto rozdělena. 3. Mezi znaky, které vidíš níže, je určitá souvislost. Urči, jak budou vypadat další dva členy této řady. 22

Látka o shodných zobrazeních se dá výborně využít na příkladech upevňujících mezipředmětové vztahy jako je tomu např. u následujícího příkladu. 4. Najdi osy souměrnosti u těchto vlajek. Dovedeš přiřadit vlajky ke správným státům? Francie Lotyšsko Německo Švédsko Česká republika Ukrajina 5. Najdeš chyby, kterých se dopustil Jirka, když chtěl osově zobrazit zámek, který si předtím nakreslil? Kolik chyb Jirka udělal? 6. Každý rád sportuje. Poznáš jaký sport se hraje na těchto hřištích? Dorýsuj hrací plochu. 23

7. Najdi a narýsuj do každého obrazce jeho osy souměrnosti. 8. V rovině máme dány body A, B a přímku p, jak je znázorněno na obrázku. Určete bod C, který leží na přímce p, tak, aby lomená čára ACB byla co nejkratší. 9. Hanka hraje ráda minigolf. U tohoto stanoviště lze poslat míček do důlku jedním úderem. Můžeš poradit Hance, kterým směrem má odrazit míček, aby se ji to povedlo? 24

Středová souměrnost. 10. Doplň správně chybějící díl dlaždice. Je dlaždice středově souměrná? Najdeš i další souměrnosti? 11. Urči nejmenší počet malých čtverečků, které musíme vymalovat, aby byl obrázek souměrný. 12. Dovedeš rozdělit tato písmena abecedy do dvou skupin podle určitého pravidla? F, G, H, I, M, N, O, P, R, S, T. 13. Mandaly jsou nejčastěji středově souměrné barevné obrazce. Bývají sestaveny tak, aby při vybarvování vznikala určitá harmonie, která na jeho tvůrce působí pozitivně. Jsou všechny tyto vzory mandal středově souměrné? Mandaly vybarvi, aby byly souměrné. 25

14. Provoz na silnicích řídí nejčastěji různé dopravní značky. Které z těchto značek jsou středově souměrné? Vyznač jejich střed souměrnosti a řekni, kde leží. Znáš význam těchto dopravních značek? 15. Zobrazil Marek správně tento útvar ve středové souměrnosti nebo se dopustil nějaké chyby? Pozorně si obrázek prohlédni a odpověz. 16. Jak bude vypadat sněhová vločka z papíru, který Petra třikrát přehnula a po vystřižení vypadal okraj tak, jak vidíme na obrázku. Překresli si vzor do sešitu a rýsuj. Bude ti stačit k narýsování celé sněhové vločky pouze středová souměrnost? 17. V naší zahrádce teče potůček. Tatínek se rozhodl, že vybuduje malé jezírko, a měl o něm svou představu. Řekl: Bude mít tvar čtverce ( ABCD ) a jeho střed ( S ) bude tady. Přítok do jezírka bude na jedné straně (např. P AB ) a odtok na straně protilehlé ( O CD ). Dovedeš narýsovat toto jezírko, znáš-li jeho tři zadané body ( S, P, O ) a víš-li, že má tvar čtverce? 26

Posunutí. 18. Která z následujících siluet odpovídá budově, kterou vidíš na obrázku? 19. Jaký bude vzor na látce, který vznikne postupným posunutím základní předlohy? Zkus v sešitu vytvořit vlastní vzor. 20. Mirek maluje svůj pokoj. Kolem dveří pokoje si chce namalovat ornament. Jak bude tento ornament vypadat, použije-li následující šablony? Posuň vzor alespoň čtyřikrát a poraď Mirkovi, který ornament je hezčí. 21. Narýsuj dvě různoběžky a jednu z nich posuň. Pojmenuj všechny dvojice úhlů, které tyto přímky svírají. 27

22. Města Adamov a Březno leží každé na jednom břehu řeky Sávy, která je široká d m. Zástupci měst se rozhodli, že města spojí a postaví tak most přes řeku. Kde ale mají postavit most, aby byla vzdálenost obou měst co nejkratší? 28

