Kvntový prlelismus kvntové počítče Limity v konstrukci počítčů Mooreův zákon říká, že přiližně kždých 8 měsíců se zdvojnásouje počet trnzistorů, které tvoří jeden čip dnes se jich n ěžném čipu tísní ž 3 milionů dnešní,3 mikronová technologie umožňuje propojovt trnzistory šířky 7nm ovykle se povžuje,2 mikronová hrnice z mez v klsické konstrukci počítčů mělo y ýt dosženo kolem roku 22 ude dosžen hrnice velikosti jednotlivých molekul tomů, tj. rozměrů kolem,-,5 nm N částicové úrovni přestávjí pltit jindy ěžné fyzikální zákony mkroskopického svět n svém význmu zčíná nývt kvntová mechnik Kvntová mechnik Kvntový stv Kvntový stv předstvuje v kvntové mechnice reprezentci fyzikální relity, která má dvě části: část klsického svět, která odpovídá tomu, jk se n tento svět díváme jký jej registrujeme kvntový systém nývá při měření (npříkld energetická hldin elektronu v tomu vodíku neo spin elektronu) pouze diskrétní hodnoty odpovídjící skokům v celkové energii dného systému druhou součástí je kvntový svět, který není přímo přístupný můžeme z něj všk pomocí ktu měření extrhovt určité informce n kvntové úrovni mohou sledovné veličiny nývt nekonečně mnoho hodnot odpovídjících nekonečně mnoho kvntovým stvům Existuje zásdní rozdíl mezi systémem, n němž ylo provedeno měření tkovým, který je izolován od okolí spojitě se vyvíjí Spojitý deterministický vývoj kvntového systému v kvntové mechnice popisuje Schrödingerov vlnová rovnice, jejímž řešením je vlnová funkce (ϕ i ) odpovídjící dnému kvntovému systému kvntový systém se všk může skládt z více vlnových funkcí, o kterých říkáme, že jsou v superpozici lineární kominci kvntový stv () je vyjádřen jko součet několik vlnových funkcí: Dircov notce vektoru: x r x i ϕ i i - -
Kždému stvu přísluší komplexní hodnot tzv. mplitud prvděpodonosti ( i ) jkým příspěvkem se podílí kždá vlnová funkce (ϕ i ) n celkovém stvu druhá mocnin její solutní hodnoty udává, s jkou prvděpodoností ude změřen kždý z možných stvů Kvntový it i i 2 Jk můžeme z kvntového systému získt určitou informci? Měření většinou provádíme tk, že vyšleme foton ke zkoumnému systému Foton v podoě změny své energie unáší ze systému informci, kterou zpětně detekujeme Tková interkce fotonu s kvntovým systémem má všk z následek tzv. kolps (redukci) vlnové funkce, která náhodně přejde do jednoho z možných stvů složeného systému U klsických počítčů jsme zvyklí reprezentovt it npěťovými úrovněmi, které dosttečně odlišují od U kvntových itů quit (quntun it) je možné použít některý z dvoustvových kvntových systémů jko je npříkld spin částice lze si předstvit, že ity zkódujeme pomocí jednoho druhého spinového stvu kromě klsických stvů musíme uvžovt le i liovolné superpozice stvu + prvděpodonost zstoupení jednotlivých stvů je dán koeficienty kvntový it tk může existovt součsně ve stvu i je reprezentován jko vektor směřující k severnímu pólu, k jižnímu z úhlu, který vektor svírá se svislou osou je možné vyčíst poměrné zstoupení ve stvovém vektoru Kvntový it (quit) existuje tedy ve třech stvech logické, logické superpozice oou Superpozice jednoho quitu je dán dvěm numerickými koeficinty N-itovému kvntovému stvu jich odpovídá 2 N ve všech možných stvech lze provádět prlelně příslušné operce - 2 -
