Gravitační a elektrické pole

Transkript

1 Gavitační a elektické pole Newtonův gavitační zákon Aistotelés (384-3 př. n. l.) předpokládal, že na tělesa působí síla směřující svisle dolů. Poto jsou těžké předměty (skály tvořící placatou Zemi) dole a lehké předměty (vzduch) nahoře. Představa, že je Země placatá byla tedy docela dobře zdůvodněná. Záoveň se předpokládalo, že nebeská tělesa se řídí jinými zákony než platí na povchu Země (nakonec, kdyby byl Měsíc přitahován k Zemi, dalo by se čekat, že na ni spadne). Isaac Newton si v oce 1665 uvědomil, že když Měsíc obíhá kolem Země, má dostředivé zychlení a musí na něho působit dostředivá síla. Směřuje-li síla, působící na Měsíc do středu Země, lze očekávat, že s ní má Země něco společného. Newton si uvědomil, že síla udžující Měsíc na kuhové dáze kolem Země má stejnou podstatu jako síla přitahující tělesa k Zemi. Odvodil tak Newtonův gavitační zákon Síla, kteou se přitahují každé dva hmotné body ve Vesmíu, je přímo úměná součinu jejich hmotností a nepřímo úměná čtveci vzdálenosti mezi nimi. m1m F g = G, (7.1) kde m 1 a m jsou hmotnosti obou těles a je vzdálenost mezi nimi. G je gavitační konstanta (G = 6, N.m.kg - ). Síla je vektoová veličina, ale ve vztahu (7.1) počítáme jen její velikost jako skalá. Smě síly je v infomaci, že gavitační síla je vždy přitažlivá. Tak, jak je Newtonův gavitační zákon zfomulován v (7.1), je omezen na hmotné body, tedy tělesa o velikosti zanedbatelné ve sovnání s jejich vzdáleností. Tato podmínka nebude splněna, budeme-li počítat třeba sílu, kteou Země přitahuje tělesa na svém povchu. Existuje řešení ozdělit těleso na malé elementy, a integovat vztah (7.1) přes celé těleso. Po tělesa kulového tvau tento poblém vyřešil už Newton, když zfomuloval takzvaný slupkový teoém: Homogenní hmotná kulová slupka přitahuje vně ležící částici stejně, jako kdyby veškeá hmota slupky byla soustředěna v jejím středu. Na částici uvnitř této slupky tato nepůsobí žádnou výslednou gavitační silou. Z odchylek gavitačního pole lze usuzovat na nehomogenity ozložení hmoty na Zemi (dutiny), případně (z odchylek v pohybu umělých dužic měřených doppleovským posunem fekvence signálu vysílaného sondou) na nehomogenity v ozložení hmoty planet. V současné době je gavitace nejlépe popsána obecnou teoií elativity jako zakřivení časopostou. Po slabá gavitační pole je obecná teoie elativity dostatečně apoximována Newtonovým gavitačním zákonem. Pohyb tělesa kolem Země Na těleso pohybující se v okolí Země působí gavitační síla směřující do jejího středu dostředivá síla. Je-li ychlost tělesa malá (stovky m.s -1 ), jedná se o vhy (svislý, vodoovný, šikmý). Při ostoucí počáteční ychlosti může těleso částečně nebo úplně obíhat kolem Země. Aby těleso obíhalo kolem Země po kuhové dáze, musí získat 1. kosmickou ychlost v k1. Tehdy je gavitační síla (7.1) ovna dostředivé síle (3.13) v 1 mm m k = G,

