Komplexní číslo. Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Komplexní číslo. Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem"

Lucie Pospíšilová
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 Komplexní číslo Cíl kapitoly: seznámení s použitím komplexního čísla v pythonu Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem Komplexní číslo Opakování z matematiky Nejdříve si musíme zopakovat základní pojmy o komplexních číslech, důvody jejich zavedení a základní pravidla pro jejich počítání. Důvody zavedení komplexního čísla Rovnice x 2 32 = 0 nemá v reálných číslech řešení. x = 0 x 2 = - 45 x = 45 Abychom tuto rovnici mohli vypočítat, zavedeme množinu komplexních, která bude mít vlastnosti: 1. množina všech reálných čísle je podmnožinou všech čísel komplexních. 2. operace zavedené pro reálná čísla se musí shodovat s operacemi s reálnými čísli i v této množině 3. v množině všech komplexních čísel bude mít každá kvadratická rovnice řešení Komplexní číslo Komplexní číslo definujeme jako uspořádanou dvojici reálných čísel a = [a1,a2]. Komplexní číslo znázorňujeme v Gausově rovině neboli v rovině komplexních čísel. a to buď jako bod nebo jako vektor. a1 reálná složka komplexního čísla a2 imaginární složka komplexního čísla Komplexní číslo lze psát i ve tvaru a = a1+ a2i (algebraický tvar) 11/9/2012 Komplexní číslo 1/5

Důvody zavedení komplexního čísla Rovnice x 2 32 = 0 nemá v reálných číslech řešení.

2 Obr.1: Znázornění komplexního čísla na číselné ose Tyto komplexní čísla rozdělte lze rozdělit na: reálná (1, 0) imaginární část se rovná nule ryze imaginární (0, 4) reálná část se rovná nule imaginární (2, 4) žádná z částí se nerovná nule Absolutní hodnota: je vzdálenost bodu od počátku soustavy - dle nákresu vycházíme z Pythagorovy věty Číslo opačné c = a + bi je koplexní číslo, potom -c = - a - bi je opačné číslo k číslu c Číslo komplexně sdružené: Jestliže c = a + bi je komplexní číslo, potom c = a - bi je číslo k němu komplexně sdružené. Je osově souměrné k číslu c v Gausově rovině podle osy x. Matematické operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru Sčítání a odčítání komplexních čísel Na komplexní číslo v algebraickém tvaru se můžeme dívat jako na dvojčlen a proto sečítání a odčítání v algebraickém tvaru se provádí jako s dvojčleny. a = a1+ a2i b = b1+ b2i a + b = (b1+ b2i) + (a1+ a2i) = (a1 + b1) + (a2 + b2) i a + b = (a1+ a2i) - (b1+ b2i) = (a1 - b1) + (a2 - b2) i Násobení komplexních čísel Násobení dvou komplexních čísel provádíme jako násobení dvou dvojčlenů, každý člen prvního dvojčlenu s každým členem druhého dvojčlenu. Po vynásobení sečteme imaginární části a reálné (i2 = -1.) a * b = (a1+ a2i) * (b1+ b2i) = a1b1 + a1b2i + a2i b1 + a2i b2i 11/9/2012 Komplexní číslo 2/5

-c = - a - bi je opačné číslo k číslu c Číslo komplexně sdružené: Jestliže c = a + bi je komplexní číslo, potom c = a - bi je číslo k němu komplexně sdružené.

3 Dělení komplexních čísel: - zlomek rozšíříme číslem komplexně sdruženým, tak aby ve jmenovateli jsme získali reálné číslo, příklad tak změníme v násobení komplexních čísel Kvadratická rovnice a komplexní číslo: Uveďme si alespoň jeden příklad výpočtu kvadratické rovnice s výsledkem komplexních čísel. 11/9/2012 Komplexní číslo 3/5

komplexních čísel Kvadratická rovnice a komplexní číslo: Uveďme si alespoň jeden

Komplexní číslo v pythonu Python nám umožnuje přímo pracovat s komplexními čísly. Obecný tvar komplexního čísla je x + jy, x a y mohou být libovolná čísla. Např.

4 Komplexní číslo v pythonu Python nám umožnuje přímo pracovat s komplexními čísly. Obecný tvar komplexního čísla je x + jy, x a y mohou být libovolná čísla. Např.: a = 6 + 3j Imaginárn číslo je zapisováno s příponou "j" nebo "J". Komplexní čísla zapisujeme ve tvaru "(Re + Imj)" nebo je můžeme vytvořit pomocí interní funkce "complex(re, Im)": Pro načtení komplexního čísla ze vstupu používáme v pythonu v příkazu raw_input slovo complex. a = complex(raw_input( zadej komplexni číslo )) S komplexní i čísly můžeme provádět také matematické operace. Uveďme si základní příklady: Obr. 1: Základní příklady Zápis komplexního čísla Pro zápis komplexního čísla můžeme zadat dvěma způsoby. Zadáním v algebraickém tvaru. Místo používaného i pro označení imaginární části se používá j. Nebo pomocí určení typu proměnné pomocí complex a zadáním do závorky hodnoty reálné a imaginární části čísla - complex(reálná část, imaginární část). Obr. 2: Typ zápisu komplexních čísel 11/9/2012 Komplexní číslo 4/5

Komplexní čísla zapisujeme ve tvaru "(Re + Imj)" nebo je můžeme vytvořit pomocí interní funkce "complex(re, Im)": Pro načtení komplexního čísla ze vstupu používáme v pythonu v příkazu raw_input slovo

5 Základní algebraické operace Mezi základní algebraické operace patří sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel. Dále take vyčíslit jenotlivé části komplexního čísla a jeho absolutní hodnotu. Obr. 3: Základní algebraické opece s komplexními čísly Obr. 4: Získání jednotlivých částí komplexního čísla Obr. 5: Absolutní hodnota komplexního čísla 11/9/2012 Komplexní číslo 5/5

Dále take vyčíslit jenotlivé části komplexního čísla a jeho absolutní hodnotu. Obr.

Podobné dokumenty

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE