Pro orientaci v této problematice jsme se seznámili s nkolika novými pojmy:

Transkript

1 Ig. Marta Ltschmaová Statsta I., cveí 8 LIMITNÍ VTY Lmtí vty jsou tvrzeí, terá jsou dležtá pro pops pravdpodobostích model v pípad rostoucího potu áhodých pous.. ro oretac v této problematce jsme se sezáml s ola ovým pojmy: Jestlže posloupost áhodých vel overguje podle pravdpodobost áhodé vel, pa: ε > 0 : lm < ε ( Jestlže posloupost áhodých vel { } overguje áhodé vel v dstrbuc, pa: lm ( x F( x, F F(x v tomto pípad azýváme asymptotcou dstrbuí fucí. Velce hrubý odhad pravdpodobost odchyly áhodé vely od její stedí hodoty ám umožuje ebyševova erovost: ε > 0 : D ε ( E ε Chceme-l odhadout pravdpodobost, že odchyla áhodé vely od její stedí hodoty je ásobem smrodaté odchyly ( σ, pa použjeme upraveou verz ebyševovy erovost, dy za dosadíme.: σ, > 0 : ( E σ Kovergec prmru v posloupost ezávslých vel se zabývá záo velých ísel, terý íá, že prmr ezávslých áhodých vel se stejým stedím hodotam overguje podle pravdpodobost jejch stedí hodot. Dsledem záoa velých ísel je Beroullho vta. Beroullho vta íá, že relatví etost sledovaého jevu overguje podle pravdpodobost jeho pravdpodobost. To ám umožuje expermetál odhadovat ezámou pravdpodobost pomocí pozorovaé relatví etost (vz. lascá defce pravdpodobost. Kovergecí rozdleí ormálímu rozdleí se zabývá cetrálí lmtí vta, terá má dv dílí formulace: Ldebergovu-Lévyho vtu a Movreovo-Laplaceovu vtu. Ldebergova-Lévyho vta íá, že pro dost velé má souet prmr áhodých vel se stejým rozdleím, stejým prmrem a stejým rozptylem pblž ormálí rozdleí: Jestlže,,, jsou ezávslé áhodé vely se stejým (lbovolým rozdleím, stejým stedím hodotam E E E µ a se stejým (oeým rozptyly D D D, pa platí: σ - -

2 Ig. Marta Ltschmaová Statsta I., cveí N ( µ ; σ N µ ; σ Movreova-Laplaceova vta vyjaduje overgec bomcého rozdleí ormálímu rozdleí: Nech B( ; p, pa: pro dostate velá : N( p; p( p emž pomr dobré výsledy dává tato aproxmace v pípad, že: p ( p > ebo m { p ; ( p } > 5 Mez dležté aplace cetrálí lmtí vty pa patí možost aproxmace výbrové relatví etost ormálím rozdleím: ( π π p Nπ ;, možost aproxmace ossoova rozdleí rozdleím ormálím: Nech o( λt rozdleím s parametry: N( λ t, λt, pa pro dostate velé t mžeme aproxmovat ormálím a možost aproxmace prmrého potu událost za asovou jedotu ormálím rozdleím: λ Nech Y je prmrý poet výsytu událost za asovou jedotu, pa: Y Nλ, t Na závr zbývá ppomeout, že chceme-l dostat co ejlepší výsledy p aproxmac dsrétího rozdleí rozdleím spojtým, ezapomeeme p výpotech a opravu a spojtost. 8.. Odhadte pravdpodobost, že áhodá vela je od své stedí hodoty vzdáleá o více ež 3. ešeí: ( E 3 σ ( 0, σ > 0 : 3 Hledaá pravdpodobost eperauje %. (Je to opravdu hrubý odhad, srovejte s s pravdlem 6 sgma platým pro ormálí rozdleí

3 Ig. Marta Ltschmaová Statsta I., cveí 8.. ravdpodobost vyrobeí zmetu je 0,5. Odhadte pravdpodobost, že p vyrobeí 000 výrob bude zmet. ešeí:... poet zmet v 000 výrobcích, proto: B ( 000 ;0,5 E. p 500; D. p. ( p 50; σ D 50 ravdpodobost, že poet zmet bude v rozmezí 400 až 600 lze vyjádt ve tvaru: ( 400 < < 600 ( 500 < 00 ( Vyjádíme-l s povoleou odchylu od stedí hodoty (00 jao ásobe smrodaté odchyly ( 50, mžeme z ebyševovy erovost zjstt, že: ( , 05 z ehož lze jedoduše odvodt, že: ( 400 < < 600 > 0, 75 (Je-l ( , 05, pa ( > 0,75 ( 0,05 ppomeme, že jde o velce hrubý odhad.,. Zovu s 8.3. Dlouhodobým przumem bylo zjšto, že doba potebá objeveí a odstraí poruchy stroje má stedí hodotu 40 mut a smrodatou odchylu 30 mut. Jaá je pravdpodobost, že doba potebá objeveí a opraveí 00 poruch eperoí 70 hod? ešeí:... doba potebá objeveí a odstraí -té poruchy Víme, že: E 40 mut a D 30 mut, rozdleí áhodé vely ezáme... celová doba do objeveí sté poruchy 00 Na zálad Ldebergovy-Lévyho vty víme, že souet áhodých vel se stejým rozdleím (emusíme vdt jaým, stejým stedím hodotam a stejým rozptyly mžeme aproxmovat ormálím rozdleím s parametry: µ E, σ D, proto: - 4 -

4 Ig. Marta Ltschmaová Statsta I., cveí N ( 00 40;00 30 Nyí jž eí problém urt hledaou pravdpodobost (esmíme je zapomeout a užíváí stejých jedote, v ašem pípad mut (70h 400 mut: ( < 400 F( 400 Φ Φ( 0,67 0, Žvotost eletrcého holícího stroju Adam má expoecálí rozdleí se stedí hodotou roy. Urete pravdpodobost, že prmrá žvotost 50-t prodaých stroj Adam bude vyšší ež 7 msíc. ešeí:... žvotost -tého holícího stroju Adam λ λ... prmrá žvotost 50-t stroj Adam Exp E roy ro D λ 4 ro Z Ldebergovy-Lévyho vty víme, že: N µ ; σ V ašem pípad: 50 4 N; Nyí, dyž záme rozdleí prmré žvotost 50-t stroj Adam, mžeme ešeí doot (7 msíc,5 ro:,5 (,5 (,5 > F Φ Φ(,53 0,37 0, Na telefoí ústedu je apojeo úastí. Každý z ch bude volat telefoí ústedu bhem hody s pravdpodobostí 0%. Jaá je pravdpodobost, že bhem ásledující hody zavolá ústedu: - 5 -

5 Ig. Marta Ltschmaová Statsta I., cveí a práv 300 úastí? b více ež 30 úastí? c mez 00 a 450 úastíy(vet? ešeí: poet úastí volajících ústedu bhem ásledující hody (z Z defce áhodé vely je zejmé, že má bomcé rozdleí: B( ;0, jehož pravdpodobostí fuce je: ( p ( p! 300 0, ! 300! 300 0, 0, 0, ada ( ( ( 300 ( 300 ( 700, Zde arážíme a problém. S pomocí alulay edoážeme urt žádý z výše uvedeých fatorál. roto v tomto pípad provedeme alespo pblžý výpoet (aproxmac. Z Movreovy-Laplaceovy vty víme, že bomcé rozdleí mžeme aproxmovat rozdleím ormálím: Movreova-Laplaceova vta: Nech B( ; p ; E p; D p( - p N( p; p( p, pa dostate velá : V ašem pípad: B ( ;0, ; E 0, 300; D 0, 0, 70, proto mohu aproxmovat ormálím rozdleím s parametry 300; 70 N(300;70 Nyí musíme vyešt ješt jedu omplac. aproxmac dsrétí áhodé vely spojtou dochází tomu, že výpoet pravdpodobostí fuce elze jedoduše provést (pravdpodobostí fuce spojté áhodé vely je ulová. roto se provádí tzv. oprava a spojtost. ( Je-l defováo jao poet úastí volajících bhem ásledující hody ústedu, mžeme tvrdt, že pravdpodobost, že píští hodu bude volat 300 úastí je stejá jao pravdpodobost, že bude volat alespo,5 a mé ež 300,5 úastí. (V tervalu,5;300,5 je pouze 300 úastí