Otočení. 23. Mohly tyto tvary vzniknout otočením některé jeho části kolem středu S? Dovedeš určit i úhel otočení? 24. Určete úhel, o který se otočila velká ručička na hodinách. Jak velký by byl úhel otočení, kdyby se ručička pohybovala opačným směrem? 25. Kružnice, která je většímu rovnostrannému trojúhelníku vepsaná, je zároveň kružnicí menšímu rovnostrannému trojúhelníku opsaná. Urči jakou část obsahu velkého trojúhelníku zaujímá menší trojúhelník. 26. Isometrix je hra, která je založena na představivosti. Máme dvě hrací desky: základní, ve které jsou otvory, a druhou desku, na níž jsou podobně rozmístěny útvary. Tyto desky se položí na sebe, přičemž základní deska je dole a horní deskou se otáčí kolem středu. Na začátku máme dvanáct čtverců, dvanáct kruhů a dvanáct útvarů tvaru kříže. Úkolem je zjistit, kolik útvarů propadne hned po přiložení, poté kolik jich propadne při otočení o 90, 180, 270, a nakonec kolik útvarů základní deskou vůbec nepropadne. Nutno ještě podotknout, že v tomto případě mají útvary takové rozměry, že nepropadnou jinými otvory. 29

27. Zobraz tyto dva útvary v otočení kolem středu S postupně o úhel 72. Kdy už další otočení nemá smysl? 30

3.2 Řešení příkladů Osová souměrnost. 1. 2. Písmena abecedy lze rozdělit podle osové souměrnosti takto: A, T, U, V, Y písmena se svislou osou souměrnosti, B, C, D, E písmena s vodorovnou osou souměrnosti, H, X písmena se dvěma osami souměrnosti, F, G, S písmena osově nesouměrná. 3. Jedná se o řadu čísel začínající nulou, která jsou vhodně zobrazena v osové souměrnosti. Řada s dalšími členy vypadá následovně: 4. Vlajky. Státy: Lotyšsko, Česká republika, Německo, Francie, Švédsko, Ukrajina. 31

5. Jirka udělal sedm chyb, které jsou na obrázku modře zakroužkované. 6. Sporty, které se hrají na těchto hřištích podle pořadí: volejbal, fotbal, hokej, basketbal, badminton, florbal. 7. U útvaru složeného ze dvou kružnic se stejným středem je nekonečně mnoho os souměrnosti procházejících středem S. 32

8. Řešení tohoto příkladu spočívá v tom, že jeden z bodů ( A nebo B ) zobrazíme v osové souměrnosti s osou p. Zobrazme např. bod B, získáme jeho obraz B. Tento bod spojíme s bodem A a tato spojnice protne přímku p v bodu X. Pro každý jiný bod Y p platí: AY + BY = AY + YB > A B = AX + XB = AX + BX. Bod X tedy představuje hledaný bod C. 9. Označme si výchozí pozici golfového míčku bodem A a důlek jako bod B. Na své cestě se míček zřejmě nejprve odrazí od mantinelu po pravé straně hráče, projde mezi trojúhelníky a než skončí v důlku, odrazí se od mantinelu po levé straně hráče. Zajímá nás, pod jakým úhlem míček poslat. Víme, že úhel odrazu se rovná úhlu dopadu. Nejprve je třeba bod A zobrazit v osové souměrnosti s osu, kterou představuje mantinel na pravé straně. Získáme tak bod A. Následně tento bod osově zobrazíme podle osy, kterou znázorňuje mantinel po levé straně hráče. Tento obraz A spojíme s bodem B. 33

V místě, kde tato spojnice protne levý mantinel, se nachází místo druhého odrazu golfového míčku. Označme je P 2. Jakmile spojíme bod P 2 s bodem A, získáme místo prvního odrazu míčku P 1, které leží opět na průsečíku spojnice s mantinelem. Úsečka AP 1 nám pak udává směr, kterým je třeba míček poslat, aby se na jeden úder dostal do důlku. Středová souměrnost. 10. Doplněním třetího dílu je dlaždice středově i osově souměrná. 11. Je třeba domalovat alespoň šest čtverečků. 12. Písmena abecedy lze rozdělit takto: H, I, N, O, S písmena středově souměrná, F, G, M, P, R, T písmena středově nesouměrná. 13. Mandaly, které jsou středově souměrné mají červeně vyznačený střed souměrnosti. Žáci si mohou z vymalovaných mandal udělat výstavku a navzájem si zkontrolovat, zda je vymalovali tak, aby byly středově souměrné. 34

