Diferenciální operátory vektorové analýzy verze 1.1

Transkript

1 Úvod Difeenciální opeátoy vektoové analýzy veze. Následující text popisuje difeenciální opeátoy vektoové analýzy. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univezitě Hadec Kálové k přípavě na zkoušku. Mohou se v něm vyskytovat někteé chyby; auto ocení, když jej na chyby a nejasnosti upozoníte na u jii.lipovskyzavináč uhk.cz. 2 Skalání a vektoové pole Funkci tří poměnných ϕ(x, y, z nazýváme skaláním polem, plochy ϕ(x, y, z = konst. nazýváme hladinami tohoto pole. Vektoovou funkci v(x, y, z = (v (x, y, z, v 2 (x, y, z, v 3 (x, y, z nazveme vektoovým polem. Vekto (x, y, z nazveme polohovým vektoem. Siločáou vektoového pole nazveme křivku, jejíž tečna má v každém bodě smě tohoto pole. Deivací vektou a = (a, a 2, a 3 závislého na poměnné t nazveme limitu a a(t + h a(t (t = lim = a h 0 h (te x + a 2(te y + a 3(te z, kde e x je jednotkový vekto ve směu osy x, atd. Věta 2.. Po deivaci platí následující vztahy (a + b = a + b, (ka = ka, (a b = a b + a b, (a b = a b + a b. Příklad 2.2. Vypočtěte ychlost a zychlení bodu, kteý se pohybuje po kužnici (t = (cos t, sin t, 0. Řešení: Deivujeme po složkách v(t = (t = ( sin t, cos t, 0, a(t = v(t = ( cos t, sin t, 0 = (t. 3 Gadient Gadient skaláního pole ϕ(x, y, z je vektoové pole, po kteé platí gad ϕ(x, y, z = ϕ(x, y, z = x e x + y e y + z e z = ( x, y, z.

2 se říká nabla a uvidíme ho i u dalších vektoových opeací. Následující větu známe z difeenciálního počtu funkcí více poměnných. Symbolu = e x x + e y y + e z z Věta 3.. Příůstek hodnoty skaláního pole ϕ při posunutí o malý vekto d se vypočítá jako dϕ = gad ϕ d. Z uvedené věty plyne, že gadient skaláního pole je kolmý k jeho hladině, v každém bodě má smě největšího ůstu tohoto pole. Gadient se ve vztazích chová podobně jako deivace, platí po něj následující věta. Věta 3.2. Po gadient platí gad(ϕ + ψ = gad ϕ + gad ψ, gad (kϕ = k gad ϕ, gad(ϕψ = ψ gad ϕ + ϕ gad ψ, gad f(ϕ = f (ϕ gad ϕ. kde ϕ, ψ jsou skalání pole, f funkce a k konstanta. Příklad 3.3. Vypočtěte gadient skaláního pole ϕ( = =. Řešení: Gadient vypočteme po složkách. x ϕ = x x2 + y 2 + z 2 = x x2 + y 2 + z 2 = x. y ϕ = y, zϕ = z. Tedy ( x gad ϕ =, y, z = = 0. Výsledkem je jednotkový vekto ve směu. Příklad 3.4. Vypočtěte gadient skaláního pole ϕ( =. Řešení: Příklad vypočteme dvěma metodami. Nejdříve po složkách. x x2 + y 2 + z = x 2 (x 2 + y 2 + z 2, 3/2 y x2 + y 2 + z = y 2 (x 2 + y 2 + z 2, 3/2 z x2 + y 2 + z = z 2 (x 2 + y 2 + z 2, 3/2 = 3. Duhou možností je výpočet pomocí vztahu po gadient funkce od pole. = = 2 = 2 = 3. Využili jsme tady výsledku předchozího příkladu. 2

3 Příklad 3.5. Vypočtěte gadient skaláního pole ϕ( = b ( a, kde a a b jsou konstantní vektoy. Řešení: Nejdříve využijeme vztahu po gadient součinu dvou skaláních funkcí. b ( a = b ( a + [b ( a]. Duhý člen si vypočteme ve složkách. x [b ( a] = x [b (ya 3 za 2 + b 2 (za xa 3 + b 3 (xa 2 ya ] = = a 2 b 3 a 3 b 2 = (a b x. Tím jsme dostali x-ovou složku vektoového součinu a a b. Po ostatní složky je výpočet obdobný a dostáváme [b ( a] = a b. Výsledek vezmeme z minulého příkladu. Takže nakonec máme 4 Divegence b ( a b ( a = 3 + a b. Divegence vektoového pole je skalání pole, po kteé platí div a = a x + a 2 y + a 3 z. Pomocí opeátou nabla lze divegenci vektoového pole a popsat jako skalání součin nably s tímto polem div a = a. Divegence udává zřídlovost vektoového pole. Budeme-li uvažovat např. vektoové pole dané gadientem teploty, kladná divegence tohoto pole znamená, že v tomto bodě teplo vzniká, záponá divegence, že zaniká. Věta 4.. Po divegenci platí: div(a + b = div a + div b, div(ϕa = gad ϕ a + ϕ div a. Důkaz: Pvní vztah je tiviální, dokážeme si duhý. (ϕa = x (ϕa x + y (ϕa y + z (ϕa z = = x a x + y a y + z a z + ϕ ( ax x + a y y + a z z Příklad 4.2. Vypočtěte divegenci pole = (x, y, z. = ϕ a + ϕ a. 3

4 Řešení: div = x x + y y + z z = 3. Příklad 4.3. Vypočítejte divegenci pole a( = 0 =. Řešení: Využijeme vztahu div(ϕa = gad ϕ a + ϕ div a. S využitím minulého příkladu a jednoho z předchozích příkladů (po výpočet gad dostáváme = + = = 2. Příklad 4.4. Vypočtěte divegenci pole a( = 3. Řešení: 3 = = = = 0. Pole je tedy nezřídlové. 5 Rotace Rotací vektoového pole a(x, y, z je vektoové pole ( a3 ot a(x, y, z = y a ( 2 a e x + z z a 3 x e y + ( a2 x a e z. y Body, ve kteých je otace nenulová, se označují jako víy a příslušné pole jako víové. Pole, kteé má ve všech bodech nulovou otaci, je nevíové. Pomocí opeátou nabla otaci zapisujeme jako ot a(x, y, z = a(x, y, z. Věta 5.. Platí ot(a + b = ot a + ot b, ot(ϕa = ϕ ot a a gad ϕ, div(a b = b ot a a ot b. Příklad 5.2. Vypočtěte otaci pole a( =. Řešení: Po pvní složku dostáváme (ot a = a 3 y a 2 z = z y y z = 0. Obdobně i po další složky, tedy a( = 0. Příklad 5.3. Vypočtěte otaci pole a( =. Řešení: Opět vypočteme pvní složku. (ot a = a 3 y a 2 z = z y y z = z 2 y + y 2 z = zy 3 + zy 3 = 0. Obdobně po ostatní složky, tedy a( = 0. 4

5 6 Laplaceův opeáto Naposledy si představíme Laplaceův opeáto = 2 x y z 2. Působí na skalání pole a výsledkem je opět skalání pole. Laplaceův opeáto je důležitý např. v elektřině, kvantové teoii, popisu vlnění a difuze. Pomocí opeátou nabla lze vyjádřit jako divegence gadientu = = 2 = ( ( = e x x + e y y + e z e x z x + e y y + e z = 2 z x y z 2. Věta 6.. Po Laplaceův opeáto platí následující vztahy. po k konstantní. Věta 6.2. Dále platí (ϕ + ψ = ϕ + ψ, (ϕψ = ψ ϕ + ϕ ψ + 2( ϕ ( ψ, (a + b = a + b, (ka = k a div gad ϕ = ϕ, ot ot a = gad div a a, gad ϕ = gad ϕ, ot a = ot a, ot gad ϕ = 0, div ot a = 0. Příklad 6.3. Aplikujte Laplaceův opeáto na skalání pole ϕ(x, y, z =. Řešení: Vypočtěme pvní a duhou deivaci pole pole x. x = x, 2 ϕ x 2 = x2 3, ϕ = 3 x2 + y 2 + z 2 3 = 2. Příklad 6.4. Učete Laplace skaláního pole ϕ(x, y, z =. 5

6 Řešení: Postupujeme obdobně jako v předchozím příkladě. x = x 2, 2 ϕ x 2 = 3 + 3x2 5, ϕ = 3 3 3x2 + y 2 + z 2 5 = 0. Příklad 6.5. Aplikujte Laplaceův opeáto na vektoové pole a(x, y, z = = (x, y, z. Řešení: Vypočteme pvní složku. ( a = 2 x x x y x z 2 = 0. Obdobně po ostatní složky. Tedy a = 0. Příklad 6.6. Dokažte identitu ot gad ϕ = 0. Řešení: Identitu si ozepíšeme ve složkách. ( ϕ = yz zy, zx xz, xy. yz Potože jsou díky spojitosti ϕ paciální deivace záměnné, je výaz oven nulovému vektou. 7 Příklady k samostatnému pocvičování Příklad 7.. Vypočtěte ychlost a zychlení, má-li polohový vekto tva = (t 3, t 2 sin t, cos t. Příklad 7.2. Vypočtěte gadient funkce ϕ( = cos, kde = je absolutní hodnota polohového vektou. Příklad 7.3. Vypočtěte gadient funkce ϕ( = a. Příklad 7.4. Vypočtěte divegenci funkce a( = v. Příklad 7.5. Vypočtěte otaci funkce a( = 3. Příklad 7.6. Aplikujte Laplaceův opeáto na vektoové pole a( = 3. 6

7 8 Výsledky příkladů k samostatnému pocvičování 7. v = (3t 2, 2t sin (t+t 2 cos (t, sin (t, a = (6t, (2 t 2 sin (t+4t cos (t, cos (t. sin cos (a a a Použitá a dopoučená liteatua. Daniel Hivňák, Difeenciální opeátoy vektoové analýzy, dostupné z www: 2. Identities of vecto analysis, dostupné z www: 7