quit: + 2 quity - direktní tenzorový součin více stvů ( ) n-itový kvntový registr 2 n mplitud zároveň Propletené quity Předpokládli jsme, že vždy jsou n soě jednotlivé quity zcel nezávislé Můžeme připrvit registr, jenž nelze vyjádřit jko tenzorový součin dílčích quitů říkáme, že jsou quity propleteny (entngled) propletení je stv, ve kterém jsou quity n soě v nějkém smyslu závislé (jejich stvy jsou přes určitý triut korelovány) konkrétně provedením měření n jednom quitu víme (již ez měření), jká je hodnot druhého quitu Možné přípdy pro propletené quity lze vyjádřit pomocí prvděpodoností jko: ) ( ) ( ) ( ) ( p p p p Propletení dvou quitů lze pk vyjádřit: ( ) ( ) 2 2 + + Měřením se propletení rozpdá o quity nývjí klsických hodnot - 3 -
Kvntová interference Mchův-Zehnderův interferometr zdrojem vygenerovný foton má možnost projít více (dvěmi) experimentálními cestmi přístroj se skládá ze zdroje fotonů světl, dvou klsických zrcdel, dvou polopropustných zrcdel (které polovinu intenzity světl propouští druhou odráží) dvou detektorů Polopropustná zrcdl jsou nvržen tk, že pokud se n nich pprsek láme, pk se fáze jeho vlny posune o /4 vlnové délky (λ) Pokud vyšleme ze zdroje spojité světlo, je rozděleno prvním polopropustným zrcdlem Z n dvě části Část, která prochází spodní větví je posunut o λ/4; při průchodu polopropustným zrcdlem Z 2 ve směru detektoru D 2 je to již o λ/2 V této chvíli le potká neposunutou vlnu světl z horní větve V tkovém přípdě dochází ke klsické interferenci dvou vln Kvůli posunutí jedné vlny o λ/2 je tto interference destruktivní n detektoru D2 nic nenměříme Druhá část rozděleného světl se nopk v oou větvích posune po jednom odrzu shodně o λ/4 z zrcdlem Z2 dojde ke konstruktivní interferenci, tkže celou intenzitu zdrojového světl registrujeme jen n detektoru D Co se všk stne, vyšleme-li z generátoru pouze jediný foton? N předchozím výsledku se nic nemění foton vždy registrujeme v detektoru D to je možné vysvětlit pouze jediným způsoem - foton musel projít oěm rmeny součsně n zrcdle Z2 interferovt sám se seou - ve směru detektoru D konstruktivně ve směru D2 destruktivně - 4 -
V přípdě, že le odstrníme zrcdlo Z 2, nemá elektron n čem interferovt my jej po odrze n zrcdle Z nměříme se stejnou prvděpodoností uď n detektoru D neo D 2 Tento experiment doře potvrzuje nedělitelnou vlstnost kvntových systémů - jejich vlnově-částicovou dulitu S klsickým myšlením ychom chtěli mezi oěmi povhmi částic rozlišovt, v kvntově mechnickém světě to všk není možné Dulizmus všk uvžujeme do chvíle kolpsu vlnové funkce potom si již musíme vyrt jen jednu možnost Interference má v kvntovém počítání rozhodující význm při získávání výsledku z kvntového registru Podoně jko se elektronové vlny nvzájem interferenčně skládly, dochází tké mezi jednotlivými quity registru ke vzájemným interferenčním půsoením, což má z následek úprvy mplitud prvděpodoností stvů v superpozici To umožňuje příznivé stvy (správná řešení) zvýrznit (konstruktivní interference) nepříznivé potlčit (destruktivní interference) Teleportce quitu Heisenergův princip neurčitosti nedovoluje změřit přesně všechny chrkteristiky kvntového systému součsně neylo y možné získt informci o celém kvntovém systému před tím, než ychom jej přenesli. Teleportce stvu kvntového systému s využitím fenoménu propletení kvntových stvů Fyzikálně mjí propletené částice korelován nějký triut, který se při jejich vzniku zchovává (spin neo polrizce) Jestliže má jedn částice spin nhoru, pk druhá má s jistotou spin dolů nopk Při měření n jedné částici dojde ke kolpsu vlnové funkce systému v celém prostoru k přechodu do jednoho z možných vlstních stvů Tím se jednoznčně určí, která z částic má spin dolů která nhoru Je s podivem, že lze ez přítomnosti výměnných částic ovlivňovt částici, která je tře n opčné strně vesmíru Tento prolém yl později nzván EPR (Alert Einstein, Boris