2 kde m je hmotnost tělesa, M hmotnost Země a vzdálenost tělesa od středu Země. Po úpavě M v k 1 = G. (7.) U povchu Země má 1. kosmická ychlost hodnotu 7900 m.s -1. Je-li ychlost tělesa vyšší než 1. kosmická, těleso se pohybuje po elipse tím potaženější, čím je ychlost vyšší. Dosáhne-li těleso. kosmické ychlosti, změní se eliptická dáha na paabolickou a těleso je schopno odletět do nekonečna.. kosmickou ychlost lze vypočítat podle vztahu (odvodíme v kapitole o potenciálu gavitačního pole) M v k = G. (7.3) Na povchu Země má. kosmická ychlost hodnotu m.s -1. Coulombův zákon Již v antice si lidé všimli, že třeme-li kus jantau, přitahuje pak kousky slámy. V 18. století si fyzici všimli, že třeme-li skleněnou tyč kouskem hedvábí, chová se stejně. Stejně tak třeme-li ebonitovou tyč kožešinou, i ona bude přitahovat malé předměty. Ovšem dvě skleněné nebo dvě ebonitové tyče se odpuzují, zatímco ebonitová a skleněná tyč se přitahují. Tím, že tyč třeme, přeneseme na ni něco, čemu budeme říkat náboj. Stejné tyče se odpuzují stejné náboje se tedy odpuzují. ůzné tyče se přitahují ůzné (opačné) náboje se tedy přitahují. Lze zjistit, že existují jen dva typy nábojů. Bylo ozhodnuto (jak uvidíme později, tak docela nešťastně), že skleněná tyč se nabíjí kladně, ebonitová záponě. Elektický náboj je jednou ze základních fyzikálních veličin. Jednotkou elektického náboje je coulomb (značka C), kteý je definován jako náboj, kteý poteče za 1 sekundu vodičem, kteým teče poud 1 ampé. Chales Augustin Coulomb ( ) v oce 1785 zfomuloval Coulombův zákon: Síla, kteou na sebe působí dva bodové náboje, je přímo úměná součinu jejich velikostí a nepřímo úměná čtveci vzdálenosti mezi nimi. Náboje stejného znaménka se odpuzují, náboje s ůznými znaménky náboje se přitahují. Q1 Q F e = k, (7.4) kde Q 1 a Q jsou velikosti obou nábojů a je vzdálenost mezi nimi. k je konstanta, kteá závisí na postředí mezi náboji. Ve vakuu k = 9, N.m.C -. Častěji než konstantou k bývají vlastnosti postředí chaakteizovány konstantou zvanou pemitivita: k = 1 4π ε. Pemitivita vakua ε 0 = 8, C.V -1.m -1. Slupkový teoém po náboje Kulová slupka nabitá ovnoměně ozloženým nábojem přitahuje nebo odpuzuje vně ležící nabité částice stejně, jako kdyby veškeý náboj slupky byl soustředěn v jejím středu. Na částice uvnitř této slupky tato nepůsobí žádnou silou.

3 Intenzita gavitačního a elektického pole Už Newton se zabýval myšlenkou, jak je možné, že tělesa, kteá se nachází ve velké vzdálenosti od sebe a nedotýkají se, o sobě ví a působí na sebe nějakou silou. Newton poblém působení na dálku neřešil (Hypotheses non fingo - hypotézy nevymýšlím) a vyřešil ho až Michael Faaday ( ) představou silového pole. Podle Faadayovy představy vzniká kolem hmotného bodu nebo náboje gavitační nebo elektické pole a toto pole působí na tělesa nebo náboje, kteé se v něm nachází. Pole se tedy pojevuje silovým působením na objekty, kteé v něm leží. Pole lze chaakteizovat pávě tímto silovým působením intenzitou pole E. Intenzita gavitačního pole E g je fyzikální veličina, vyjadřující velikost a smě gavitačního pole. Je definována jako gavitační síla působící na hmotný bod o jednotkové hmotnosti. Fg E g =. (7.5) m Intenzita elektického pole E e je vektoová fyzikální veličina, vyjadřující velikost a smě elektického pole. Je definována jako elektická síla působící na kladný jednotkový elektický náboj. Fe E e =. (7.6) Q Chceme-li učit intenzitu gavitačního (elektického) pole v nějakém bodě, umístíme do tohoto bodu hmotný bod o jednotkové hmotnosti (jednotkový kladný elektický náboj) a zjistíme sílu, kteá na něho působí. Intenzita gavitačního pole hmotného bodu Zjistěme intenzitu gavitačního pole ve vzdálenosti od hmotného bodu o hmotnosti M. Umístíme do pole zkušební tělísko o hmotnosti m. Na tělísko působí gavitační síla (7.1) mm F g = G. Velikost intenzity gavitačního pole je dána vztahem (7.5) Fg M Eg = = G. (7.7) m Smě intenzity je stejný jako smě síly, tedy směem k hmotnému bodu M. Upozoněme, že intenzita gavitačního pole je dána vztahem (7.5) a vztah (7.7) je speciální případ po hmotný bod a (jak plyne ze slupkového teoému) kulové těleso. Zcela analogicky lze odvodit po velikost intenzity elektického pole bodového náboje Q kombinací (7.4) a (7.6) Q E e = k. (7.8) Je-li náboj Q kladný, směřuje intenzita od náboje, je-li záponý, směřuje k náboji Q.

4 Potenciál gavitačního a elektického pole Gavitační i elektické pole jsou plně popsány svými vektoovými intenzitami. Může však být jednodušší popsat pole veličinou, kteá by byla skalání. V mechanice jsme si ukázali, že výpočty využívající enegie často vedou k elegantnějším řešením. Zavedeme poto skalání veličinu popisující pole a vycházející z potenciální enegie objektů v poli. Gavitační (elektický) potenciál je skalání fyzikální veličina, kteá popisuje potenciální enegii jednotkové hmotnosti (jednotkového elektického náboje) v gavitačním (elektickém) poli. Jedná se o množství páce potřebné po přenesení jednotkové hmotnosti (jednotkového elektického náboje) z bodu s nulovým potenciálem do daného místa. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bee buď bod v nekonečnu nebo povch Země. W V g =, m W V e =. (7.9) Q Potenciál gavitačního pole hmotného bodu Zjistěme potenciál gavitačního pole ve vzdálenosti od hmotného bodu o hmotnosti M (ob. 7.1). Místo s nulovým potenciálem definujme v nekonečnu. Potenciál je podle (7.9) páce vnější síly při přenesení zkušebního tělíska o hmotnosti m z místa s nulovým potenciálem (nekonečna) do vzdálenosti od hmotného bodu. Ob. 7.1: Páce vnější síly v gavitačním poli Na tělísko m působí těleso M gavitační silou (7.1). Půjdeme z nekonečna do vzdálenosti po nejkatší dáze (adiální přímce). Páce je definována (4.). Uvědomme si, že vnější síla F v (ob. 7.1) působí poti gavitační síle F g, tedy F v = -F g (po velikosti vektoů platí F v = F g ), element dáhy ds = d. Vektoy F v a d mají stejný smě, jejich skalání součin je součin jejich velikostí. Síla působí po dáze z nekonečna do vzdálenosti : mm 1 mm W = F vd = Fv d = G d = GmM = G, W M V g = = G. (7.10) m Všimněme si, že potenciál gavitačního pole je nejvyšší v nekonečnu (je to logické, v nekonečnu je těleso nejvýš ). Analogicky lze odvodit po potenciál ve vzdálenosti od bodového náboje Q V e = k. (7.11) Potenciál v okolí kladného náboje je kladný, v okolí záponého náboje záponý. Podle zákona slupek platí vztah (7.11) i po nabitou kouli.

5 Duhá kosmická ychlost Duhá kosmická ychlost je ychlost, kteou když udělíme tělesu, tak doletí z daného místa do nekonečna. Nyní se pokusme vztah (7.3) odvodit. Platí zákon zachování mechanické enegie. V nekonečnu má těleso nulovou kinetickou i potenciální enegii. Ve vzdálenosti od hmotného bodu (nebo středu koule) má podle (7.10) potenciální enegii mm Wp = mvg = G a kinetickou enegii (4.6). Součet obou enegií ale musí zůstat nulový 1 mm mv k = G, m se vykátí a po. kosmickou ychlost platí M v = k G, což je vztah (7.3). Vztah mezi intenzitou a potenciálem Intenzita a potenciál jsou dvě ůzné veličiny chaakteizující totéž pole. Musí mezi nimi existovat souvislost. ozdíl potenciálů mezi body A a B je podle (7.9) dán vztahem WAB VAB =. (7.1) m Uvažujeme gavitační pole, po elektické pole bude postup stejný, pouze ve jmenovateli (7.1) bude místo zkušební hmotnosti m zkušební náboj Q. Za páci dosadíme podle (4.) a dále si uvědomíme definici intenzity (7.5). Pak B B B 1 F VAB = Fds = ds = Eds. (7.13) m A A m A Vztah (7.13) umožňuje výpočet potenciálu z intenzity. Opačný vztah lze napsat ve fomě V V V E = gadv =,,. (7.14) x y z Podle geometického významu opeátou gad lze konstatovat, že intenzita má smě nejpudšího poklesu potenciálu. Siločáy a ekvipotenciální plochy Siločáy a ekvipotenciální plochy slouží ke znázonění silového pole. Intenzita je znázoněna siločáami, potenciál pak ekvipotenciálními plochami. Siločáy chaakteizují smě intenzity v každém bodě. - smě tečny k siločáře udává smě vektou intenzity - siločáy vystupují z kladného náboje a vstupují do záponého - siločáy jsou spojité a každým bodem pochází jen jedna siločáa (nepotínají se) - počet siloča pocházející jednotkovou plochou kolmou na siločáy je úměný intenzitě pole v daném místě. Ekvipotenciální plochy jsou plochy, kteé spojují místa stejného potenciálu.

6 Na obázcích jsou zakeslena elektická pole. Siločáy jsou plnou modou čaou, ekvipotenciální plochy čákovanou čevenou čaou. Ekvipotenciální plochy jsou (v každém bodě) kolmé na siločáy. Na obázku 7. je pole kladného bodového náboje. Pole, tedy i siločáy jsou adiální, vychází z kladného náboje (vekto intenzity směřuje v každém bodě od směem kladného náboje). Ekvipotenciální plochy nejsou v konstantních intevalech potenciál bodového náboje je úměný 1/. Obázek 7.3 znázoňuje pole dvojice stejně velkých nábojů, kladného a záponého. Siločáy vystupují z kladného náboje a vstupují do záponého. Intenzita pole je největší v místech, kde jsou siločáy nejhustší. Stejně tak je nejsilnější pole v místech, kde je mezi ekvipotenciálními plochami nejmenší vzdálenost. V homogenním poli je intenzita ve všech bodech stejná. Tento případ zobazuje obázek 7.4. Siločáy jsou ovnoběžné stejně jako na ně kolmé ekvipotenciální plochy. Ob. 7.: Siločáy a ekvipotenciální plochy elektického pole v okolí bodového náboje Ob. 7.3: Siločáy a ekvipotenciální plochy elektického pole v okolí dvojice opačných nábojů Ob. 7.4: Siločáy a ekvipotenciální plochy homogenního elektického pole Poznámka: Obázky 7., 7.3 a 7.4 byly převzaty z učebnice Halliday, esnick, Walke Fyzika, VUT v Bně, 000.

7 Elektické napětí Řekneme-li, že hodnota elektického potenciálu v nějakém místě je např. V = 100 N.m.C -1, není infomace obsažená v tomto tvzení příliš velká. Záleží totiž, jak jsme definovali hladinu s nulovým potenciálem. Po chování elektických nábojů mezi dvěma místy je podstatný spíše ozdíl potenciálů V, kteý nazýváme elektické napětí a značíme U U = V = V - V 1. Jednotkou elektického napětí je volt, značka V (1 V = 1 N.m.C -1 ). Páce W, kteou elektické pole vykoná při přechodu elektického náboje Q mezi body, mezi kteými je napětí U, je W = QU. (7.15) Vzhledem k tomu, že nejmenším množstvím (kvantem) náboje je náboj elektonu, kteý má enegii e = 1, C, je jeden joule příliš velká jednotka v atomovém měřítku. V této oblasti se poto používá jednotka elektonvolt. Jeden elektonvolt [ev] je enegie, kteou získá elekton při půchodu potenciálovým ozdílem 1 volt. Podle (7.15) platí 1 ev = 1, J. Zdůazněme ještě jednou, že elektonvolt není jednotkou napětí, ale enegie. Elektický dipól V příodě se poměně zřídka setkáváme se samostatnými náboji. Izolovaný náboj totiž k sobě přitahuje náboje opačného znaménka a náboje s opačnými znaménky se navzájem uší. Často se však setkáváme s dvojicí stejně velkých nábojů opačného znaménka nacházejících se blízko sebe. Například molekula HCl vzniká eakcí vodíku, kteý má jeden valenční elekton a chlóu, kteému jeden elekton do zaplněné slupky chybí. Při eakci předá vodík jeden elekton chlóu, ovšem tím se vodík nabije kladně a přitahuje atom chlóu, kteý se nabije záponě. Ob. 7.5: Elektický dipól Dvojici stejně velkých bodových nábojů s opačným znaménkem, kteé jsou navzájem ve vzdálenosti d, nazýváme elektický dipól (ob 7.5). Dipól chaakteizujeme vektoovou veličinou dipólový moment p: p = Qd, (7.16) kde smě vektoů d i p je od záponého náboje ke kladnému. Elektické pole dipólu Elektické pole dipólu je zakesleno na obázku 7.3. Je tvořeno součtem elektických polí obou jeho nábojů. Po velikost intenzity v ose dipólu ve vzdálenosti z od jeho středu lze odvodit za podmínky z >> d vztah 1 p E =. (7.17) 3 π ε z

