..7 Ronoměný pohyb po kužnici II Předpoklady: 6 Pedagogická poznámka: Obsah hodiny je hodně nadnesený. Pokud necháte žáky počítat samostatně, yjde na dě hodiny. Úodní ozbo nedopoučuji příliš uychloat. Při nomálním postupu bude úspěchem dostat se k příkladu 6. Pedagogická poznámka: Následující příklad použíám na znamínkoou písemku. Hlásím to dopředu, snažím se žáky donutit k tomu, aby si i této hodině pamatoali ýznam slo peioda a fekence (mnozí to pletou). Př. : Uči peiodu, fekenci a úhloou ychlost kolotoče, kteý se během 4 sekund otočil třikát. 4 Peioda: doba na jedno otočení T s 4,7s. Fekence: počet otáček za sekundu f Hz,Hz. 4 ϕ Úhloá ychlost: ω ad/s,ad/s. 4 Kolotoč se točí s peiodou 4,7 s, fekencí, Hz a úhloou ychlostí, ad/s. Pedagogická poznámka: Myslím, že nejětším přínosem kuhoého pohybu je analogie s posuným pohybem. Žáci nemají tendence si tímto způsobem uspořádáat infomace sami, je nutné jim ztahy připomínat a tat na tom, aby je použíali. Nomální ychlost otáčejících se bodů nazýáme obodoá ychlost (i když nejde o bod na obodu kotouče). Vztah mezi obodoou a úhloou ychlostí: s s s ϕ ϕ ( ϕ ϕ ) ϕ ω Můžeme si doplnit tabulku sonání běžných a úhloých eličin: Sonáme si eličiny po onoměný posuný pohyb a onoměný pohyb po kužnici: posuný pohyb Pojítko pohyb po kužnici m s ϕ ϕ ad dáha s [ ] ychlost [ m/s ] úhel [ ] úhloá ychlost [ ad/s ] s ω ω ϕ t t Vidíme, že každá eličina po posuný pohyb má odpoídající úhloou eličinu. Víme, jak ypadaly onice po onoměný pohyb: konstanta, s s + t. Jak budou ypadat odpoídající onice po onoměný pohyb po kužnici? Ronoměný pohyb úhloá ychlost se nemůže měnit ω konstanta.
Jak bude přibýat úhel otočení? Stejná úhloá ychlost úhel onoměně oste s časem: ϕ ω t (při započítání počátečního úhlu ϕ : ϕ ϕ + ωt ). Snadno můžeme sestait tabulku zoců po onoměný pohyb po kužnici: onoměný pohyb onoměný pohyb po kužnici konstanta ω konstanta s s + t ϕ ϕ + ωt Dodatek: Předchozí ýsledek snadno získáme i pomocí matematické úpay onice: s s + t (dosadíme s ϕ, s ϕ, ω ) ϕ ϕ + ω t / : ϕ ϕ + ω t Pedagogická poznámka: U následujícího příkladu je dobé dát pozo a příliš se nezdžoat. I když je příklad jednoduchý, použitá písmenka jsou po žáky přece jenom noá a mají z nich tochu stach. Většinou příklad skoo ihned řeším u tabule. Páce na dalších příkladech už je samostatnější. Př. : Plotna haddisku u počítačoého seeu se otáčí ychlostí 7 otáček za minutu. Uči, jakou úhloou ychlostí se otáčí. Jakou ychlostí se pohybuje bod na jejím kaji? See běží celý ok bez jediného ypnutí. Uči, jaký úhel a jakou zdálenost uazí za tuto dobu bod na jejím okaji. Půmě plotny je 9,5 cm. ϕ 7 ot 44π ad, t min 6s, d 9, 5cm, 475 m, ω?,? t ok 65 4 6 s 56 s ϕ? s? ϕ 44π ω ad/s 4 π ad/s 754 ad/s 6 ω 754, 475 m/s 5,8 m/s 9 km/h ϕ ωt 754 56 ad,8 ad s t nebo jinak: 9 5,8 56 m, m