Podolsky, Nthn Rosen) prdox Fyzikové dokázli, že oě částice nývjí hodnoty dného triutu ž v momentě měření náhodného přechodu do vlstního stvu korelovného se stvem druhé částice stvu propletení se tké jink říká EPR stv neo EPR efekt Předpokládejme, že Alice má nějkou částici A v neznámém kvntovém stvu chce tento stv poslt Boovi Víme, že změřit částici nemůže, protože y tím křehký kvntový stv porušil. Jediné co ji zývá, je stv teleportovt K tomu le ude muset využít triku s propletením stvů částic Nejprve si Alice Bo připrví propletený EPR pár dvou částic B C Alice si z tohoto páru ponechá částici B, Boovi zšle částici C - 5 -
Alice pk spojí svoji částici A propletený pár do systému tří částic K provedení teleportce musí nyní Alice provést měření n sloučeném stvu oou částic (A B) Protože jsou všk částice propleteny, změní se přitom projekcí i stv Boovy částice Alice svým měřením prvních dvou quitů neodkryl nic konkrétního o stvu částice A Místo toho pouze odhlil, kterou kominci sloučených stvů všech tři částic u see má V tuto chvíli má u see Bo jeden ze čtyř možných teleportovných stvů Pouze v jednom přípdě jsou všk správně zchovány mplitudy, osttní výsledky jsou různě rotovány Alice s Boem spojí klsickým komunikčním knálem sdělí mu, jký výsledek nměřil Bo tuto klsickou (2-itovou) informci použije k tomu, y n stv částice C plikovl příslušnou rotci Shrnutí kvntové mechniky Nejdůležitější pozntky kvntové mechniky, které se upltňují v kvntové informtice Superpozice Kvntový stv se může ncházet v superpozici, která je součtem příspěvků více vlstních stvů, které odpovídjí vlstním vlnovým funkcím umožňuje msivní kvntový prlelismus, který je příčinou exponenciálního zrychlení některých lgoritmů Interference umožňuje měnit mplitudy prvděpodoností vlstních stvů tk, že stv odpovídjící řešení má co nejvyšší klsickou prvděpodonost následného změření Propletení vlstnost kvntových systémů, které mohou existovt ve stvu, jenž nelze vyjádřit jko tenzorový součin jeho složek propletení má nelokální povhu využívá se npříkld u kvntové teleportce neo u superhustého kódování - 6 -
Kvntová informtik Kvntové ovody Ay ylo možné kvntový systém udržet v nenrušeném stvu (koherenci), je zpotřeí jej (v ideálním přípdě) zcel izolovt od okolí Tkovému systému tím znemožníme, y si s okolím vyměňovl npříkld teplo neo s ním jink přímo intergovl Lnduerův princip nám říká, že ke smzání jednoho itu informce z pměti je zpotřeí ze systému vyvést jeden it entropie To se ovykle projevuje vyzářením tepl do okolí Jelikož je při svém vývoji kvntový systém izolován od okolí, nemůže z něj žádná informce volně unikt V klsickém počítči, složeném z klsických rn jko je AND, NAND či OR, není vždy reverziilit mezi vstupy výstupy zchován Npříkld u klsického výpočtu víme, že lze liovolnou logickou funkci kominčního ovodu relizovt pouze použitím univerzální rány NAND Tto rán má le pro použití u kvntových počítčů tu nevýhodu, že z výstupů nelze jednoznčně určit kominci vstupů - rán NAND tedy není reverziilní V tkovém procesu se ztrácí část informce systém se tím zhřívá U kvntových počítčů le můžeme používt jen ty rány, které podmínku reverziility ( tím i unitárnosti opercí) splňují Jko první nás si npdne rán NOT Podoně jsou n tom i rány CNOT CCNOT Bránové operce n quitech se v kvntové informtice ovykle zpisují pomocí kvntových ovodů, které se v čse vyvíjí zlev doprv kždá vodorovná hrn (drát) odpovídá jednomu quitu - 7 -