14. Mezi těmito dopravními značkami jsou dvě, které jsou středově souměrné. Střed souměrnosti je vyznačen modře. střed kruhu průsečík úhlopříček obou čtverců Názvy značek podle pořadí: Zákaz vjezdu všech vozidel, Dej přednost v jízdě!, Hlavní pozemní komunikace. 15. Marek udělal čtyři chyby. (1) U ramene, které obsahuje červený kruh a je nalevo od středu S, nezachoval při zobrazení vzdálenosti vzoru a obrazu od středu S, proto vypadá zobrazené rameno širší. (2) Červený kruh zobrazil na modrý kruh. (3) Modrý kruh zobrazil na červený kruh. (4) Zelený kruh zobrazil na zelený půlkruh. 16. K narýsování sněhové vločky využijeme kromě středové souměrnosti i osovou souměrnost. Vločka bude vypadat následovně. 17. Jsou dány body S, P, O. Ve středové souměrnosti se středem S zobrazíme body P a O. Získáme tak jejich obrazy P a O. Protože střed souměrnosti je zároveň středem čtverce ABCD, pak úsečka AB je podmno- žinou O P a úsečka CD je podmnožinou P O. Vzdálenost těchto přímek nám pak udává délku strany čtverce ABCD. 35

Konstrukce: (1) S, P, O (2) P ; S( S ): P a P (3) O ; S( S ): O a O (4) a, b ; a = P O b = O P (5) p ; p a S p (6) E, F ; E p b F p a k ; k ( E SE ) k ( F; SF ) (7) 1,k2 (8) B 1 ; 2 A, ; k b { A, B} (9) D 1 = C, ; k a { C, D} 2 = (10) čtverec ABCD Posunutí. 18. Budově na obrázku odpovídá čtvrtá silueta, u ostatních siluet jsou drobné chyby. 19. Vzor na látce vypadá takto: 20. Takto vypadají Mirkovy ornamenty. 36

21. Posunutím jedné z různoběžek, získáme tyto úhly: úhly souhlasné - α, α ; β, β ; γ, γ ; δ, δ, úhly střídavé - α, γ ; β, δ ; γ, α ; δ, β. 22. Protože se mosty staví kolmo k břehům řeky, sestrojíme bod B jako obraz bodu B v posunutí velikosti d směrem kolmým k řece. Spojíme body A, B a získáme bod X jako průsečík úsečky A B s břehem a. Bod X nám označuje místo, kde máme postavit most, neboť úsečka A B je nejkratší spojnicí bodů A, B. Otočení. 23. Části, jejichž postupným otočením vzniknou zadané útvary, jsou barevně vyznačeny. (Samozřejmě, že lze použít i jiné ekvivalentní části.) Úhel otočení: 90, 120, 60, 90. 24. Úhly otočení jsou: α = 8 30 = 240, β = 4 30 = 120. 25. Stačí, když se menší rovnostranný trojúhelník otočí kolem svého středu o 180. Pak je jasné, že menší trojúhelník zaujímá čtvrtinu obsahu velkého trojúhelníku. Stejný způsob řešení se využije i v případu dvou čtverců, jen úhel otočení je 45. 37

Zadání: Řešení: 26. Isometrix. Otočení: čtverec kruh kříž o 0 1 4 4 o +90 3 1 3 o +180 2 1 1 o +270 2 0 2 Nepropadne 4 6 2 27. Otočení je třeba provést pětkrát, při dalším otočení už by se útvar zobrazoval sám na sebe. Výsledné útvary: 38

