- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2

Transkript

1 48 Príklad 73: Rozložte na soucin: a)4x2-25 c)x e) x' + 27 b} 25x2 + 30xy + 9y2 d) 8x3-36~y + 54xy2-27l Rešení: a) Použije vzorec a2 - b2 = (a - b). (a + b), v nemž platí a = 2x, b = 5. Dostaneme: 4X2-25 = (2x - 5). (2x + 5) b) Použijeme vzorec a2 + 2ab + b2 = (a + bi, kde a = 5x, b = 3y. Dostaneme: 25x2 + 30xy + 9/ = (5X) x. 3y + (3yi = (5x + 3i, c) Použijeme vzorec«- b2 = (a - b). (a + b), kde a = X2, b = 4. Dostaneme: X4-16 = (~f - 42 = (X2-4). (x2+ 4) = (x - 2). (x + 2). (X2+ 4) dl Použijeme vzorec a3-3«b + 3ab2 - b3 = (a - bi, kde a = 2x, b = 3y. Dostaneme:8x3-36x2y + 54xy2-27l = (2xi - 3. (2xi, 3y x. (3yi - (3y)3= = (2x - 3yi e) Použijeme vzorec a3 + b3 = (a + b). (a2- ab + b2),kde a = x, b = 3. Dostaneme:x' + 27 = X3+ 33 = (x + 3). (X2-3x + 9) 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu Lomený výraz je ten výraz, ve kterém je promenná ve jmenovateli. U všech techto výrazu je nutné urcit jejich definicní obor, tzn. obor hodnot promenných, pro než má daný lomený výraz smysl! -.-. i-, t- 1.Krácení lomeuvch výrazu -provádíme tak, že citatele ijmenovatele nejdríve rozložíme na soucin. Potom citatele i jmenovatele vydelíme nejvetším spolecným delitelem. - \- P W íkl Z. v, 24x3-54x r ad 74: ~ednodušle vyraz.,. 12x- -18x eseru: = = = x +.) R ~ v, 24x3_54x - 6x.(4x2_9} 6x.(2x-3).(2x+3) 2 12x2-18x 6x. (2x- 3) 6x. (2x- 3) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2 2. Rozširování výrazu - provádíme tak, že citatele i jmenovatele násobíme týmž výrazem, kt.ery,. jemzny o, Qdul n y. P " v'v, íkl d 75 R x +y, r a : ozšlrtevyraz - vyrazem x 3x - y. " v, R esenl: - x+ y = (x+y). (x- y) x2 - y2 ;;;:; 3x 3x. (x- y) 3x2-3xy Podminky rešitelnosti: x -:;l:o, x -:;l:y. 5.6 Scítání a odcítáni lomenvch výrazu Scítáni resp. odcítání lomených výrazu provádíme tak, že nejdríve všechny výrazy ve jmenovatelích rozložíme na soucin. Potom dané lomené výrazy uvedeme na nejmenší spolecný jmenovatel, kterým je nejmenší spolecný násobek daných rozložených výrazu ve jmenovatelích, a pak secteme resp. odecteme citatele.,