rán CNOT CCNOT Tyto rány mjí jko kontrolní quit. To znmená, že pokud jsou npříkld u rány CCNOT o quity x y rovny, provede se operce n quitu z Jinou důležitou kvntovou ránou je Fredkinov rán prohodí druhý třetí it v přípdě, že první it je i zde je podmíněno provedení operce stvem určitého itu podmíněná kvntové rány jedná se o univerzální ránu může relizovt liovolný kominční ovod relizuje funkci: x, y, z x, xz xy, xy xz Dlší užitečnou ránou je SWAP spolu prohzuje 2 quity provádí tk funkci: x, y y, x Z univerzálních rn je možné konstruovt ovody různých funkcí složitostí npř. 2-quitovou sčítčku (2.quit oshuje sumu 3. přenos) x, y, x, x y, xy Kvntové lgoritmy Kvntová Fourierov trnsformce Fourierov trnsformce mpuje funkce v čsové doméně n funkce frekvenčního spektr Její hlvní vlstností z pohledu kvntové mechniky je, že mezi quity vyvolává kvntovou interferenci, která je uď konstruktivní neo destruktivní Konstruktivní interference v signálu zvýrzňuje jisté chrkteristiky (frekvence) nd chrkteristikmi jinými - 8 -
Kryptogrfie Jedním ze zákldních lgoritmů je tzv. One-time pd Pokud chtějí dvě strny (Alice Bo) komunikovt, je zpotřeí se předtím sejít dohodnout si (náhodně vygenerovt) několik sd tjných klíčů, které udou při komunikci potře Tento druh lgoritmu je zjímvý tím, že u něj lze z předpokldu kvlitního zdroje klíčů dokázt tzv. nepodmíněnou ezpečnost, to znmená odolnost vůči luštění ez ohledu n výpočetní sílu útočník Nevýhodou tohoto lgoritmu je, že klíč je možné použít jen jednou - vzniká zde tedy prolém s ezpečným přenosem klíče Kryptosystém RSA (který v roce 978 vymysleli Ronld Rivest, Adi Shmir Leonrd Adlemnn) je zložen n prolému fktorizce velkých čísel (rozkldu n prvočinitele ovykle velká prvočísl) Nejprve musí přijímjící strn (v tomto přípdě Bo) vygenerovt pár klíčů, z nichž jeden je tzv. veřejný klíč, který je k dispozici všem Bo jej sdělí veřejným knálem Alici Alice tímto klíčem zprávu zšifruje V této chvíli přichází n řdu druhý klíč - privátní, který Bo nikomu nesdělil Alice pošle zšifrovnou zprávu Boovi, který si ji svým privátním klíčem dešifruje Ay to všk ylo možné, je nutné, y yly o klíčem určitým způsoem propojeny Jk si s prolomením metody RSA pordí kvntový počítč? může totiž využít kvntového prlelismu npř. lgoritmus Peter Shor n fktorizci velkých celých čísel snižuje exponenciální složitost (klsickým způsoem) n pouze polynomální Kvntová kryptogrfie npř. změření se n ezpečný přenos klíče použití klsického lgoritmu (One-time pd) BB84 protokol přenos pomocí polrizce fotonů při odposlouchávání dojde ke změně polrizce odhlení - 9 -
Kvntové procesory počítče Výhod kvntového počítče jkákoliv operce s quitem se vykoná součsně s oěmi jeho hypotetickými hodnotmi s rostoucím počtem quitů se exponenciálně zvětšuje tzv. kvntový prlelismus některé druhy výpočtů lze tím řádově urychlit Nevýhod kvntového počítče pokud je quiit ve stvu superpozice, je stilní jkákoliv interkce s okolím měření, detekce stvu má le z následek náhodný rozpd do jednoho ze stvů prvděpodonost stvu je dán 2 2 Jk zjistit správné heslo, jestliže víme, že je osženo ve známé množině 9 hesel? klsický počítč (Von Neumnn) sekvenční vkládání 9 hesel (, 2, 9 ) čekání n ojevení správného hesl čsově velmi náročné více počítčů nstvení 9 počítčů n jedno heslo výsledek znám okmžitě, technicky neproveditelné kvntový počítč stčí jeden kvntový počítč s prlelně uloženou mticí všech 9 hesel (superpozice) výsledek znám okmžitě, le ztím jen teoreticky Kvntové procesory Vědci se snží n ázi dnešních technologií konstruovt první ovldtelné kvntové systémy, které y ylo možno lespoň vzdáleně povžovt z předchůdce kvntových počítčů Při konstrukci udeme především chtít y yl náš procesor dosttečně jednoduchý n ovládání y yl zároveň dosttečně (dlouho) izolovtelný od okolí y yl schopen pojmout dosttečný ojem informcí Iontová pst Uvěznění iontů v prostoru tk, y co nejméně vzájemně půsoily s okolím, tím prodloužily dou koherence systému Aprtur se skládá ze čtyř podélných elektrod uvězňujících ionty ve směrech x y dvou menších, které znemožňují iontům pohy mimo prturu v ose z Nyní máme několik iontů připrveno k provádění opercí - počet uvězněných iontů (mx. desítky) odpovídá šířce kvntového registru Operce se provádí změřením lseru (pulsem) n iont, který koherentně změní stv iontu - -
Čtení se provádí tk, že mu lserem dodáme energii, která způsoí přechod mezi stvem vyšším vyuzeným stvem, který není stilní rychle se vrcí n Pokud yl hodnot quitu právě, pk iont vyzáří příslušný foton, kdežto quit ve stvu zůstne temný Sliny počet iontů je omezen si n stovce technik pokusu je velmi náročná (vkuum, chlzení, ovládání lserem) dekoherující ionty nelze vrcet do koherentního stvu Nukleární mgnetická rezonnce NMR U uvězněných iontů jsme ovlivňovli pokždé jen jeden quit měřili jeho vlstní stv NMR místo toho využívá velkého počtu jedno-molekulových kvntových počítčů, jejichž měřením održíme střední hodnotu výsledku Tyto molekuly tvoří kplinu, která je uzvřen v nádoě oshující si 22 molekul NMR používá ke kódování quitů spinové stvy jder tomů, které jsou elektronovým mrkem doře od okolí izolovány smotné jádro zírá v porovnání s celým tomem minimální ojem Kždé jádro nvíc tvoří určitý mgnetický dipól chová se tk jko mlý mgnet Pokud n kplinu plikujeme vnější mgnetické pole, nství se spiny ve dvou možných směrech: prlelním neo nti-prlelním vzhledem k orientci pole. To odpovídá hodnotám quitu Pokud k vnějšímu poli přidáme půsoení pomocí elektromgnetického pole s rdiovými frekvencemi, pk je možné stvy spinů jemně uprvovt vytvářet tk superpozice stvů Protože nikdo není schopen ovlivňovt ni měřit stvy jednotlivých jder, je zpotřeí měřit průměrný spinový stv v celém ojemu kpliny Do tohoto průměrného stvu vlstně kódujeme jednotlivé quity, jejichž stvy ovládáme externími poli Různé spinové stvy vyvolávjí po odečtu pomocí NMR různá NMR-spektr, která prozrzují stv quitů Pro logické operce zhrnující více quitů, je zpotřeí měnit energie tomů tk, y v molekulách docházelo k tzv. spinovým vzám (spin-spin coupling), které umožňují ovlivňovt sousední tomy tím implementovt npříkld operci CNOT - -
Nukleární mgnetická rezonnce omezení velikost použitelných molekul tím i složitost možných opercí je technologicky omezen technologie je velmi šptně škálovtelná - ojem kpliny roste exponenciálně s větším počtem quitů (několik desítek quitů je zřejmě mximum) otížná příprv počátečního stvu Budoucnost kvntových počítčů Přestože se zdá, že součsné technologické prolémy ztím nedovolují plně rozvinout potenciál kvntové informtiky, je možné s ndějí prohlásit, že udoucnost kvntových počítčů vypdá slině Efekt tzv. kvntového přízrku (quntum mirge) n měděné destičce je umístěno ve tvru elipsy 36 tomů koltu tvořících tzv. kvntovou hrdu (quntum corrl) Tto hrd půsoí n elektronová mrčn v destičce mědi uvnitř elipsy tomů koltu Když yl do jednoho ohnisk elipsy umístěn dlší tom koltu, zčl intergovt s vlnmi elektronů v destičce Stejně le elektrony půsoily n okolí v druhém ohnisku elipsy vytvářely tm jkousi kopii (přízrk) tomu koltu o třetinové intenzitě, přestože tm žádný neyl předtím umístěn Tento efekt může mít v principu vliv n přenos informce mezi dvěm místy (npříkld v kvntovém procesoru) - 2 -