4. Výzkum 4.1 Obsah výzkumu Jak už bylo uvedeno na začátku, cílem mého výzkumu je především ověřit, nakolik si žáci uchovávají osvojené učivo o shodných zobrazeních v paměti. Dále bych chtěla prozkoumat, jak žáci propojují své poznatky z matematiky s okolním světem. Jako metodu pro ověření jsem zvolila opakovanou prověrku. Žákům jsem třikrát v časovém rozmezí předložila k vypracování stejnou prověrku. Poprvé to bylo v době, kdy dokončili probíranou látku o shodných zobrazeních. Další prověrku psali s časovým odstupem jednoho měsíce, což bylo před hlavními prázdninami, a poslední práci vypracovali v rámci podzimního opakování v následujícím ročníku. 4.2 Podmínky výzkumu Výzkum jsem prováděla na ZŠ Hálková v Olomouci. Tato škola se zapojila do projektu Tvořivá škola, který je založen na činnostním učení. Žáci se tak učí názorně vlastní činností. Manipulace s učební pomůckou vede k lepšímu pochopení a zapamatování probírané látky. Na základě vlastní zvědavosti a aktivity rozvíjejí žáci své logické uvažování a smysl pro celoživotní učení. Učivo je proloženo příklady z každodenního života a stává se tak pro žáky přitažlivější a užitečnější. Vlastní činnost a prožitý úspěch přináší žákům radost z učení. Koncepce tohoto projektu vychází z odkazu Jana Ámose Komenského, který prosazoval názornost výuky (Orbis pictus). Během osvojování látky o shodných zobrazeních pracovali žáci s přeloženým papírem, který na daných místech propichovali špendlíkem, nebo z něj vystřihovali předkreslený poloviční vzor tak, aby sami pochopili a ověřili zachování vzdálenosti vzoru a obrazu bodu od osy souměrnosti. Z dalších aktivit uveďme dokreslování souměrného obrazce do čtvercové sítě, hru s přikládáním dvou shodných geometrických útvarů k ose či středu souměrnosti, aby souměrnost byla zachována, nebo hledání os souměrnosti překládáním útvaru. Během výuky také jistě padla otázka, které obrazce či předměty běžného života jsou osově popř. středově souměrné. 39

Do výzkumu se zapojily dvě třídy šestého ročníku a jedna třída ročníku sedmého. Celkem se zúčastnilo 57 žáků z 6. ročníku a 24 žáků ze 7. ročníku. Podrobnosti k účasti žáků na písemných pracích podává graf 4.2.1. Účast na prověrkách 40 Počet žáků 30 20 10 0 30 26 28 29 2724 2423 24 20 18 16 6.A 6.B 7. Počet zúčastněných žáků Účast na 1.prověrce Účast na 2.prověrce Účast na 3.prověrce Třídy Graf 4.2.1 Ve svém výzkumu jsem porovnávala prověrky pouze od těch žáků, kteří psali všechny tři práce. V 6. ročníku tak tomu bylo u 43 žáků a v 7. ročníku pouze u 8 žáků. Tento malý počet byl dán jednak tím, že se výzkumu zúčastnila pouze jedna třída, a také skutečností, že několik žáků přestoupilo na konci ročníku na gymnázium. První prověrku psali žáci začátkem dubna nebo v polovině května bezprostředně po probrání učiva. Druhou prověrku vypracovávali v druhé polovině června, kdy jejich výsledky mohla ovlivnit vidina prázdnin a očekávaného volna. Poslední práci odevzdávali v říjnu, kdy se ještě věnovali opakování z minulého ročníku. Mezi dvěma následujícími prověrkami byla minimální časová mezera jeden měsíc. 4.3 Sestavení prověrek Prověrky obsahovaly čtyři úlohy, přičemž jedna z úloh byla zaměřena na sledování skutečnosti, zda opravdu žáci víc propojují matematiku s realitou a hledají její využití v každodenní situaci. Tuto úlohu jsem do celkového porovnání nezahrnula, ale bude vyhodnocena zvlášť. První příklad u obou prověrek byl konstrukční a měl ukázat, zda žáci danému učivu rozumí a zda umí osově či středově zobrazit daný útvar. V 6. ročníku měli zadaný nekonvexní čtyřúhelník již narýsovaný. V druhé úloze museli žáci sami odhadnout, které písmeno abecedy by mohlo být souměrné podle osy nebo středu a tuto osu či střed najít. Poslední úloha, která je součástí porovnávání, vyžadovala 40

opět nalezení os a středů souměrnosti u známých geometrických útvarů. Pro žáky v 7. ročníku byla situace ztížena, neboť žáci si tyto útvary museli představit a načrtnout. Zadání prověrky pro 6. ročník: Osová souměrnost Jméno: Třída: Datum: 1) K nekonvexnímu čtyřúhelníku ABCD narýsuj souměrně sdružený podle osy o, která prochází body E, F. 2) Uveď velká tiskací písmena abecedy, která mají osově souměrný tvar, a to a) 8 písmen s jednou osou souměrnosti, b) 2 písmena se dvěma osami souměrnosti. Osy souměrnosti načrtni. 3) Kolik os souměrnosti mají následující geometrické útvary? Načrtni osy souměrnosti. 41