8 Zatímco intenzita elektického pole bodového náboje klesá se čtvecem, intenzita pole v okolí dipólu klesá se třetí mocninou vzdálenosti. Pole dipólu se vzdáleností slábne velmi ychle (při pohledu z velké vzdálenosti jsou oba náboje velmi blízko a jejich pole se uší). Elektický dipól v homogenním elektickém poli Nachází-li se dipól v homogenním elektickém poli (ob. 7.6), působí toto pole na kladný náboj silou F + a na záponý silou F -. Potože je intenzita v místech obou nábojů stejná, mají síly F + a F - stejnou velikost a opačný smě (F + = -F - ). Výslednice sil je tedy nulová, dipól zůstává z hlediska tanslačního pohybu v klidu, ale dvojice sil má nenulový moment, kteý bude dipól otáčet, aby vekto p byl ovnoběžný s vektoem E. Moment síly vzhledem k ose otáčení o je M = M + + M - = d/ F + + -d/ F - = (d/ QE) = p E. (7.18) Na dipól působí homogenní elektické pole momentem sil, kteý natáčí dipól ve směu intenzity elektického pole. Ob. 7.6: Elektický dipól v homogenním elektickém poli Elektický dipól v nehomogenním elektickém poli Nachází-li se dipól v nehomogenním elektickém poli (ob. 7.7), působí toto pole opět na kladný náboj silou F + a na záponý silou F -. Podle obázku je intenzita pole v místě záponého náboje větší (siločáy jsou hustší), a poto po velikosti sil platí F - > F +. Moment sil jednak natočí dipól tak, aby vekto p byl ovnoběžný s vektoem E, ale síly se nevyuší a na dipól bude působit výslednice, kteá ho bude uychlovat do míst s vyšší intenzitou elektického pole. Tohoto pincipu se využívá například v odlučovačích pachu v komínech, kdy se kouř nechá pocházet mezi elektodami, mezi kteými je vytvořeno silné elektické pole, kteá přitahuje částice k jedné z elektod. Ob. 7.7: Elektický dipól v nehomogenním elektickém poli Mikovlnný ohřev Podle (7.18) působí na dipól v elektickém poli moment sil, kteé se jím pokouší otáčet. Na ob. 7.8 je znázoněna molekula vody. Úhel mezi vazbami O-H je 104 o a molekula vody tedy vykazuje dipólový moment.

9 Ob. 7.8: Dipólový moment molekuly vody Jsou-li dipóly vloženy do poměnného elektického pole, například pole mikovln v mikovlnné toubě, kde dochází ke změně polaity s fekvencí 450 MHz, tzn.,45 miliadkát za sekundu, polání molekuly se otáčí ve směu pole, ozkmitají se a to vede k zahřátí látky. Na duhé staně je enegie mikovln malá, aby dokázaly naušovat atomové vazby. Fekvence elektického pole 450 MHz je zvolena tak, aby byla blízká ezonanční fekvenci molekul vody a ozkmitání bylo co největší. Potože tuky a cuky vykazují také dipólový moment, je do jisté míy možné ohřát i je. Jejich dipólový moment je ale menší než u vody a také fekvence není vyladěna na jejich kmity, poto není jejich zahřívání tak výazné. Elektické pole poniká do objemu potaviny a k ohřívání dochází v celém objemu. Jak ukážeme v další kapitole, intenzita pole uvnitř vodiče je nulová. Je-li tedy potavina v mikovlnné toubě v kovové nádobě, elektické pole neponikne do nádoby a potavina se nezahřeje. Poto se v mikovlnné toubě nesmí používat elekticky vodivé nádobí.