6 Ig. Marta Ltschmaová Statsta I., cveí (,5 < 300,5 ( 300 (,5 < 300,5 jž eí pro spojtou áhodou velu ulová a ta mžeme provést aproxmaí výpoet. Této úprav se íá oprava a spojtost. ( 300 (,5 < 300,5 ( < 300 ( <,5 F Φ ( 300,5 F(,5 ( 0,03 Φ( 0,03 Φ( 0,03 [ Φ( 0,03 ] Φ( 0,03 0,5 0,04 300,5 300,5 300 Φ Φ adb ( > 30 ( 0, ( 0, - ( 0, ( 0, I zde astává problém. Vdíme, že vyísleí píslušých sout (sum by ám zabralo spoustu asu (poud bychom to vbec s pomocí alulay doázal. roto v tomto pípad pstoupíme pblžému výpotu (aproxmac. Nyí mžeme provést pblžý výpoet: ( > 30 ( 30 N(300;70 Zovu astává problém zpsobeý aproxmací dsrétího rozdleí spojtým a proto zde pstoupíme oprav a spojtost: ( > 30 ( 30 ( < 30,5 30,5 300 ( > 30 F(30,5 Φ Φ( 0,64 0,73 0, 6 70 adc ( ( 0, ( 0, Opt máme ve výše uvedeém vztahu velý poet sítac a vysoé fatorály, proto hledáme pblžý výslede pomocí cetrálí lmtí vty (Movreovy-Laplaceovy vty. Zárove zde budeme provádt opravu a spojtost: - 7 -

7 Ig. Marta Ltschmaová Statsta I., cveí ( ( 450 ( < 00 ( < 450,5 ( < 00 F Φ ( 450,5 F( 00 (,6 Φ( 6,0 Φ(,6 [ Φ( 6,0 ] Φ(,6 + Φ( 6, , Φ Φ oužtá aproxmace ám dává velm dobré výsledy (velm blízé suteým, protože je spla podmía, že: ( p > 7 >. p ( 8.6. Seretáa etra píše a stroj rychlost 50 úhoz / m. této rychlost udlá prmr 3 chyby za 0 mut. Jaá je pravdpodobost, že p 30-t mutovém dtátu udlá více ež 0 chyb? ešeí: Defujme s áhodou velu jao poet chyb v dtátu (za 30 mut. Tato áhodá vela (poet událost v asovém tervalu má ossoovo rozdleí s parametrem t (prmrý poet chyb za 30 mut, E D. 0! o( 0 0! 0 0! ( > 0 ( 0 e e ,706 0, 4 0 Teto výpoet byl poud pracý. roveme srovávací výpoet pomocí cetrálí lmtí vty: Víme, že ossoovu áhodou velu s parametrem t mžeme aproxmovat pro dostate velá t ormálím rozdleím s parametry: t, t. a: N( ; ( > 0 ( 0 ( < 0,5 F( 0,5 Φ Φ( 0,5 0,6 0,30! 0,5 Vyhodoceí aproxmace pro teto pípad: Aproxmaí postup byl mohem rychlejší, výsledy obou postup se ám lší o,5%, což je as 5% -í chyba (0,05/0,

8 Ig. Marta Ltschmaová Statsta I., cveí 8.7. Výletí lu má osost 5000g. Hmotost cestujících je áhodá vela se stedí hodotou 70g a smrodatou odchylou 0g. Kol cestujících mže luem cestovat, aby pravdpodobost petížeí luu byla meší ež 0,00? ešeí: celová hmotost všech cestujících N ( µ ; σ N( 70; 400 ( > 5000 F ( 5000 < 0,00 < 0, Φ < 0, , < Φ < < < < < 64,5 > 7 max 64 luem mže cestovat maxmál 64 osob. - -