Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Transkript

1 Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích

2 Test χ 2 v kontingenční tabulce typu 2 2 Jde vlastně o speciální případ χ 2 testu pro čtyřpolní tabulku. Celkem n 11 n 12 n 1 n 21 n 22 n 2 Celkem n 1 n 2 n Je-li tedy c = r = 2, pak je testovou statistikou veličina χ 2, přičemž pro ni platí: χ 2 = n (n 11 n 22 n 12 n 21 ) 2 n 1 n 2 n 1 n 2. Testová statistika se řídí za platnosti nulové hypotézy χ 2 rozdělením s (r 1)(c 1) = 1 stupněm volnosti.

3 Test χ 2 v kontingenční tabulce typu 2 2 Pro úplnost malou poznámku: Je třeba mít na paměti, že se tento test pro čtyřpolní (tetrachorickou) kontingenční tabulku můžeme využívat jen pro dostatečně velké rozsahy výběru n. Pro n < 20 jsou výsledky tohoto testu velmi nepřesné a nelze jej použít. Pro rozsahy 20 < n < 40 jej lze použít pouze v případě, že žádná teoretická četnost není menší než 5.

4 Příklad Byl proveden průzkum v souvislosti s koupí zájezdu do Řecka, který pravidelně organizuje jistá cestovní kancelář se sídlem v Praze. Výsledky průzkumu jsou uspořádány v kontingenční tabulce. Předchozí Rok 2006 dovolená v Řecku dovolená v Řecku Ano Ne Celkem Ano Ne Celkem

5 Řešení v R Numerické vyhodnocení provedeme opět prostřednictvím Erka. V průběhu výpočtu nebude využita Yatesova korekce na spojitost. data<-matrix(c(187,179,150,502),2,2) chisq.test(data,correct=false) data: Pearson s Chi-squared test data X-squared = , df = 1, p-value < 2.2e-16 Je zřejmé, že můžeme zamítnout hypotézu o nezávislosti. Jinak řečeno můžeme zamítnout hypotézu, která tvrdí, že zákazník není ve svých plánech o dovolené v Řecku ovlivněn předchozí přítomností/nepřítomností v této zemi.

6 Yatesova korekce V souvislosti s tímto testem se můžeme setkat s tzv. Yatesovo korekcí. Hodnotu korigované testové statistiky určíme prostřednictvím vzorce χ 2 = n ( n 11n 22 n 12 n 21 n/2) 2 n 1 n 2 n 1 n 2. Yatesova korekce činí test konzervativnějším, tj. snižuje hodnotu testové statistiky a je tak obtížnější zamítnout testovanou hypotézu. Na druhé straně však vzrůstá pravděpodobnost toho, že se dopustíme chyby druhého druhu, za jinak stejných podmínek.

7 Míra těsnosti asociační závislosti - koeficient asociace χ 2 -test umožňuje posoudit, zda mezi sledovanými znaky existuje závislost. Nevypovídá však o těsnosti sledované závislosti. V případě kontingenční tabulky typu 2 2 se dosti často používá jednoduchá míra těsnosti závislosti - koeficient asociace: V = n 11 n 22 n 12 n 21 n1 n 2 n 1 n 2 Tento koeficient nabývá hodnot z intervalu 1; 1. Hodnoty 1 v případě úplné pozitivní závislosti (asociaci) alternativních znaků X a Y (vyskytují se jen případy ++ a ). Hodnoty -1 pak v případě úplné negativní závislosti (asociaci) alternativních znaků X a Y (vyskytují se jen případy + a +). Existují i jiné míry asociační závislosti, např. Pearsonův koeficient kontingence C P.

8 McNemarův test McNemarův test je testem symetrie pro čtyřpolní kontingenční tabulku. S jeho pomocí je možné řešit situaci, ve které máme n náhodně vybraných objektů, u kterých je známá přítomnost či nepřítomnost sledovaného znaku. Všech těchto n objektů je následně vystaveno určitému zásahu, např. podání léku, proběhnutí reklamní či volební kampaně. Po zásahu je opět u všech n objektů zjišt ována přítomnost či nepřítomnost sledovaného znaku. McNemarův test pomáhá v takové situaci prokázat, zda se po zásahu změnila pravděpodobnost výskytu znaku u sledovaných objektů.

9 Uvažujme tedy následující kontingenční tabulku: Před Po zásahu zásahem Přítomnost Nepřítomnost Celkem Přítomnost n 11 n 12 n 1 Nepřítomnost n 21 n 22 n 2 Celkem n 1 n 2 n Testujeme tedy H 0 : p 1 = p 1, což je ekvivalentní hypotéze H 0 : p 12 = p 21. Testovou veličinou je veličina χ 2 definovaná takto: χ 2 = (n 12 n 21 ) 2 n 12 + n 21 Veličina χ 2 má asymptoticky χ 2 rozdělení s jedním stupněm volnosti. Testovanou hypotézu o symetrii zamítáme, pokud testová statistika χ 2 překročí 1 α procentní kvantil χ 2 rozdělení s jedním stupněm volnosti.

