3.cvičení 1. Bodem A kolmici: Zvolím bod X p k(a, r 1 = XA ), k p = {X, Y } u(x, r 1 = XA ), v(y, r 1 = XA ) u v = {A, R} q = AR Bodem A rovnoběžku: Ještě jednu kolmici. Tři úhly, které je možno rozdělit eukleidovsky na tři shodné části: 90, 180, 45 1
3. Každý bod posloupnosti je buď jeden z množiny {[0, 0], [1, 0]} nebo jsme ho sestrojili jako: Průsečík dvou přímek určených body z posloupnosti. Průsečík přímky určené body z posloupnosti a kružnice určené středem a bodem na kružnici. Průsečík dvou kružnic určených středem a bodem na kružnici. Sestrojíme posloupnost [1, 0], [0, 0], [, 0] a [0, 0], [1, 0], [ 1, 0], [0, 3] 4. Proč je pravidelný 8738-úhelník eukleidovsky sestrojitelný? Gaussova-Wantzelova věta: Pravidelný n-úhelník je eukleidovsky sestrojitelný, právě když buďto n = 4 k (k = 0, 1,..., anebo n = p 1 p m k (k = 0, 1,...), kde p 1, p,... p m jsou Fermatova prvočísla ( a + 1). 8738 = 4369 = 17 57 = ( 4 + 1) ( 8 + 1) 5. Pravidelný pětiúhelník - str. 135
6. Konstrukce metodou množin bodů dané vlastnosti-str. 83 a 13 Neznámé body - prvky průniku dvou množin všech bodů dané vlastnosti. První z množin - vyloučíme jednu z podmínek zadání (aby body vyhovující zbývajícím podmínkám tvořily dobře popsatelnou množinu všech bodů dané vlastnosti). Obdobně určíme i druhou množinu všech bodů dané vlastnosti. Průnik - splňuje všechny podmínky ze zadání. 7. Sestrojte kružnici, která prochází daným bodem A a dotýká se dané přímky t v bodě T. Množinu M 1 středů kružnic, pro které je přímka t tečnou tvoří kolmice k přímce t, procházející bodem T. Množinou M jsou všechny body, které mají od bodů T a A stejnou vzdálenost, tj. osa úsečky T A. Středy hledaných kružnic leží v průniku množin M 1 a M. Poloměr je určen vzdáleností středu a dotykového bodu. Konstrukce: 1. q; q t; T q. o; o = {X E ; AX = T X } 3. S; S o q 4. k; k(s; r = AT ) Důkaz: Diskuse: 1 řešení - bod A / t, 0 řešení - bod A t 3
8. Sestrojte trojúhelník, je-li dána velikost jedné jeho strany (AB), příslušné výšky v c a příslušné těžnice t c. Umístíme stranu AB. Bod C je vzdálen od středu úsečky AB o velikost těžnice t c. Množinou M 1 je kružnice se středem ve středu úsečky AB a poloměrem t c. Množinou M jsou všechny body, které mají od AB vzdálenost v c, rovnoběžky s AB ve vzdálenosti v c. Bod C leží v průniku množin M 1 a M. Konstrukce: 1. AB;. Q; Q = {X E ; X, AB = v c } 3. S c ; S c AB; S c A = S c B (střed úsečky) 4. k; k(s c ; r = t a ) 5. C C k q 6. ABC Důkaz: C leží na kružnici k(s c ; r = t a ), vzdálenost S c C = t c ; C leží na rovnoběžce q AB ve vzdálenosti v c, tj. výška trojúhelníka je v c. Diskuse: 0,,4 řešení 4
9. - jako 10. 10. Je dán ostrý úhel AV B. Sestrojte kružnici k tak, aby se dotýkala obou ramen daného úhlu a procházela bodem B. Konstrukce: 1. q; q V B; B q. o; o = {X AV B; X, V A = X, V B } 3. S; S o q 4. k; k(s; r = SB ) 11. Je dána přímka p, bod A / p a úsečka délky r. Sestrojte kružnici k tak, aby měla poloměr r, procházela bodem A a dotýkala se přímky p. Konstrukce: 1. Q; Q = {X E ; X, p = r} = {q, q }. u; u(a; r) 3. S; S Q u = {S, S } 4. k; k(s; r) 5
1. Jsou dány dvě nesoustředné kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k (S, r ). Sestrojte kružnici k tak, aby měla daný poloměr r a dotýkala se vně obou daných kružnic. Množinu M 1 tvoří středy všech kružnic, které se dotýkají kružnice k 1 vně a mají poloměr r leží na kružnici k 1 (S 1, r 1 + r). Množinu M tvoří středy všech kružnic, které se dotýkají kružnice k vně a mají poloměr r leží na kružnici k (S, r + r). Středy kružnic, které se dotýkají obou kružnic leží v průniku kružnic k 1 a k. 13. Sestrojte kružnici, která se dotýká přímek a, b, c takových, že a b a c je s oběma různoběžná. Množinou M 1 středů kružnic, které se dotýkají přímek a a c je sjednocení všech os úhlů určených přímkami a, c. Množinou M středů kružnic, které se dotýkají přímek b a c je sjednocení všech os úhlů určených přímkami b, c. Středy kružnic ze zadání úlohy leží v průniku množin M 1 M. Poloměr kružnice najdeme jako vzdálenost středu od libovolné z přímek a, b, c 6
14. Sestrojte kružnici, která se dotýká dvou soustředných kružnic k 1, k a přímky p. Množina středů všech kružnic, které se dotýkají soustředných kružnic k 1 (S, r 1 ) a k (S, r ) je dvojice kružnic u(s, r 1 +r ) a u (S, r r 1 ). Zároveň víme, že kružnice, jejichž středy leží na u, mají poloměr r = r r 1 a kružnice, jejichž středy leží na u, mají poloměr r = r 1 +r. Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají přímky p a mají daný poloměr r resp. r jsou rovnoběžky p, q resp. p, q ve vzdálenosti r resp. r. Středy kružnic, které se dotýkají obou kružnic a přímky p leží v průniku kružnice u a rovnoběžek p, q nebo v průniku kružnice u a rovnoběžek p, q. 7
15. Sestrojte kružnici, která se dotýká dvou rovnoběžek p, q a prochází bodem A. 8