Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø vidìl, jakým zpùsobem je titul zpracován a mohl se také podle tohoto, jako jednoho z parametrù, rozhodnout, zda titul koupí èi ne). Z toho vyplývá, že není dovoleno tuto ukázku jakýmkoliv zpùsobem dále šíøit, veøejnì èi neveøejnì napø. umis ováním na datová média, na jiné internetové stránky (ani prostøednictvím odkazù) apod. redakce nakladatelství BN technická literatura redakce@ben.cz
Kapitola 3 Mnohoèleny Základní poèetní operace s mnohoèleny Rozklad mnohoèlenù vytýkáním spoleèného èinitele nebo pomocí vzorcù Poèetní operace se zlomky zapsanými písmeny Øešené pøíklady Pøíklad 3 1 Vypoètìme «á ] ( ) ] ] a) ( ) Ã, b) ( ) «á Ã ] ã³ ã³, c) ( )( ) ( )( ) d) ( \ )( \) ( \ )( \) ( ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ e) ( ) f) ( ) ¹ \ \ \ \ \ \ \\ ¹ Pøíklad 3 2 Mnohoèleny je možné nìkdy vyjádøit jako souèin jiných mnohoèlenù Provádíme to vytýkáním spoleèného èinitele pøed závorku nebo pomocí vzorcù, napø (a b) 2 a 2 2ab b 2, (a b) 2 a 2 2ab b 2, Antonín Kamarýt: Opakujeme si matematiku BN technická literatura 37
a 2 b 2 ( a b )( a b ) Ukážeme si to na nìkolika pøíkladech: a) 4a 2 2ab 2a(2a b), b) a 2 b ab 2 ab(a b), c) x 3 y 2 x 2 y 3 x 2 y 2 x 2 y 2 (x y 1), d) 9a 2 4b 2 (3a) 2 (2b) 2 (3a 2b)(3a 2b), e) 32a 2 2 2(16a 2 1) 2(4a 1)(4a 1), f) 2a 5 2a 2a(a 4 1) 2a(a 2 1)(a 2 1) 2a(a 1)(a 1 )(a 2 1), g) a 2 2ab b 2 ac bc (a b ) 2 c(a b ) (a b)(a b c), h) xz yz x 2 2xy y 2 z(x y) (x 2 2xy y 2 ) z(x y) (x y) 2 (x y)z (x y)] (x y)(z x y), i) ac bc ad bd c(a b) d(a b) (a b)(c d), j) a 6 a 4 a 2 1 a 4 (a 2 1) (a 2 1) (a 2 1)(a 4 1) (a 2 1)(a 2 1)( a 2 1) (a 2 1) 2 (a 1)(a 1) Pøíklad 3 3 Poznatkù z pøedchozího pøíkladu se využívá napø pøi krácení zlomkù Uvedeme opìt nìkolik pøíkladù a) b) c) d) X X Y XY ( ) ( ) ( X Y)( X Y) X( X Y) b ¹ 0, a ¹ b, X Y X u ¹ 0, u ¹ v, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( \ ])( \ ]) ( ] \)( ] \) \ \ ] ] ] \ \ ] ] \ ( )( ) ( )( ) \ ] y ¹ ± (x z), \ ] x ¹ ±1, 38 Antonín Kamarýt: Opakujeme si matematiku BN technická literatura
e) f) ( )( \ ) ( )( \ ) ( ) ( ) ( ) ( ) \ \ \ \ \ \ ¹ \ ¹ ( )( ) ( ) ( ) a ¹ 2, b ¹ 1 ( )( ) ( )( ) Pøíklad 3 4 Sluème zlomky: a) \ \ \ \ x ¹ y, b) c) ( ) ( ) ( ) ( ) a ¹ 2, ( ) a ¹ 0, a ¹ b, d) \ \ \ \ \ ( \)( \) ( \)( \) ( \)( \) ( \)( \) ( \)( \) \ \ \ \ \ \ \ \ ( \)( \) ( \) ( \)( \) \ \ \ \ \ ¹ \ \ Antonín Kamarýt: Opakujeme si matematiku BN technická literatura 39
Pøíklad 3 5 Násobení a dìlení zlomkù Vypoètìme: a) ª ½ ± Õ ² ± ª ² ½ Õ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ¹ ¹ b) ± ª ½ Õ ² ± ª ² ½ Õ ( ) ¹ ¹ ± ± c) ª ² ª ² ½ Õ ½ Õ ¹ ± ¹ d) ± ª ½ Õ ² ± ª ² ½ Õ ¹ e) ± ª ² ª ½ Õ ½ ¹ ( ) ± ² Õ ( )( ) 40 Antonín Kamarýt: Opakujeme si matematiku BN technická literatura