10 Příklad Byl proveden marketingový výzkum, v němž byla sledována změna postojů 200 spotřebitelů před kampaní a po dvouměsíční reklamní kampani na produkt nejmenované firmy. Pozorované údaje jsou uvedeny ve čtyřpolní tabulce: Před Po kampani kampaní Ano Ne Ano Ne Došlo ke změně postojů sledovaných lidí? Otestujme, zda lze předpokládat významnou změnu ve struktuře četností. Provedeme to prostřednictvím McNemarova testu.

11 Řešení v R data<-matrix(c(85,50,35,30),2,2) rownames(data)<-c("koupili","nekoupili") colnames(data)<-c("koupi","nekoupi") mcnemar.test(data,correct=f) McNemar s Chi-squared test data: data McNemar s chi-squared = , df = 1, p-value = Je zřejmé, že nedošlo ke statisticky významné změně v postojích. V případě malého počtu pozorování můžeme zavést korekci. Testové kritérium má pak následující tvar: χ 2 = ( n 12 n 21 1) 2 n 12 + n 21. Postup by byl obdobný: mcnemar.test(data)

12 Testy hypotéz o parametru π rozdělení A(π) V případě, že testujeme hypotézu o shodě relativních četností, tj. H 0 : π = π 0, můžeme v případě velkého výběru využít testového kritéria: U = ˆπ π 0 π 0 (1 π 0 ) n, kde ˆπ představuje výběrový podíl, tzn. ˆπ = m/n. Symbol m označuje počet pokusů ve kterých nastal námi sledovaný jev. Symbol n pak celkový počet pokusů. Uvědomte si, že výsledek takového testu závisí jak na hodnotě ˆπ, tak i na velikosti souboru, ze kterého počítáme onu relativní četnost ˆπ.

13 Kritické obory Kritické obory pro jednotlivé alternativní hypotézy lze v případě dostatečného počtu pozorování definovat takto: H 0 H A K ˆπ < π 0 {u; u u α } ˆπ = π 0 ˆπ > π 0 {u; u u 1 α } ˆπ π 0 {u; u u 1 α/2 } Zde symbol u α představuje α-procentní kvantil normálního normovaného rozdělení. Tuto hodnotu lze zjistit v R prostřednictvím příkazu qnorm(α)

14 Příklad Při výrobě určitého výrobku je povolen podíl vadných výrobků nejvýše 0,04. Bylo odebráno 250 vzorků, z nichž se ukázalo, že je 21 vadných. Probíhá výroba výrobků korektně - ve stanovených mezích, či je výrobní proces nastaven špatně? Volte α = 0, 05 Zformulujme potřebné hypotézy: Dosadíme-li do vzorce získáme: atd... U = H 0 : π π 0 H A : π > π 0 0, 084 0, 04 0, 04 (0, 96) 250 = 3, 55023

15 Jak nato v R prop.test(21,250,p=.04,alternative="g",correct=false) 1-sample proportions test without continuity correction data: 21 out of 250, null probability 0.04 X-squared = , df = 1, p-value = alternative hypothesis: true p is greater than percent confidence interval: sample estimates: p Z výsledku je zřejmé, že hodnota p-value = 1, Lze tedy říci, že na základě předložených údajů a na hladině významnosti α = 0, 05, můžeme zamítnout nulovou hypotézu, ve prospěch alternativní hypotézy. Výrobní proces je tedy špatně nastaven.

16 Testy hypotéz typu π 1 = π 2 ve velkých výběrech, kde X i A(π i ), i = 1, 2. V případě, že testujeme hypotézu o shodě dvou relativních četností, přičemž předpokládáme nezávislost výběrů, tj testujeme-li: H 0 : π 1 = π 2, můžeme, v případě velkého výběru využít testového kritéria: U = ˆπ 1 ˆπ 2 π(1 π) ( n1 n 2 n 1 + n 2 kde ˆπ i představuje i-tou relativní četnost a průměrnou relativní četnost π stanovíme jako: π = m 1 + m 2 n 1 + n 2 = n 1ˆπ 1 + n 2ˆπ 2 n 1 + n 2. V případě dostatečného počtu pozorování v obou skupinách lze říci, že U N(0; 1). ),

17 Kritické hodnoty a příklad Kritické obory pro jednotlivé alternativní hypotézy lze v případě dostatečného počtu pozorování definovat následovně: H 0 H A K ˆπ 1 < π 2 {u; u u α } ˆπ 1 = π 2 ˆπ 1 > π 2 {u; u u 1 α } ˆπ 1 π 2 {u; u u 1 α/2 } Ve dvou závodech A a B se vyrábí určitý výrobek stejnou technologíı. Podíl vadných výrobků by měl být stejný. Z 200 výrobků závodu A bylo 10 vadných. Z 250 výrobků závodu B byl vadných 23. Je podíl vadných výrobků v závodě A nižší než v závodě B? Volte α = 0, 05.

18 Řešení v R Hypotézu tedy specifikujeme jako H 0 : π 1 π 2 versus H A : π 1 < π 2 prop.test(c(10,23),c(200,250),correct=false,alternative="l") 2-sample test for equality of proportions without continuity correction data: c(10, 23) out of c(200, 250) X-squared = , df = 1, p-value = alternative hypothesis: less 95 percent confidence interval: sample estimates: prop 1 prop Vzhledem k dosažené hladině významnosti (p-value = 0,04473) lze říci, že závod B má statisticky významně vyšší podíl vadných výrobků než závod A.