4) Uveď 6 příkladů, kde se s osovou souměrností setkáváme v běžném životě.............................................................................................................................................................................................. Zadání prověrky pro 7. ročník: Středová souměrnost Jméno: Třída: Datum: 1) Sestroj obraz kružnice k(o; r = 2,5 cm) ve středové souměrnosti se středem S, který leží uvnitř kružnice k a je různý od bodu O. 2) Uveď 4 velká tiskací písmena abecedy, která jsou souměrná podle středu. Vyznač jejich střed souměrnosti. 3) Urči, které geometrické útvary mají střed souměrnosti. Načrtni útvary i s jejich středem souměrnosti. - čtverec - kosodélník - rovnostranný trojúhelník - kruh - rovnoramenný lichoběžník - kvádr 42

4) Uveď 6 příkladů, kde se se středovou souměrností setkáváme v běžném životě.............................................................................................................................................................................................. 4.4 Hodnocení prověrek Osová souměrnost. Každý obraz bodu A, B, C, D jsem bodovala po 1,5 bodu. Za vyznačení výsledku získal žák 1 bod a dbal-li na úpravu dostal také 1 bod. Za první příklad mohl získat maximálně 8 bodů. U druhého příkladu jsem vyžadovala načrtnutí osy souměrnosti písmene. Pak za každé písmeno i s osou souměrnosti dostal žák 0,5 bodu. Bodování bylo stejné i u písmen se dvěma osami souměrnosti. Celkem 5 bodů. Při posledním úkolu měli žáci úlohy dvě. Pokud odpověděli správný počet os souměrnosti daného geometrického útvaru, obdrželi 1 bod. Správný náčrt všech os souměrnosti útvaru byl hodnocen po 1 bodu. U této úlohy mohli žáci získat celkem 8 bodů. Celkový počet získaných bodů byl maximálně 21 bodů. Stupnice pro hodnocení této prověrky byla následující: body známka 21-19 1 18,5-16 2 15,5-9,5 3 9-5,5 4 5-0 5 Středová souměrnost. V první úloze bylo hodnoceno sestrojení kružnice za 1 bod, správné určení středu S za 2 body, obraz středu kružnice O a obraz kružnice po 1 bodu. Úpravou mohl žák získat ještě 1 bod. Celkově mohli žáci obdržet za tuto úlohu 6 bodů. 43

Druhá úloha byla hodnocena stejně jako podobný příklad s osovou souměrností, tedy každé písmeno i s vyznačeným středem souměrnosti přineslo žákovi 0,5 bodu. Maximálně šlo získat 2 body. Také tato poslední úloha byla členěna do dvou částí. Za správnou odpověď obdrželi žáci u každého útvaru 0,5 bodu. Náčrt geometrického útvaru i se s středem souměrnosti byl bodován po 0,5 bodu. Celkový počet bodů za tuto úlohu byl 5 bodů. Nejvyšší počet bodů u této prověrky byl 13 bodů. Hodnocení bylo provedeno podle následujících podmínek: body známka 13-11,5 1 11-9,5 2 9-6 3 5,5-3 4 2,5-0 5 Teď už se jen pojďme podívat, jak to všechno dopadlo. 44

5. Vyhodnocení Před celkovým vyhodnocením bych chtěla upozornit na skutečnost, že druhou prověrku psali žáci na konci školního roku, kdy se jezdí na výlety a atmosféra ve škole už je ovlivněna blížícími se prázdninami. Je tedy nutno k této skutečnosti při vyhodnocení přihlížet. V příloze této práce lze najít ukázky vypracovaných prověrek z jednotlivých ročníků. 5.1 Osová souměrnost V 6. ročníku psalo všechny tři prověrky 43 žáků, z toho 23 dívek a 20 chlapců, čili poměr dívek a chlapců je celkem vyrovnaný. Pojďme se podívat na jednotlivé úlohy. V první úloze měli žáci řešit konstrukční úlohu. Z grafu 5.1.1 vidíme rozložení získaných bodů v první úloze u všech tří písemných prací. Získané body v 1.úloze 30 Počet žáků 25 20 15 10 5 0 3 4,5 6 7 8 0 1.prověrka 2.prověrka 3.prověrka Graf 5.1.1 Při první prověrce pět žáků nezískalo za tuto úlohu žádný bod. Vzhledem k tomu, že se prověrka psala v rámci opakování po probrání učiva, je to signál pro učitele, že tito žáci nepochopili správně probrané učivo. Z těchto vybraných prověrek je vidět, že čtyři žáci vůbec neví, jak osově sestrojit bod, a jeden žák zřejmě neměl po ruce správné pomůcky a nedovedl tak sestrojit kolmici. Protože u dalších termínů už tyto případy nenastaly, lze z toho usoudit, že dodatečné vysvětlení vedlo k plnému pochopení učiva. Jak vidíme z grafu, žáci si učivo dobře osvojili a dovedou osově zobrazit jednotlivé body. 45

Některým žákům přesto dělalo problémy zobrazit všechny body a tyto body správně pospojovat, čímž by docílili výsledku. Patrné je to především u prvních a druhých prověrek. Největší problémy měli žáci se zobrazením bodu B a následně bodem A. Většinou byla nepřesně sestrojena kolmice. Nikdo z žáků si osu souměrnosti v dolní části neprotáhl, a tak buď museli přikládat pravítko s ryskou shora, nebo rýsovali kolmici od oka s pomocí malého dílu osy souměrnosti, což vedlo k nepřesnosti. Při všech prověrkách pracovala značná část žáků s malou přesností, která se projevila stržením bodu za úpravu. Příčinami mohl být spěch a stres při práci, špatná péče o pracovní pomůcky nebo rýsování nevhodnou pomůckou. Podíváme-li se na podíl žáků, kteří při prověrce dostali plný počet bodů (nebo přišli o jeden bod za úpravu), zjistíme, že u posledního termínu jde o značnou část žáků. V procentuálním vyjádření se jedná dokonce o 90% žáků. Při prvním termínu získalo tyto body 60% žáků a u druhého termínu se podíl zvýšil o pouhých 5%. Třetí prověrka tedy byla nejúspěšnější. V druhé úloze měli žáci najít velká tiskací písmena abecedy, která mají jednu nebo dvě osy souměrnosti. Celkem se v naší abecedě vyskytuje 14 písmen s jednou osou a 4 písmena se dvěma osami souměrnosti. Přehled těchto písmen vidíme v následujících grafech. Počet žáků, kteří dané písmeno uvedli 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Výskyt písmen abecedy A D A A B M D E B M B C D E C M E C K U K K T V T T V U WY Y UV W WY CH Ť CH Ť CH Ť 1.prověrka 2.prověrka 3.prověrka Graf 5.1.2 Z grafu 5.1.2 můžeme vyčíst, že při první prověrce byl výskyt písmen s jednou osou souměrnosti dost různorodý, dokonce si jeden žák vzpomněl na písmeno CH (písmeno C uvedl také). Ve druhé prověrce už se jasně prosadila písmena začátku abecedy a písmena K, M. Při třetí práci se tato skutečnost jen potvrdila. 46