Zkušenìjší ètenáø mùže poèítat takto: f) ª ½ ( ) ± ² ª Õ ½ ± ² Õ ¹ ¹ ± Pøíklad 3 6 Zjednodušme složený zlomek Øešení: Složený zlomek mùžeme zjednodušit dvìma zpùsoby: a) Složený zlomek vyjádøíme jako dìlení èitatele jmenovatelem, tj ± ± ª ² ª ² ½ Õ ½ Õ ( )( ) ¹ ¹ b) Složený zlomek rozšíøíme výrazem ab (nejmenší spoleèný násobek jmenovatelù a, b) a dostaneme ( ) ( )( ) ¹ ¹ Antonín Kamarýt: Opakujeme si matematiku BN technická literatura 41
Cvièení 3 1 Sluète a výsledek uspoøádejte sestupnì a) 5c 2 3c c 2, b) 5h 3h 2 h, c) x 3 3x x 2 4x 3 x, d) 10 2b 2 b 2 5 5b 2 3b 3 2 Odstraòte závorky a sluète: a) 4x (5x 3y) 2y, b) (7x 3x 2 ) (3x 7x 2 ), c) (4x 2 5x 3 x) (x 2 3x 4 x 4 ), d) (3u 5v 7) (2 3v ) (4 5u) 3 3 Sluète: a) 1 3t {1 t 1 2t (t 3) (1 4t)] 1}, b) «( ) ( ) ] á Ã ã³ c) > ( ) @ ^ > ( )@ `, d) «± á \ Ã \ ª \ ² ½ Õã ³ 3 4 Odstraòte závorku: a) 4 (x 5), b) a (x 5), c) x (x y), d) 12 (4x 6y 9z) 3 5 Zjednodušte: a) 2 (c 1) 3(c 2), b) 3 (u 2) (5 u), c) 2p (p 2 1) p 2 (1 2p), d) 1 3 (1 y) 2 (4y 7) 42 Antonín Kamarýt: Opakujeme si matematiku BN technická literatura
3 6 Zjednodušte: a) 3x (2x 3y) 2y(2x 3y) 3(x 2 y 2 ), b) 3x 3 (1 2x 3x 2 ) 3x 2 (1 2x 3x 2 ) 2x(1 2x 3x 2 ), c) 6a 5b 3(a 2) 8], d) 12(a b) 44a 2b 2(a b)] 3 7 K danému mnohoèlenu napište mnohoèlen opaèný: a) 3a 2b c, b) x 2 y 2 8xy, c) 4 x 2 y 2, d) 7xy x y 3 8 Zapište pomocí závorek: a) K èíslu x pøiètìte 2y a potom odeètìte rozdíl èísel x, y b) K souètu èísel u, 2v pøiètìte rozdíl èísel u, v c) Od rozdílu èísel a, 2b odeètìte souèet èísel a, b d) Od èísla u odeètìte souèet èísel 2v, x, pak odeètìte rozdíl èísel x, y e) Rozdíl s menšencem 2x y a menšitelem 3u 2v znásobte souètem èísel 2a, 3b f) Od èísla u odeètìte èíslo d a rozdíl násobte 10 g) Udejte oè je vìtší 3x 2y než 2x 5y h) K polovinì souètu èísel 2u, 3v pøiètìte trojnásobek rozdílu èísel 4x, 3y 3 9 Zapište pomocí závorek: a) K souètu èísel 3a, 2b pøiètìte dvojnásobek rozdílu èísel 3x, 4y b) Od souètu èísel 2a, b odeètìte rozdíl èísel x, y zmenšený o 7 c) K rozdílu èísel 3a, 4b pøiètìte dvojnásobek èísla x zmenšený o 2 d) Od rozdílu èísel 2a, b odeètìte dvojnásobek rozdílu èísel 3x, 2y zvìtšený o 4 e) Od èísla 7a odeètìte èíslo 2b a pak odeètìte souèet èísel x, y f) K rozdílu èísel 2a, 3b zmenšenému o 4 pøiètìte dvojnásobek rozdílu èísel x, y zmenšený o 3 g) K ètyønásobnému souètu èísel 4a, 2b zmenšeného o 14, pøiètìte dvojnásobek rozdílu èísel x, y zvìtšený o 6 h) Rozdíl s menšencem 2a 4b a menšitelem 4u 3v znásobte rozdílem èísel x, y i) Rozdíl s menšencem 3a 4b a menšitelem 2u 3v zvìtšete o èíslo x zmenšené o 9 j) O kolik je 3a 4b vìtší než rozdíl èísel x, y zmenšený o 4 k) O kolik je dvojnásobek souètu èísel 3x, 8a 2b zmenšený o 3 vìtší než trojnásobek rozdílu èísel x, y zvìtšený o 9 l) Kolikrát je polovièní souèet èísel 3x y, 2u 3v vìtší než tøetina rozdílu èísel 3x y, 2u v zvìtšená o 12 Antonín Kamarýt: Opakujeme si matematiku BN technická literatura 43