2 49 x-3 5x ~ Príklad 76: Zjednodušte x x2-4 - x + Z. Rešení: x-3 5x x x-3 5x x (x-3)(x+z)+5x-x(x-z) -+ ') -= -+ -= = x-z x~-4 x+z x-2 (x-z).(x+2) x+2 (x-2)(x+2) x2 + 2x- 3x- 6+5x-x2 + 2x = 6x- 6 = 6(x-l). Podmínky: x:;z:::!: 2. (x-2)(x+2) (x- 2)(x+ 2) x2-4 P " na: ík d 77 Z Je. dnod ušte 3a + b b - 3 a + 3 ~ a - b b - 2a 2a - b Rešení: Nejmenším spolecným jmenovatelem je výraz 2a - b, protoje nutnéz druhéhovýrazu ve jmenovateli vytknout císlo (-1). 3a+b b-3 a+3 3a+b b-3 a+3 ;: + - = a - b b - Za Za - b 2a - b (-1)(2a - b) Za - b = 3a+b - b-3 - a+3 = 3a+b-(b-3)-(a+3) ;: 3a+b-b+3-a-3 = Za-b Za-b 2a-b 2a-b 2a-b = Za. Podmink:y: b * Za. 2a-b ;- 5.7 Násobení a delení lom~ných W8tÚ Lomené výrazy násobime tak, že soucin citatelu delime soucinem jmenovatelu. Pri násobení lomených výrazu se vždy snažíme nejdríve krátit. ab +b -2ab Príklad 78: Vypocítejte 4a. a +. '., ab +b -Zab = b(a + ) -Zab = -b2. Podminky: a * O, a *-1. Resenl: '~ 4a a+ l 4a ' a+1 Z Príklad 79: Zjednodušte ( ~ - ~ x+l x-v 1. ( 1- ~1. x) Rešení: ( ~-1+~ = x(x-1)-(x-1)(x+l)+x(x+l). x2-1 = x+ 1 x- V ( X2} (x+l)(x-l) x2 = x2-x-x2+1+x2+x (x+1)(x-l)_x2+1 P rlft't-rt.lru' O ' Ou.u.Jll.L8.)'.X *, X:;Z:-. (x+1)(x-l) x x Delit daný výraz výrazem je totéž, jako daný výraz násobit výrazem prevráceným. Úloha na deleníje tak prevedena na úlohu násobení. POZOR H! U podmínek nestací urcit, kdy mají smysl oba výrazy -delenec a dejitelsmysl (tj. kdy jsou jmenovatelé ruzné od nuly) ale musíme urcit i u prevráceného výrazu k výrazu, který je delitelem.

3 50 12ab2 8a2b2 Príklad 80: Vypoctete 7c : 28c2. ~ ~, 12ab2 8a2b2-12ab2 28c2 =2 4c =2. 2c = 6c. Podmínky: a, b, c * O. Resem: 7c : 28c2-7c. 8a2b2 l' 2a 1 a a Príklad 81: Zjednodušte (x + 1-1~J (x - xx~j. 1 x2 1. x(x - 1)- x2 - Rešení: x x : x - - x- = x + 1+ ~ x J. x -1 - ( ) ( ) ( - (x + 1)(x-l) + 1 x- = x x- =~ = - x. Podmínky:x * O, - x-' x2-x-x2 x- -x '-x x* '"' Príklad 82: Zjednodušte u2 +4uv+4v2 u2 + 4uv + 4v2 3v-u u+2v 4u - 12v Rešení: 3v-u = u2+4uv+4v2 4u-12v = (U+2V)2.-4(-u+3v) = u+2v 3v-u u+2v 3v-u u+2v 4u- 2v =-4(u + 2v). Podminky: u =: - 2v, u:t: 3v. -. SBÍlU(A ÚLOH 5 1.Sectete: a) (3ab2-2a2b)- (2ab2-3c?b - 1) -7c?b + 6ab2 b) 12a2b - 4ab2 - [ 17a2b - (15ab2-8a2b) + 12ab2] c) 2db - [ -(ab + 1)+a2b- (3ab- 6)] - (db + 2) d) 6b -{ - [ 2a + 3b - (3a - b) - 2b ] + a } 2. Vypocítejte:a) -8a - [7a - (6a- 5) ] b) - [ 6a- 1- (8a- 3)] - (a - 5) c)-4a - { 7a- [3a - (6a- 9)] } d) [(3a + 2) - (5a- 4)] - (2a- 9)- (-4a + 1)] 3. Vypocítejte:a) (2x + 3) (8y - 6) + (7x - 3) (4y - 1) b)(18x - 24) (y - 3) - (3x - 4)(6y - 18) c) (4x + 2) (6y - 9) + (3x + 6) (3-8y) d)(9x - 8)(4y +5) - (6y + 1O)(6x- 4) 4. Vypocítejte:a) (a + b) (a3- db + ab2- b3) b) (a - b) (d + 2ab + b2)- (a + b) (d - 2ab + b2) - Ub + 2b3 c) ab (a - b) - (a + b) (c? - b2) d) (x - 2) (x - 3) (x + 4) - (X3+ X2)

4 51 5.Vypocítejte: a) 2a - 5a [3-4 (6a - 8)] b) (2a - 5a) [3-4 (6a - 8)] c) 2a - 3 [2a - 3 (2a - 3)] d) 2a - 3 [ (Za - 3) Za - 3 ] e) (2a - 3) [ 2a - 3 (2a - 3) ] t) (2a - 3) [(Za - 3) Za - 3 ] 6. Vydelte a udejte, kdy má delení smysl: a) (64x2y- Z8xy + 16~1) : 16x b) (l00ab5-200ab4-150abj + 250ab2): (-50ab2) c) (Z4~1-8x3y+ 32xY - 64x5l) : 8x2y d) (12a4b2-6db3 + 4db4 + 2a2b2): (-Zdb2) 7. Vypocítejte pomocí vzorcu: a)(x - 4y)2 c)(-2x - 3i? b)(-a + ly? d)(3x - 3>e) (x - 3)3 t) (2b + 4)3 g) (2x - y)3 h) (3x2 y +zi 8. Vypocítejte:a) (x - 2) (2x + 3) - (2x + 4)2 + (-x - li b) (3u - 2V)2+ (3u + 2vi - 8 (u2+ ~) c) (2u - 3vi - (3u - 2V)2- (u - v) (2u + v) d) 3 (x+ y) (Zx-y) - (2x- 4yi+ (-x + yi e) (2x + 3)3 - (2x - 3)3 f) (x + zi + (x + 2i - (x - 2)2- (x - 2)3 ~-~ 9. Provedte delení a napište, kdy má smysl: a)(2x3-1x + 6-3X2): (2 + x) c)(2b3 + 5b2+ 8b + 3) : (2b + 1) b)(a6-1) : (a - 1) d)(2-3x - llx2 + 6X3) : (1 + 2x) 10. Provedte delení a napište, kdy má smysl: a)(x3-8x2+ 21x + 10): (x - 4) C)(X4- ~ - 8): (X2+ 2x - 1) 4? 'i? 2 b)(a -7a--9):(a-2) d)(5+x--3x-):(x -1) 11. Vyjádrete ze vzorce S = (a + c) v neznámou: a) v, b) a, c) c. Z 12. Vyjádrete ze vzorce S = Z (ab + bc + ae) neznámou: a) a, b) b, c) c. 13. Vyjádrete ze vzorce Q = m. e (t2 - t) neznámou: a) t, b) f2, c) m. V. ' 1 1 1, 14. YJadTete ze vzorce - = neznarnou: a) a, b) b. f a b 15. Urcete hodnotu výrazu: a2 + 5b2-3ab pro a = -, J = 3. a) ab? b 2x2-3y- - 5x Y - xy ~ x = 1, y = - 2. ) x-y (a - b)(a + b)- Za2-3b2 pro a = -1, b = -2. c) 2a - 3b

5 Rozložte na soucin: a) 8X2-24))' + 4))'2 b) a4- a3 c) 12a2b2-10ab + 2a3 b d) 14x)/ - 7x2i e) 1Zx3-6X2 + 3x t) x4i + Z:xy3-3i g) -12u3v - 9U2V2+ 6U3V3 h) 144a3b5e + 24a2b2e4-60a4b5e3 17. Rozložte na soucin: a) 3 (x + 2) + x (x + 2) b) 5x (3y + 4) - 2 (4 + 3y) c)6x(x-y)+ 5y(y-x) 18. Rozložte na soucin: a) 7a ab - 2b b) 2x + 6:xy+ 3z + 9yz 3, c)a- +lí+a+ 1 d) 3x (Zy + 7z) + Zy + 7z e) -9z + 4y + 3x (9z - 4y) f)4(6x-l)-(1-6x) d) a4+ a3 - a- e) 4x - «J- ax + 4y f) 4m + 6mx + On+ 15nx g) a (b - e) - b + C h) Za (3b + 2) - Z - 3h i) 4x - 5z (y - 4x) - Y g)7z-z1 +6b-2bz h) 2X3- ~ - 12x + 6 i) :xy- 5x - y + 5 } - ~í,,- ji. 19. Rozložte na soucin:, a)x" - 25., b) 49 -, 16y-, c) -36a b- 20. Rozložte na soucin: a) 4x2 + 12x + 9 ') b) 81 - O8x + 36x-,, ') c) x-y + 2xyz + z- d) (4x - 7i ~ Y' e) x3y - 4:xy3 f) (5x - 3)2-1 d) 16-56ab + 49db2 e) -9~ - 24.xy- 16i t) -49a ab - 81h2 - A g ) a = 1 h)i-l i) X2 + 2:xy + i - Z2 g) d h) -512x3 + 27/ i) 8X3+ 27/ 21. Rozložte na soucin: a) 9X2-4/l c) a4-64 b) 1 - a4b2 d)(x + 3i - (x + 2)2 22. Urcete, kdy mají dané lomenné výrazy smysl: a) x+2 d) 4-x 3x x2-6x b) 4x-1 Zx + 7 e). x x2 c) x f)(x+y)(x-zy) (x -l)(x+ Z) x2-2x Zkratte výrazy a udejte, kdy mají smysl: a) 3X2, d) 2x-lO 6x-15x- x2 -lox+ 25, 2 r-~ x-:xy-k+~ b) e) 6y- Zx x2 -l6x+64 c) x: - 64 f) x3 + 3x2+ 6x + 8 x- +k X2+4x+4.,, e) x- - J - 8y - 16 f)x2-12x / 1 g) x2-1 3x h) x x+3 i) 3x2 + 2 g) 12:xy-8x-y 6:xy-4x2y, h) ae2 +be2-4a - 4b ae+2a+be+zb i) Za a3-9a2 + 27a - 27

6 Dané výrazy rozširte výrazem uvedeným v závorce a urcete podminky, kdy mají dané výrazy a jejich úpravy smysl: 2 x-y a) - (x) d) - % x+y (-x-y) 6x 3x b) - (-1) e) 2-x 2x-2 (2x+ 2) -7x 1Ox c) - (-2x) f) - 2x-1 7y (2x-y) 25. Rozširte výrazy tak, aby v jejich jmenovateli byl výraz 24x2/Z4, pro x, y, z * o. 2 ) b ) 6:\Jl 24.xyz a - )- c - d) 2 3.xyz 4Z3 24x2y2z2 x Doplnte tak, aby platila rovnost: a) x - 1 = - 5 d)-= x+l x2+2x+l b) 18x = 3 e) x+ 3 = x-4 x2-8x+16, t o-o c) x2 = x3 x2y f)~= x + y y2 - x2 27. Vypocítejte a udejte podminky, kdy mají dané výrazy a jejich úpravy smysl: 2x3x 21 x x x a)x c)-+- e) x 2x 3a 2a a aa 11 12xx2 b) -+- d) -+--:;- f) -:; x x- a- a3 a4 28. Zjednodušte a urcete podminky, kdy mají dané výrazy a provedené úpravy smysl: x + y x - y a + 1 b - 1 5a2-3a + 2 9a - 2 a)-+- c)--- e) 2y y ac bc a2b 2ab x- y x+y x+4y 2x- y 2x+ y 3y-x y2 -x2 b)--- d) f) y 5y :\Jl2 x2y x3y x2y2 x3y2 29. Vypocítejte a urcete podmínky platnosti: 2x 3-x x-7 c)? +? +., 2x (x- - 1) 2-2x- a)~- 4x +~ x+2 1O+5x 3x+6 x- x 1 b) :,- x x- x-xd) ~-~- 30y? 3y- 1 3y yr2 e) +- s (r - s) s - r f) a - 2b - 2a - b - 2a2 a+b b-a a2 -b2 s 30. Zjednodušte a stanovte podmínky: x2 - y2 2x a).,.,.- x- +2:\Jl+y- y-x? ~ d) x-. x- ~ 2x+ 1- Y x +y + 1 x- - 2x+ 1