s ϕ 9 6,8, 475 m, m, km. Dodatek: Po poonání - střední zdálenost Země-Měsíc je přibližně 85 km. Kajní bod haddisku ji za ok stihne uazit téměř třikát. Dodatek: Oboská ychlost, kteou se disky otáčí, samozřejmě způsobuje technické poblémy, namáhá použité mateiály a zyšuje spotřebu enegie, ale umožňuje ychlejší čtení dat. Př. : Vysětli, jakým způsobem měří cyklopočítač ujetou zdálenost a ychlost kola. Poč se do něj musí zadáat půmě (obod) kola? Jak bychom měli údaj upait, aby ycházely ětší ýsledky než skutečně ujeté? Pní část čidla se přimontuje na idlici kola, duhá na dát e ýpletu kola. Čidlo tak zaznamená každé otočení kola (měří lastně úhel celých otáčkách) po ýpočet
zdálenosti (ychlosti) musí počítač znát polomě kola (zoce ω, s ϕ ) musíme zadat polomě kola (nebo jeho obod). Pokud zadáme ětší polomě než skutečný, cyklopočítač ypočte ětší hodnoty. Př. 4: Dlouhohající gamofonoá deska (LP) se přeháá ychlostí ot/min. Jakou úhloou ychlostí se deska otáčí? Uči ychlost, kteou se pohybuje přenoska zhledem k desce, když přeháá písničku na samém začátku (kaji) desky e zdálenosti 4 cm od jejího středu. Jak dlouhá je spiála, na kteé je nahána písnička o délce :4 minuty (změnu poloměu během písničky zanedbej). Kolikát se deska během přehání otočí? Jakou ychlostí se přenoska pohybuje, pokud je písnička poslední na staně a polomě otáčení klesne na 8 cm? Kdy je záznam kalitnější? ϕ ot ot ad, t min 6s, 4cm,4m, ω?,?, t : 4 min 6s, s?, 8cm,8m, s?,? ω ϕ ad/s,5ad/s 6 ω,5,4 m/s, 49m/s s t, 49 6 m 78m ω,5,8m/s, 8m/s s t,8 6m 45m 56 ϕ ωt,5 6ad 56ad n ot 89ot Kalitnější záznam je na začátku desky. Dáha má ětší polomě, přenoska se pohybuje zhledem k desce ychleji a poto mohou být dážce zaznamenány ětší podobnosti. Pedagogická poznámka: Můžete nahnout žákům, aby zkusili ypočítat, jak šioké mohou být na desce dážky. Rychlost otáčení je šak učena i peiodou a fekencí musí existoat zoec po ýpočet úhloé ychlosti z těchto dou eličin. Př. 5: Najdi ztah mezi peiodou, fekencí a úhloou ychlostí. Dosadíme do zoce ω ϕ. t Peioda je doba nutná k otočení o jednu otáčku ϕ, t T. ϕ ω f (použili jsme zoec f T T ). Po peiodu, fekenci a úhloou ychlost platí ztah ω f. T Předchozí ztah potzuje blízký ztah mezi fekencí a úhloou ychlostí, kteého jsme si šimli minulé hodině: fekence udáá počet otáček (tedy změnu úhlu) za sekundu (za čas) fekence yjadřuje změnu úhlu za změnu času (to samé co úhloá ychlost jen jiných jednotkách),
úhloou ychlost získáme ynásobením fekence číslem úhloá ychlost i fekence jsou da ůzné názy po stejnou eličinu yjadřoanou ůzných jednotkách ( ot/s a ad/s) úhloá ychlost se často označuje jako úhloá fekence. Př. 6: Dětský kolotoč se otáčí s peiodou,5 s. Uči fekenci jeho pohybu, jeho úhloou ychlost a ychlost, se kteou se pohybují děti, jejichž sedačka je m od středu kolotoče. T,5s, m, f?, ω?,? f Hz,9 Hz T,5 ω m/s,59m/s T,5 ω ad/s,8 ad/s T,5 Př. 7: Uči fekenci otáčení kola automobilu, kteý jede po dálnici ychlostí km/h. Půmě kola je 5 cm. km/s 6 m/s, d 5 cm 5cm, ω? Pokud auto jede a kola nejsou e smyku, musí se obodoá ychlost kol onat ychlosti auta (kola se při aliém pohybu pokládají na poch silnice) použijeme ztah mezi obodoou a úhloou ychlostí. ω f f 6 f Hz Hz π, 5 Kola automobilu se otáčejí s fekencí Hz. Pedagogická poznámka: Další příklady řeší žáci už zcela samostatně a každý se dostane tam, kam mu jeho schopnosti a snaha doolí. Př. 8: Tubína altenátou (zařízení na ýobu elektřiny) se onoměně otáčí ychlostí 4ad/s. Jak dlouho jsme sledoali její otáčení, pokud se během měření otočila o ad? Kolikát se během měření otočila? Jaký může být nejětší půmě tubíny, pokud ychlost pohybu konců lopatek nemá překočit 8 m/s? Uči fekenci a peiodu jejího pohybu. Je příklad zadán spáně? ω 4 ad/s, ϕ ad, max 8 m/s, t?, n?, d?, f?, T? Ronoměné otáčení ϕ ωt Počet otáček: ot ad n ot ad t ϕ s,8s ω 4. n n 59 ot 8 ω m,57 m d,4m ω 4 4
ω 4 ω f f Hz 5 Hz π ω π T π π s,s T ω 4 Otáčení tubíny jsme sledoali celkem,8 s, tubína se otočila 59 kát. Půmě tubíny by neměl překočit,4 m. Tubína se točí s fekencí 5 Hz a peiodou, s. Příklad může být zadán dobře, potože fekence otáčení tubíny souhlasí s fekencí střídaého poudu elektické síti 5 Hz. Př. 9: Filmoá kamea snímá 4 obázků za sekundu. Spočti, při jakých eálně možných ychlostech automobilu se bude na filmoém plátně zdát, že se jeho kola neotáčejí. Půmě kol je 4 cm, jejich disky mají na sobě tojcípou hězdu. f 4Hz, cm, m,? Kamea snímá 4 obázků za sekundu. Kolo automobilu bude na plátně stát, když ho kamea zachytí pokaždé e stejné pozici, což znamená, že se otočí za jednu čtyřiadacetinu sekundy. Kolo by se tak muselo otáčet s fekencí 4 Hz nebo s násobkem této fekence. Potože je na kole tojcípá hězda, ypadá stejně nejen při otočení o 6, ale i při otočení o. Stačí tedy, když se kolo otáčí třetinoou ychlostí, tedy s fekencí 8 Hz. Rychlost auta pak spočteme jako obodoou ychlost bodu na kaji kola. f f ω f f π f π f π 4, m/s Auto musí jet ychlostí 6 km/h nebo násobkem této ychlosti. Př. : Rychlost bodu na kaji otujícího kotouče je 6 m/s. Rychlost duhého bodu, kteý je o cm k ose otáčení blíž, je jen 4 m/s. Uči úhloou ychlost otáčení kotouče a jeho polomě. 6m/s, 4 m/s, -,m,? Pokud jsou da body na jednom kuhu, kteý se otáčí, je jejich úhloá ychlost stejná, obodoé ychlosti se liší kůli ozdílné zdálenosti od středu. Z onosti úhloých ychlostí ytoříme onici o jedné neznámé. ω tedy po pní bod: ω, a po duhý bod: ω. ( -, ) -, -,, ( - ) - ω -,,, - 5
,, 6-6 - 4,6 m ω ad/s - 6-4,, Zkoumaný kuh má polomě,6 m a otáčí se úhloou ychlostí ad/s. Shnutí: Ronoměný pohyb po kužnici je blízkou analogií onoměného pohybu. 6