Zajímavé je, že ze čtyř prvních písmen abecedy se písmeno C vyskytovalo nejméně. Osově symetrické písmeno Ť nikdo nezmínil, i když u každé prověrky písmeno T uvedlo alespoň 32% žáků. Na dalším grafu vidíme poměr výskytu písmen se dvěma osami souměrnosti. Nejčastěji uváděli žáci písmena H a O bez ohledu na termín prověrky. Pří první a třetí prověrce se nejméně vyskytovalo písmeno I. Pravděpodobně dělá žákům problém představit si písmeno I jako množinu samodružných bodů na ose souměrnosti. Písmena abecedy s dvěma osami Počet žáků, kteří dané písmeno uvedli 30 25 20 15 10 5 0 O H H H O O I X I X X I 1.prověrka 2.prověrka 3.prověrka Graf 5.1.3 Pojďme se už ale podívat, jak dopadla tato úloha ve všech třech termínech. V první části měli žáci uvádět písmena s jednou osou souměrnosti a tuto osu na písmenu vyznačit. Žáci, kteří za tuto úlohu nezískali žádný bod, většinou uvedli některá písmena, ale nevyznačili na nich požadovanou osu souměrnosti. Počet žáků 30 25 20 15 10 5 0 Počet písmen s jednou osou uvedených na prověrkách 1.prověrka 2.prověrka 3.prověrka 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Graf 5.1.4 Případ, kdy žáci neuvedli žádné písmeno, nastal pouze v druhé části, kde měli napsat písmena s dvěma osami souměrnosti. Ve všech třech termínech se vyskytli žáci, kteří za tuto úlohu nezískali žádný bod, protože si nepřečetli celé zadání. Nejvíce jich bylo při posledním termínu, celých 21%. Kromě toho, že žáci zapomínali načrtnout osu souměrnosti, 47

představovala tuto osu nejčastěji rovná přímka. Čerchovaná přímka se vyskytovala pouze v ojedinělých případech. Při první prověrce uvedlo 90% žáků alespoň pět písmen s jednou osou a 81% žáků dvě písmena se dvěma osami souměrnosti. U druhé prověrky se zvýšil počet žáků, kteří nenačrtli osu souměrnosti a tím ztratili potřebné body. Zároveň byl při tomto termínu nejvyšší podíl žáků, kteří uvedli všech osm písmen abecedy. Učinilo tak 24 žáků. Při poslední prověrce se vyskytly značné rozdíly. Žáci buď nenačrtli osu nebo uvedli aspoň šest písmen i s osou. Poslední skupina představovala 76,7% žáků. Na písmena se dvěma osami souměrnosti si necelých 80% žáků vzpomnělo při všech prověrkách. Počet bodů získaných za písmena se dvěma osami souměrnosti 40 Počet žáků 30 20 10 0 1.prověrka 2.prověrka 3.prověrka 0 1 2 Graf 5.1.5 Z celkového pohledu tedy vyplývá, že tato úloha nejlépe dopadla při prvním termínu. Poslední úloha spočívala ve vyhledávání os souměrnosti u známých geometrických útvarů. Žáci měli uvést počet os a tyto osy načrtnout do předkreslených útvarů. Uvedení správného počtu os souměrnosti u geometrických útvarů Počet žáků 40 30 20 10 čtverec obdélník hvězda rovnostranný trojúhelník 0 1.prověrka 2.prověrka 3.prověrka Graf 5.1.6 48

Při všech prověrkách alespoň 20% žáků neuvedlo počet os souměrnosti u žádného útvaru. Zřejmě špatně pochopili zadání a považovali za správnou odpověď samotný náčrt. Graf 5.1.6 nám uvádí, kolik žáků uvedlo správný počet os souměrnosti u daných geometrických útvarů. U všech termínů je vidět, že žáci nemají problémy s nalezením všech os souměrnosti u čtverce. Při první prověrce měli žáci největší problémy s pěticípou hvězdou a rovnostranným trojúhelníkem. Druhá prověrka se z grafu jeví jako nejúspěšnější. Při poslední prověrce klesl počet žáků, kteří uvedli správný počet os souměrnosti obdélníku a znovu se projevila nejistota u hvězdy a rovnostranného trojúhelníku. 50 Správný náčrt os souměrnosti u geometrických útvarů Počet žáků 40 30 20 10 čtverec obdélník hvězda rovnostranný trojúhelník 0 1.prověrka 2.prověrka 3.prověrka Graf 5.1.7 Z grafu 5.1.7 vidíme kolik žáků správně načrtlo všechny osy u jednotlivých geometrických útvarů. Opět ve většině případů náčrt neprováděli čerchovanou čarou, ale nepřerušovanou nebo čárkovanou čarou. Při první prověrce se žáci nejvíce trápili s hvězdou a obdélníkem. U hvězdy většinou nenašli všechny osy souměrnosti, zatímco u obdélníku přidávali osy navíc. Šlo o osy procházející úhlopříčkami obdélníku. Zřejmě zkoušeli najít další osy podobně jako u čtverce, ale neověřili si, zda se pak skutečně jednalo o osovou souměrnost. U hvězdy a rovnostranného trojúhelníku se žákům většinou podařilo najít alespoň jednu osu. Šlo o osu vertikální. U druhé prověrky správně načrtlo všechny osy u všech útvarů 81% žáků. Na poslední prověrce pouze jediný žák nenačrtl všechny osy souměrnosti čtverce. Celkové vyhodnocení třetí úlohy je znázorněno v grafu 5.1.8.. Je zřejmé, že tato úloha už byla pro žáky obtížnější a velká část z nich nenašla všechny osy 49

