Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení ANOVA Rozšíením dvouvýbrových test pro stední hodnoty je analýza rozptylu nebol ANOVA, terá umožuje srovnávat nol stedních hodnot nezávslých náhodných výbr. Analýza rozptylu ve své parametrcé podob pedpoládá normaltu rozdlní a tzv. homosedastctu (dentcé rozptyly). Testovou statstou je p analýze rozptylu F-pomr, terý byl odvozen na zálad analýzy varablty vstupních datových soubor. Statsta F-pomr je ctlvá na platnost hypotézy H 0, terá je formulována jao rovnost stedních hodnot zoumaných náhodných výbr. Jednotlvé mezvýsledy, zísané v prbhu analýzy rozptylu, jsou prbžn a systematcy zaznamenávány v tabulce ANOVA. Zdroj promnlvost Souet tverc Meztídní (fator) B n ( X X ) Stupn volnost Prmrný tverec MS B B Testová stat. F-pomr P-value Vntní (rezduální) W n j N ( X X ) j MS W W N MSB F rato MS W ( F rato) F Celový TOTAL n j ( X j X ) N Druhým roem p analýze rozptylu je post hoc analýza, terá spoívá v porovnávání výbrových prmr všech dvojc populací s cílem vybrat homogenní (srovnatelné) populace. Krtérem pro zaazení do homogenních supn mže být napílad LSD-statsta. Post hoc analýza se provádí pouze v pípad zamítnutí H 0. Použjeme-l j v pípad, dy H 0 nezamítneme, mžeme dostat falešné výsledy. Popsaný postup ANOVA, využívající pro rozhodování F-pomr, je ctlvý na pedpolad o normalt rozdlení pvodních náhodných výbr. Pro pípady, dy tomuto pedpoladu nelze úpln vyhovt, se používá Krusal - Wallsv poadový test. Testujeme hypotézu H 0 :,5 x I 0,5 II Oprot alternatv H A : neplatí H 0 x0 x0, 5IV Výbr Poadí veln v uspoádaném sdruženém náhodném výbru Souty poadí R R R n T R R R n T R R R n T Testová statsta: Q T N n χ ( N + ) ( N + ) P-value: p value F( Q) - 68 -
Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení.. Následující pílad je uázou lncé stude. Dvacet dva pacent, teí podstoupl operac srdce, bylo náhodn rozdleno do tí supn. Supna : Pacent dostal 50 % oxdu dusného a 50 % yslíové sms nepetržt po dobu 4 hodn; Supna : Pacent dostal 50 % oxdu dusného a 50 % yslíové sms pouze bhem operace; Supna : Pacent nedostal žádný oxd dusný, ale dostal 5-50 % yslíu po dobu 4 hodn. Tabula uazuje oncentrac sol yselny lstové v ervených rvnách ve všech tech supnách po uplynutí 4 hodn ventlace. Supna Supna Supna 76 06 4 80 0 46 75 6 70 9 49 9 47 55 8 54 7 80 85 0 95 09 Zjstte, zda složení a zpsob dané medace má vlv na oncentrac sol yselny lstové v ervených rvnách po uplynutí 4 hodn ventlace. Pro ešení ve Statgraphcsu použjte soubor Kys_lstova.sf. ešení: Runí ešení s uážeme pouze pro seznámení s prncpem ANOVA, budeme pedpoládat, že jsou splnny pedpolady použtí F-testu, tj. normalta všech tí výbr a homosedastcta. Testujeme: H 0 : µ µ µ (stední hodnoty oncentrací sol yselny lstové v ervených rvnách po uplynutí 4 hodn ventlace nezávsí na typu medace (jsou shodné)) oprot H A : H 0 (stední hodnoty oncentrací sol yselny lstové v ervených rvnách po uplynutí 4 hodn ventlace nezávsí na typu medace (jsou shodné)) Pro nalezení p-value je teba vyplnt tabulu ANOVA (tzn. najít F-pomr). - 69 -
Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení Zdroj promnlvost Souet tverc Stupn volnost Meztídní (zpsob medace) B n ( X X ) Prmrný tverec MS B B Testová stat. F-pomr P-value Vntní (rezduální) W n j ( X j X ) N MS W W N MSB F rato MS W ( F rato) F Celový TOTAL n j ( X j X ) N Supna Supna Supna 76 06 4 80 0 46 75 6 70 9 49 9 47 55 8 54 7 80 85 0 95 09 n 8 9 5 X 6,6 56,4 75,6 X 8, 7 ( X X ),9-6, -7, ( X X ) 5, 688,4 50, n ( X X ) 97, 695,6 50,8 S 699,4 78,0 88, ( n ) S B W N n ( X X ) 566, 5 ( X j X ) j Zdroj promnlvost Meztídní (zpsob medace) Vntní (rezduální) n 895,9 04, 55, ( n ) S 807, ( X X ) 0 n ( X X ) 566, 5 ( n ) 807, S Prmrný tverec Testová stat. Souet tverc Stupn volnost F-pomr 5.66,5 7.8,8 8.07, Celový 4.76,8 P-value 9.477,5 5, F( 5,) - 70 -
Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení V tabulce pro Fsher-Snedecorovo rozdlení (Tab. 4) najdeme pro stupn volnost pro tatele a 9 stup volnost pro jmenovatele: 0,95 < F(5,) < 0,99 0,0 < F(5,) < 0,05 0,0 < p value < 0,05 Proto zamítáme H 0, tzn. exstuje vlv píslušné medace na oncentrací sol yselny lstové v ervených rvnách po uplynutí 4 hodn ventlace. Poraovat bychom ml post hoc analýzou. Z dvodu pracnost tuto ást analýzy pomneme a uážeme s pímo zpracování daného problému ve Statgraphcsu. ešení ve Statgraphcsu: Pro použtí F-testu je vša teba ovt pedpolady: a) homosedastctu b) zda data z jednotlvých výbr podléhají normálnímu rozdlení Zvolíme menu Compare\Multple Samples\Multple-Sample Comparson V on Multple-Sample Comparson zvolíme jao typ vstupního souboru Multple Data Columns (vícevýbrový soubor více výbr v jednotlvých sloupcích). Jao Samples (výbry) zadáme Supna, Supna, Supna. - 7 -
Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení V tuto chvíl mžeme pstoupt testování homosedastcty. Klneme na onu Tabular Optons a v pedloženém menu zašrtneme položu Varance Chec. Výstupem procedury je nabída 4 test (Cochranv test, Bartlettv test, Hartleyv test a Leveneho test) ovujících rovnost smrodatných odchyle jednotlvých výbr. Jde tedy o výstupy testování tchto hypotéz: H 0 : σ σ σ H A : H 0 V našem pípad je p-value pro všechny testy vyšší než 0,05 a proto nezamítáme homosedastctu. Mžeme pstoupt testování normalty. Musíme ovt, zda všechny výbry mžeme považovat za výbry z normálního rozdlení.k testování pstoupíme známým zpsobem. Zvolíme menu Descrbe\Dstrbutons\Dstrbuton Fttng (Uncensored Data) V nov oteveném on pa jao Data zadáme Supna. Výstupem procedury je p-value pro Kolmogorovv-Smrnovv test (pro test dobré shody máme malý rozsah výbru), teré nám íá, že. výbr mžeme považovat za výbr podléhající normálnímu rozdlení. - 7 -
Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení Test normalty zopaujeme pro zbylé dva výbry. Postup mžeme urychlt tím, že využjeme onu umožující zmnu vstupních parametr použté procedury a zmníme pouze údaj v pol Data (Supna, Supna ). Iona umožující zmnu vstupních parametr procedury Vzhledem tomu, že normalta byla pro všechny výbry potvrzena, mžeme pstoupt ANOV (F-testu). Testujeme hypotézy, že: H 0 : µ µ µ H A : H 0 Vrátíme se výstupu, terý jsme použl jao výchozí bod pro testování homosedastcty (poud jste s jej smazal, vyhotovte jej znova podle výše uvedeného postupu.) Automatcy vygenerovaným textovým výstupem je tabula ANOVA (srovnejte s runím výpotem). Slovníe: Analyss of Varance analýza rozptylu (ANOVA) Source zdroj (mnlvost) - 7 -
Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení Between groups mez tídam Wthn groups uvnt tíd Sum of Squares souet tverc Df (degree of freedom) stupn volnost Mean Square prmrný tverec (zjednodušen rozptyl) F-rato F-pomr Total celem Z hodnoty p-value (0,048) uníme závr, že nulovou hypotézu zamítáme, tzn. že typ medace ovlvuje oncentrací sol yselny lstové v ervených rvnách po uplynutí 4 hodn ventlace. Tento závr se dal oeávat na zálad grafcého výstupu procedury vícenásobného rabcového grafu, na nmž je zejmé, že oncentrace sol yselny lstové pro Supnu pevyšuje oncentrac sol yselny lstové pro ostatní supny. Provedeme tedy post-hoc analýzu, terá nám uáže, zda nelze nteré supny slout do jedné supny (z hledsa vlvu na oncentrac sol yselny lstové). Klneme tedy na onu Tabular Optons a zašrtneme Multple Range test (vícenásobné porovnávání). Statgraphcsu nám nabízí 6 rzných možností vícenásobného porovnávání (LSD, Tueyho test, Scheffeho test, Bonferronho test, Student-Newmann- Keulsv test a Duncanv test). Možnost výbr z tchto test se objeví, provedeme-l RC pravou myší na textový výstup a zvolíme menu Pane Optons. My s zvolíme LSD test. - 74 -
Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení Textovým výstupem této analýzy je tabula obsahující hodnoty LSD statsty pro aždou dvojcí výbr, rtcé hodnoty LSD statsty (pesáhne-l absolutní hodnota LSD statsty rtcou hodnotu, je rozdíl mez prmry píslušných výbr oznaen za statstcy významný, což je oznaeno symbolem * u píslušné LSD statsty. V horní ást textového výstupu najdeme sloupec Homogenous Groups (homogenní supny), terý nám uazuje, teré výbry by se mohly (z hledsa sledovaného fatoru) považovat za výbr z jedné populace (rovnocenné z hledsa vlvu daného fatoru). Tyto podsupny jsou oznaeny ížy X pod sebou. V tomto pípad mžeme unt dva možné závry: a) Supny a mžeme považovat za rovnocenné z hledsa vlvu zpsobu ventlace na oncentrac sol yselny lstové v ervených rvnách po 4 hodnách ventlace, u supny se objevla ve srovnání se supnam a vyšší oncentrace. b) Supny a mžeme považovat za rovnocenné z hledsa vlvu zpsobu ventlace na oncentrac sol yselny lstové v ervených rvnách po 4 hodnách ventlace, u supny se objevla ve srovnání se supnam a nžší oncentrace. - 75 -
Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení.. Je teba zjstt, zda se lší spoteba automoblu p použtí rzných druh benzínu. Zouší se ty typy benzínu, jež se lší chemcým složením. Testovací jízdy se provádjí se 6 auty stejného modelu ta, že vždy ty auta použjí stejný benzín. Výsledy mení spoteby v l/00 m p jednotlvých jízdách jsou uložený v datech Spotreba.sf. Rozhodnte pomoc testu, zda složení benzínu ovlvuje jeho spotebu (α 0,05). ešení ve Statgraphcsu: Pro zjštní toho, zda exstuje vlv typu benzínu na spotebu automoblu by nám mohla posloužt analýza rozptylu. Pro použtí F-testu je vša teba ovt pedpolady: a) zda data z jednotlvých výbr podléhají normálnímu rozdlení b) homosedastctu Data se nacházejí v tzv. standardním datovém formátu, tzn. v jednom sloupc jsou uvedena data, ve druhém sloupc je jejch ód. Pro runí zpracování bychom s data musel pevést do níže uvedeného tvaru: Výhodou Statgraphcsu je to, že nám umožní zpracovávat data uvedená ve standardním datovém formátu. Naším cílem je porovnat data podle ódu. Zvolíme tedy menu Compare\Multple Samples\Multple-Sample Comparson V on Multple-Sample Comparson zvolíme jao typ vstupního souboru standardní datový formát (Data and Code Columns). - 76 -
Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení Jao Data zadáme spotreba, jao dentfátor (Level codes) zadáme benzn. V tuto chvíl mžeme pstoupt testování homosedastcty. Postupujeme obdobn jao v pedcházejícím píladu. H 0 : σ σ σ σ 4 H A : H 0 V našem pípad je p-value pro všechny 4 testy vyšší než 0,05 a proto nezamítáme homosedastctu. Mžeme pstoupt testování normalty. Musíme ovt, zda všechny 4 výbry mžeme považovat za výbry z normálního rozdlení.k testování pstoupíme známým zpsobem. Zvolíme menu Descrbe\Dstrbutons\Dstrbuton Fttng (Uncensored Data) V nov oteveném on pa jao Data zadáme spotreba a protože chceme testovat normaltu aždého z výbru zvláš, v pol Select (Vyber) zadáme, že máme uvažovat pouze položy vztahující se benznu (benzn). - 77 -
Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení Výstupem procedury je p-value pro Kolmogorovv-Smrnovv test (pro test dobré shody máme malý rozsah výbru), teré nám íá, že. výbr mžeme považovat za výbr podléhající normálnímu rozdlení. Test normalty zopaujeme pro zbylé t výbry. Postup mžeme urychlt tím, že využjeme onu umožující zmnu vstupních parametr použté procedury a zmníme pouze údaj v pol Select (benzn, benzn, benzn4). Iona umožující zmnu vstupních parametr procedury Vzhledem tomu, že normalta byla pro všechny 4 výbry potvrzena, mžeme pstoupt ANOV (F-testu). Testujeme hypotézu, že: H 0 : µ µ µ µ 4 (stední hodnoty spoteby nezávsí na typu benznu (jsou shodné)), H A : H 0 (stední hodnoty spoteby závsí na typu benznu (jsou rzné)) Vrátíme se výstupu, terý jsme použl jao výchozí bod pro testování homosedastcty (poud jste s jej smazal, vyhotovte jej znova podle výše uvedeného postupu.) - 78 -
Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení Automatcy vygenerovaným textovým výstupem je tabula ANOVA. Z hodnoty p-value (0,06) uníme závr, že nulovou hypotézu zamítáme, tzn. že typ benznu ovlvuje spotebu automoblu. Tento závr se dal oeávat na zálad grafcého výstupu procedury vícenásobného rabcového grafu, na nmž je zejmé, že spoteba pro benzn výrazn pevyšuje spotebu pro jné typy benznu. Obdobn jao v pedcházejícím pílad provedeme post-hoc analýzu, terá nám uáže, zda nelze nteré typy benznu slout do jedné supny (z hledsa vlvu na spotebu). Klneme tedy na onu Tabular Optons a zašrtneme Multple Range test (vícenásobné porovnávání), v menu Pane Optons zvolíme LSD test. V našem pípad tedy vdíme, že benzny,, 4 tvoí jednu supnu (spoteba pro tyto benzny je na stejné úrovn), druhou supnu zastupuje benzn, jemuž píslušná spoteba je výrazn vyšší. - 79 -
Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení.. Pílad pedagogcého výzumu: Zjstte, zda používání eletroncých stavebnc má poztvní vlv na vytváení a rozvoj žáových vdomostí a dovedností. Pro ovení tohoto výzumu byly zísány údaje o bodovém hodnocení student SŠ p závrené zoušce z Eletrotechny. Student byl rozdlen do tí supn supna A zahrnovala studenty, teí p výuce používal stavebnc ZEM Eletron, supna B používala stavebnc pro techncé práce a zálady techny pro 8. tídy, supna C p výuce žádnou stavebnc nepoužívala. Dosažené výsledy jsou zaznamenány v následující tabulce. (pro ešení použjte Krusal-Wallsv test). A B C 6,4,5, 6,8,7 4, 7, 4,9 4,9 8, 5,4 5, 8,4 5,9 5,5 9, 8, 8, 9,4 8, 9,7 ešení: Krusal-Wallsv test je alternatvou ANOV (F-testu). V prax používáme tento test v pípadech, dy je splnna homosedastcta, avša není splnn pedpolad normalty u všech výbr. Jde o neparametrcý test. Testujeme hypotézu H 0 : x0,5 x x A 0,5 B 0, 5C Oprot alternatv H A : neplatí H 0 Vytvoíme modfovaný soubor, terý je dán poadím pvodních dat v jednom uspoádaném výbru a zárove uríme souty poadí pro jednotlvé výbry. Stanovíme pozorovanou hodnotu: A B C 4 5,5 5,5 7 8 7 8 0 9 9 4 5,5 0 5,5 T 58 4 n 8 7 6 N T Q N n ( N + ) ( N + ) ( + ) 8 58 + 7 4 + 6 ( + ) 9, 84-80 -
Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení V tabulce rozdlení Chí-vadrát (- stupn volnost) najdeme hodnotu dstrbuní funce a pomocí ní uríme p-value: 0,990 < F(9,84) < 0,995 0,005 < F(9,84) < 0,00 0,005 < p value < 0,00 p value < 0,00, proto nulovou hypotézu zamítneme, tzn. že exstuje vlv používání eletroncých stavebnc na dovednost a znalost student. Dále bychom ml pstoupt post hoc analýze. ešení ve Statgraphcsu: Použjeme soubor Stavebnce.sf. Pedpoladem Krusal-Wallsova testu je homosedastcta, proto j nejdíve jž známým zpsobem ovíme: Homosedastcta byla potvrzena, proto mžeme pstoupt vlastnímu testu. Testujeme hypotézu H 0 :,5 x A 0,5 Oprot alternatv H A : neplatí H 0 x0 x B 0, 5C Zvolíme menu Compare\Multple Samples\Multple-Sample Comparson V on Multple-Sample Comparson zvolíme jao typ vstupního souboru Multple Data Columns (vícevýbrový soubor více výbr v jednotlvých sloupcích). Jao Samples (výbry) zadáme A,B,C. - 8 -
Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení Klneme na onu Tabular Optons a zvolíme položu Krusal-Walls and Fredman Tests. Srovnejte zísané výsledy s runím výpotem. p value < 0,00, proto nulovou hypotézu zamítneme, tzn. že exstuje vlv používání eletroncých stavebnc na dovednost a znalost student. Pstoupíme post hoc analýze (postupujeme stejn jao v pedcházejících píladech): Je zejmé, že zamítnutí nulové hypotézy je zpsobeno výsledy supny A, tzn. že jao statstcý významný se projevuje vlv používání stavebnce ZEM Eletron používání stavebnce pro 8. tídy má stejný efet jao nepoužívání stavebnce. - 8 -