souměrnosti. Největší podíl žáků, kteří tyto osy našli, byl v druhé prověrky. Úspěšných bylo 23 žáků, což odpovídá 53,5% z celkového počtu. Počet žáků 25 20 15 10 5 0 Získané body v 3.úloze 1.prověrka 2.prověrka 3.prověrka 1 2 3 4 5 6 7 8 Graf 5.1.8 Jak ale dopadlo celkové hodnocení všech prověrkách a při které z nich byli žáci nejúspěšnější? To už nám ukazuje graf 5.1.9. Optimistické je, že žádný z žáků nedostal nedostatečnou. I když se vyskytlo pár jedinců, kteří obdrželi za svůj výkon dostatečnou, je vidět, že si žáci učivo dobře osvojili a i po čase ho dovedou použít. Při první prověrce mají největší podíl žáci, kteří byli hodnoceni dobře. Jde o 37% žáků. Známkou výborně bylo hodnoceno necelých 30% žáků. Při této prověrce je také nejvyšší podíl žáků s dostatečnou vzhledem ke všem termínům. Známkování prověrek Počet žáků 25 20 15 10 5 0 1.prověrka 2.prověrka 3.prověrka 1 2 3 4 5 Graf 5.1.9 Na druhém termínu bylo 48,8% žáků hodnoceno známkou výbornou. Podíl žáků s chvalitebnou je nejmenší ze všech tří termínů. U třetí prověrky už nejsou tak výrazné rozdíly mezi podíly jednotlivých známek. Navíc známkou dostatečnou byl hodnocen pouze jediný žák. Soustředíme-li se na podíl žáků, kteří byli hodnoceni známkou výbornou a chvalitebnou, je tento podíl nejvyšší u třetího termínu, kdy tyto známky dostalo 67,4% žáků. Při druhém 50

termínu jich bylo 65,1% a při prvním termínu 53,5%. Přestože rozdíly nejsou moc velké, byl nejúspěšnější třetí termín. Tento výsledek potvrzuje skutečnost, že žáci si učivo dobře zapamatovali a jsou schopni ho při vhodné situaci použít. Podívejme se na úspěšnost dívek a chlapců u všech prověrek. Úspěšnost dívek a chlapců Procenta 60 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1.prověrka 2.prověrka 3.prověrka chlapci dívky Graf 5.1.10 Na první prověrce byl podíl hodnocení známkou výborně a chvalitebně vyšší u chlapců než u dívek. Navíc 43,7% dívek bylo hodnoceno známkou dobře, zatímco u chlapců to bylo pouze 30%. Z toho vyplývá, že u prvního termínu byli chlapci úspěšnější. Při druhé prověrce bylo 47,8% dívek a 50% chlapců hodnoceno známkou výborně, což značí, že osvojené učivo nezapomněli. Chvalitebnou dostalo 21% dívek, což je více než u chlapců, a prokázaly tak své lepší znalosti při druhém termínu. U poslední prověrky obdrželo 52,2% děvčat a 30% chlapců výbornou. I když oproti 35% chlapců získalo pouze 17,4% dívek chvalitebnou, vychází z celkového hodnocení dívky lépe. Závěrem můžeme říci, že dívky si toto učivo lépe osvojily a dovedou ho použít i s časovým odstupem. 5.2 Středová souměrnost Prověrku na toto téma si napsalo 24 žáků 7. ročníku. Vzhledem k absenci a odchodu některých žáků na gymnázium mohu porovnávat prověrky pouze 8 žáků. Z tak malého počtu ale nemohu vyvozovat žádné velké závěry. Podíváme-li se na první příklad, měli žáci zobrazit ve středové souměrnosti kružnici. Střed souměrnosti si měli žáci určit sami, pouze bylo vyžadováno, aby 51